人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-軸對(duì)稱（解析版）

第01講軸對(duì)稱

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的概念，并能夠熟練判斷。

①軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的概念2.掌握軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，并能夠熟練應(yīng)用其

②軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)解決相關(guān)題目。

③線段的垂直平分線3.掌握垂直平分線的定義，性質(zhì)，判定，并能夠熟練應(yīng)

用垂直平分線的性質(zhì)與判定。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01軸對(duì)稱圖形的概念

1.軸對(duì)稱圖形的概念：

若一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，則這個(gè)圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。

這條直線叫做軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸。可以有多條對(duì)稱軸。

題型考點(diǎn)：①軸對(duì)稱圖形的判斷。②對(duì)稱軸的判斷。

【即學(xué)即練1】

i.下列交通安全圖標(biāo)不是軸對(duì)稱圖形的是（）（圖中的三角形是等邊三角形）

【解答】解：選項(xiàng)A、3、。均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸

對(duì)稱圖形，

故選：C.

【即學(xué)即練2】

2.圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（）

A.1條B.2條C.4條D.無(wú)數(shù)條

【解答】解：圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)圓心的直線，有無(wú)數(shù)條.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02軸對(duì)稱

1.軸對(duì)稱的概念:

一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折與另一個(gè)圖形能夠完全重合，則這兩個(gè)圖形的位置關(guān)系成軸對(duì)稱。

這條直線是軸對(duì)稱的對(duì)稱軸。只有一條對(duì)稱軸。

重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

注意：軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形的形狀特點(diǎn)，軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形的形狀特點(diǎn)加上位置特點(diǎn)構(gòu)成。

題型考點(diǎn)：①判斷軸對(duì)稱。

【即學(xué)即練1】

3.下列選項(xiàng)中左右兩圖成軸對(duì)稱的為（）

A.B.

c.D.

【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱的概念.只有C成軸對(duì)稱.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)03軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

1.軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的性質(zhì):

①軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸兩旁的部分全等，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。

②對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。對(duì)應(yīng)邊若不與對(duì)稱軸平行，則延長(zhǎng)線的交點(diǎn)一定交于對(duì)稱

軸上。

③對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)任何一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)且與線段垂直。

⑷對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線之間相互平行。

題型考點(diǎn)：①對(duì)性質(zhì)的理解。②利用性質(zhì)計(jì)算。

【即學(xué)即練1】

4.如圖，△ABC和AA'B'C關(guān)于直線對(duì)稱，下列結(jié)論中:

①△ABC也B'C；

@ZBAC=ZB'AC；

③/垂直平分CC'；

④直線BC和8'C的交點(diǎn)不一定在/上，

正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)

【解答】解：?.?△A2C和B'C關(guān)于直線/對(duì)稱，

：.@/\ABC^/\A'B'C,正確；

②NBAC=NB，AC,

：.ZBAC+ZCAC'=ZB'AC+ZCAC',

即/B4C'=ZB'AC,正確；

③/垂直平分CC',正確；

④應(yīng)為：直線BC和B'C的交點(diǎn)一定在/上，故本小題錯(cuò)誤.

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè).

故選：B.

【即學(xué)即練2】

5.如圖，ZiABC與△>!'B'C關(guān)于直線/對(duì)稱，ZA=50°,/C'=30°,則的度數(shù)為（）

A

A.90°B.100°C.70°D.80°

【解答】解：:△ABC和B'C關(guān)于直線/對(duì)稱，ZA=50°,NC=30°,

AB'C,

???NC=NC'=30°,

.\ZB=180o-ZA-ZC=180°-50°-30°=100°.

故選：B.

【即學(xué)即練3】

6.如圖，△ABC中，直線。E是AB邊的對(duì)稱軸，交AC于。，交于如果BC=6,△3C。的周長(zhǎng)為

17,那么AC邊的長(zhǎng)是11.

【解答】解：?.?。石垂直平分A8,

:?DA=DB,

的周長(zhǎng)為17,

CD+BD+BC=17,

CD+AD+BC=17,即AC+BC=17,

U：BC=6,

:.AC=\\,

故答案為：11.

知識(shí)點(diǎn)04垂直平分線

1.垂直平分線的定義:

過(guò)線段的中點(diǎn)且與線段垂直的直線是這條線段的垂直平分線。如圖,

若C點(diǎn)事AB的中點(diǎn)，則MN是線段AB的垂直平分線。

2.垂直平分線的性質(zhì)：

①垂直平分線垂直且平分線段。則/PCA=NPCB=90°,AC=BCo

②垂直平分線上仟意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。即PA=PB.所以△以8是等腰三角形。

在RtAPAC與Rt^PBC中

PB=PB

'PC=PC（公共邊）

：.Rt/\PAC^Rt/\PBC

：.ZA=ZB；ZAPC=ZBPCo

3.垂直平分線的判定

到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在這條線斷的垂直平分線上。

題型考點(diǎn)：①利用垂直平分線的性質(zhì)求值。②垂直平分線的判定。

【即學(xué)即練1】

7.如圖：Rt^ABC中，NC=90°,OE是A8的垂直平分線，NCA。：/ZM8=2：1,則的度數(shù)為（）

【解答】解：在RtZVIBC中

DE是AB的垂直平分線

：.ZB=ZBAD

"：ZCAD：ZDAB=2：1

/.4ZB=90°

：.ZB=22.5°

故選：B.

【即學(xué)即練2】

8.如圖所示，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,若AE=W^，則BE兩點(diǎn)間的距離是（）

A.1^3B.V3C.273D.473

【解答】解：連接BE,

垂直平分線43

：.BE=AE=2y/3-

故選：C.

【即學(xué)即練3】

9.如圖，是△ABC的邊BC的垂直平分線，若AC=8,AB=6,BC=4,則的周長(zhǎng)為（）

C.12D.10

【解答】解：是△ABC的邊BC的垂直平分線,

：.CD=BD,

'：AC^AD+CD,

：.AC=AD+BD^S,

：.△AQB的周長(zhǎng)=AO+D8+AB=4C+BC=8+6=14,

故選：A.

【即學(xué)即練4】

10.已知：如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,8。平分/ABC,DE1,BC于E.證明：8。垂直平分AE.

【解答】證明：'：ZBAC=90°,2。平分/ABC,DE±BC,

：.NABD=NEBD,NBAD=/BED=90°,

在ABAD和△BED中

，ZBAD=ZBED

-ZABD=ZEBD

BD=BD

.'.△BAD%ABED(AAS),

：.AB=BE,

：平分/ABE,

...2。垂直平分AE(三線合一),

題型精講

題型01軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的判斷

【典例1】

下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

B.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

C.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意;

D.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【典例2】

下列四個(gè)圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

8、不是軸對(duì)稱圖形，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

。、是軸對(duì)稱圖形，故。選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【典例3】

將一張矩形的紙對(duì)折，然后用筆尖在上面扎出“8”，再把它鋪平，你可見(jiàn)到（）

10

A.B|B|B.B"|c.B]S口.I「

【解答】解：觀察選項(xiàng)可得：只有C是軸對(duì)稱圖形.

故選：C.

【典例4】

觀察下圖中各組圖形，其中成軸對(duì)稱的為（只寫(xiě)序號(hào)1,2等）.

個(gè)十箜立

①②③⑷

【解答】解：3中的傘把不對(duì)稱，故填①②④

故填①②④

題型02鏡面對(duì)稱的規(guī)律題

【典例1】

如圖是一個(gè)經(jīng)過(guò)改造的臺(tái)球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)球袋，如果一個(gè)球從A

（-2,0）按照?qǐng)D中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），第一次碰到桌面8的坐標(biāo)是（0,2）,

則該球第二次碰到臺(tái)球桌面的坐標(biāo)是（2,0）,該球最后落入的球袋是2號(hào)袋.

因?yàn)橐粋€(gè)球從A（-2,0）按照?qǐng)D中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過(guò)多次反射），第一次碰到桌面2的坐

標(biāo)是（0,2）,

所以該球第二次碰到臺(tái)球桌面的坐標(biāo)是（2,0）,該球最后落入的球袋是2號(hào)袋.

故答案為：（2,0）,2.

【典例2】

如圖，彈性小球從點(diǎn)尸（0,1）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到正方形0ABe的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)

反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pi（-2,0）,第2次碰到正方形的邊時(shí)的

點(diǎn)為P2,…，第九次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pa,則點(diǎn)尸2020的坐標(biāo)是（）

A.(0,1)B.(-2,4)C.(-2,0)D.(0,3)

根據(jù)反射角等于入射角畫(huà)圖，可知光線從P2反射后到P3（0,3）,再反射到P4（-2,4）,再反射到P5

（-4,3）,再反射到P點(diǎn)（0,1）之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，2020+6=336……4,即點(diǎn)P2020

的坐標(biāo)是（-2,4）,

故選：B.

【典例3】

在桌球運(yùn)動(dòng)中，正面擊球時(shí)球碰到球桌邊緣會(huì)發(fā)生反彈，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)P從（0,2）出

發(fā)，沿如圖所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角.當(dāng)點(diǎn)P第2022次碰

到長(zhǎng)方形的邊時(shí)，點(diǎn)P2022的坐標(biāo)為（0,2）.

y

【解答】解：依照題意畫(huà)出圖形，如圖所示.

VP(0,2),Pi(2,0),P2(6,4),

：.P3(8,2),P4(6,0),P5(2,4),P6(0,2),P7(2,0),…,

:.Pn的坐標(biāo)以6為循環(huán)單位循環(huán).

：2022+6=337,

...點(diǎn)尸2022的坐標(biāo)是(0,2),

【典例4】

如圖，彈性小球從點(diǎn)尸（0,1）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到正方形0A2C的邊時(shí)反彈，反彈的

反射角等于入射角（反射前后的線與邊的夾角相等），當(dāng)小球第1次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為尸1（2,0）,

第2次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為P2,…，第〃次碰到正方形的邊時(shí)的點(diǎn)為外，則點(diǎn)P2021的坐標(biāo)為（第

【解答】解：如圖:

根據(jù)反射角等于入射角畫(huà)圖，可知小球從P2反射后到P3（0,3）,再反射到「4（2,4）,再反射到P5（4,

3）,再反射到P點(diǎn)（0,1）之后，再循環(huán)反射，每6次一循環(huán)，2021+6=336…5,即點(diǎn)P2021的坐標(biāo)是

（4,3）.

故答案為：（4,3）.

【典例5】

如圖所示，彈性小球從點(diǎn)P（0,3）出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時(shí)反彈，反彈

時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為尸1,第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為尸2,…，

第n次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Pn,則點(diǎn)尸2021的坐標(biāo)是（1,4）.

根據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)（0,3）,

V20214-6=336-5,

當(dāng)點(diǎn)P第2021次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的第5次反彈，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,4）,

故答案為：（1,4）.

題型03軸對(duì)稱的性質(zhì)理解

【典例1】

如圖，△ABC與△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱，BB'交MN于點(diǎn)、O,下列結(jié)論:

?AB=A'B'；

?OB=OB'；

③中，

【解答】解：?.?△ABC與△/!'B'C關(guān)于直線對(duì)稱，

：.OB=OB',△ABC會(huì)△&'B'C,AA'//BB',故②③正確，

：.AB^A'B',故①正確，

所以正確的一共有3個(gè)，

故選：A.

【典例2】

如圖，zMSC與AA'B'C關(guān)于直線/對(duì)稱，連接A4'交對(duì)稱軸/于點(diǎn)若NA=50°,ZC=30°

則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.三角形ABC與三角形A'B'C的周長(zhǎng)相等

B.AM=A'M5.AA'_!_/

C.ZB=100°

D.連接38',CC',則AA',BB',CC'三條線段不僅平行而且相等

【解答】解：:△ABC與B1C關(guān)于直線/對(duì)稱，ZA=50°,ZCz=30°,

三角形ABC與三角形A'B'C的周長(zhǎng)相等，AM=A'M且A4'±1,

NC=NC'=30°,AA'//BB'//CC',

.,.ZB=180°-ZA-ZC=100°,

B,C不符合題意；。符合題意.

故選：D.

【典例3】

如圖，△ABC和△A3C關(guān)于直線/對(duì)稱，下列結(jié)論：(1)AABC^AA'B'C；(2)ZBAC^ZB'A'C；(3)

直線/垂直平分CC；(4)直線/平分NCAC.正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：??.△ABC和△AB'C關(guān)于直線/對(duì)稱，

(1)AABC^AA'B'C；

(2)ZBAC=ZB'A'C；

(3)直線/垂直平分CC；

(4)直線/平分NCAC.

綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)，

故選：D.

題型04利用軸對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算

【典例1】

如圖，△ABC與△ABC關(guān)于直線/對(duì)稱，則AC=()

C.BCD.A'C

【解答】解：：△ABC和B'C關(guān)于直線/對(duì)稱,

AABC^AA7B'C,

：.AC=A'C

故選：D.

【典例2】

如圖，△ABC與△AB'C關(guān)于直線/對(duì)稱，ZA=54°,ZC=26°,則等于（）

【解答】解：?.,△ABC與B'C關(guān)于直線/對(duì)稱，

/.ZC=ZC,=26°,

在△ABC中，ZB=180°-ZA-ZC=180°-54°-26°=100°.

故選：D.

【典例3】

如圖，在△ABC中，NA=30°,NB=50°,將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EE折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重

合，則/NC尸的度數(shù)為（）

【解答】解：：/4=30°,ZB=50°,

AZACB=100°,

:將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和E尸折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)C重合，

...NACN=NA=30°,NFCE=NB=50°,

：,ZNCF=1QQ°-30°-50°=20°,

故選：C.

【典例4】

在折紙游戲中，小穎將一張長(zhǎng)方形紙片ABC。按如圖所示方式折疊，AE、A尸為折痕，點(diǎn)8、。折疊后的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為8'、D',若NB'AD'=12°,則NEAF的度數(shù)為39°

：.ZEAF=39°.

故答案為：39°.

【典例5】

如圖，所在直線是AABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E,尸是AD上的兩點(diǎn)，若BD=3,AD=6,則圖中陰影部分的

【解答】解：：△ABC關(guān)于直線4。對(duì)稱，

:.B、C關(guān)于直線AD對(duì)稱，

...△。￡尸和48后尸關(guān)于直線4。對(duì)稱，BC=2BD=2X3=6,ADLBC,

:.S&BEF=S&CEF,

；△ABC的面積是：yXBCXAD=yX6X6=18-

???圖中陰影部分的面積是.SAARC

故答案為：9.

題型05利用垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算

【典例1】

如圖，△ABC中，BC的垂直平分線/與AC相交于點(diǎn)D,若△ABD的周長(zhǎng)為12cm,則AB+AC^12cm.

【解答】解：???/是的垂直平分線，

：.DB=DC,

AABD的周長(zhǎng)為12cm,

..AB+AD+BD=12cm,

'.AB+AD+DC—12cm,

.*.AB+AC=12cm,

故答案為：12.

【典例2】

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交A3、BC于點(diǎn)D、E,連接AE,若AE=4,EC=2,則3C的

長(zhǎng)是（）

【解答】解：??.DE是A3的垂直平分線，

.,.2E=AE=4,

：.BC=BE+EC=4+2=6,

故選：B.

【典例3】

如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)、D,E,AC的垂直平分線分別交AC,BC于點(diǎn)F,

G,且aAEG的周長(zhǎng)是20,則線段BC的長(zhǎng)為（）

A.40B.20C.15D.10

【解答】解：:。石是48的垂直平分線，GP是AC的垂直平分線，

:.EB=EA,GA=GC,

zXAEG的周長(zhǎng)是20,

：.AE+EG+AG^2.Q,

：.BE+EG+GC=20,

：.BC=20.

故選：B.

【典例4】

如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=42°,AB的垂直平分線MN交AC于。點(diǎn)，連接BD,則/DBC的度

數(shù)是（）

A

BC

A.22°B.27°C.32''D.40°

【解答】解：?；AB=AC,NA=42°,

AZABC=A(180°-ZA)=A(180°-42°)=69°,

22

垂直平分線AB,

：.AD=BD,

：.ZABD=ZA^42°,

/.ZDBC=ZABC-ZABD=69°-42°=27°.

故選：B.

【典例5】

如圖，在△ABC中，ZABC=52°,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸的直線MN分別交A3、BC于點(diǎn)M,N,若

M在E4的垂直平分線上，N在尸C的垂直平分線上,，則NAPC的度數(shù)為（）

BNC

A.115°B.116°C.11：7°D.118°

【解答】解：??,NA5C=52°,

AZBMN+ZBNM^128°.

TM在B4的中垂線上，N在尸。的中垂線上，

：.AM=PM,PN=CN.

：.ZMAP=ZMPAfZCPN=ZPCN.

??/BMN=ZMAP+ZMPA,ZBNM=ZCPN+ZPCN,

ZMPA=^ZBMN,NCPN=LNBNM.

22

：.ZMPA+ZCPN^—(/BMN+/BNM)=Axi28°=64°.

22

/.ZAPC=180°-64°=116°.

故選：B.

【典例6】

如圖，在△ABC中，OE垂直平分BC,分別交8C、AB于。、E,連接CE,BF平分/ABC,交CE于F,

若BE=AC,ZACE=20°，則NEEB的度數(shù)為()

A

BDC

A.56°B.58°C.60°D.63°

【解答】解：垂直平分BC,

：.EB=EC,

NEBC=ZECB,

,:BE=AC,

：.CE^AC,

VZACE=20°,

/.ZA=ZAEC=^-(180°-ZACE)=80°,

2

VZAEC=ZEBC+ZECB=80°,

：.ZEBC=ZECB=40°,

：8/平分/ABC,

/.ZFBC=^ZEBC=2Qa,

2

ZEFB=NFBC+NECB=6Q°,

故選：C.

【典例7】

如圖：DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，若BC=8厘米，AB=10厘米，則△EBC的周長(zhǎng)為()厘

米.

E,

B，---------------

A.16B.18C.26D.28

【解答】解：:DE是△ABC中AC邊的垂直平分線，

：.AE=CE,

：./\EBC的周長(zhǎng)=BC+8E+CE=BC+2E+CE=2C+A2=10+8=18（厘米），

故選：B.

【典例8】

如圖，在△ABC中，4B的垂直平分線分別交BC,A2于。，E兩點(diǎn)，若A￡=3on,△AOC的周長(zhǎng)為9cm,

則△ABC的周長(zhǎng)是（）

【解答】解：???￡）￡垂直平分AB,

:.DB=DA,BE=AE=3cm,

,?ZiAOC的周長(zhǎng)為9cm,

CD+DA+AC=9cm,

CD+BD+AC—9cmt

BC+AC=9cm,

.,.△ABC的周長(zhǎng)=BC+AC+AB=BC+AC+2AE=9+2X3=15（cm）,

故選：C.

【典例9】

如圖，NAOB內(nèi)一點(diǎn)尸，Pi,P2分別是尸關(guān)于。4、02的對(duì)稱點(diǎn)，P1P2交。4于點(diǎn)交0B于點(diǎn)、N.若

△PMN的周長(zhǎng)是5cm,則P1P2的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：?..尸點(diǎn)關(guān)于。4、。8的對(duì)稱點(diǎn)尸1、尸2,

：.PM=PiM,PN=P2N,

：.4PMN的周長(zhǎng)=PM+MN+PN=PIM+MN+P2N=P1P2,

的周長(zhǎng)是5所，

:?P\P2=5cm.

故選：C.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列倡導(dǎo)節(jié)約的圖案中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

C.

【解答】解：4,B,。選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的

部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形.

C選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對(duì)稱圖形.

故選：C.

2.如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最

后落入的球袋是（）

1號(hào)袋2號(hào)袋

A.1號(hào)袋B.2號(hào)袋C.3號(hào)袋D.4號(hào)袋

【解答】解：如圖所示,

球最后落入的球袋是2號(hào)袋,

故選：B.

3.如圖，△ABC與B'C關(guān)于直線對(duì)稱，P為MN上任意一點(diǎn)下列說(shuō)法不正確的是（）

鼠

V

A.AP=A'P

B.A/N垂直平分4A'，CC'

C.這兩個(gè)三角形的面積相等

D.直線AB,A'B'的交點(diǎn)不一定在MN上

【解答】解：A、P到點(diǎn)A、點(diǎn)A'的距離相等正確，不符合題意；

8、點(diǎn)C、點(diǎn)C'到直線的距離相等正確，點(diǎn)A、點(diǎn)A'到直線的距離相等正確，不符合題意；

C、:△ABC與△&'B'C關(guān)于直線WN對(duì)稱，.??這兩個(gè)三角形的面積相等，不符合題意；

D、直線AB,A'B'的交點(diǎn)一定在上，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選：D.

4.如圖，直線/，機(jī)相交于點(diǎn)。，尸為這兩直線外一點(diǎn)，且。尸=3,若點(diǎn)尸關(guān)于直線/,根的對(duì)稱點(diǎn)分別是

點(diǎn)尸1,尸2,則P1,尸2之間的距離可能是（）

【解答】解：連接。Pl,0P2,P1P2,

丁點(diǎn)尸關(guān)于直線/,根的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P,P2,

：.OPi=OP=3,OP=OP2=3,

OP\+OP2>P1P2,

O<P1P2<6,

故選：B.

5.如圖，在△ABC中，ADLBC,垂足為。，AADB與AADB，關(guān)于直線AZ）對(duì)稱，點(diǎn)5的對(duì)稱點(diǎn)次落

在邊上.若NC=2/B'AC,AB1平分NZMC,則N3的度數(shù)為（）

【解答】解：設(shè)AC=x,則NC=2x,

\'AB'平分ND4C,

：.ZDAC=2ZBrAC=2x,

*：AD±BC,

：.ZADC=90°,

：.ZC+ZDAC=90°,

：.2x+2x=90°,

Ax=22.5°.

ZAB'D=ZC+ZB'AC=3x=67.5°,

AADB與△A08關(guān)于直線AD對(duì)稱，

:,/B=/AB‘。=67.5°.

故選：A.

6.如圖所示,將ZA沿著B(niǎo)C折疊到ZA所在平面內(nèi)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A,若NA=54°,則N1+N2=（）

B.108°C.72°D.54°

【解答】解：由折疊的定義知：ZABC=ZA'BC,ZACB=ZA'CB,

；NA=54°,

AZABC+ZACB=180°-ZA=180°-54°=126°

AZABA'+ZACAr=2X126°=252°,

.,.Zl+Z2=2X180°-QZABA'+ZACA')=360°-252°=108

故選：B.

7.如圖，四邊形ABC。為一矩形紙帶，點(diǎn)E、尸分別在邊A3、CD上，將紙帶沿成折疊，點(diǎn)A、。的對(duì)

A.2aB.90°-aC.gQ°aD.99°a

32

【解答】解：由折疊可得：/AEF=/AEF,

?'-ZAEF=y(180°-N2)=90°-yCL-

.四邊形ABC。為矩形，

J.AB//CD,

?'-Zl=ZAEF=90°-1a，

故選：D.

8.如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,分別作AC,AB兩邊的垂直平分線PM、PN,垂足分別是點(diǎn)M、N,

以下說(shuō)法：①/尸=60°；②NEAF=NB+NC；③PE=PF；④點(diǎn)尸到點(diǎn)8和點(diǎn)C的距離相等，其中正

確的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【解答】解：'JPMLAC,PNLAB,

：.ZPMA=ZPNA=90Q,

VZBAC+ZPMA+ZPNA+ZP=36O°,ZBAC=120°,

AZP=60°,

故①符合題意；

：AC的垂直平分線是

：.EC=EA,

NEAC=/C,

同理：ZEAB=ZB,

：.ZEAC+ZEAB^ZB+ZC,

VZBAC=120°,

ZEAC+ZEAB=ZB+ZC=60°,

AZEAF=ABAC-(NEAC+NEAB)=60°,

：.ZEAF=ZB+ZC,

故②符合題意；

'：ZPEF=ZCEM=90°-ZC,ZPFE=ZBEN=90°-ZB,N3不一定等于/C,

ZPEF不一定等于NPFE,

...PE不一定等于PR

故③不符合題意；

'：PM,PN分別平分AC,AB,

是△ABC的外心，

；?點(diǎn)P到點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離相等，

故④符合題意.

正確的是①②④.

故選：B.

9.己知。為三邊垂直平分線交點(diǎn)，/BAC=70°,則/BOC=140°.

【解答】解：?.?已知點(diǎn)。為三邊垂直平分線交點(diǎn),

.?.點(diǎn)。為△ABC的外心，

ZBOC=2ZBAC,

?.?/8AC=70°,

：.ZBOC=14Q°,

故答案為：140°.

10.如圖，在△ABC中，ZBAO90°,A8的垂直平分線交8c于點(diǎn)E,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F,

連接AE,AF,若△AEF的周長(zhǎng)為7,則BC的長(zhǎng)是（

A.7B.8C.9D.無(wú)法確定

【解答】解：「AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,

:.EA=EB,

'：AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)F.

J.FA^FC,

BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=AA￡F的周長(zhǎng)=7.

故選：A.

11.如圖，在△ABC中，邊的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O,這兩條垂直平分線

分別交8C于點(diǎn)。、E.已知△AOE的周長(zhǎng)為11c機(jī),分別連接。4、OB、OC,若△O8C的周長(zhǎng)為23cm,

則OA的長(zhǎng)為6cm.

【解答】解：:OM、ON分別為AB、AC的垂直平分線,

：.DA=DB,OA^OB,EA=EC,OA=OC,

：△ADE的周長(zhǎng)為11cm,

AD+DE+EA=llcm,

：.BD+DE+EC^llcm,BPBC^llcm,

'.,△OBC的周長(zhǎng)為23on,

/.OB+BC+OC=23cm,

：.OB+OC=23-11=12(cm),

??OA——6cm,

故答案為：6cm.

12.如圖，AE是NC4M的角平分線，點(diǎn)3在射線AM上，OE是線段BC的中垂線交AE于E,過(guò)點(diǎn)￡作

AM的垂線交AM于點(diǎn)若NAC8=26°,ZEBD=25°,則39

【解答】解：連接CE,過(guò)E作ERJ_AC于R,CD交ER于Q,AE交BC于0,

：.ZEDC=90°,CE=BE,

：./ECB=ZEBDf

?：/EBD=25°,

：.ZECB=25°,

；?/DEB=/CED=90°-25°=65°,

VE7?±AC,ED上BC,

：.ZQRC=ZQDE=90°,

AZACB+ZCQR=90°,ZEQD+ZQED=90°,

?；NCQR=/EQD,

：.ZACB=ZQED,

VZACB=26°,

：.ZQED=26°,

〈AE平分NCAM,ER_LAC,EFLAM,

：?ER=EF,

在RtAE7?C和RtAEFB中，

[CE=BE,

lER=EF，

ARtAE7?C^RtAEFB(HL),

：.ZEBF=ZACE=ZACB+ZECD=26°+25°=51°,

?：/EFB=9U°,

AZBEF=90°-NEBF=90°-51°=39°,

；?NREF=NRED+NBED+NBEF=26°+65°+39°=130°,

VZARE=ZAFE=90°,

A360°-90°-90°-130°=50°,

'：AE平分/CAM,

AZCAE=-^/CAM=25°，

2

AZDOE^ZCAE+ZACB^25°+26°=51°,

,:ED上BC,

:.NEDB=90°,

AZAED^90°-ZDOE=90°-51°=39°,

故答案為：39.

13.如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，連接AE,8。垂在平分AE,垂足為R交AC于點(diǎn)D連

接DE.

(1)若△ABC的周長(zhǎng)為19,△QEC的周長(zhǎng)為7,求A8的長(zhǎng).

(2)若/ABC=30°,ZC=15°,求/Q9E的度數(shù).

【解答】解：(1):瓦)是線段AE的垂直平分線，

：.AB=BE,AD=DE,

「△ABC的周長(zhǎng)為19,△DEC的周長(zhǎng)為7,

AB+BE+EC+CD+AD=19,CD+EC+DE^CD+CE+AD^l,

：.AB+BE^19-7=12,

：.AB=6,

(2)VZABC=30°,ZC=15°,

.*.ZBAC=180°-30°-15°=135°,

在△54。和△BEC中，

'BA=BE

<BD=BD>

DA=DE

:.ABAD2ABED(SSS),

：.ZBED=ZBAC=135°,

：.ZCDE=ZBED-ZC=105°-15°=90°.

14.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、8c于點(diǎn)。、E,AC的垂直平分線分別交AC、BC于

點(diǎn)R