2024年山東省泰安市新泰市中考數(shù)學三模試卷

2024年山東省泰安市新泰市中考數(shù)學三模試卷

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出

來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）

1.（4分）下列各數(shù)中最小的數(shù)是（)

A.-nB.-3C.-V5D.0

2.(4分)下列運算結(jié)果正確的是()

A.=B.(-3=-a3b6

C.(2a-3b)2=4片-9b2D.(4a2+2a)+2。=2片

3.（4分）下列圖形是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的是（）

4.（4分）如圖，直線a〃6,△48C的頂點C在直線6上，交/C于點尸，若/1=150°,則/2的度數(shù)

是（）

5.（4分）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學記數(shù)法表示

為（）

A.7義10-9B.7X10-8C.0.7X10-9D.0.7X10-8

6.（4分）如圖，3。是OO的直徑，點AB=AD-AC交BD于點、G.若//G3=114°,則N/OC的

度數(shù)為（)

第1頁（共30頁）

D

B

A.76°B.69°C.56°D.66°

7.（4分）如圖是泰安市2024年3月上旬的每天氣溫繪成的折線統(tǒng)計圖，則下列四個結(jié)論:

①3月上旬某天最大溫差為9℃；

②3月上旬最高氣溫的眾數(shù)是5；

③3月上旬最低氣溫平均數(shù)是2.8℃；

④3月上旬最高氣溫的方差小于最低氣溫的方差.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

OI2345678910日期（日）

A.1B.2C.3D.4

8.（4分）明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀；七

兩分之多四兩，如果每人分七兩，則剩余四兩，則還差八兩，問有多少人（注：明代當時1斤=16兩,

故有“半斤八兩”這個成語）.設有x人，銀子有y兩（）

A（7x=y-4口（7x=y+4

A.」D.」

（9x=y+8（9x=y-8

zz

x寫-4x=y+4

C.<D.<

x=+8x=y-8

9.（4分）如圖，在△NBC中，NBAC=90°,以NC長為半徑作弧交8C于點。，再分別以點C,以大于

▲■CD的長為半徑作弧，作射線/尸交于點E,若NC=3,連接4D,貝！IS&IBD=（）

2

第2頁（共30頁）

A.絲B.HC.絲D.^L

552515

10.（4分）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)＞=機，+外的圖象可能是（）

11.（4分）如圖，正方形/BCD中，E是上一點，點/的對應點是點尸，直線4F與DE交于點H,

連接8G,下列說法：

①DH=GH；

②N/G3=45。；

③若連接CG,則CG1AG；

④若正方形邊長為2,￡為的中點，則匠

5

其中正確的個數(shù)是（）

第3頁（共30頁）

12.（4分）如圖，矩形48CD,4B=2,AD=2百，尸為邊2C上的動點，BF=24E,作BH_LEF于H點、,

連接則線段C"的最小值為（）

A.2B.2C.2^3-2D.2A/6-2

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）

13.（4分）已知關于x的一元二次方程依2一（4左-1）x+4左-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)左的取

值范圍是.

14.（4分）如圖，在Rt448C中，ZACB=90°,以。為圓心，為半徑的圓與48相交于點。，且CD

—AC.若ZC=4,CE=2.

15.（4分）如圖所示，某數(shù)學興趣小組利用無人機測大樓的高度C,無人機在空中點尸處，點N處俯角為

60°,樓頂C點處的俯角為30°（點42,GP在同一平面內(nèi)），則大樓的高度3C=米.（結(jié)

果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：加比1.732）.

第4頁（共30頁）

p

宮

16.（4分）如圖，已知菱形/BCD,連接NC,NC=6,點尸在上，連接￡RDE,則?！?尸￡的最小

17.（4分）如圖，在矩形/BCD中，以點。為圓心，以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨

機取一點，若48=1_______________________

18.（4分）細心觀察下面圖形，其中S,表示圖中第"個三角形的面積，認真分析各式：

0A山（71）2+12=2,S尸率OA|=12+（V2）2=3-S2=~

0A^=l2+（V3）2=4So=—=……若一個三角形的面積是巾，則說明這是第________個三角形.

432

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

19.（10分）（1）計算：-l2-2sin60°+||+T-（2）2;

第5頁（共30頁）

2

（2）化簡：（x-l+史+工^

'Xx+2，x+2

20.（11分）某校為了解七、八年級學生對泰山文化的了解程度，組織了一次泰山文化知識測試，七、八

年級各抽取10名學生參加比賽（百分制）進行整理、描述和分析（成績用x（分）表示）（/：80Wx<

85,B-,85WxV90,C：90<x<95,D95WxW100）.下面給出了部分信息:

七年級抽取學生八年級抽取學生

測試成績扇形統(tǒng)計圖測試成績條形統(tǒng)計圖

人數(shù)

5

4

40%/\3

2

D

1

0

CD等級

七年級參賽的學生C等級的成績?yōu)椋?2、92、93、94

八年級參賽的學生。等級的成績?yōu)椋?5、95、95、97、100

七八年級抽取的學生測試成績統(tǒng)計表：

班級平均分中位數(shù)眾數(shù)

七年級92a92

八年級9294b

請根據(jù)相關信息，回答以下問題：

（1）填空：a=,b=；

（2）七年級參賽學生成績扇形圖中。等級的圓心角度數(shù)是；

（3）在這次測試中，七年級學生小明與八年級學生小亮的成績都是93分，于是小明說：“我在七年級

參賽小隊的名次高于小亮在八年級參賽小隊的名次."你同意小明的說法嗎？并說明理由.

（4）小明和小紅各自打算隨機選擇周日的上午、下午或者晚上去泰山景區(qū)游玩.求他們兩人中至少有

一人選擇晚上游玩的概率.

21.（11分）如圖，一次函數(shù)y=ax+6（aWO）的圖象與反比例函數(shù)y=X"WO）,B,且該一次函數(shù)的圖

x

象與y軸正半軸交于點C,過N,垂足分別為￡,D,且&BOD=2.已知/（〃，1）,AE=4BD.

（1）填空：n=；k=；

（2）求3點的坐標和一次函數(shù)的解析式；

（3）將直線N5向下平移％（m>0）個單位，使它與反比例函數(shù)圖象有唯一交點

第6頁（共30頁）

22.（10分）2024年3月14日是第五個“國際數(shù)學日”，某校在今年“國際數(shù)學日”舉行了數(shù)學“最強大

腦”競賽活動，購買了一批鋼筆和自動鉛筆作為獎品.在前期詢價時，鋼筆的價格比自動鉛筆貴60%,

且花200元購買的自動鉛筆比花240元購買的鋼筆多10支.

（1）求前期電話詢問時鋼筆和自動鉛筆的單價分別為多少？

（2）前往文具店購買時，恰逢商家對價格進行了調(diào)整：自動鉛筆比之前詢問時漲價20%,而鋼筆則按

之前詢問價格的9折出售.若學校最終購買了鋼筆和自動鉛筆共200支，則學校最多購買了多少支鋼筆

作為獎品？

23.（11分）如圖1,在正方形/BCD中，E為對角線/C上一點（AE>CE）,DE.

（1）求證：BE=DE；

（2）如圖2,過點E作跖，/C交3c于點尸，延長3c至點G,連接DG.證明DG=&BE-

圖1圖2

24.（11分）已知：如圖，在菱形/BCD中，點E是邊DC上的任意一點（不與點。、。重合），過點￡作

EG〃BC交BD于■點、G.

（1）問題探究：求證：DF1=FG'BFy

（2）遷移運用：當/E_LZ>C時，求證：BD'DF=2.AD'DE.

第7頁（共30頁）

A

BC

25.（14分）如圖，在平面直角坐標系中，直線＞=-工，與y軸交點C,拋物線y=-L2+H+C經(jīng)過3,

24

C兩點，與x軸交于另一點/.如圖1

（1）求拋物線的解析式；

（2）當△PCM是直角三角形時，求P點坐標；

（3）若點P是直線上方拋物線上一動點（不與2、。重合），過點P作/軸的平行線交直線2C于

點作尸NL8C于點N,請在x軸上找到一點°,使△尸0c的周長最小

第8頁（共30頁）

2024年山東省泰安市新泰市中考數(shù)學三模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出

來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）

1.（4分）下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）

A.-TTB.-3C.-V5D.0

【解答】解：根據(jù)實數(shù)比較大小的方法，可得

-TT<-3<-V5<4,

...各數(shù)中最小的數(shù)是-TT.

故選：A.

2.（4分）下列運算結(jié)果正確的是（）

A.a2+a4=a6B.（-ab2）-a3b6

C.（2。-36）2=4/-9廬D.（4/+2a）^2a=2a2

【解答】解：/、片與04不是同類項，所以原計算錯誤；

B、（-砧8）3=-f序，原計算正確，故符合題意；

。、（2a-36）5—4a2-12ab+3b2,原計算錯誤，故不符合題意；

D、（4.6+2a）4-2a=8<2+1,原計算錯誤；

故選：B.

【解答】解：/、是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形;

B,既是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C、既是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

第9頁（共30頁）

。、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

故選：A.

4.（4分）如圖，直線a〃從△48C的頂點C在直線6上，交/C于點尸，若/1=150°,則/2的度數(shù)

是（）

【解答】解：過2作直線c〃直線a,直線c交/C于點D,

VZ1=15O°,

：.ZABD=3Q°,

,：/4BC=48°,

：.ZCBD=]S°,

:直線a〃4

直線6〃c,

.,./5=NC3r>=18°,

故選：A.

5.（4分）華為麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工藝制程，數(shù)0.000000007用科學記數(shù)法表示

為（）

A.7X09B.7X10-8C.0.7X10-9D.0.7X10-8

【解答】解：數(shù)0.000000007用科學記數(shù)法表示為7X10-2.

第10頁（共30頁）

故選：A.

6.（4分）如圖，3。是。。的直徑，點A,AB=AD，/C交8。于點G.若//GB=114°,則N/DC的

度數(shù)為（）

B

【解答】解：是。。的直徑,

，4840=90°,

AB=AD)

；.NB=NADB=45°，

：.ZC=ZB=45°,

：/￡>GC=//GB=114°，

：.ZBDC=\80°-114°-45°=21°,

：.N4DC=NADB+/BDC=66°，

故選：D.

7.（4分）如圖是泰安市2024年3月上旬的每天氣溫繪成的折線統(tǒng)計圖,則下列四個結(jié)論:

①3月上旬某天最大溫差為9℃；

②3月上旬最高氣溫的眾數(shù)是5；

③3月上旬最低氣溫平均數(shù)是2.8℃；

④3月上旬最高氣溫的方差小于最低氣溫的方差.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）

第11頁（共30頁）

O12345678910期（日）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由圖中信息可知，3月1日，5月10日，最大溫差不是9℃；

由圖中信息可知，3月上旬最高氣溫的眾數(shù)是4和7；

3月上旬最低氣溫平均數(shù)是-“X（5+5+2+2+3+7+3+1+7+2）=2.2℃,故③符合題意；

10

由圖中信息可知，3月上旬最高氣溫比最低氣溫的波動性大，故④不符合題意；

故正確結(jié)論的個數(shù)是1.

故選：A.

8.（4分）明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀；七

兩分之多四兩，如果每人分七兩，則剩余四兩，則還差八兩，問有多少人（注：明代當時1斤=16兩,

故有“半斤八兩”這個成語）.設有x人，銀子有y兩（）

A（7x=y-4口（7x=y+4

A.1D.J

I9x=y+8[9x=y-8

zz

x寫-4x=y+4

C.<D.<

【解答】解：?.?如果每人分七兩，則剩余四兩，

.\7x=y-4；

???如果每人分九兩，則還差八兩，

3x=y+8.

根據(jù)題意可列出方程組[7x=y-6

[9x=y+8

故選：A.

9.（4分）如圖，在△NBC中，ZBAC=90°,以NC長為半徑作弧交8C于點。，再分別以點C,以大于

?1。的長為半徑作弧，作射線/尸交8c于點E,若/C=3,連接貝IJS&IBD=（）

2

第12頁（共30頁）

552515

【解答】解：由作圖過程可知：4萬垂直平分C。，

???CE=DE,

VZBAC=90°,4B=4,

BC=VAB2+AC5=VS2+82=5'

?：LBC-AE=X,

24

.,.AE=^-,

5

：.BD=BC-2CE=5-

45

:&ABD=Lx^,^=—X—><—=—.

265425

故選：c.

10.（4分）一次函數(shù)>=冽x+〃的圖象如圖所示，則二次函數(shù)>=冽/+內(nèi)的圖象可能是（）

第13頁（共30頁）

【解答】解：由一次函數(shù)y=mx+〃的圖象可得：m<0,n>0,

所以，二次函數(shù)y=mx5+〃x的圖象開口向下，對稱軸為直線x=-2L.3正確，

2m

故選：B.

11.（4分）如圖，正方形/BCD中，E是48上一點，點/的對應點是點F，直線AF與DE交于點、H,

連接8G,下列說法：

①DH=GH；

②N/G3=45。；

③若連接CG,貝ijCG1AG；

④若正方形邊長為2,￡為的中點，則HG?&.

5

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：根據(jù)翻折可知/40月=/即￡點4和點尸關于。E對稱,

ZAHD=90°.

?:DG是NCDF的平分線，

???ZFDG=ZCDG.

???四邊形43C。是正方形，

ZADC=ZDAE=ZABC=90°,AB=AD,

：.ZHDG=45°,

AZDGH=ZHDG=45°,

：.DH=GH.故①正確；

第14頁（共30頁）

如圖所示，連接3D,

:四邊形是正方形，

/.AABD=ZAGD=ZADB=45°,

；./、D、G、3四點共圓，

：.ZAGB=ZADB=45°,故②正確；

如圖所示，連接/C,

VZACB=ZAGB=45°,

；./、B、G、。四點共圓，

...//GC=NA8C=90°,

：.CG±AG,故③正確；

:正方形/BCD的邊長為2,點￡是N3的中點，

?'-AD=AB=2.AE=-|-AB=1,

在RtA4DE中，

由勾股定理得DEWAD3+AE2=Z，

7

SAAnF=T-AD-AE=4-DE-AH7-X6Xl=-^xV5AH-

JR匚/JN0

AH-^-DH=VAD2-AH2

bo

???哈2媚=粵口故④正確；

，正確的有4個，

故選：D.

12.（4分）如圖，矩形48。，AB=2,AD=2?，/為邊8C上的動點，BF=2AE,作3"，所于，點,

連接CH.則線段CHr的最小值為（）

第15頁（共30頁）

A.3B.2C.273-2D.2V6-2

2

【解答】解：延長氏4、交于K,以N為圓心4g長為半徑作圓，

:四邊形/2C。是矩形，

C.AE//BF,BC=AD=M，

：.△KAEs^KBF,

：.AK；KB=AE：BF,

；BF=2AE,

：.AK=KB,

:.AK=AB=2,

.?.BK是圓的直徑，

■:/BHK=90°,

在圓上，

.?.當/、H、C共線時，最小值為NC-/8,

在Rt^/DC中，由勾股定理得：盤=4024＜：口2=7,

.?.CH的最小值=4-2=5,

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分）

13.（4分）已知關于x的一元二次方程依2一（4后-1）x+4后-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)人的取

值范圍是左＞一1~且左W0

4

第16頁（共30頁）

【解答】解：?.?一元二次方程自2-（4左-5）x+44-3=2有兩個不相等的實數(shù)根,

.（k00

’（4k-8）2-4k（7k-3）>o'

解得k>-工且/力0.

4

故答案為：k>-三且%#0.

4

14.（4分）如圖，在中，ZACB=90°,以。為圓心，08為半徑的圓與相交于點。，且C。

【解答】解：連接。。，則?！?gt;=03,

：.ZODB=ZB,

*：CD=AC,

：.ZCDA=ZA,

VZACB=90°,

/.ZODB+ZCDA=ZB+ZA=90°,

.\ZODC=180°-CZODB+ZCDA）=90°,

：.OD2+CD2=OCS,

\'CD=AC=4,CE=2,

：.OC=OE+3>=OD+2,

:.OD1+41=（or>+2）6,

解得OD=3,

.?.圓。半徑的長為3,

故答案為：7.

第17頁（共30頁）

A

15.（4分）如圖所示，某數(shù)學興趣小組利用無人機測大樓的高度C,無人機在空中點尸處，點/處俯角為

60°,樓頂C點處的俯角為30°（點、A,B,C,P在同一平面內(nèi)），則大樓的高度（C=69.3米.（結(jié)

果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：73^1.732）.

P

育

【解答】解：如圖所示:

P

宮

￡□_

口

□口

呂

口

口

口

口B

過尸作PHA.AB于H,過C作CQ1PH于Q,

則四邊形C0汨是矩形,

：.QH=BC,BH=CQ,

由題意可得：4P=100米，ZPAH=60°,/2=80米，

：.PH=APsm60°=100X2/1_=5078>AH^APcos6Q°=50（米）,

2

：.CQ=BH=S0-50=30（米），

：.PQ=CQ'ian30°=10愿（米），

：.BC=QH=50如-10西煦心69.3（米）,

第18頁（共30頁）

，大樓的高度BC約為69.2米.

故答案為:69.3.

16.（4分）如圖，已知菱形48CD,連接NC,NC=6,點尸在上，連接昉、DE,則。￡+尸￡的最小

是菱形ABCD的對角線，

：.BE=DE,

：.DE+FE=BE+FE^BF^BH,

J.DE+FE的最小值是BH的長，

連接AD交/C于點0,

:四邊形/BCD是菱形，ZABC=120°,

：.BD±AC,N4B0=/CBO=60°,

：.0B=―=V3>BC=—2/^,

tan60sin60

：.BD=2OB=

?S菱形45CZ）=BC?BH=LC?BD,

2

Q

■fX6X2V3

BH=￡-----------------=3,

2V2

：.DE+FE的最小值是3.

故答案為：6.

17.（4分）如圖，在矩形/2C。中，以點。為圓心，以點。為圓心，CD長為半徑畫弧，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨

第19頁（共30頁）

【解答】解：在矩形48c〃中，CD=CE=1,

??.〃￡=、F+]2="

/ADC=/BCD=9Q°,AB=DC=1,

:.AD=BC=近,ZADE=45°,

2

：.S2=^-jrX8-AxiXl=2L-A,

4252

V—45兀?（加）2—兀

3604

...陰影部分的面積為：—-2L+1=1,

8452

矩形48CD的面積為：BCXCD=a，

...改點取自陰影部分的概率為：?=返_,

V64

故答案為：

4

18.(4分)細心觀察下面圖形，其中S,表示圖中第"個三角形的面積，認真分析各式：

0A?=(V1)2+12=2JS1=-OA3=12+(V2)2=3>S2=~

若一個三角形的面積是小，則說明這是第28個三角形.

第20頁(共30頁)

【解答】解：由S1=YL,S2=近，$3=近……

734

得S尸在，

2

由一個三角形的面積是小，

得=即n=28.

2

故答案為：28.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

19.(10分)(1)計算：-l2-2sin60°+|1-V3|+VZ-

2

(2)化簡：(片1+史3)小三二.

“1x+2)x+2

【解答】解：(1)-l2-2sin60°+|1-V3|+V4-(^-)7

=-1-2X運+我-7+2-4

2

=-7-/3+V3-7+2-4

=-2；

2

(1x+6J-x+3

_[(x-1)(x+2)+x+3].x+2

x+8x+2(x+1)(x-1)

_(J+x-2.x+7)?x+2

x+2x+2(x+2)(x-1)

2

=x+4x+l?x+5

x+2(x+1)(x-1)

=(X+7)2.X+4

x+2(x+1)(x-l)

=x+6

x-1

20.(11分)某校為了解七、八年級學生對泰山文化的了解程度，組織了一次泰山文化知識測試，七、八

年級各抽取10名學生參加比賽（百分制）進行整理、描述和分析（成績用x（分）表示）（出80Wx<

85,B；85Wx<90,C：90Wx<95,D95WxW100）.下面給出了部分信息：

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七年級抽取學生八年級抽取學生

測試成績扇形統(tǒng)計圖測試成績條形統(tǒng)計圖

七年級參賽的學生C等級的成績?yōu)椋?2、92、93、94

八年級參賽的學生。等級的成績?yōu)椋?5、95、95、97>100

七八年級抽取的學生測試成績統(tǒng)計表：

班級平均分中位數(shù)眾數(shù)

七年級92a92

八年級9294b

請根據(jù)相關信息，回答以下問題：

（1）填空：a=92.5,b=95；

（2）七年級參賽學生成績扇形圖中。等級的圓心角度數(shù)是108°；

（3）在這次測試中，七年級學生小明與八年級學生小亮的成績都是93分，于是小明說：“我在七年級

參賽小隊的名次高于小亮在八年級參賽小隊的名次.”你同意小明的說法嗎？并說明理由.

（4）小明和小紅各自打算隨機選擇周日的上午、下午或者晚上去泰山景區(qū)游玩.求他們兩人中至少有

一人選擇晚上游玩的概率.

【解答】解：（1）七年級成績N等級人數(shù)為10X10%=l（人），8等級人數(shù)為10X20%=2（人），

所以其成績第4、6個數(shù)分別為92,

則其成績的中位數(shù)（92+93）+2=92.8（分），

八年級成績中/等級人數(shù)為10-（1+2+4）=2（人），

則其成績中95出現(xiàn)次數(shù)最多，

所以八年級成績的眾數(shù)6=95分，

故答案為：92.5、93；

（2）七年級參賽學生成績扇形圖中。等級的圓心角度數(shù)是360°X（2-10%-20%-40%）=108°,

故答案為：108°；

（3）同意，理由如下：

???七年級參賽學生成績的中位數(shù)是92.5分，八年級學生成績的中位數(shù)是94分，

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???小明的成績93分在七年級參賽小隊中是前五名，在八年級參賽小隊中排名后五名.

，同意小明的說法.

（4）列表如下:

上午下午晚上

上午（上午，上午）（上午，下午）（上午，晚上）

下午（下午，上午）（下午，下午）（下午，晚上）

晚上（晚上，上午）（晚上，下午）（晚上，晚上）

共有9種等可能的結(jié)果.由表格可知，晚上），晚上），上午），下午），晚上），

...他們兩人中至少有一人選擇晚上游玩的概率為5.

9

21.（11分）如圖，一次函數(shù)y=ax+6（aWO）的圖象與反比例函數(shù)>=區(qū)（左WO）,B,且該一次函數(shù)的圖

x

象與y軸正半軸交于點C,過/,垂足分別為E,D,且&BOD=2.已知/AE=4BD.

（1）填空：n=4；k=4；

（2）求3點的坐標和一次函數(shù)的解析式；

（3）將直線N3向下平移〃？（%>0）個單位，使它與反比例函數(shù)圖象有唯一交點

2

???左=4,

...反比例函數(shù)解析式為：夕=生

X

???點4在反比例函數(shù)圖象上，

；.6=國

n

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?"=4,

故答案為：7,4；

(2)???點/(4,4),

；?4E=4,

9：AE=4BD,

：.BD=1,

...點8橫坐標為1,

..?點2在反比例函數(shù)圖象上，

:.點B(1,5),

■:一次函數(shù)y=ax+b(aWO)的圖象過點/，點2,

.(4=k+b

l6=4k+b

???解得產(chǎn)-1

lb=5

，解析式為：y=-x+5

(3)設直線48向下平移后的解析式為y=-x+5-7”，

(_7

聯(lián)立：yX

y=-x+5-iR

可得：/+Cm-8)x+4=0,

:一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象有唯一交點，

(m-5)2-16=0,

7〃=7或1.

22.(10分)2024年3月14日是第五個“國際數(shù)學日”，某校在今年“國際數(shù)學日”舉行了數(shù)學“最強大

腦”競賽活動，購買了一批鋼筆和自動鉛筆作為獎品.在前期詢價時，鋼筆的價格比自動鉛筆貴60%,

且花200元購買的自動鉛筆比花240元購買的鋼筆多10支.

(1)求前期電話詢問時鋼筆和自動鉛筆的單價分別為多少？

(2)前往文具店購買時，恰逢商家對價格進行了調(diào)整：自動鉛筆比之前詢問時漲價20%,而鋼筆則按

之前詢問價格的9折出售.若學校最終購買了鋼筆和自動鉛筆共200支，則學校最多購買了多少支鋼筆

作為獎品？

【解答】解：(1)設前期電話詢問時自動鉛筆的單價為x元，則鋼筆的單價為(1+60%)x元，

根據(jù)題意得：些=,240+io,

x(1+60%)x

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解得：x=2,

經(jīng)檢驗，x=5是所列方程的解,

，(1+60%)x=2.6X5=8,

答：前期電話詢問時鋼筆的單價為8元，自動鉛筆的單價為5元；

(2)設學校購買了y支鋼筆作為獎品，則購買了(200-y)支自動鉛筆，

根據(jù)題意得：2X(1+20%)(200-y)+8X7.9^1308,

解得：yW90,

答：學校最多購買了90支鋼筆作為獎品.

23.(11分)如圖1,在正方形/8CZ)中，E為對角線NC上一點(AE>CE),DE.

(1)求證：BE=DE；

(2)如圖2,過點E作成U/C交8c于點尸，延長3C至點G,連接。G.證明DG=J5BE-

圖1圖2

【解答】(1)證明：：四邊形/BCD是正方形,

：.BA=DA,ZBAE=ZDAE,

在和△￡>/￡中，

，AB=AD

<ZBAE=ZDAE,

LAE=AE

:.LBAE出ADAE(SAS),

圖1圖2

第25頁(共30頁)

(2)解：連接EG,

VZFCE=45°,NFEC=90°,

:?/CFE=NECF=45°,

:?EF=EC,/BFE=/GCE,

又?：BF=CG,

：.ABFE^AGCE(SAS),

:?BE=GE,/BEF=/GEC,

由(1)AEAB義AEAD,

：.BE=DE,/AEB=NAED,

：?DE=GE,

VZAEB+ZBEF=90°,

AZAED^ZGEC=90°,

:?NDEG=90°,

：.DE2+EG2=DG5,

：.2DE2=DG5,

?1?DG=V2BE.

24.(11分)已知：如圖，在菱形48。中，點￡是邊DC上的任意一點(不與點。、。重合)，過點￡作

EG〃BC交BD于點、G.

(1)問題探究：求證：DF2=FG'BF；

(2)遷移運用：當/E_LDC時，求證：BD?DF=2AD,DE.

【解答】證明：(1)?.?四邊形/BCD是菱形,

C.ED//AB,AD//BC,

AEFDsAAFB,

?DF_EF

"BF"AF'

,JEG//BC,AD//BC,

：.EG//AD,

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AEFGsdAFD,

???FG=EF,

DFAF

???DF~FG,

BFDF

:.DF2=FG-BF；

(2)連接/C交8。于點，，則如圖所示,

：.BD=2DH,

'JAELDC,

:./DEF=NDHC=90°,

:ZFDE=ZCDH,

：.