2025年高考數學復習題型突破訓練：等差數列（原卷版）

第01講等差數列

目錄

題型一：等差數列及其通項公式........................................1

題型二：等差中項....................................................2

題型三：等差數列下標和性質..........................................3

題型四：等差數列的函數特征.........................................4

角度1：等差數列的單調性.........................................4

角度2：等差數列中的最大（?。╉?................................5

題型五：等差數列的前〃項和..........................................6

題型六：等差數列的前〃項和性質......................................7

角度L等差數列片段和性質.......................................7

角度2：兩個等差數列前〃項和比的問題..............................8

題型七：等差數列的前〃項和的函數特性................................9

角度1：二次函數法求等差數列前〃項和的最值......................9

角度2：求等差數列前〃項和的最值...............................10

角度3：根據等差數列前〃項和最值求參數.........................11

題型一：等差數列及其通項公式

典型例題

例題1.（2023?湖南衡陽??？寄M預測）設等差數列包｝的前〃項和為S“，的=8,%=36,則滿足S.>a“

的正整數〃的最大值為（）

A.16B.15C.12D.8

例題2.（2023?北京豐臺?北京豐臺二中?？既＃┰O等差數列｛4｝的前“項和為S”.若q=2,S4=20,

貝！I;S.=.

例題3.（2023?全國?高二專題練習）已知數列｛%｝各項均為正數且滿足-5-1”,-2〃2+〃=0,數列

也｝滿足4=3,且%1=34+3"。求｛%｝，｛4｝的通項公式.

精練核心考點

1.（2023?福建廈門?廈門外國語學校校考模擬預測）已知等差數列｛%｝的前〃項和為5“，若\<凡，Sf,

Ss>S9,則符合題意的等差數列｛6｝的一個通項公式為?！?.

2.（2023春?河南?高二校聯(lián)考階段練習）數列｛%｝滿足g=2〃,S"為數列｛（｝的前”項和，貝I]

3.（2023?全國?高二專題練習）在數列｛%｝中％=4,7%+1-（〃+1）%=2/+2〃，.求證：數列｛工｝是等差

n

數列；

題型二：等差中項

典型例題

例題1.（2023?全國?高三對口高考）已知數列｛與｝是等差數列，數列｛勾｝是等比數列，其公比g>i,

且弓>0（i=l,2,3,…），若％=仇，au=bn,貝！j（）

A.a6=b6B.a6>b6

C.a6<b6D.0>%或

例題2.（2023春?北京?高二北京八中?？计谥校┰诘炔顢盗校?｝中，〃4+〃5+。6=3009則+。6的值

為（）

A.50B.100C.150D.200

例題3.（2023?廣西南寧?南寧二中校考模擬預測）在等差數列｛4｝中，若4+%+%+%+%=120,則

2a6~a9=1

精練核心考點

1.（2023?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考學業(yè)考試）已知｛%｝是公差不為0的等差數列，*是其前〃項和，若

%+5%=S8,則下列關系中下軍正確的是（）

A.Sg=S]oB.S9<HoC.Sg=S9D.Ss<S9

3

2.（2023?全國?高二專題練習）已知。>0,b>0,且L1：成等差數列，則為+/）的最小值為（）

a2b

A.4B.6C.9D.12

3.（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈九中校考期中）在等差數列｛與｝中，S”為｛與｝的前〃項和，%>0,<0，

則無法判斷正負的是（）

A.SnB.幾C.Sl3D.Sl4

14

4.（2023?廣西?統(tǒng)考一模）已知。>0,b>0,若。，2,6依次成等差數列，則一+丁的最小值為______

ab

題型三：等差數列下標和性質

典型例題

例題1.（2023?全國?校聯(lián)考二模）等差數列｛叫中，出+。4+%。+42=40.則前13項和幾=（）

A.133B.130C.125D.120

例題2.（2023?全國?高三對口高考）在等差數列｛%｝中，S,是其前,項和，若%+2%+%=60,則品

等于（）

A.195B.200C.205D.210

例題3.（2023?四川成都?樹德中學?？寄M預測）等差數列｛%｝中，%則｛%｝的前9項

和為（）

A.-180B.-90C.90D.180

精練核心考點

1.（2023春?高二課時練習）設｛%｝，他,｝都是等差數列，且%=25,4=75,出+%=100,則知+辦

()

A.0B.37C.100D.-37

1

2.（2023春?高二課時練習）如果等差數列｛4｝中，a3+a4+a5=12,那么用+?"---F%=（）

A.14B.12C.28D.36

3.（2023春?高二課時練習）已知數列｛%｝是等差數列，若4-〃9+。17=7,則〃3+%5等于（）

A.7B.14C.21D.7(n-l)

題型四：等差數列的函數特征

角度1:等差數列的單調性

典型例題

例題1.（2023?高二課時練習）已知等差數列｛與｝單調遞增且滿足%+%=6,則6的取值范圍是（）

A.（-℃,3）B.（3,6）C.（3,+oo）D.（6,+co）

例題2.（多選）（2023?全國?高三專題練習）設等差數列｛氏｝的前〃項和為S“，且滿足$2。>0,邑1<0，

則下列結論正確的是（）

A.數列｛氏｝為單增數列B.數列｛%｝為單減數列

C.對任意正整數〃，都有同同叫D.對任意正整數〃,都有舊性卬

例題3.（2023春?山東德州?高二統(tǒng)考期中）寫出一個同時具有下列性質①②的數列｛%｝的通項公式：

?a?,-na?(m>n,m,weN*)；②{%}單調遞增.

角度2：等差數列中的最大（?。╉?/p>

典型例題

例題1.（多選）（2023秋?湖南岳陽?高二統(tǒng)考期末）已知無窮等差數列｛%｝的前"項和為S.，4>0,

〃<0,貝！J（）

A.數列｛/｝單調遞減B.數列｛%｝沒有最小項

C.數列｛$,｝單調遞減D.數列阻｝有最大項

例題2.（多選）（2023春?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱德強學校?？茧A段練習）等差數列｛%,｝中，為

其前"項和，%=15,$5=%，則以下正確的是（）

=

A.d-1B.|^41=1"131

C.s”的最大值為S8D.使得y>0的最大整數〃=15

，、a,+a1

nL

例題3.（2023春?河南南陽?高二校聯(lián)考期中）已知正項等比數列6｝滿足條件。，嗎6=16,>-=-.

%+為3

⑴求｛叫的通項公式；

⑵設1=%的1an,求r的最大值.

題型四精練核心考點

1.（2023?北京海淀??？既＃┘褐炔顢盗校械墓顬閐,數列低｝滿足%也=l（〃eN*）,則"d>0"

是"｛“｝為遞減數歹『的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023春?河南洛陽?高二洛寧縣第一高級中學校考階段練習）已知無窮等差數列｛。“｝的前〃項和為

公差為d,若%>0,d<0,則不正確的（）

A.數列｛4｝單調遞減B.數列｛%｝沒有最小值

C.數列｛*｝單調遞減D.數列｛SJ有最大值

3.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝為等差數列，前〃項和為S"，貝1]"2$+]<2+名+2"是"數列｛邑｝

為單增數列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（多選）（2023秋?吉林?高二吉林一中?？计谀┮阎炔顢盗校鹓｝,前"項和為9<-1,

“2022

則下列結論正確的是（）

A.a2022>0B.S”的最大值為打23

C.卜“|的最小值為。2022D.邑044<。

5.（多選）（2023春?高二課時練習）等差數列｛%｝中，"〈跖國〉、，則下列命題中為真命題的是（）

A.公差d<0B.S9<S6

C.%是各項中最大的項D.S’是$“中最大的值

6.（多選）（2023春?江西上饒?高二校考階段練習）記等差數列｛g｝的前〃項和為S”.若g=I。，$5=$2,

則（）

A.B.&T0C.S“的最大值為30D.。"的最大值為15

7.（多選）（2023春?江西南昌?高二?？茧A段練習）公差為d的等差數列｛4｝的前〃項和為S“，若

邑儂<邑。如<邑儂，則下列選項正確的是（）

A.d<QB.%<0時，"的最小值為2022

C.S,有最大值D.S,>0時，"的最大值為4043

題型五：等差數列的前〃項和

典型例題

例題1.（2023春?四川廣安?高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）“中國剩余定理”又稱“孫子定

理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數”，原文如

下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關的問

題：被3除余2的正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列｛%｝,記數列｛%｝的前〃項和為S”，則

2S”+48,,日r在/、

7——的最小值為（）

n

A.20B.25C.—D.40

2

例題2.（2023春?北京海淀?高二北理工附中?？计谥校┮阎猄,是等差數列｛對｝的前〃項和，若僅當〃=5

時S,取到最小值，且I?51>14I.則滿足S“>0的〃的最小值為.

例題3.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模）已知各項均不為零的數列｛氏｝的前〃項和為S“，%=1,

2s,=44+1（〃eN*）.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若其V2023恒成立，求正整數人的最大值.

精練核心考點

1.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預測）已知等差數列｛與｝的首項為1,前"項和為S“，且對任

意〃w7,S〃<87,則（）

A.S13<0B.S14>0C.515<0D.S16>0

2.（2023?全國?高三專題練習）記S“為等差數列｛%｝的前〃項和，若%+%+3=10，5+3+4,+2=18,則

二鼠L=

n77+I

3.（2023春?高二課時練習）設等差數列｛助｝的前"項和為S",且鼠=-2￡+|=0,工+2=3,貝!.

題型六：等差數列的前〃項和性質

角度1：等差數列片段和性質

典型例題

例題1.（2023春?河北?高二校聯(lián)考階段練習）已知S”是等差數列｛%｝的前"項和，若邑。=15,幾=75,

貝！1打=（）

A.40B.45C.50D.55

例題2.（2023?全國?高二專題練習）在等差數列｛“〃｝中，其前〃項和為S〃，若與：07=6:1,則與：見=

（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

例題3.（2023春?高二課時練習）設等差數列包｝的前”項和為S"，若&=2,%=8,則S"=

角度2：兩個等差數列前〃項和比的問題

典型例題

例題1.（2023春?遼寧沈陽?高二沈陽二十中校考階段練習）兩個等差數列｛?！埃?｛4｝的前"項和分別

,,S,7〃+2

為s”和7；,已知酒=：Y，則,=______.

Tnn+5b]

例題2.（2023春?遼寧沈陽?高二遼寧省康平縣高級中學校聯(lián)考階段練習）設等差數列｛見｝,｛2｝的前〃

項和分別為，，T?,若*=則幺詈=（）

Tn3〃+12%

A1「7c11「22

A.-B.—C.—D.—

3236969

例題3.（2023春?江西南昌?高二南昌市鐵路第一中學?？茧A段練習）已知兩個等差數列｛。力和｛4｝的

A7幾+45a

前〃項和分別為4和4,且才=二丁，則使得廣為正偶數時，力的值是

A.1B.2C.5D.3或11

題型六精練核心考點

1.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預測）等差數列｛%｝的前”項和為S"，風=18,邑=3,則$6=（）

2127

A.9B.—C.12D.——

22

2.（2023春?河南南陽?高二校聯(lián)考期中）已知等差數列｛%｝,若。3+&+%=12,a4+a5+a6=18,則

。6+。7+。8=（）

A.30B.36C.24D.48

3.（2023春?湖北咸寧?高二鄂南高中校考階段練習）已知數列｛4｝的前〃項和為S“，且

〃〃+2=2%+1-?！ò?=20,520=10，則邑0=（）

A.0B.-10C.-20D.—30

S2n

4.（2023春?遼寧大連?高二校聯(lián)考期中）設等差數列｛%｝,｛4｝的前〃項和分別是S“，Tn,若寧=而行，

則上=（）

611

A.-B.—

517

C.--D.3

14

5.（多選）（2023春?高二課時練習）已知兩個等差數列｛%｝和抄“｝的前〃項和分別為S“和7；,且*=5詈,

則使得？為整數的正整數〃的值為（）

*

A.2B.3C.4D.14

6.（2023春?高二課時練習）已知S,,（分別是等差數列｛七｝,帆｝的前〃項和，且*=*,（〃eN*）,

bi+bxi綠+砥------

7.（2023春?河南關B州?高二河南省實驗中學?？计谥校┰O數列｛g｝,也,｝均為等差數列，它們的前〃項和分

別為邑,9,若今=黑，則冷—.

8.（2023春?高二課時練習）已知兩個等差數列｛%,｝和｛6,｝的前〃項和分別為S“，Tn,且今=5各，則

〃3_

&=----------

9.（2023春?高二課時練習）已知數列｛凡｝與｛〃｝均為等差數列，其前〃項和分別為斗與月，若去=普|,

T”3〃一1

則魯________;戶________.

bga

題型七：等差數列的前〃項和的函數特性

角度1:二次函數法求等差數列前〃項和的最值

典型例題

例題1.（2023春?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習）已知等差數列｛%｝的前〃項和為S“，滿足

$9-工=4,且4=-25,則當S,取得最小值時，〃的值為（）

A.4B.5C.6D.7

例題2.（多選）（2023春?遼寧沈陽?高二遼寧省康平縣高級中學校聯(lián)考階段練習）數列｛4｝是遞增的

等差數列，前〃項和為叢，滿足％=3%，則下列選項正確的是（）

A.<7>0B.%<0

C.當〃=4時，S,最小D.S,>0時，”的最小值為7

例題3.（2023春?江蘇南京?高二南京市秦淮中學校考階段練習）在①。7=1，②工=48,③%+%=-4

這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.

設等差數列｛%｝的前n項和為S“，S4=40,

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）求S”的最大值.

角度2：求等差數列前〃項和的最值

典型例題

例題1.（2023春?高二課時練習）已知數列｛%｝中，q=25,4%=4.“-7,若其前〃項和為S..則S”的最

大值為（）

A.15B.750C.—D.—

42

例題2.（2023春?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中）等差數列｛。"｝中，同|=|。9|，公差1<0,則使前〃項和S.

取得最大值的正整數〃的值是,使前〃項和S,>0的正整數"的最大值是.

例題3.（2023春廣東韶關福二?？茧A段練習）已知等差數列｛%｝的前〃〃項和為S,,若。2=8,%+%=2.

（1）求數列｛?！埃耐椆剑?/p>

（2）求S”的最大值及取得最大值時n的值.

角度3：根據等差數列前〃項和最值求參數

典型例題

例題1.（2023春?浙江?高二杭州市蕭山區(qū)第五高級中學校聯(lián)考期中）等差數列｛對｝的公差不為0,其

前〃和S“滿足邑4品，貝嚴+￡+%的取值范圍為（）

P2、3

A.B.uo^lj

一89一■910'

C.D.

9510To'TT

例題2.（2023?全國?高三專題練習）記數列｛4