2024年浙江省高三數(shù)學(xué)考前模擬聯(lián)考試卷（附答案解析）

2024年浙江省高三數(shù)學(xué)考前模擬聯(lián)考試卷

本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知集合A={x『og3（尤+2）＞1},2={4《x-2）＜0},則A低3）等于（）

A.0B.(0,1)C.(1,2)D.[2,-HM)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（z-D（l-2i）=5i,則復(fù)數(shù)1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量a=（m,l）,b=（;n,-l）,若3a-6與6垂直，則卜|等于（）

A.72B.73C.3D.6

4.已知數(shù)列{4}滿足弓=2,則“{4}為等比數(shù)歹『'是"%,?%=4+“（\7加，〃€河）”的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

5.在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個項目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知

道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15,10,由此估計樣本的方差不可

熊為（）

A.11B.13C.15D.17

6.若sin（a-夕）+cos（a-尸）=20sin]a-：jsin尸，則（）

A.tan（a-/7）=-lB.tan（a-尸）=1C.tan（6z+/?）=-lD.tan（＜z+0=l

7.如圖，假定兩點P,。以相同的初速度運動.點。沿直線CD做勻速運動，CQ=x；點P沿線段A8

（長度為IO,單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（PB=y）.令P與。同時分別

從A,C出發(fā)，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示x與y的對應(yīng)關(guān)系就是

77

y=10j1°（e=2.71828L）,當(dāng)點P從線段AB靠近A的三等分點移動到中點時，經(jīng)過的時間為（）.

R

34

A.In2B.In3C.In-D.ln-

23

22

8.設(shè)雙曲線C：=-與=1（fl＞0,b＞0）的左焦點為尸，過坐標(biāo)原點的直線與C交于A,3兩點,

ab

1

|AB|=2V7a,=120°,則C的離心率為()

A.V2B.73C.75D.々

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=」一+二一,貝U()

sinxcosx

A./(x)的最小正周期為7=兀B.“X)的圖象關(guān)于(兀,0)對稱

C.“X)在上單調(diào)遞減D.當(dāng)口時，/(%)>272

10.已知A,B,C是一個隨機試驗中的三個事件，且0〈尸(A)<1,0<P(B)<l,下列說法正確的是

()

A.若A與B互斥,則可與石不相互獨立

B.若A與8相互獨立，則A與B不互斥

C.若尸(A怛)?尸(叫A)=尸(AB),且P(AB)w。，則A與3相互獨立

D.若尸(ABC)=P(A)?P(B)?P(C),則A,B,C兩兩獨立

11.已知正方體的棱長為1,點p滿足APu/lAD+4M,其中&eR,〃eR,則()

A.當(dāng)4=〃時，則GP+尸。的最小值為后二^

B.過點尸在平面AOAA內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與C尸垂直

C.若G尸與AD所成的角為;，則點P的軌跡為雙曲線

D.當(dāng)4=1,0』時，正方體經(jīng)過點A、P、G的截面面積的取值范圍為]坐，忘

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若(2x—

展開式的二項式系數(shù)之和為128,則展開式中x的系數(shù)為.

13.已知圓G：x2+y2=2和圓C2：(x_3)2+(y-4)2=16,過圓C2上一動點尸作圓C2的切線，交圓G

于A,8兩點，當(dāng)，AOB(點。為坐標(biāo)原點)面積最大時，滿足條件的切線方程為.(寫出一條即可)

14.已知函數(shù)/(x)=(x—2)e*+lnx,g(x)=ax+b,對任意ae(-oo,l],存在xe(0,l)使得不等式

/(x)Zg(x)成立，則滿足條件的》的最大整數(shù)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2

15.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有線段44，已知點4是線段44上靠近4的三等分點，點人4是線段44上靠

近4的三等分點，……，點4M是線段4-4(n>2,〃wN*)上靠近4的三等分點，設(shè)點4的橫坐

標(biāo)為%.

(1)求證：數(shù)列｛。用-q｝為等比數(shù)列；

⑵若q=l,a2=5,求｛?！埃耐椆?

16.在四棱錐P—ABCD中，ABLAD,AB//DC,AD=DC=^AB=2,尸C=2應(yīng)，E、尸分別為直線

DC,DP上的動點.

P

(1)若異面直線AD與PC所成的角為45。，判斷尸3與AD是否具有垂直關(guān)系并說明理由；

⑵若PB=PA=20,EF//PC,求直線AC與平面所成角的最大值.

17.將除顏色外完全相同的紅球2個、白球3個放入一盲盒(一種具有隨機屬性的玩具盒子)，現(xiàn)從中

不愁㈣取球.

(1)若每次取一個球，求：

(i)前兩次均取到紅球的概率；

(ii)第2次取到紅球的概率；

(2)若從中取出兩個球，已知其中一個球為紅球，求：

(i)另一個也為紅球的概率；

(ii)若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機取一個球來替換另一個球，如果從提高取到紅球的可能性出

發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點4(1,0),4-60),g(石,0),P為動點，滿足歸￡日產(chǎn)周=2.

⑴求動點P的軌跡C的方程；

⑵已知過點7(3,-1)的直線/與曲線C交于兩點M,N,連接A",AN.

(i)記直線AM,AN的斜率分別為％,k2,求證：2左他+勺+網(wǎng)為定值；

(ii)直線AM,AN與直線y=-；x分別交于3,C兩點，求忸。的最小值.

19.莫比烏斯函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家莫比烏斯提出，數(shù)學(xué)家梅滕斯首先使用〃(〃)作為莫比烏斯

函數(shù)的記號，其在數(shù)論中有著廣泛應(yīng)用.所有大于1的正整數(shù)〃都可以被唯一表示為有限個質(zhì)數(shù)的乘積形

式：〃=p；pf…P2(左為〃的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，P,為質(zhì)數(shù)，戶1,，=1,2,…,左)，例如：60=22x3x5,

3

對應(yīng)k=3,0=2,〃2=3,〃3=5,{=2,馬=1,4=1.現(xiàn)對任意〃EN*,定義莫比烏斯函數(shù)

l,n=l

1）,石=4"=L

0,存在位＞1

⑴求M68）,〃（985）；

（2）已知心1,記〃=（左為”的質(zhì)因數(shù)個數(shù)，P,為質(zhì)數(shù)，樣1,i=l,2,…水）的所有因數(shù)從

小到大依次為外,出，…，am-

（i）證明：|〃（1）|+|〃（。2）|+…+|〃（4）卜2、

（ii）求巫）+巫）+…+曲J的值（用心（i=l,2,…水）表示）.

4%am

1.D

【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合A,解一元二次不等式求出集合8,再根據(jù)補集、交集的定義計算

可得.

【詳解】由Iog3（x+2）＞1,gpiog3（x+2）＞log33,即x+2＞3,解得尤＞1,

所以A={x|log3（x+2）＞1}={x|x＞1）,

由x（x-2）＜0,解得0＜x＜2,所以B={xk（x-2）＜0}={x|0＜尤＜2},

所以3B=（-W,0]U[2,4W）,

則A(4孫=［2,y).

故選：D

2.C

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算可得z=-l+i,再由共朝復(fù)數(shù)可知問題的結(jié)果.

［詳解］由(z_l)(l_2i)=5i得：z—l=怎5i(l+2i)5i-10

(l-2i)(l+2i)-5

即z=-L+i,所以三=故復(fù)數(shù)』在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)3a-6與6垂直，可得（3a-46=0,即可求出加，再根據(jù)模的坐標(biāo)公式即可得解.

【詳解】3a-Z＞=（2m,4）,

4

因為3a-6與b垂直，

所以（3a-今6=2病-4=0,解得病=2,

所以卜|=y/m2+1=A/3.

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若｛??｝為等比數(shù)列，則??=2/1,

所以%。=24Tx2產(chǎn)=4/+"-2,小=2qET,

當(dāng)/2時見,故充分性不成立;

若4,4=a*”(Vm,neN*),不妨令m=l,貝!]%?%=%+“，又％=2,

所以2%="用，即&"=2,所以｛4｝為公比為2的等比數(shù)列，故必要性成立；

an

故"｛%｝為等比數(shù)列”是“冊9=%.（V加，〃cN*）”的必要不充分條件.

故選：B

5.A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為"女生的平均數(shù)為亍，總體的平均數(shù)為京，方差

為結(jié)合方差的公式，分析選項，即可求解.

【詳解】設(shè)男生體質(zhì)健康狀況的平均數(shù)為"女生的平均數(shù)為亍，總體的平均數(shù)為京，方差為

80-120-2-3-

貝!J卬二------------x+y=—x+—V

80+12080+12055

§2=80口5+或_而2]+12000+丘_菊2]

80+12080+120

2Q——34——6——

=-[15+—(x-y)2]+-[10+—(x-y)2]=12+—(x-y)2>12,

結(jié)合選項，可得A項不符合.

故選：A.

6.C

【分析】利用和差角公式展開，即可得到sinacos尸+cosacos/7=sinasin/7-cosasin/7,再兩邊同除

COS6ZCOS/?,最后結(jié)合兩角和的正切公式計算可得.

【詳解】因為sin(a—/)+cos(a—m=20sin[a—Tsin〃,

所以sin6zcosp—cosasm/3+cosorcos+sincrsin/3=2^2(sinacos:-cosasin：卜in[3,

即sinacos0—cosasin分+cos67cos尸+sinasin尸=2sinasin/3—2cosasin/3f

即sinacosp+cosacos/3=sinasin13—cosasm/3,

5

兩邊同除cosacos月可得tana+1=tanatan0-tan0,

tana+tan（3

所以tan（a+/?）=

1-tanatan0

故選：C

7.D

in

【分析】易知，它們的初速度相等，故。點的速度為107,然后可以根據(jù)＞=1()7d)0,求出P在中點、三

e

等分點時的X,則。點移動的距離可求，結(jié)合速度、時間可求.

【詳解】解：由題意，P點初始速度107即為。點的速度.

當(dāng)尸在靠近A點的三等分點時：-X1O7=1O7(-)^-解得：x=10Tn。，

3e2

當(dāng)尸在中點時:-xl07=107(-)107,解得：x=107ln2,

2e

34

所以經(jīng)過的時間為：[107(ln2-ln])]+107=lng.

故選：D.

8.B

【分析】設(shè)|AF|=X,結(jié)合已知條件和雙曲線的定義求得忸目，利用余弦定理列方程，解方程求得

由此求得離心率.

【詳解】如圖，設(shè)雙曲線C的右焦點為耳，連接A4，BF{.

由雙曲線的對稱性可得：|AF|=|班AFHBFX,

則四邊形Aq月是平行四邊形，又因為NAF3=120。，則/E46=60。，

^\AF\=x,由雙曲線的定義可得：\BF\=\AF\=2a+x,

在△AFB中，由余弦定理可得：

\ABf=|AF|2+|BF|2-2\AF\-\BF\-COSZAFB

以（2^7°）uf+Qa+x）—2x（2q+x）.（―萬），

整理可得：3d+6or-24/=0,解得：x=2a或x=-4。（舍去），

^\\AF\=\B^\=2a,\BF\=\AF^=4a,

在AW中，由余弦定理可得：

22

\FFtf=|AF|+1Af；|-21AF|?||?cosZFAF1

所以Re）?=（2a）2+（4a）2-2.（2a）.（4a）.1,

整理可得：°2=3/,所以e=￡=g.

a

6

故選：B.

【分析】由/（X+兀）w/（%）,可判定A不正確；由/（%+兀）=一"％）,可判定B正確；設(shè)1=sinx+cosx,

Of

得到了（無）=吉，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/（X）的單調(diào)性和最值，可判定C正確、D正確.

【詳解】對于A中，由〃x+7i）=—--+—J_-=-----L所以A不正確;

sin（x+71）cos（x+7T）sinxcosx

對于B中，由/（尤+兀）=＜一一-+—Y_;=一（」一+」一）=一/（尤），

sin（x+7i）cos（x+兀）sinxcosx

可得函數(shù)/（X）關(guān)于（兀,0）對稱，所以B正確;

、t2-l

對于C中，設(shè)/=sinx+cosx,可z得sinxcosx=----

2

貝°/（%）=——h—-~sinx+cosx_2t

=g"），

smxcosxsinxcosxt2-1

當(dāng)）￡（一匕0）時,可得％+；￡（一1,二）,貝|J/=sinx+cosx=AZ^sin（x+C）e（-l,1）,

24444

2（？-l）-2r2r-2r-2-2,+2）（o

又由g'⑺=———■—

產(chǎn)一1

所以函數(shù)g⑺在（-1,1）上單調(diào)遞減,

又f=0sin（x+2）在xe（_￡（））上為單調(diào)遞增函數(shù)，

42

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可得函數(shù)/（X）在xe（-/0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以C正確;

對于D中，當(dāng)xe（0,3時，可得x+工?（色,生），貝打=0sin[x+r]e（l,0],

又由g?）＜0,g⑺在（1,拒]為遞減函數(shù)，

當(dāng)W）時，即xe（0,f）時，函數(shù)f=0sin1+M單調(diào)遞增；

4424k4J

當(dāng)抖：6邑當(dāng)時，即xe（；,g）時，函數(shù)"四sin[x+（單調(diào)遞減，

42442＜4J

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)/（X）在xe（o令單調(diào)遞減，在了嗚1）上單調(diào)遞增，

7

所以2%）=2五，所以D正確.

故選：BCD.

10.ABC

【分析】由互斥事件和相互獨立事件的概念對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】對于A,若A與B互斥，則A與B不能同時發(fā)生，即尸（Afi）=0,

因為Nc看表示A與8都不發(fā)生，則Nc豆的對立事件為A與8至少有一個發(fā)生，

所以尸（Zc電=l-P（AcB）,

而P（A＜JB）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）,

所以尸（Zc耳）=1-尸⑷-尸⑻,

因為尸（孫尸（可=口-尸（人）］口-尸（3）］=1—尸⑷一尸⑻―尸（A）.尸⑻

所以尸（Zc百）wP（孫P㈤，由此可知，可與否不相互獨立，故A正確;

對于B,若A與B相互獨立，則尸（AB）=尸（A）?尸（3）,因為0＜尸（A）＜1,0＜P（B）＜l,

所以0（尸（A）?尸（3）＜1,貝|尸（AB）wO,所以A與B不互斥，故B正確；

對于C若尸（A⑻尸（叫勾=尸（AB）,

因為尸（A忸”（叫力=干胃.需LPG㈣，

因為尸（AB）wO,則有P（AB）=P（A）?尸（3）,所以A與8相互獨立，故C正確;

對于D,拋擲一枚質(zhì)地均均的骰子，事件A表示出現(xiàn)點數(shù)為1,3,4,

事件8表示出現(xiàn)點數(shù)L5,6,事件C表示出現(xiàn)點數(shù)L2,3,5,

事件ABC表示出現(xiàn)點數(shù)為1,尸（ABC）=，，

滿足尸（ABC）=P（A）?尸⑻?尸（C）,

事件表示出現(xiàn)點數(shù)為1,P（AB）=J,

O

133

但尸（A5）=%wP（A）?尸（5）=zx%

4

則A,5不相互獨立，故D錯誤.

故選：ABC.

11.ACD

8

【分析】對A,將平面AR。展開到與RA3G同一平面，由兩點間線段最短得解；對B,當(dāng)尸在2時,

過尸點只能作一條直線與CP垂直，可判斷；對CD,以點。為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點P

坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算即可判斷.

【詳解】對于A,當(dāng)彳=〃時，AP=^AD+AA^=XADx,

所以點尸在線段AR上，

如圖，將三角形AD.D與矩形1ABCi沿CD,展成平面圖形如下所示，

則線段DQ即為QP+PD的最小值,

i—

237r

利用余弦定理可知QD=QD；+DD；-2C1D1-DD1-cos—=2+72,

所以cp=h+6，即cz+尸口的最小值為也+0，故A正確;

對于B,當(dāng)尸在2時，過點尸在平面A。2A內(nèi)只可以作一條直線與CP垂直，故B錯誤;

對于C,以。為原點，分別以ZM,DC,OR為無軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),￡(0,1,1),A(l,0,0),2(1,1,0),P(x,0,z),得QP=(x,-1,z—1),AD=(-1,0,0),

囪fa

廠訶網(wǎng)一行:

整理得f-(z-l)2=l,為雙曲線方程，故C正確.

對于D,當(dāng);1=1時，AP=AD+〃AAin￡?P=〃A4i,故點尸在線段上運動,

正方體經(jīng)過點A、尸、G的截面為平行四邊形A尸GH,

以。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

9

則a（i,o,。）,q（0,1,1）,A（I，。1），尸（0,0,4），

所以尸￡=（0,1,1-〃），AQ=（-1,1,1）,PG-Ag=2-〃，

pq=Ji+（i一〃）2,|AC|=A/3,

所以點P到直線AG的距離為1=

于是當(dāng)〃=；時41M=走，PAG的面積取最小值，此時截面面積為變x^=逅；

2222

當(dāng)〃=0或1時4Mx=,，PAC1的面積取最大值，此時截面面積為9、出=夜，

所以正方體經(jīng)過點A、P、G的截面面積的取值范圍為］乎，應(yīng)，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認(rèn)知，其中更多涉

及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡（定義），要么

通過計算（建系）求出具體的軌跡表達(dá)式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有

四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.

12.280

【分析】先由二項式系數(shù)和為128,求出〃，再求出［工-9］展開式的通項，令7-1廠=1,即可得出

答案.

【詳解】hx-4=］展開式的二項式系數(shù)之和為2"=128,解得：n=7,

r/\r7---V

I展開式的通項為：&|=G（2XT7r

所以卜一2=C；-2-(-l)%2

3.

令7-]r=1,解得：r=4,

所以展開式中x的系數(shù)為：C:23（-1）4=35x8=280.

故答案為：280.

10

35725

13.x=-l^y=--x+-^y=--x---(寫出一條即可)

442424

【分析】由圓的弦長公式求出45=2亞=F，再利用三角形面積公式求出面積最大時的d=l，然后由

圓心到直線AB的距離分別等于半徑列方程組，解出即可.

【詳解】

設(shè)圓C1的圓心0(0,0),半徑「后；圓C?的圓心G(3,4),半徑4=4；

設(shè)。到直線AB的距離為d,則4?=2,2-/,Q＜d＜也,

14222

貝JSAOB=^AB-d=d^2-d-=yj-d+2,d=(^-1)+1,

所以當(dāng)d=l時，A08的面積最大，

當(dāng)直線4B的斜率不存在時，x=-1滿足題意，

當(dāng)直線A8的斜率存在時，設(shè)AB：y=kx+m,

同

①

則由題意可得

3^+m-4|

V?TT

化簡可得|3左+加一4|二|4兩,

即3左一3〃z=4或3左+5m=4,

I」k=i

代入①可解得，,4或＜

25

m=—m=---

I4

所以滿足條件的切線方程為x=T或y=-3+］5或y7■尤-。三5，

442424

故答案為：*=一1或丁=一3=工+】5或＞=三7尤一§25.(寫出一條即可)

442424

14.-4

【分析】依題意存在xe(O,l)使得(x-2)e，+lnxNx+6,參變分離可得(x—2聲+lnx—xM,令

F(x)=(x-2)e"+lnx-x,xe(0,l),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出尸⑴而,則bWP(x)1mx,即可

求出6的最大整數(shù).

11

【詳解】依題意對任意a￡(-℃」］,>x>OWg(x)=ax+b<x+b,

因為存在xG(0,1)使得不等式“X”g(%)成立,

所以存在無￡(0,1)使得(％-2)e"+\nx>x+b,即(x-2)ex+lnx-x>Z?,

令產(chǎn)(x)=(x-2)e"+lnx-x,(0,1),

則/(x)=(x-l)e'+：-l=(x-l)卜一J,

令m(x)=e*-Lxe(O,I),則見x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

<m(l)=e-l>0,mQ^|=eI-2<0,

所以玉使得相(%o)=e"，，=。，即e&=，，x0=-lnx0,

所以當(dāng)0<%<%0時/(x)>0，當(dāng)％o<%<1時方'(x)<0，

所以廠(%)在(0,%。)上單調(diào)遞增，在(%。,1)上單調(diào)遞減,

x-2(1'

所以b(x)max=產(chǎn)(%。)=(%—2)e"+ln%—/=」----2X0=1-2X0+—,

%o\xoJ

因為所以毛+Je(2,3),

(1、

所以凡無心=尸1)=1一2x0+-e(-4,-3),

kx0J

依題意6WF(x)1mx,又b為整數(shù)，所以6W-4,所以》的最大值為-4.

故答案為：—4

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為存在xe(O,l)使得(x-2)e'+lnx2x+b,即

15.(1)證明見解析

⑵…+［』

【分析】(1)根據(jù)題意得冊+「“”=2進(jìn)而證得""「"向=-；,即可證得數(shù)列｛%+「4｝是等比數(shù)歹！J；

aaaa3

n+l-n+2n+l-n

2

(2)根據(jù)題意，求得出-％=4,求得““一4_=4［一gj2,結(jié)合累加法，得至|J〃22時，an=4+(-^\,

12

進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式.

【詳解】⑴解：由題意得=2所以3??=2??+a,可得3G?-3a=a-a,

aa+2+1n+2n+inn+x

n+\~n+2

1

又由%—qW。，所以——^=--

aa

n+l-?3

所以數(shù)列｛〃「4｝是首項為%-%，公比為一;的等比數(shù)列.

(2)解：因為6=1,%=5,所以%—%=4,

因為數(shù)列是公比為一;的等比數(shù)列,所以〃22時,

由累加法可得“22時,

經(jīng)檢驗,4=1滿足上式，所以數(shù)列｛〃,｝的通項公式為=4+

16.(1)答案見解析，理由見解析

(2)60°

【分析】(1)取A8的中點G,連接CG,PG,即可說明CG〃4D,則/PCG(或其補角)為異面直線

AD與PC所成的角，分NPCG=45。和/PCG=135。兩種情況討論，利用線面垂直的判定定理證明即可;

(2)以G為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E?,2,0),求出平面BEF的法向量，利用空間向量法求

出線面角的正弦值，即可求出線面角的最大值.

【詳解】(1)取的中點G,連接CG,PG,

因為AB〃DC,AD=DC=-AB=2,所以AG=OC且AG〃DC,

2

所以四邊形AGCD為平行四邊形，

所以CG〃AD,所以/PCG(或其補角)為異面直線AO與PC所成的角,

①當(dāng)/PCG=45°時，在,PCG中，PC=2近,CG=2,

由余弦定理可矢口PG=j2?+(2虎『一2x2x2夜x曰=2，

13

所以CG2+PG2=PC2,所以CGLPG,所以ADLPG,

又ABPG=G,AB,PGu平面P4B,

所以AD_L平面24B,又PBu平面R4B,所以AZ）_LPB.

②當(dāng)/PCG=135。，假設(shè)AD_LPB,則由①有"＞_L平面R4B,

因為PGu平面P4B,所以AT＞，PG,CG1PG,

這與/PCG=135。相矛盾，故此時AO與PB不垂直.

綜上所述，當(dāng)/PCG=45。時，ADA.PB；當(dāng)/PCG=135。時，AD與尸3不垂直.

（2）由PB=PA=20，點G是AB中點，可得PGLAB,

從而由置=；48=2可得依=2,

又GC=AD=2,PC=2。

所以GC?+GP2=8=尸。2,即尸G_LGC,

因為AD2AB,由（1）有GC//AD,

所以GBLGC,

所以G3,GC,G尸兩兩互相垂直，

故可以G為坐標(biāo)原點，GB,GC,GP分別為x軸，,軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

故4（-2,0,0）,5（2,0,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,2）,AC=（2,2,0）.

n-BE=0,

因為EFI/PC,設(shè)平面班戶的法向量為〃=（x,y,z）,則有V

n-PC=0,

設(shè)E（r,2,o）,則成=（/一2,2,0）,又PC=（O,2,-2）,所以有＜

令x=2,則y=z=2一,故平面BEF的一個法向量為〃=（2,2-f,2T）,

AC.77

設(shè)直線AC與平面3跖所成的角為，，則Sine=cosAC,〃=

,?AC,"

（

”4]_"4f

25,2產(chǎn)-8f+122,產(chǎn)-4/+62t2-4t+6

令r-4=s,貝！lsine=，M,s2

2V2+45+6

當(dāng)s=0時，sin8=0；

14

11

當(dāng)SHO時,

(當(dāng)且僅當(dāng)s=—3,f=l時取“=").又0”又V90°,所以0°46V60°.

綜上所述，直線AC與平面BEF所成角的最大值為60。.

12

17.(1)(i)—?(ii)y

(2)(i)|；(ii)選擇交換，理由見解析

【分析】(1)不放回取球可以用條件概率公式的變式公式來計算，即：P(A5)=P(A)P(B|A),第2次

取到紅球可由兩互斥事件計算得到，即尸(4)=尸(44)+尸(片人)；

(2)條件概率公式:尸(B|A)=尸(“'),其中有一個球為紅球，又等價轉(zhuǎn)化到對立事件來求概率，即可

P(A)

求出結(jié)果，對于是否交換，只需要比較兩種情形的概率就可以得到判斷.

【詳解】(1)記事件A,(i=l,2,3,4,5)為第i次取到紅球，事件(7=1,2,3,4,5)為第i次取到白球.

o11

(i)前兩次均取到紅球即為事件A4,P(A4)=^(A)^(A|4)=^X-=—.

(ii)尸(4)=尸(A4+44)=P(A4)+P(44)=P(44)+P(A|4)尸(4)=歷+二'==

(2)(i)事件：其中有一個球為紅球的“對立事件”為：兩個球均為白球，即為事件為82，

P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=-X-=-)

1

W1

所以在一個球為紅球的前提下另一個球也為紅球的概率尸=丁4黑工-

77-

1-尸(修制W

(ii)若不換：在取到的一個球為紅球的前提下取到的另一個球也為紅球的概率記為耳=；;

若換：換后取到紅球的概率記為￡=gxO+：xg=m；

由于￡＜乙，所以交換后摸到紅球的概率更大，選擇交換.

18.(l)x2-^=l⑵(i)證明見解析；(ii)晅

431

【分析】(1)由雙曲線的定義求解即可；

2

222

(2)(i)設(shè)直線腦V：m(x-l)+ny=l,x=l^nT^4(x-l)+8(x-l)-y=0,兩式聯(lián)立,

設(shè)左=*,可知*&是方程左2-8成-(8加+4)=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案.

15

（五）設(shè)直線A"：y=K（x-1）與>=-聯(lián)立求出臺,同理求出％,由此表示出忸q,由基本不等式

求解即可.

【詳解】⑴因為|尸耳|一|尸閭|=2<|可段,

所以根據(jù)雙曲線的定義可知點尸的軌跡為以F?為焦點，實軸長為2的雙曲線,

2

由2a=2,c=V5,得。=1,b2=c2-a2=4,所以C的方程為V-21=1.

4

(2)(i)設(shè)直線MZV：根(％-1)+羽=1(m2+n20)

因為直線過定點（3,-1）,所以=

-.2

/_?=1變形可得4[(x一1)+1]-/=4,即4(x—1)+8(x-l)-/=0

整理得(8m+4)(%—1)2+8n(x-l)y-y2=0(*)

設(shè)左二―貝！?。?）式除以（4—1）8m+4+Snk—k2=0

k=8n

此時左，網(wǎng)是方程左2-8/加-（8機+4）=0的兩根，所以2

=-8m-4，

所以2左/a+K+左2=—16冽-8+8〃二一16,得證.

y=k^x-i)

/二一

(ii)設(shè)直線AM：y=kl(x-l)f由＜1,可得

y=——xK+l;

22

葭

所以忸。=乎1T7155

H--------------

k,+-313131

22

231一1土四時取等號,故忸。的最小值為運.

當(dāng)且僅當(dāng)［左2+g亍，即e=

231

16

【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)直線AM：y=%(x-l)與y=聯(lián)立求出乙,同理求出％,由此表示出忸。，

由基本不等式求解即可.

(1V1A(1>

19.⑴〃(68)=0,//(985)=1(2)(i)證明見解析；(ii)1一一1一一…1一一

I△人Pi)IPk)

【分析】(1)由68=22x17,985=197x5,根據(jù)所給定義計算可得；

(2)(i)依題意只考慮"，必，…，中的若干個數(shù)的乘積構(gòu)成的因數(shù)，從七個質(zhì)數(shù)中任選i?=l,2,…,左)

個數(shù)的乘積一共有C：種結(jié)果，再由組合數(shù)公式計算可得；

(ii)由(i)分析可知，因此w=…式的所有因數(shù)除1之外，只考慮A，P2,P&中的若干

個數(shù)的乘積構(gòu)成的因數(shù)，即可推導(dǎo)出丑=1-工，最后利用累乘法計算可得.

%Pk

【詳解】⑴因為68=22x17,因為2的指數(shù)2>1,所以〃(68)=0；

又985=197x5,易知％=2,A=197,p2=5,苒=1,r2=l,

所以〃(985)=(-1)2=1；

(2)(i)%[=1,2,…，㈤的因數(shù)中如有平方數(shù)，根據(jù)莫比烏斯函數(shù)的定義，〃(a,)=0,