2025版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)-解析版

專題04三角函數(shù)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

高考對(duì)三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌2022?新高考I卷，6

握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系2023?新高考I卷，15

式和誘導(dǎo)公式。重點(diǎn)是三角恒等變換和2024?新高考I卷,7

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇2022?新高考n卷，9

偶性、對(duì)稱性、最值等。三角恒等變換2023?新高考n卷，16

位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，2024?新高考口卷,9

高考會(huì)側(cè)重綜合推理能力和運(yùn)算能力

的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作

2023?新高考I卷，8

用，以及會(huì)有一些它們?cè)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)

2024?新高考I卷,4

用。這需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，進(jìn)一步

三角恒等變換2022?新高考口卷,6

提高運(yùn)用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題

2023?新高考II卷,7

的自覺性，體會(huì)一般與特殊的思想、換

2024?新高考n卷，13

元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三

角恒等變換中的作用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷、n卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中I卷、n卷的三角

恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。I卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，結(jié)合

了具體函數(shù)圖像的畫法，II卷則是考查了零點(diǎn)、對(duì)稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、

求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助

角公式及圖像與性質(zhì)中的對(duì)稱性和零點(diǎn)問題。

試題精講

一、單選題

1.（2024新高考I卷-4）已知85（&+夕）=加4211112114=2,則cos（a-尸）=（）

fflni

A.-3加B.-----C.-D.3TH

33

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacos￡,sincsin尸的關(guān)系，結(jié)合tanetan4的值可求前者，故可求

cos(a-￡)的值.

【詳解】因?yàn)閏os(a+/?)=加，所以cosccos￡-sinasin￡=機(jī),

而tanatan分=2,所以sinasin/?=2cosacos/7,

故cosacos/3-2cosacos尸二加即cosacos/7=-m,

從而sinasm/3=-2m,故cos(a一/)=-3m,

故選：A.

2.(2024新高考I卷-7)當(dāng)［0,2幻時(shí),曲線V=sinx與y=2sin的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】畫出兩函數(shù)在［0,2句上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù))，=sinx的的最小正周期為？=2無，

函數(shù)y=2sin(3x-胃的最小正周期為T=*

所以在xe［0,2兀］上函數(shù)y=2sin(3x-《)有三個(gè)周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).

故選：C

二、多選題

冗

3.(2024新高考II卷-9)對(duì)于函數(shù)〃x)=sin2x和g(x)=sin(2x-R,下列說法正確的有()

A./(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)B./(x)與g(x)有相同的最大值

C.，(幻與g(x)有相同的最小正周期D.，(x)與g(x)的圖像有相同的對(duì)稱軸

【答案】BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)，令/(x)=sin2x=0,解得工二萬,左eZ,即為/(x)零點(diǎn)，

令g(x)=sin(2x-?)=0,解得x="+/eZ,即為g(x)零點(diǎn)，

428

顯然/(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，顯然/'(XL"=g(x)maA=1，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，〃x),g(x)的周期均為三=n,C選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)/⑴的對(duì)稱軸滿足2x=E+5ox=g+：KeZ,

g(x)的對(duì)稱軸滿足2x-「=E+：ox="+空后eZ,

4228

顯然/'(x),g(x)圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

三、填空題

4.(2024新高考II卷-13)已知a為第一象限角，尸為第三象限角，tana+tan￡=4,tanatan=V2+1,

則sin(a+￡)=.

【答案】一迪

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan(a+4)=-2近，再縮小a+4的范圍，最后結(jié)合同角的平

方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

【詳解】法一：由題意得tan(。+⑶=：；魯黑=7.,

因?yàn)閍￡12癡,2kn+-1-1,/?Gf2加兀+匹2機(jī)兀+3兀j,k,meZ,

2

貝+￡((2機(jī)+2左)兀+兀,(2加+2左)兀+2兀),k,meZ,

又因?yàn)閠an（a+/?）=-2也<0,

貝((左)兀+技，(機(jī)+左)兀+兀)，

Ja+4￡]2m+2222k,meZ,貝（]sin（a+夕）<0,

則::;：*=-2憶聯(lián)立sin2(a+^)+cos2(a+^)=l,解得面(1+0=-孚.

法二：因?yàn)椤榈谝幌笙藿牵?為第三象限角，貝!Jcosa>0,cos4<0,

cosa]cosP-1

cosa=cos/3=

Jsin?a+cos^aVl+tan2aJsin?p+cos?05/1+tan2/3

貝(|sin(cr+/?)=sinacos/3+cosasm(3=cosacos夕(tana+tan/J)

二4cosacos°-/一/=/

V1+tan2aJl+taM夕J(tana+tan/?)2+(tanatan￡-1)2

故答案為一手.

近年真題精選

一、單選題

1.(2022新高考I卷-6)記函數(shù)[(x)=sin[ox+?]+6(o＞0)的最小正周期為二若三＜T＜兀,且y=/(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)[拳2)中心對(duì)稱，貝以《卜()

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.

【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足2彳4＜7〈萬，得2彳4＜2必7r＜乃，解得2＜。＜3,

33CD

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(三,21對(duì)稱，所以與。+?=%肛％eZ,且6=2,

所以@=一2+|■左，左eZ,所以0=g，/W=sin|571|+2,

632V24y24

所以/[m=3也\]+口+2=1.

故選：A

2.(2023新高考I卷?8)已知sin(a—m=；,cosasin/=J,則cos(2a+2/7)=().

36

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(c+#),再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.

【詳解】因?yàn)閟in(a—/7)=sinacos/7-cosasin/?=’，而cosasin/7=,，因此sinacos/?=L

362

2

貝!|sin(cr+尸)=sinacos0+cosasin4=一,

21

所以cos(2(z+24)=cos2(a+月)=1一2sin?(a+4)=1-2x(-)2=-.

故選：B

3.(2022新高考I［卷-6)若sin(a+0+cos(a+￡)=2V^cos］a+?jsin￡,貝I」()

A.tan(e-夕)=1B.tan(a+/7)=1

C.tan(a-^)=-1D.tan(a+分)=-1

【答案】C

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】［方法一］:直接法

由已知得：sinacos)3+cosasin夕+cosacos/一sinasin)=2(cosa-sina)sin/?,

即：sinacos0-cosasin￡+cosacos力+sinasin/?=0,

即：sin(a-夕)+cos(a-7?)=0

所以tan(a_￡)=-l

故選：C

［方法二］:特殊值排除法

JT

解法一:設(shè)0=0則sina+cosa=0,^a=--,排除A,B；

JT

再取a=0貝！1sin。+cos0=2sinp,取排除D；選C.

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+/?)+cos(a+〃)=0sin(a+分+?)=&sin［(a+?)+/7］

=-72sin(6z+-)cos4+0cos(a+工)sinB=20cos(a+工)sinB

444

所以V2sin(+—)cosB=6cos(cr+—)sin

44

sin(cr+—)cos/7-cos(6Z+—)sin0=0即sin(cz+—-/?)=0

/.sin(or-/7+—)=sin(cos—+cos(cr-^sin—=^-sin(dz-；0)+^-cos(cif-Z7)=0

44422

/.sin(a-0)=-cos^a—0)BPtan(a—0)—1,

故選：C.

4.(2023新高考n卷—7)已知c為銳角，cosa="且，貝心山￡=().

42

A3--\/5R—1+\/503—y/~5n—1+V5

A.-------D.----------C.--------D.----------

8844

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因?yàn)閏osa=l-2sin24=*L而1為銳角,

24

解得：sina￡=

故選：D.

二、多選題

5.(2022新高考II卷-9)已知函數(shù)/m)=g(2天+夕)(0＜。＜兀)的圖像關(guān)于點(diǎn)亍0中心對(duì)稱，則()

A./(x)在區(qū)間［0,記1單調(diào)遞減

B.Ax)在區(qū)間詈］有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線x=一是曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.直線是曲線了=/(')的切線

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出.

【詳解】由題意得：/^=sin^+^=0,所以與+0=E,keZ,

4兀

即cp————Fku,左￡Z,

271(2兀

又。＜。＜兀，所以左=2時(shí)，。=7，故/(x)=sm［2尤+

..2K2兀3兀

對(duì)A,當(dāng)龍時(shí),2x+—^~G,由正弦函數(shù)ksin"圖象知y=/(x)在上是單調(diào)遞減;

T'T

7111兀—c2兀715兀

對(duì)B,當(dāng)xei2,ir時(shí)，2x+-^-G,由正弦函數(shù)＞=sin”圖象知y=〃x)只有1個(gè)極值點(diǎn)，由

2x+?等，解得x=*即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn);

3乙1212

77r2冗

對(duì)C,當(dāng)工=二時(shí)，2x+'=3兀/(—)=0,直線工=2不是對(duì)稱軸

6366

2兀)

對(duì)D,由V=2cos2x+=T得:

2兀2兀2兀47i

解得2x+子=]+2E或2x+1=于+2伍左EZ,

.兀

從而得：x=析或x=§+E,左eZ,

所以函數(shù)歹=/(幻在點(diǎn)0,3處的切線斜率為左=川=2cos1

2)Ly=--

切線方程為：=一(、一°)即y=^~~x.

故選：AD.

三、填空題

6.(2023新高考I卷-15)已知函數(shù)〃x)=coss-1(0＞0)在區(qū)間[0,2可有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

圍是?

【答案】[2,3)

【分析】令/(x)=0,得COS5=1有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?Wx〈2;r,所以

令/(x)=cosa)x-l=09則cosox=1有3個(gè)根，

令t=cox,則cos/=1有3個(gè)根，其中才￡[0,2s],

結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得4兀＜2①兀＜6兀，故2?口＜3,

個(gè)廣I

—

y-CMt

故答案為：23).

7.(2023新高考II卷-16)已知函數(shù)/'(x)=sin(0x+。)，如圖N,8是直線y=1■與曲線j=的兩個(gè)交

【分析】設(shè)，再,小2，1,依題可得，x2-Xl=^,結(jié)合sinx=g的解可得，-玉)=牛，從而得

。以及〃0)<0,即可得/(x)=sin14x-U進(jìn)而求得〃兀).

到。的值，再根據(jù)了

【詳解】設(shè)由囪蘭可得七-西=今,

1兀5兀

由sinx=—可知，、=一+2e或1=—+2fei,左eZ,由圖可知,

266

①々+0一(0項(xiàng)+0)=q兀-q=-,即6y(工2一再)=-，「.0=4.

區(qū)

=sinfy+??7rQ

因?yàn)榱藎K=0,所以(p=kn,即。=一]■兀+阮,keZ.

2

所以〃x)=sin4x--7i+fet|=sin|4x--7i+fci|,

3JI3J

2..2]

所以/(%)=sin4x--7t或/(x)=-sml4x--7iI,

3

.A2)2

又因?yàn)?(0)<0,所以/(%)=sm4x——n,/(7i)=sin4兀一—71

I3J32

故答案為：-百

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)/(%)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

必備知識(shí)速記

一、三角函數(shù)基本概念

1、弧度制

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)榜"表示，讀作弧度.正角的弧

度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=萬rad,1°=—rad,lrad=—.

1807i

(3)扇形的弧長(zhǎng)公式：/=|a"，扇形的面積公式：S=|/r=||?p2-

2、任意角的三角函數(shù)

(1)定義：任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(x,y)時(shí)，貝!|sina=y,cos?=x,tana=-(x0).

X

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)尸尸(x,y)是角a終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到原點(diǎn)0

的距離為〃，貝Usina=2,cosa=—,tana=2■(%w0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表:

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號(hào)符號(hào)限符號(hào)限符號(hào)

sinaR++一一

cosaR+一一+

兀

tana{a\ak7rkEZ}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：-*ntZ=tana(a^—+kjr)；

cosa2

三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式—■二三四五六

7171

角2k兀+a(keZ)7C+a~cc7i-a-----a——十a(chǎn)

22

正弦sina-sina-sin<7sinacosaCOS6Z

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tancr一tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號(hào)看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作"?工土a；(2)

2

無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?工土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)〃

2

為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

四、兩角和與差的正余弦與正切

①sin(a±')=sinacosP±cosasin夕；

②cos(a±J3)=cosacos(3+sinasinp；

③tan(a±/?)=tana±tanJ

1+tan6Ztan0

五、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；

2tana

③tan2a=

1-tan2a

六、降次（募）公式

.1.八.2l-cos2。2l+cos2a

smacosa=—sm2a:sina=--------------;cosa=---------------

222

知識(shí)點(diǎn)四：半角公式

.a.1-COS6Za

Silly=±J---------；COSy=±,

asina1-cosa

tan——--------------------------.

2l+cos<zsintz

七、輔助角公式

asina+bcosa-\a2+b2sin(a+cp)(其中sin(=i^=,cos0="y,tan.=一).

Vtz2+b2yla2+b2a

八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左￡Z）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

小

0/!\2

圖象r一￡/公二

\2Lx

2：n!2

冗

定義域RR{xX6R,Xw左％+—}

值域[T，1][T，1]R

周期性27rn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

,j71j71、

遞增區(qū)間\2k7i-%,2k兀+[-7T+2k7l,2k7l]\K7l——,K71+—)

r_771_73兀、

遞減區(qū)間\_2K7T+—,2k/iH—][2kjr,7i+2k7i]無

71

對(duì)稱中心(kji,0)(版■+「,0)仔,。）

7兀

對(duì)稱軸方程X=K7V-\——X=k7U無

2

注：正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是工；正（余）弦曲線相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離是工;

22

正（余）弦曲線相鄰兩條對(duì)稱軸與對(duì)稱中心距離二;

九、y=Asin(wx+/)與；v=/cos(wx+0)(4〉0,w>0)的圖像與性質(zhì)

(1)最小正周期：T=—.

w

(2)定義域與值域：y=Asin(wx+fi),歹=4cos(wx+°)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇/,A].

(3)最值

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=4sin(wx+0),

當(dāng)wx+。=巳+2k兀(keZ)時(shí)，函數(shù)取得最大值4;

<一

■7T

當(dāng)wx+。=——+2k兀*eZ)時(shí)，函數(shù)取得最小值-A;

、2

②對(duì)于歹=4cos(wx+°),

]當(dāng)wx+，=2版■(左￡Z)時(shí)，函數(shù)取得最大值4;

1當(dāng)wx+。=2k兀+7i(kGZ)時(shí),函數(shù)取得最小值-A;

(4)對(duì)稱軸與對(duì)稱中心.

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=4sin(wx+0)，

JI

當(dāng)Ma。+(/)=k7i+—(kE：Z),即sin(wx0+0)

<=±1時(shí)，y=sin(wx+。)的對(duì)稱軸為x=x0

當(dāng)w/+0=kji(keZ),即sin(wx0+^)=0

時(shí)，y=sin(wx+°)的對(duì)稱中心為(%0,0).

②對(duì)于y=/cos(wx+。)，

當(dāng)Ma。+°=ki(kGZ),BPcos(wx0+°)=±1

時(shí)，)=85(?%+°)的對(duì)稱軸為％=%0

v7C

當(dāng)WXo+°=左a+5(左￡Z),即cos(wx0+0)

=0時(shí)，y=cos(wx+。)的對(duì)稱中心為(%,0).

正、余弦曲線的對(duì)稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大(小)值的位置.正、余弦的對(duì)稱中心是相應(yīng)函數(shù)與X軸交點(diǎn)的位

置.

(5)單調(diào)性.

假設(shè)A>0,w>0.

①對(duì)于y=4sin(wx+0),

rrjr.

WX+?！闧+2左肛一+2左打](左wZ)=>增區(qū)間；

<IJ

WX+0￡2左樂芳+2左1](左￡Z)=減區(qū)間.

②對(duì)于y=4cos(wx+。)，

Jwx+0￡[-71+2左肛2左幻(左￡Z)=>增區(qū)間；

[wx+G[2左肛2k兀+7i~\(k￡Z)n減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

由函數(shù)y=sinx的圖像變換為函數(shù)尸2sin(2x+g)+3的圖像的步驟；

方法一：(X-X+T-2X+().先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我彳1想欺負(fù)”

(相一期一幅)三角函數(shù)圖像，使之變形.

向左平移￡個(gè)單位71所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

y=smX的圖像------2--------->y=sm(x+的圖像------縱坐標(biāo)不變---。

y=sin(2x+?)的圖像所有點(diǎn)的鬻寢來的？倍>y=2sin(2x+?)的圖像

向上平距個(gè)單位〉了=2sin(2x+1)+3

方法二：(X^x+|^2x+1).先周期變換，后相位變換，再振幅變換.

.AjEg所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?向左平移J個(gè)單位

y=sinx的圖像------荻W一jy=sin2x的圖像-------——>

y=sin2(x+自=sin(2x+0的圖像所有點(diǎn)的釐g歲黜倍>

y=2sin(2x+g)的圖像向上平松各單位>>=2sin(2x+1)+3

注：在進(jìn)行圖像變換時(shí)，提倡先平移后伸縮(先相位后周期，即“想欺負(fù)”)，但先伸縮后平移(先周期后相

位)在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個(gè)變換總是對(duì)變量x而言的，即圖

像變換要看“變量X”發(fā)生多大變化，而不是“角wx+</>”變化多少.

【三角函數(shù)常用結(jié)論】

1、利用Sil?C+C0S2a=1可以實(shí)現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用'吧=tana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互

cosa

化.

2、<ssina+cosa，sinacosa，sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)1=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)1=sin2a+cos2a-2sinacosa=1-sin2a

(sina+cosa)1+(sina-cosa)2=2

3、兩角和與差正切公式變形

tana±tan[3-tan(a±4)(1+tanatan〃)；

c1tana+tan萬tana-tan￡1

tana?tanp-\-------------------=--------------------1.

tan(a+/3)tan(cr-4)

4、降幕公式與升幕公式

.2I-cos2a2I+cos2a.I.

sina=------------；cosa----------；sinacosa=—sm2a；

222

l+cosla=2cos2a；l—cos2a=2sin2a；I+sin2a=(sina+cosa)2；l-sin2a=(sina-coscr)2.

5、其他常用變式

.2sin(7cos<72tana八cos26Z-sin26rI-tan2aasinaI-cosa

sin2a=——--------------=---------；cos2a=——---------------=---------；tan—=------------=-；-----

sina+cosaI+tanasina+cosaI+tana2I+cosasina

fy1

6、拆分角問題：①a=2-,；a=(a+4)-/?；②。二尸一(尸—a)；@a=-［(a+/?)+(6r-/?)］；

④尸=：［(a+A)—(a—6)］；⑤f+0二￡一(￡一二)?

2424

注意：特殊的角也看成已知角，如二=工-(2

44

7、關(guān)于三角函數(shù)對(duì)稱的幾個(gè)重要結(jié)論

jr

(1)函數(shù)y=sinx的對(duì)稱軸為％=左%+5(左EZ),對(duì)稱中心為(左〃\0)(左￡Z)；

jr

(2)函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸為x=ATZ■(左￡Z),對(duì)稱中心為(左乃+,,())(左￡Z)；

(3)函數(shù)y=tanx函數(shù)無對(duì)稱軸，對(duì)稱中心為(與,0)/eZ)；

(4)求函數(shù)y=4sin(Ma+0)+b(wwO)的對(duì)稱軸的方法；令wx+0=,+左%(左eZ),得

711.

—Fk7i—(p7,

，即對(duì)稱中心為ps

X=-................(左GZ)；對(duì)稱中心的求取方法；令WX+。=k7l(k￡Z),得X=-.......6).

WWW

71,.

----\~K.71—(/)

(5)求函數(shù)y=/cos(wx+0)+6(>vw0)的對(duì)稱軸的方法；令+/=(左$Z)得x=2------------，即對(duì)稱中

；+左萬

心為（2------------力）（k￡Z）

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?江蘇南通?三模）已知cos[：-6?=3cos6+己），貝i]sin2〃=（）

【答案】B

【分析】展開并同時(shí)平方，結(jié)合二倍角的正弦公式即可得到關(guān)于sin29的方程，解出即可.

【詳解】展開得《-(cosO+sin。)=3?飛-(cosO-sin。)，

19

兩邊同時(shí)平方有5(cos6+sine)2=2(cos8-sinOp,

1o4

BP-(1+sin26)=-(l-sin20),解得sin2<9=j,

故選:B.

2.(2024?山東濟(jì)南?三模)若sina—cosa=行，則tana=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】由同角的三角函數(shù)和二倍角公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閟ina-cosa=V2,

22

所以（sina-cos=sina+Cosa—2sinacosa=1—sin2a=2,

所以sin2a=-1=>2a=2hi+—兀，左eZna=hi+—7i,kGZ,

所以tana=-1,

故選：B

3.（2024?重慶?三模）已知［。微J,且2sin2a=4cosa-3cos%,則cos2a=（）

12V2

A?29B.-c

3-?■亍

【答案】c

【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)和同角三角函數(shù)關(guān)系求出sina=：,利用余弦二倍角公式求出答案.

【詳解】因?yàn)槎?0微｝所以cosawO,0<sin^z<,

因?yàn)?sin2a=4cosa-3cos3a，

所以4sinacosa=4cosa-3cos%,

所以4sincr=4-3cos2a=4-3(1-si/cr),

解得sina=；或sina=1（舍），

017

則cos2a=1-2sin2a=l-2x—.

故選：c

4.(2024?浙江?三模)若sin(a-/)+cos(a-/7)=2V^sin]a-Tsin/7,則()

A.tan(df-/?)=-lB.tan(a—〃)=l

C.tan(or+/?)=-1D.tan(a+/)=1

【答案】C

【分析】利用和差角公式展開，即可得至！JsinacosA+cosacos/?=sinasin/?-cosasin/?,再兩邊同除

COS6ZCOS/7,最后結(jié)合兩角和的正切公式計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?111（。一4）+以）$（。一/7）=2/58抽］。一:卜114,

所以sinacos/?-cosasin/?+cos（7cos/?+sinorsin/?=2^2fsinacos：-cosasin；卜in（3,

即sincrcos0-cosasin￡+cos(7cos/?+sincrsin/?=2sinisin尸一2cosasin尸,

即sincrcosP+cosacos/J=sinasin°—cossin/7,

兩邊同除cos】cos6可得tana+1=tanatan/?-tan/3,

所以tan(a+￡)=:r+

1-tanatanp

故選：C

3cos（y

5.（2024?河北保定?二模）已知tana=--------,則cos2a=（）

sina+11

7777

A.——B.-C.-D.——

8899

【答案】B

【分析】利用切化弦和同角三角函數(shù)的關(guān)系，解出sina,再結(jié)合二倍角公式即可求解.

【詳解】因?yàn)樾?cosa

cosasina+11

所以4sin2a+1lsina-3=0,

解得sma=1或.a—（舍去），

7

所以cos2a=1-2sin2a=—.

故選：B.

7

6.(2024?湖北荊州?三模)已知sine+coseu；^,則sin<9—cos<9的值為()

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

749

【詳解】由sin9+cos9=—,可得(sinO+cos。)9=l+2sin6cose=----,

13169

120

可得2sin。cos。=一

169

則(sin8-cos6)2=sin20+cos20-Ism0cos0=1+

169169

因?yàn)?sin8cose=-不＜0,所以sin6與cos。異號(hào)，可得6為第二或第四象限,

當(dāng)。為第二象限角時(shí)，可得sin"COS8=A；

17

當(dāng)。為第四象限角時(shí)，可得sin"cos6=一百.

故選：C.

7.（2024?山東青島?三模）為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把》="x）s2x的圖象上所有的點(diǎn)

（）

A.向右平行移動(dòng)弓個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平行移動(dòng)弓個(gè)單位長(zhǎng)度

OO

ITIT

C.向右平行移動(dòng)：個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平行移動(dòng)；個(gè)單位長(zhǎng)度

44

【答案】A

【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)了=然也?x+夕）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

【詳解】y=sin2x+cos2x=V2sin2x+—,

由誘導(dǎo)公式可知:y=V2cos2x=V2sin2x+—=V2sin2x+—

又y=V2sin[2x+；卜V2sin+：

則十會(huì)?即只需把圖象向右平移三個(gè)單位.

故選：A

（?天津?yàn)I海新?三模）已知函數(shù)（巳

8.2024=sin2x-,關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說法:

（1）函數(shù)〃無）的圖象關(guān)于點(diǎn)［石＞oj中心對(duì)稱

（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱

O

（3）函數(shù)/（x）在區(qū)間（-兀㈤內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)

(4)函數(shù)〃x)在區(qū)間,0上單調(diào)遞增

以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于(1),由，(2)=sin(2*2-四)=sin2=1/0,

1212632

所以不是函數(shù)/'(x)的圖象的對(duì)稱中心，所以(1)錯(cuò)誤；

對(duì)于(2)中，由/(Y)=sin(-2x?C)=sin(-fj)*±l,

所以x=不是函數(shù)/(x)的圖象的對(duì)稱軸，所以(2)錯(cuò)誤；

O

對(duì)于(3)中，令2x-巴=也，左eZ,可得x=M+如，左ez,

6122

TT77rSjr

當(dāng)左=0時(shí)，可得x=\；當(dāng)左=1時(shí)，可得x=五；當(dāng)左=-1時(shí)，可得x=—五；

11JT

當(dāng)先=-2時(shí)，可得.-下，所以在(-兀，兀)內(nèi)，函數(shù)/⑺有4個(gè)零點(diǎn)，所以(3)正確;

對(duì)于(4)中，由xe-1,0,可得2x-me一二,一々,此時(shí)函數(shù)/(x)不是單調(diào)函數(shù)，所以(4)錯(cuò)誤.

故選：A.

9.(2024?河北石家莊?三模)已知角滿足tani=；,2sin/=cos(a+p)sini,則tan/?=()

A.-B.-C.—D.2

36