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文檔簡介
2023公務員考試常用數(shù)學公式匯總(精髓版)
一、基礎代數(shù)公式
1.平方差公式:(a+b)X(a—b)=a2—b2
2.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
完全立方公式:(a+b)3=(a+b)(a2+ab+b2)
3.同底數(shù)幕相乘:amXan=am+n(m、n為正整數(shù),aWO)
同底數(shù)幕相除:am^an=am-n(m、n為正整數(shù),aWO)
a0=1(aWO)
a-p=—(aWO,p為正整數(shù))
ap
4.等差數(shù)列:
+axn
(1)sn=^=nai+ln(n-l)d;
22
(2)an=ai+(n—1)d;
(3)n=£ZLZA+I;
d
(4)若a,A,b成等差數(shù)列,則:2A=a+b;
(5)若m+n=k+i,貝!j:am+an=ak+ai;
(其中:n為項數(shù),&為首項,a”為末項,d為公差,S”為等差數(shù)列前n項日勺和)
5.等比數(shù)列:
(1)an=aiq;
(2)sn=%4―/)(qwl)
1-q
(3)若a,G,b成等比數(shù)列,則:G2=ab;
(4)若m+n=k+i,貝(J:am,an=ak?a—
(5)am-an=(m-n)d
(6)%=q-)
an
(其中:n為項數(shù),ai為首項,an為末項,q為公比,Sn為等比數(shù)列前n項日勺和)
2
6.一元二次方程求根公式:ax+bx+c=a(x-xj(x-x2)
2
其中:XL""J4絲;X2=——J/—4絲(b-4ac>0)
2a2a
根與系數(shù)日勺關系:X1+X2-2,Xx?X2=-
aa
二、基礎幾何公式
1.三角形:不在同一直線上日勺三點可以構成一種三角形;三角形內角和等于
180°;三角形中任兩
邊之和不小于第三邊、任兩邊之差不不小于第三邊;
(1)角平分線:三角形一種日勺角日勺平分線和這個角日勺對邊相交,這個角日勺頂點和交
點之間日勺線段,叫做三角形日勺角日勺平分線。
(2)三角形日勺中線:連結三角形一種頂點和它對邊中點日勺線段叫做三角形日勺中線。
(3)三角形日勺高:三角形一種頂點到它日勺對邊所在直線日勺垂線段,叫做三角形日勺高。
(4)三角形日勺中位線:連結三角形兩邊中點日勺線段,叫做三角形日勺中位線。
(5)內心:角平分線日勺交點叫做內心;內心到三角形三邊日勺距離相等。
重心:中線日勺交點叫做重心;重心到每邊中點日勺距離等于這邊中線日勺三分之一。
垂線:高線日勺交點叫做垂線;三角形日勺一種頂點與垂心連線必垂直于對邊。
外心:三角形三邊日勺垂直平分線日勺交點,叫做三角形日勺外心。外心到三角形日勺
三個頂點日勺距離相等。
直角三角形:有一種角為90度日勺三角形,就是直角三角形。
直角三角形日勺性質:
(1)直角三角形兩個銳角互余;
(2)直角三角形斜邊上日勺中線等于斜邊日勺二分之一;
(3)直角三角形中,假如有一種銳角等于30°,那么它所對日勺直角邊等于斜邊日勺
二分之一;
(4)直角三角形中,假如有一條直角邊等于斜邊日勺二分之一,那么這條直角邊所對
日勺銳角是30°;
(5)直角三角形中,c2=a2+b2(其中:a、b為兩直角邊長,c為斜邊長);
(6)直角三角形日勺外接圓半徑,同步也是斜邊上日勺中線;
直角三角形日勺鑒定:
(1)有一種角為90°;
(2)邊上日勺中線等于這條邊長日勺二分之一;
(3)若c2=a?+b2,則以a、b、c為邊日勺三角形是直角三角形;
2.面積公式:
正方形=邊長X邊長;
長方形=長X寬;
三角形=Lx底X高;
2
梯形—(上底+下底)X高.
圓形=萬山
平行四邊形=底><高
扇形:/^萬山
正方體=6X邊長X邊長
長方體=2X(長X寬+寬X高+長X高);
圓柱體=2Rr2+2nrh;
球日勺表面積=4萬R2
3.體積公式
正方體=邊長X邊長X邊長;
長方體=長乂寬X高;
圓柱體=底面積X高=511=nr2h
圓錐=-Jir2h
3
球=-TVR3
3
4.與圓有關日勺公式
設圓日勺半徑為r,點到圓心日勺距離為d,則有:
(1)d<r:點在圓內(即圓日勺內部是到圓心日勺距離不不小于半徑日勺點日勺集合);
(2)d=i■:點在圓上(即圓上部分是到圓心日勺距離等于半徑日勺點日勺集合);
(3)d>r:點在圓外(即圓日勺外部是到圓心日勺距離不小于半徑日勺點日勺集合);
線與圓日勺位置關系日勺性質和鑒定:
假如。0日勺半徑為r,圓心0到直線/日勺距離為d,那么:
(1)直線/與。。相交:d<r;
(2)直線/與。。相切:d=r;
(3)直線/與。0相離:d>r;
圓與圓日勺位置關系日勺性質和鑒定:
設兩圓半徑分別為R和r,圓心距為d,那么:
(1)兩圓外后:d>R+r;
(2)兩圓外切:d=R+r;
(3)兩圓相交:R-r<d<R+r(7?>r);
(4)兩圓內切:d=R-r(R>r);
(5)兩圓內含:d<R-r(.R>r).
圓周長公式:C=2"R=nd(其中R為圓半徑,d為圓直徑,Ji^3.1415926^710);
〃。日勺圓心角所對日勺弧長/日勺計算公式:/=箜;
180
扇形日勺面積:(1)S扇=’-"匕(2)5扇=工/R;
3602
若圓錐日勺底面半徑為r,母線長為1,則它日勺側面積:5側="1'/;
圓錐日勺體積:V='Sh=工五Fh。
33
三、其他常用知識
1.2\3\7\8*日勺尾數(shù)都是以4為周期進行變化日勺;4\9*日勺尾數(shù)都是以2為周
期進行變化日勺;
此外5、和6*日勺尾數(shù)恒為5和6,其中x屬于自然數(shù)。
2.對任意兩數(shù)a、b,假如a—b>0,則a>b;假如a—b<0,則a<b;假如a—b
=0,則a=bo
當a、b為任意兩正數(shù)時,假如a/b>l,則a>b;假如a/bVl,則aVb;假如a/b
=1,則a=bo
當a、b為任意兩負數(shù)時,假如a/b>l,則a<b;假如a/bVI,則a>b;假如a/b
=1,則a=bo
對任意兩數(shù)a、b,當很難直接用作差法或者作商法比較大小時,我們一般選用中間
值C,假如
a>C,且C>b,則我們說a>b。
3.工程問題:
工作量=工作效率X工作時間;工作效率=工作量:工作時間;
工作時間=工作量;工作效率;總工作量=各分工作量之和;
注:在處理實際問題時,常設總工作量為1。
4.方陣問題:
(1)實心方陣:方陣總人數(shù)=(最外層每邊人數(shù))2
最外層人數(shù)=(最外層每邊人數(shù)一1)X4
(2)空心方陣:中空方陣日勺人數(shù)=(最外層每邊人數(shù))2-(最外層每邊人數(shù)-2X層
數(shù))2
=(最外層每邊人數(shù)-層數(shù))X層數(shù)><4=中空方陣
日勺人數(shù)。
例:有一種3層日勺中空方陣,最外層有10人,問全陣有多少人?
角翠:(10-3)X3X4=84(人)
5.利潤問題:
(1)利潤=銷售價(賣出價)一成本;
利潤銷售價一成本銷售價
利潤率=—1;
成本成本
銷售價=成本XQ+利潤率);成本=普儡。
(2)單利問題
利息=本金X利率X時期;
本利和=本金+利息=本金X(1+利率X時期);
本金=本利和+(1+利率X時期)。
年利率+12=月利率;
月利率又12=年利率。
例:某人存款2400元,存期3年,月利率為10.2%。(即月利1分零2毫),三年
到期后,本利和共是多少元?”
解:用月利率求。3年=12月X3=36個月
2400X(1+10.2%X36)=2400X1.3672=3281.28(元)
6.排列數(shù)公式:P:=n(n—1)(n—2)…(n—m+1),(m<n)
組合數(shù)公式:c;=p:+Pt=(規(guī)定c:=1)。
"裝錯信封"問題:Di=0,Dg—1>D3—25口4=9,口5=44,口6=265,
7.年齡問題:關鍵是年齡差不變;
幾年后年齡=大小年齡差十倍數(shù)差一小年齡
幾年前年齡=小年齡一大小年齡差十倍數(shù)差
8.日期問題:閏年是366天,平年是365天,其中:1、3、5、7、8、10、12月都
是31天,4、6、9、11是30天,閏年時候2月份29天,平年2月份是28天。
9.植樹問題
(1)線形植樹:棵數(shù)=總長+間隔+1
(2)環(huán)形植樹:棵數(shù)=總長+間隔
(3)樓間植樹:棵數(shù)=總長+間隔一1
(4)剪繩問題:對折N次,從中剪M刀,則被剪成了(2NXM+1)段
10.雞兔同籠問題:
雞數(shù)=(兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)):(兔腳數(shù)-雞腳數(shù))
(一般將“每”量視為“腳數(shù)”)
得失問題(雞兔同籠問題日勺推廣):
不合格品數(shù)=(1只合格品得分數(shù)X產品總數(shù)-實得總分數(shù))十(每只合格品得分數(shù)
+每只不合格品扣分數(shù))
=總產品數(shù)-(每只不合格品扣分數(shù)X總產品數(shù)+實得總分數(shù))十(每只
合格品得分數(shù)+每只不合格品扣分數(shù))
例:“燈泡廠生產燈泡日勺工人,按得分日勺多少給工資。每生產一種合格品記4分,每
生產一種不合格品不僅不記分,還要扣除15分。某工人生產了1000只燈泡,共得
3525分,問其中有多少個燈泡不合格?”
解:(4X1000-3525)4-(4+15)=4754-19=25(個)
11.盈虧問題:
(1)一次盈,一次虧:(盈+虧);(兩次每人分派數(shù)日勺差)=人數(shù)
(2)兩次均有盈:(大盈-小盈):(兩次每人分派數(shù)日勺差)二人數(shù)
(3)兩次都是虧:(大虧-小虧)十(兩次每人分派數(shù)日勺差)二人數(shù)
(4)一次虧,一次剛好:虧;(兩次每人分派數(shù)日勺差)=人數(shù)
(5)一次盈,一次剛好:盈;(兩次每人分派數(shù)日勺差)=人數(shù)
例:“小朋友分桃子,每人10個少9個,每人8個多7個。問:有多少個小朋友和
多少個桃子?”
解(7+9)4-(10-8)=164-2=8(個)...........人數(shù)
10X8-9=80-9=71(個)...........桃子
12.行程問題:
(1)平均速度:平均速度=2必
匕+V2
(2)相遇追及:
相遇(背離):旅程+速度和=時間
追及:旅程十速度差=時間
(3)流水行船:
順水速度=船速+水速;
逆水速度=船速一水速。
兩船相向航行時,甲船順水速度+乙船逆水速度二甲船靜水速度+乙船靜水速度
兩船同向航行時,后(前)船靜水速度-前(后)船靜水速度二兩船距離縮?。ɡ?/p>
大)速度。
(4)火車過橋:
列車完全在橋上日勺時間=(橋長一車長)?列車速度
列車從開始上橋到完全下橋所用日勺時間=(橋長+車長):列車速度
(5)多次相遇:
相向而行,第一次相遇距離甲地a千米,第二次相遇距離乙地b千米,則甲乙
兩地相距
S=3a-b(千米)
(6)鐘表問題:
鐘面上按“分針”分為60小格,時針日勺轉速是分針日勺工,分針每小時可追及
12
11
12
時針與分針一晝夜重疊22次,垂直44次,成180022次。時分秒重疊2次
13.容斥原理:
A+B=AUB+AnJB
K+B+C=A\JB\JC+AC\B+AC\C+BC\C-AC\BC\C
其中,AUBUC=E
14.牛吃草問題:
原有草量=(牛數(shù)一每天長草量)X天數(shù),其中:一般設每天長草量為X
2023國家公務員考試行測備考數(shù)量關系萬能解法:文氏圖
數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用日勺思想措施,數(shù)形結合日勺思想可以使某些抽象日勺數(shù)
學問題直觀化、生動化,可以變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題日勺本質。
此外,由于使用了數(shù)形結合日勺措施,諸多問題便迎刃而解,且解法簡捷。
縱觀近幾年公務員考試真題,無論是國考還是地方考試,集合問題作為一種熱
點問題幾乎每年都會考到,此類題目日勺特點是總體難度不大,只要措施得當,一般
都很輕易求解。下面為大家簡介用數(shù)形結合措施解此類題日勺經典措施:文氏圖。
一般來說,考試中??既丈准详P系重要有下面兩種:
1.并集U定義:取一種集合,設全集為I,A、B是I中日勺兩個子集,由所有
屬于A或屬于B日勺元素所構成日勺集合,叫做A,B日勺并集,表達:AUBo
例如說,目前要挑選一批人去參與籃球比賽。條件A是,這些人年齡要在18
歲以上,條件B是,這些人身高要在180cM以上,那么符合條件日勺人就是取條件
A和B日勺并集,就是兩個條件都符合日勺人:18歲以上且身高在180cM以上。
2.交集A定義:(交就是取兩個集合共同日勺元素)A和B日勺交集是具有所有既
屬于A又屬于B日勺元素,而沒有其他元素日勺集合。A和B日勺交集寫作“ACB”。形
式上:x屬于ACIB當且僅當x屬于A且x屬于B。
例如:集合{1,2,3}和{2,3,4}日勺交集為{2,3}o數(shù)字9不屬于素數(shù)集合{2,
3,5,7,11}和奇數(shù)集合{1,3,5,7,9,11)日勺交集。若兩個集合A和B日勺
交集為空,就是說他們沒有公共元素,則他們不相交。
(I)取一種集合,設全集為I,A、B是I中日勺兩個子集,X為A和B日勺相交部
分,則集合間有如下關系:
ACB=X,A+B=AUB-X;文氏圖如下圖。
A工B
L,二'/
下面讓我們回憶一下歷年國考和地方真題,理解一下文氏圖日勺某些應用。
例:如下圖所示,X、Y、Z分別是面積為64、180、160日勺三個不一樣形狀日勺紙
片,它們部分重疊放在一起蓋在桌面上,總共蓋住日勺面積為290,且X與Y、Y與
Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36,問陰影部分日勺面積是多少?()
A.15B.16
C.14D.18
【答案:B]從題干及提供日勺圖我們可以看出,所求日勺陰影部分日勺面積即(II)
中日勺x,直接套用上述公式,我們可以得到:XUYUZ=64+180+160,XAZ=24,
XAY=36,YnZ=70,則:
x=XUYUZ-[X+Y+Z-XnZ-XnY-YnZ]=290-[64+180+160-24-70-
36]=16
從圖上可以清晰日勺看到,所求日勺陰影部分是X,Y,Z這三個圖形日勺公共部分。
即圖1中日勺x,由題意有:64+180+160—24—70—36+x=290,解得x=16。
例:旅行社對120人日勺調查顯示,喜歡爬山日勺與不喜歡爬山日勺人數(shù)比為5:3,喜
歡游泳日勺與不喜歡游泳日勺人數(shù)比為7:5,兩種活動都喜歡日勺有43人,對這兩種活
動都不喜歡日勺人數(shù)是()。
A.18B.27C.28D.32
【答案:A]欲求兩種活動都喜歡日勺人數(shù),我們可以先求出兩種活動都不喜歡日勺
人數(shù)。套用(I)中日勺公式:喜歡爬山日勺人數(shù)為120x58=75,可令A=75;喜歡游
泳日勺人數(shù)為120x712=70,可令B=70;兩種活動都喜歡日勺有43人,即ACB=43,
故兩項活動至少喜歡一種日勺人數(shù)為75+70—43=102人,即AUB=105,則兩種活
動都不喜歡日勺人數(shù)為120—102=18(人)。
例:某外語班日勺30名學生中,有8人學習英語,12人學習日語,3人既學英
語也學日語,問有多少人既不學英語又沒學日語?()
A.12B.13C.14D.15
【答案:B]題中規(guī)定日勺是既不學英語又不學日語日勺人數(shù),我們可以先求出既學
英語又學日語日勺人數(shù)??側藬?shù)減去既學英語又學日語日勺人數(shù)即為所求日勺人數(shù)。套用
上面日勺公式可知,即學英語也學日語日勺人數(shù)為8+12—3=17,則既不學英語又沒學
日語日勺人數(shù)是:30-(8+12-3)=130
例:電視臺向100人調查昨天收看電視狀況,有62人看過2頻道,34人看過8
頻道,11人兩個頻道都看過。問,兩個頻道都沒有看過日勺有多少人?()
A.4B.15C.17D.28
答案:B]本題解法同上,直接套用上述公式求出既看過2頻道又看過8頻道日勺
人數(shù)為62+34—11=85人,則兩個頻道都沒看過日勺有100—85=15人。
就我自己考試經歷而言,其實沒有迅速措施,唯有多練習,下面日勺可以參照一下
在排列組合中,有三種尤其常用日勺措施:捆綁法、插空法、插板法。
一、捆綁法
精要:所謂捆綁法,指在處理對于某幾種元素規(guī)定相鄰日勺問題時,先整體考慮,
將相鄰元素視作一種整體參與排序,然后再單獨考慮這個整體內部各元素間次序。
提醒:其首要特點是相鄰,另一方面捆綁法一般都應用在不一樣物體日勺排序問題中。
二、插空法
精要:所謂插空法,指在處理對于某幾種元素規(guī)定不相鄰日勺問題時,先將其他
元素排好,再將指定日勺不相鄰日勺元素插入已排好元素日勺間隙或兩端位置。提醒:首
要特點是不鄰,另一方面是插空法一般應用在排序問題中。
三、插板法
精要:所謂插板法,指在處理若干相似元素分組,規(guī)定每組至少一種元素時,
采用將比所需分組數(shù)目少1日勺板插入元素之間形成分組日勺解題方略。
文總結了數(shù)學運算排列組合解題法則,協(xié)助廣大備考2023年江蘇公務員考試日勺考
生理解排列組合常見問題及解題措施。
一、捆綁法
精要:所謂捆綁法,指在處理對于某幾種元素規(guī)定相鄰日勺問題時,先整體考慮,
將相鄰元素視作一種整體參與排序,然后再單獨考慮這個整體內部各元素間次序。
提醒:其首要特點是相鄰,另一方面捆綁法一般都應用在不一樣物體日勺排序問
題中。
【例題】有10本不一樣日勺書:其中數(shù)學書4本,外語書3本,語文書3本。
若將這些書排成一列放在書架上,讓數(shù)學書排在一起,外語書也恰好排在一起日勺排
法共有()種。
解析:這是一種排序問題,書本之間是不一樣日勺,其中規(guī)定數(shù)學書和外語書都
各自在一起。為迅速處理這個問題,先將4本數(shù)學書看做一種元素,將3本外語書
看做一種元素,然后和剩余日勺3本語文書共5個元素進行統(tǒng)一排序,措施數(shù)為,然
后排在一起日勺4本數(shù)學書之間次序不一樣也對應最終整個排序不一樣,因此在4本
書內部也需要排序,措施數(shù)為,同理,外語書排序措施數(shù)為。而三者之間是分步過
程,故而用乘法原理得。
【例題】5個人站成一排,規(guī)定甲乙兩人站在一起,有多少種措施?
解析:先將甲乙兩人當作1個人,與剩余日勺3個人一起排列,措施數(shù)為,然后
甲乙兩個人也有次序規(guī)定,措施數(shù)為,因此站隊措施數(shù)為。
【練習】一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目,4個舞蹈節(jié)目要排在一
起,有多少不一樣日勺安排節(jié)目日勺次序?
注釋:運用捆綁法時,一定要注意捆綁起來日勺整體內部與否存在次序日勺規(guī)定,
有日勺題目有次序日勺規(guī)定,有日勺則沒有。如下面日勺例題。
【例題】6個不一樣日勺球放到5個不一樣日勺盒子中,規(guī)定每個盒子至少放一種
球,一共有多少種措施?
解析:按照題意,顯然是2個球放到其中一種盒子,此外4個球分別放到4個
盒子中,因此措施是先從6個球中挑出2個球作為一種整體放到一種盒子中,然后
這個整體和剩余日勺4個球分別排列放到5個盒子中,故措施數(shù)是。
二、插空法
精要:所謂插空法,指在處理對于某幾種元素規(guī)定不相鄰日勺問題時,先將其他
元素排好,再將指定日勺不相鄰日勺元素插入已排好元素日勺間隙或兩端位置。
提醒:首要特點是不鄰,另一方面是插空法一般應用在排序問題中。
【例題】若有A、B、C、D、E五個人排隊,規(guī)定A和B兩個人必須不站在一
起,則有多少排隊措施?
解析:題中規(guī)定AB兩人不站在一起,因此可以先將除A和B之外日勺3個人排
成一排,措施數(shù)為,然后再將A和B分別插入到其他3個人排隊所形成日勺4個空
中,也就是從4個空中挑出兩個并排上兩個人,其措施數(shù)為,因此總措施數(shù)。
【例題】8個人排成一隊,規(guī)定甲乙必須相鄰且與丙不相鄰,有多少種措施?
解析:甲乙相鄰,可以捆綁看作一種元素,但這個整體元素又和丙不相鄰,因
此先不排這個甲乙丙,而是排剩余日勺5個人,措施數(shù)為,然后再將甲乙構成日勺整體
元素及丙這兩個元素插入到此前5人所形成日勺6個空里,措施數(shù)為,此外甲乙兩個
人內部還存在排序規(guī)定為。故總措施數(shù)為。
【練習】5個男生3個女生排成一排,規(guī)定女生不能相鄰,有多少種措施?
注釋:將規(guī)定不相鄰元素插入排好元素時,要注釋與否可以插入兩端位置。
【例題】若有A、B、C、D、E五個人排隊,規(guī)定A和B兩個人必須不站在一
起,且A和B不能站在兩端,則有多少排隊措施?
解析:原理同前,也是先排好C、D、E三個人,然后將A、B查到C、D、E
所形成日勺兩個空中,由于A、B不站兩端,因此只有兩個空可選,措施總數(shù)為。
注釋:對于捆綁法和插空法日勺區(qū)別,可簡樸記為''相鄰問題捆綁法,不鄰問題插
空法”。
三、插板法
精要:所謂插板法,指在處理若干相似元素分組,規(guī)定每組至少一種元素時,
采用將比所需分組數(shù)目少1日勺板插入元素之間形成分組日勺解題方略。
提醒:其首要特點是元素相似,另一方面是每組至少具有一種元素,一般用于
組合問題中。
【例題】將8個完全相似日勺球放到3個不一樣日勺盒子中,規(guī)定每個盒子至少放
一種球,一共有多少種措施?
解析:處理這道問題只需要將8個球提成三組,然后依次將每一組分別放到一
種盒子中即可。因此問題只需要把8個球提成三組即可,于是可以講8個球排成一
排,然后用兩個板查到8個球所形成日勺空里,即可順利日勺把8個球提成三組。其中
第一種板前面日勺球放到第一種盒子中,第一種板和第二個板之間日勺球放到第二個盒
子中,第二個板背面日勺球放到第三個盒子中去。由于每個盒子至少放一種球,因此
兩個板不能放在同一種空里且板不能放在兩端,于是其放板日勺措施數(shù)是。(板也是無
區(qū)別日勺)
【例題】有9顆相似日勺糖,每天至少吃1顆,要4天吃完,有多少種吃法?
解析:原理同上,只需要用3個板插入到9顆糖形成日勺8個內部空隙,將9
顆糖提成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個板互不相鄰,其措施數(shù)為。
【練習】既有10個完全相似日勺籃球所有分給7個班級,每班至少1個球,問
共有多少種不一樣日勺分法?
注釋:每組容許有零個元素時也可以用插板法,其原理不一樣,注意下題解法
日勺區(qū)別。
【例題】將8個完全相似日勺球放到3個不一樣日勺盒子中,一共有多少種措施?
解析:此題中沒有規(guī)定每個盒子中至少放一種球,因此其解法不一樣于上面日勺
插板法,但仍舊是插入2個板,提成三組。但在分組日勺過程中,容許兩塊板之間沒
有球。其考慮思維為插入兩塊板后,與本來日勺8個球一共10個元素。所有措施數(shù)
實際是這10個元素日勺一種隊列,但由于球之間無差異,板之間無差異,因此措施
數(shù)實際為從10個元素所占日勺10個位置中挑2個位置放上2個板,其他位置所有
放球即可。因此措施數(shù)為。
注釋:尤其注意插板法與捆綁法、插空法日勺區(qū)別之處在于其元素是相似日勺。
四、詳細應用
【例題】一條馬路上有編號為1、2......9日勺九盞路燈,現(xiàn)為了節(jié)省用電,
要將其中日勺三盞關掉,但不能同步關掉相鄰日勺兩盞或三盞,則所有不一樣日勺關燈措
施有多少種?
解析:要關掉9盞燈中日勺3盞,但規(guī)定相鄰日勺燈不能關閉,因此可以先將要關
掉日勺3盞燈拿出來,這樣還剩6盞燈,目前只需把準備關閉日勺3盞燈插入到亮著日勺
6盞燈所形成日勺空隙之間即可。6盞燈日勺內部及兩端共有7個空,故措施數(shù)為。
【例題】一條馬路日勺兩邊各立著10盞電燈,目前為了節(jié)省用電,決定每邊關
掉3盞,但為了安全,道路起點和終點兩邊日勺燈必須是亮日勺,并且任意一邊不能持
續(xù)關掉兩盞。問總共可以有多少總方案?
A、120B、320C、400D、420
解析:考慮一側日勺關燈措施,10盞燈關掉3盞,還剩7盞,由于兩端日勺燈不
能關,表達3盞關掉日勺燈只能插在7盞燈形成日勺6個內部空隙中,而不能放在兩端,
故措施數(shù)為,總措施數(shù)為。
注釋:由于兩邊關掉日勺種數(shù)肯定是同樣日勺(由于兩邊是同等地位),并且總日勺種
數(shù)是一邊日勺種數(shù)乘以另一邊日勺種數(shù),因此關日勺方案數(shù)一定是個平方數(shù),只有C符合。
排列組合
加法原理:做一件事,完畢它可以有n類措施,在第一類措施中有明種不一樣
日勺措施,在第二類措施中有n)2種不一樣日勺措施,……,在第n類措施中有叫種不一
樣日勺措施.那么完畢這件事共有N=nh十nh十…十m"種不一樣日勺措施.
乘法原理:做一件事,完畢它需要提成n個環(huán)節(jié),做第一步有nh種不一樣日勺措
施,做第二步有nh種不一樣日勺措施,……,做第n步有叫種不一樣日勺措施.那么完
畢這件事共有N=niim2…nin種不一樣日勺措施.
6.排列數(shù)公式:P?=n(n—1)(n—2)???(n—m+1),(m<n)
組合數(shù)公式:C;=P:+P::=(規(guī)定
代劑計算公式
/:=況“―|)(打—2)”“〃一M.1)="
(w-m)!
p?_X_w(加7)…⑴fl)
例15位高中畢業(yè)生,準備報考3所高等院校,每人報且只報一所,不一樣日勺報名
措施共有多少種?
解:5個學生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名,因而每個學生
均有3種不一樣日勺報名措施,根據(jù)乘法原理,得到不一樣報名措施總共有
3X3X3X3X3=35(^)
例2從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少有甲型與乙型電視
機各1臺,則不一樣日勺取法共有()
A.140種B.84種C.70種D.35種
解:抽出日勺3臺電視機中甲型1臺乙型2臺日勺取法有CJC25種;甲型2臺乙
2
型1臺日勺取法有C4-C\種
根據(jù)加法原理可得總日勺取法有
2221
C4-C5+C4?C5=40+30=70(種)
可知此題應選C.
例3由數(shù)字1、2、3、4、5構成沒有反復數(shù)字日勺五位數(shù),其中不不小于50000日勺
偶數(shù)共有()
A.60個B.48個C.36個D.24個
解由于規(guī)定是偶數(shù),個位數(shù)只能是2或4日勺排法有P%不不小于50000日勺
五位數(shù),萬位只能是1、3或2、4中剩余日勺一種日勺排法有Pk在首末兩位數(shù)排定后,
中間3個位數(shù)日勺排法有P33,得pl3P33Pl2=36(個)
由此可知此題應選C.
例4將數(shù)字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4日勺四個方格里,每格填一種數(shù)字,
則每個方格日勺標號與所填日勺數(shù)字均不一樣日勺填法有多少種?
解:將數(shù)字1填入第2方格,則每個方格日勺標號與所填日勺數(shù)字均不相似日勺填
法有3種,即2143,3142,4123;同樣將數(shù)字1填入第3方格,也對應著3種填
法;將數(shù)字1填入第4方格,也對應3種填法,因此共有填法為
3Pl3=9(種).
例5甲、乙、丙、丁四個企業(yè)承包8項工程,甲企業(yè)承包3項,乙企業(yè)承包1項,
丙、丁企業(yè)各承包2項,問共有多少種承包方式?
解:甲企業(yè)從8項工程中選出3項工程日勺方式已種;
乙企業(yè)從甲企業(yè)挑選后余下日勺5項工程中選出1項工程日勺方式有C1種;
丙企業(yè)從甲乙兩企業(yè)挑選后余下日勺4項工程中選出2項工程日勺方式有C?4種;
丁企業(yè)從甲、乙、丙三個企業(yè)挑選后余下日勺2項工程中選出2項工程日勺方式有
C?2種.
根據(jù)乘法原理可得承包方式日勺種數(shù)有xc^xCxc2^X
1=1680(種).
例6由數(shù)學0,1,2,3,4,5構成沒有反復數(shù)字日勺六位數(shù),其中個位數(shù)字不不
小于十位數(shù)字日勺共有().
A.210個B.300個
C.464個D.600個
解:先考慮可構成無限制條件日勺六位數(shù)有多少個?應有P1?P55=600個.
由對稱性,個位數(shù)不不小于十位數(shù)日勺六位數(shù)和個位數(shù)不小于十位數(shù)日勺六位數(shù)各
占二分之一.
,有X600=300個符合題設日勺六位數(shù).
應選B.
例7以一種正方體日勺頂點為頂點日勺四面體共有().
A.70個B.64個
C.58個D.52個
解:如圖,正方體有8個頂點,任取4個日勺組合數(shù)為C1=70個.
其中共面四點分3類:構成側面日勺有6組;構成垂直底面日勺對角面日勺有
2組;形如(ADBC)日勺有4組.
,能形成四面體日勺有70-6-2-4=58(組)
應選C.
例87人并排站成一行,假如甲、乙必須不相鄰,那么不一樣排法日勺總數(shù)是
A.1440B.3600C.4320D.4800
解:7人日勺全排列數(shù)為P,7.
若甲乙必須相鄰則不一樣日勺排列數(shù)為P22Pl.
7266
,甲乙必須不相鄰日勺排列數(shù)為P7-P2P6=5P6=3600.
應選B.
例9用1,2,3,4,四個數(shù)字構成日勺比1234大日勺數(shù)共有個(用品體數(shù)
字作答).
解:若無限制,則可構成4!=24個四位數(shù),其中1234不合題設.
.?.有24-1=23個符合題設日勺數(shù).
例10用0,1,2,3,4這五個數(shù)字構成沒有反復數(shù)字日勺四位數(shù),那么在這些
四位數(shù)中,是偶數(shù)日勺總共有().
A.120個B.96個C.60個D.36個
解:末位為0,則有匕=24個偶數(shù).
末位不是0日勺偶數(shù)有P12Plp?3=36個.
共有24+36=60個數(shù)符合題設.
應選C.
公務員行測排列組合問題日勺七大解題方略(修正版)
排列組合問題是歷年公務員考試行測日勺必考題型,并且伴隨近年公務員考試越來越
熱門,國考中這部分題型日勺難度也在逐漸日勺加大,解題措施也趨于多樣化。解答排
列組合問題,必須認真審題,明確是屬于排列問題還是組合問題,或者屬于排列與
組合日勺混合問題;同步要抓住問題日勺本質特性,靈活運用基本原理和公式進行分析,
還要注意講究某些方略和措施技巧。
一、排列和組合日勺概念
排列:從n個不一樣元素中,任取m個元素(這里日勺被取元素各不相似)按照一
定日勺次序排成一列,叫做從n個不一樣元素中取出m個元素日勺一種排列。
組合:從n個不一樣元素種取出m個元素拼成一組,稱為從n個不一樣元素取
出m個元素日勺一種組合。
二、七大解題方略
1.特殊優(yōu)先法
特殊元素,優(yōu)先處理;特殊位置,優(yōu)先考慮。對于有附加條件日勺排列組合問題,
一般采用:先考慮滿足特殊日勺元素和位置,再考慮其他元素和位置。
例:從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不一樣日勺
工作,若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作,則不一樣日勺選派方案共有()
(A)280種(B)240種(C)180種(D)96種
對日勺答案:【B】
解析:由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作,因此翻譯工作就是“特殊”
位置,因此翻譯工作從剩余日勺四名志愿者中任選一人有C(4,l)=4種不一樣日勺選法,
再從其他日勺5人中任選3人從事導游、導購、保潔三項不一樣日勺工作有A(5,3)=60
種不一樣日勺選法,因此不一樣日勺選派方案共有C(4,1)XA(5,3)=240種,因此選B。
2.科學分類法
問題中既有元素日勺限制,又有排列日勺問題,一般是先元素(即組合)后排列。
對于較復雜日勺排列組合問題,由于狀況繁多,因此要對多種不一樣狀況,進行
科學分類,以便有條不紊地進行解答,防止反復或遺漏現(xiàn)象發(fā)生。同步明確分類后
日勺多種狀況符合加法原理,要做相加運算。
例:某單位邀請10位教師中日勺6位參與一種會議,其中甲,乙兩位不能同步參
與,則邀請日勺不一樣措施有()種。
A.84B.98C.112D.140
對日勺答案【D】
解析:按規(guī)定:甲、乙不能同步參與提成如下幾類:
a。甲參與,乙不參與,那么從剩余日勺8位教師中選出5位,有C(8,5)=56種;
bo乙參與,甲不參與,同⑶有56種;
Co甲、乙都不參與,那么從剩余日勺8位教師中選出6位,有C(8,6)=28種。
故共有56+56+28=140種。
3.間接法
即部分符合條件排除法,采用正難則反,等價轉換日勺方略。為求完畢某件事日勺
措施種數(shù),假如我們分步考慮時,會出現(xiàn)某一步日勺措施種數(shù)不確定或計數(shù)有反復,
就要考慮用分類法,分類法是處理復雜問題日勺有效手段,而當正面分類狀況種數(shù)較
多時,則就考慮用間接法計數(shù)。
例:從6名男生,5名女生中任選4人參與競賽,規(guī)定男女至少各1名,有多
少種不一樣日勺選法?
A.240B.310C.720D.1080
對日勺答案【B】
解析:此題從正面考慮日勺話狀況比較多,假如采用間接法,男女至少各一人
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