初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：二次函數(shù)中翻折及動(dòng)點(diǎn)引起的圖形存在性問題

二次函數(shù)中翻折及動(dòng)點(diǎn)引起的圖形存在性問題

思路指導(dǎo)：

?直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；兩銳角互余.

?等邊三角形存在性問題：作出圖形，利用60。、30。等特殊角在直角三角形中利用

三角函數(shù)知識(shí)求解三角形各邊的長(zhǎng)度；

?平行四邊形存在性問題:表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)角線上兩對(duì)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和相等,

縱坐標(biāo)和相等列出方程，進(jìn)而解答.

題型一、三角形折疊與等邊三角形存在性問題

1.(2019?成都中考)如圖，拋物線y=o?+陵+。經(jīng)過點(diǎn)A(—2,5),與x軸交于點(diǎn)B(—1,0),C(3,0).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸的上方，將ABC。沿直線8。翻折得到ABC。.若點(diǎn)C恰

好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)尸是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)ACP。為等邊三角形時(shí),

求直線BP的解析式.

【答案】見解析.

【解析】解：(1)由題意知,

4〃一2。+c=5a=l

a—b+c=O,解得：b=-2,

9a+3b+c=Qc=-3

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y—Y——3；

(2)由(1)知，拋物線的對(duì)稱軸為：x=l,

由翻折知：BC=BC'=4,

設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為M,

則BM=CM=2,

.,.ZBCM=30o,

AZDCM=3Q°,C，M=25

即。(1,26),

在吊△DCM中，DM=CMtan30°=2x—=

33

**?點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-)；

3

(3)方法一:

根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論:

①當(dāng)P在x軸上方時(shí)，如下圖所示,

,/APCG，ACCB是等邊三角形,

:?CQ=CP=PQ,BC=BC'=CC',ZPCQ=ZCCB=60°,

:?/BCQ=/C'CP,

：.△BCQ/AC'CP,

：?BQ=C'P,

^BQ=QC,

：.CP=QC=CP,

?;BC=BC',

：.BP是CC'的垂直平分線,

由折疊知，點(diǎn)。在直線3尸上,

設(shè)5尸的解析式為：y=kx+b,

昱

-k+b=0k=

3

26,解得：＜

k+b=------

3b=B

3

???直線5P的表達(dá)式為：y=^x+—；

33

②當(dāng)點(diǎn)尸在無軸下方時(shí)，點(diǎn)。在龍軸下方,

由上知，XQCP、ACC2為等邊三角形,

可得：XBCP/ACCQ,

：.ZCBP=ZCC,Q,

由BC'=CC',C'HLBC,

.'./CC'Q=30°,即/CBP=30°,

設(shè)8尸與y軸交于點(diǎn)N,

在RtABON中,

ON=OBtan300=—

3

???點(diǎn)七的坐標(biāo)為（0,--),

3

設(shè)3尸的解析式為：y=mx+n,

-m+n=Om=

3

6,解得：＜

n=------二’

3n=

3

???直線BP的表達(dá)式為：y=—昱x—叵

3可；

73出T乖＞V3

綜上所述，直線2P的解析式為：y=——XH---或y=-----x----.

3333

方法二：當(dāng)點(diǎn)Q、點(diǎn)P在x軸上方時(shí)如圖所示，連接BQ,

Bcx

易知BQ=QC=PQ,

.,.ZBPQ=ZQBP,ZBCQ=ZQBC,ZBPQ+ZQBP+ZBCQ+ZQBC=ZPQC=60°,

即/PBC=30°,

設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)H,可得H點(diǎn)坐標(biāo)為（0,巡）,可得直線BP的解析式為：>=1元+且；

333

當(dāng)點(diǎn)Q、點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖所示，連接BQ,

同理可得：ZPBC=30°,

設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)H,可得H點(diǎn)坐標(biāo)為（0,---）,可得直線BP的解析式為：j=X-—；

333

V36T73>/3

綜上所述，直線2尸的解析式為：y=——XH---或y=-----x----.

3333

2.（2019?浙江湖州中考）如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形QABC是矩形，點(diǎn)A、。分

6

別在x軸和y軸的正半軸上，連接AC,0A=3,tanAOAC=—,。是8c的中點(diǎn).

（1）求OC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

2

（2）如圖2,M是線段OC上的點(diǎn)，OM=—OC,點(diǎn)P是線段。/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過P、D、8三點(diǎn)

3

的拋物線交無軸的正半軸于點(diǎn)E,連接。E交AB于點(diǎn)E

①將△DBF沿。E所在的直線翻折，若點(diǎn)8恰好落在AC上，求此時(shí)8尸的長(zhǎng)和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②以線段。尸為邊，在。尸所在直線的右上方作等邊AD/G,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，點(diǎn)G也

隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

【答案】見解析

【解析】

V3

解：⑴'：OA=3,tanZOAC=

3

*4OCV3

在Rt^AOC中，tanNOAC--------，

OA3

:.oc=6

\'ABCD是矩形，

：.BC=0A=3,

又。是BC的中點(diǎn)，

3

：.CD=~,

2

即D的坐標(biāo)為（3,、2）

2

（2）①

73

由tanNOAC=-----，

3

知：NO4c=30。，

ZACB=ZOAC=30°,

若△QB/折疊后，8的落點(diǎn)為夕

由折疊性質(zhì)，知：

DB，=DB=DC,/BDF=/B，DF,

：.ZDB,C=ZACB=30°,

???/5。夕=60。，ZBDF=30°,

V3

在放△5。尸中，BF=BDtcm300=~T

,:AB=C,

:.AF=BF=是

2

在AB尸。和AA莊中，ZBFD=Z.EFA,ZB=ZM￡=90°,AF=BF,

.,.△BFD當(dāng)AAFE,

3

：.AE=BD=-

2

9

即OE=OA+AE=-,

2

9

故E點(diǎn)坐標(biāo)為（一，0）

2

②由題意知：尸點(diǎn)橫坐標(biāo)不變?yōu)?,而/。以=60。，即G點(diǎn)與尸點(diǎn)的連線與y軸平行，即G點(diǎn)橫坐標(biāo)

不變，所以G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一條線段，求出P點(diǎn)從。點(diǎn)至M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，G點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差即為G點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).

y

當(dāng)p點(diǎn)在。點(diǎn)時(shí)，如圖所示，設(shè)拋物線解析式為：y=加+法,

將點(diǎn)0(9,6),5(3,G)代入解析式，可得：

2

—a+—b=y/3

<42,

9a+3b=A/3

a=_22、萬廣

解得：\9，即拋物線解析式為：y=-工X。+島

.b=#>

9

令y=0,得玉=0,x2=—,

9

即E(—，0),

2

設(shè)直線DE的解析式為：v=kx+b,將D(之，百)、E(2,0)代入得:

22

y=

令x=3,得y=,

2

733百

即網(wǎng)3,光-),由得，G(3,)

y

當(dāng)尸點(diǎn)在Af點(diǎn)時(shí)，如圖所示，設(shè)拋物線解析式為：y=ax1+bx+c,

3lr-2\/3

將點(diǎn)D(—，,B(3,A/3),M(0,-----)代入解析式，可得:

23

93后

—aT—Z?+c—A/3

42

<9。+3。+c=括，

2百

c=----

I3

—空/+與+空

拋物線解析式為：y=

2733

3

令y=0,彳導(dǎo)%]—■一~9%2=6,

即E(6,0),

設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b,將。(g,班)、E(6,0)代入得:

2上4?

y=-------x+------,

?93

令x=3,得產(chǎn)W，

264A/3

即F(3,--~)，由BF=BG得,G(3,---)

3J34x133A/3473A/3

即G點(diǎn)由(3,-----)運(yùn)動(dòng)至(3,------),運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為:

23丁~Y~~6

題型二、二次函數(shù)由增減性求解參數(shù)范圍及角度相等存在性問題

3.(2019?山東德州中考)如圖，拋物線)=如2一：如—4與1軸交于A(xi,0),B(垃，0)兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C且%2-％1=甘.

(1)求拋物線的解析式；

一9

(2)若尸(xi,yi),Q(%2,丁2)是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)i%+2,馬之鼻時(shí)，均有丁10丁2,求。的取

值范圍；

(3)拋物線上一點(diǎn)。(1,-5),直線3。與y軸交于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)M在線段5。上，當(dāng)/BDC=/MCE

時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo).

【答案】見解析.

_5

【解析】解：(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為：、一一5"_5_/+々,

―2m~4~2

11

-%=萬

3

解得：西=一一，X2=4,

2

將(4,0)代入則函數(shù)的表達(dá)式為得，拋物線的表達(dá)式為：

25,

y=—x2——x-4；

33

9

(2)當(dāng)X22］時(shí)，y2>2,

9

另產(chǎn)2,得x=—2,x=—,

?小g2,

9

—。+20—,

一一一2

解得：一

2

(3)點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(喜，一

y

如圖，連接BC,CM,過點(diǎn)。作DGLOE于點(diǎn)G,

由題意知，OB=OC=4,CG=DG=1,

.?.△OBC是等腰直角三角形，ACDG是等腰直角三角形,

ZBCO=ZDCG=45°,BC=40,0)=72，

ZBCD=180°-ZBCO-NDCG=90°,

.?.△BCD為直角三角形，

BD

tanNBDC=----=4,

CD

設(shè)直線BO的解析式為：y=kx+b,

將(4,0),(1,-5)代入得:

k=-

4k+b=03

k+b=-5'解得：

b7=---2-0-

3

520

即直線5。的解析式為：=,

33

520

設(shè)A/坐標(biāo)為(m,—m----)，過A/作于憶

33

貝ijZMFC=90°,

Q5

MF=m,CF=OF~0C=-----m,

33

在RtbCFM中，tanNMCF=---=tanNBDC=4,

CF

.一85、q/曰32

..m=4(----m),斛得：m=——,

3323

即M點(diǎn)坐標(biāo)為：1II,-詈]

題型三、二次函數(shù)中直角三角形判定及圓心軌跡問題

4.(2019?湖南懷化中考)如圖，在直角坐標(biāo)系中有吊及4。2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB=1,tan/ABO=3,

將此三角形繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到MACOD,二次函數(shù)y=-d+6尤+c的圖象剛好經(jīng)過A,B,C三

點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)過定點(diǎn)Q的直線/：y=fcc-k+3與二次函數(shù)圖象相交于N兩點(diǎn).

①若S"PMN=2,求k的值；

②證明：無論人為何值，AP/V恒為直角三角形；

③當(dāng)直線/繞著定點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時(shí)，APA/N外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫出該拋物線的表達(dá)式.

【解析】解：(1)由題意知，。8=1,

，OA=3,OC=3,

即點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,3)、(-1,0)、(3,0),

將點(diǎn)(0,3)、(-1,0)代入y=-x^+bx+c

得二次函數(shù)表達(dá)式為：y=-^+2x+3,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為：P(1,4)；

(2)聯(lián)立y=-f+2x+3,左+3得：

x2-(2-fc)x-k=0,

設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為(xi，l)、(M，＞2)，

貝!J尤1+&=2-k,X[X2=-k.

y\~^y2=k（X1+X2）-2Z+6=6一次,

同理：男丁2=9-4Z?,

①丁=區(qū)-無+3,當(dāng)x=l時(shí)，y=3,即點(diǎn)。（1,3）,

,*,S^PMN=2

.,.2=—Pgx（X2-X1）,即X2-X1=4,

2

（X2-XI）2=16,即（X1+X2）2—2X1X2=16,

可得：k=±2?；

②點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為（汨，y）、（及，了2）、點(diǎn)P（1,4）,

222222

由勾股定理得:PM=（^-l）+（y1-4）,PA^=（x2-l）+（y2-4）,

222

MN=（^-%2）+（^-^2）,

PM~+PN~=x^~+/2+X?+%-_2（F+9）—8（X+,2）+34

=石2+々2+%2+%2_2（2_左）_8（6—左2）+34

222

=x；+x2+y；+y2+8左+2左一18

222

MN=（xl-x2）+（y1-y2）

=xj+/2+y：+yj_2（_左）_2（9—4k2）

22

=x；+x2+y：+%?+8左+2左一18

PM2+PN2=MN2,

故無論k為何值，APAfN恒為直角三角形；

③取MN的中點(diǎn)“，則點(diǎn)”是APAfN外接圓圓心,

設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為（x,y）,

%%_2一左

貝！J尸

2-2

必+匕_62

2-2

整理得：y=-2^+4x+l,

即：該拋物線的表達(dá)式為：y=-2/+4x+l.

題型四、平行四邊形及兩直線平行存在性問題

5.(2019?江蘇連云港中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系無Oy中，拋物線〃：y=x2+勿；+c過點(diǎn)C(0,

1,3

-3),與拋物線E：y=—5好一QX+2的一個(gè)交點(diǎn)為A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)P、Q分別是拋物線心、

拋物線上上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線匕對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若以點(diǎn)A、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)R為拋物線〃上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CA平分NPCR,若OQ〃PR,求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】見解析.

193

【解析】解：(1)當(dāng)x=2時(shí)，y=——%2——X+2=~3,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),

22

將A(2,-3),C(0,-3)代入yuV+bx+c得：

4+2Z?+c=-3,[b--2

<,解得：\,

c=-31c=-3

即拋物線L的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x-3.

13

(2)設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(m,小一2加一3),點(diǎn)。坐標(biāo)為(幾，---n2-----〃+2),

22

???以點(diǎn)A、C、P、。為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形,

①若AC尸。為平行四邊形時(shí)，

2+m=Q+n

m=0m=—l

13解得:或《

-3+m2-2m-3=-3—n2—n+2n=21〃=1

22

："2=0時(shí)，尸與C重合，舍去,

，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0)；

②若ACQP為平行四邊形時(shí)，

2+n=0+m

13