高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項訓(xùn)練：正弦定理和余弦定理題型戰(zhàn)法

第四章三角函數(shù)與解三角形

4.3.1正弦定理和余弦定理(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一正弦定理

1.正弦定理概念

sinAsinBsinC

這就是正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對的角的正弦的比相等.

2.利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，解決三角形

力qinA

(1)兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如〃=------;

sin3

(2)兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.如sinAn^sinB.

b

二余弦定理

1.余弦定理概念

在AABC中：a2=b2+c2-1bccosA,Z>2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.

2.應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.

(1)已知三邊，求三角.

(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.

3.余弦定理的變形

(1)余弦定理的變形：

.八I<‘ci'tr'ILh'irIhc'

cosA=-、；cosBn="、；cosrC=.

2八r2/JI>

(2)利用余弦定理的變形判定角：

在ZkABC中，理=。2+匕20c為直角；心>。2+50。為鈍角；°2<°2+抉=c為銳角.

三三角形的面積公式

一般地，若記AABC的面積為S,則S=』absinC=%csinB2bcsinA

222

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一正弦定理解三角形

典例1.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=也,a=5,b=4,則sinB=()

4

A.-B.-C.立D.立

4554

用

變式1-1.記△力BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c:,sinC=—,c=2,b=3,貝!JcosB的值

7

為()

A.一立B.叵C.土五D.土且

1414147

變式1-2.在AABC中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c,若a=2,b=2右,A=30°,則B等

于()

A.60°B.120°C.60。或120。D.60?；?35°

變式1-3.在△ABC中，BC=15,AC=10,A=60,則cos3=()

A.-逅B..「2A/2D,巫

X-z.--------

3333

變式1-4.在AaBC中，A=30。，BC=1,則△ABC外接圓的半徑為()

A.1B.；C.2D.3

題型戰(zhàn)法二余弦定理解三角形

JT

典例2.在AaBC中，角A、B、C的對邊分別是“、b、C,若。=3,c=8,B=§,則。=()

A.6B.7C.屈D.屈

變式2-1.在^ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,<cosB=|,Z7=4^/2,c=5,則〃=()

A.6B.7C.8D.472

變式2-2.在AABC中，若AB=1,AC=2,ZA=y,則3C=()

A.73B.>/5C.77D.2>/2

變式2-3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若/=/+〃+必，則。=()

A.60B.120C.135D.150

22

變式2-4.AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,^a-+c-b=^3ac,則ZB的大

小為()

A'B.?C.7或不D.§或§

題型戰(zhàn)法三邊角互化

典例3.在A/BC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.若缶=6bsinA,則sinB=()

A.在B.且C.立D.-

3333

變式3-1.在△4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且°=2m，cosA==,sinB=2sinC,

貝昨()

A.1B.2C.3D.4

變式3-2.已知△ABC中，角A,B,C對邊分別為a,b,c,若(3a-c)cosB=6cosC,則cos3=(

bc

A.--t-4D*

3

變式3-3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acos3+Z?cosA=gz?c,貝!!/?=()

A.1B.V2C.2D.73

變式3-4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為〃、b、c,若sinA:sin5:sinC=2:4:5,則

cosB=（）

題型戰(zhàn)法四判斷三角形形狀

典例4.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,J若4cos3=6cosA,則為（）

A.等腰且直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形

變式4-1.在AaBC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,C,已知a=26cosC,則aABC的形

狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

變式4-2.在非鈍角△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知3a=2揚sinA,且cosA=cosC,

則△ABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

變式4-3.在AaBC中，E^[JsinC=2sin（3+C）cosB,那么aaBC一定是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形

變式4-4.若A4BC的三個內(nèi)角滿足sinA:sinJB:sinC=2:3:4,則△ABC的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.以上都有可能

題型戰(zhàn)法五面積公式的應(yīng)用

典例5.在AaBC中，cosB=g,6=2,sinC=2sinA,則AABC的面積等于（）

A.-B.1C.@D.巫

變式5-1.在AABC中，角ABC的對邊分別為若"技b="c=2,則△力BC的面積為（）

A.叵B.姮C.VTTD.V33

22

變式5-2.在△ABC中，a=2,B=R,ABC的面積等于且，則匕等于（）

32

A.BB.1C.6D.2

2

變式5-3.已知的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,J.（a+^）2-c2=6,C=60°,則△ABC

的面積為（）

A.昱B.巫C.—D.273

233

變式5-4.已知AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為mb,c.若AABC的面積為則角

4

A=（）

生

AA，26E比g—3c30D?—6

題型戰(zhàn)法六判斷三角形解的個數(shù)

典例6.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為訪b,c,下列各組條件中，使得△ABC恰有一

個解的是（）

A.61=2,b=4,A=—B.a=A/13,Z?=4,A=—

33

C.Q=2-\/3,Z?=4,A=D.a=3A/2,b=4,A=

33

變式6-1.在△OAB中，A=],a=3,b=版,則滿足條件的三角形的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

變式6-2.下列條件判斷三角形解的情況，正確的的個數(shù)是（）.

①a=8,b=16,4=30。,有兩解；

②6=18,c=20,8=60。，有一解；

③〃二15,6=2,4=90。，無解；

④a=40,6=30,A=120°,有一解.

A.1B.2C.3D.4

變式6-3.已知a,b,c分別為一ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2,A=45。，若三角形有兩解,

則b的可能取值是（）

A.2B.2.3C.3D.4

變式6-4.在一ABC中，AB=2,A=60°,BC=m,若滿足條件的三角形有兩個，則根的取值范圍

為（）

A.l<m<2B.m<2C.<m<2D.m>也

題型戰(zhàn)法七正、余弦定理的綜合應(yīng)用

典例7.記中，角A,3,C的對邊分別為〃也0,已知Qcos3+AcosA=6ctanA.

⑴求A；

（2）若。=2,b=2石,求4的面積.

變式7-1.在①。=5,②cosC=。這兩個條件中任選一個，補充到下面的橫線中，并求解.

在.ABC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,且石acosB=6sinA,6=7,若

(注：只需選一個作答，如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答給分)求：

⑴c的值；

(2)△力BC的面積.

變式72已知△曲的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為b,%若4^的外接圓半徑為

且6sinA+?acosB=0.

⑴求B及6；

⑵若a+c=2百，求。，c.

變式73已知的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃"，c,滿足(2a-b)sinA+(?-〃)sinB=2csinC.

⑴求角。的大??；

(2)^c=V13,a+b=4,求△48(7的面積.

(3)若cosA=+，求sin(2A-C)的值.

變式7-4.△ABC中，。也c是角AB,C所對的邊，bsinB-csinC=(a+c)sinA.

⑴求/B的大小；

(2)若a=4,△ABC的面積為56,求匕的值.

第四章三角函數(shù)與解三角形

4.3.1正弦定理和余弦定理（題型戰(zhàn)法）

知識梳理

一正弦定理

1.正弦定理概念

ab_c

在AABC中:

sinAsinBsinC

這就是正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對的角的正弦的比相等.

2.利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，解決三角形

win\

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如〃=------；

sin3

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.如sinA=qsin3.

b

二余弦定理

1.余弦定理概念

在AABC中：a-=b2+c2-2bccosA,b~=a2+c2-2accosB,c2=a2+Z>2-2a/?cosC.

這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余

弦的積的2倍.

2.應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.

（1）已知三邊，求三角.

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.

3.余弦定理的變形

（1）余弦定理的變形：

COSA=-些"；COSB=，

；cosC=

2/ATLib

（2）利用余弦定理的變形判定角:

在及43。中，，=“2+匕20c為直角；c2>〃+/QC為鈍角；c2<a2+b2QC為銳角.

三三角形的面積公式

一般地,若記AABC的面積為S,則S=%bsinC=%csinB[bcsinA

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一正弦定理解三角形

典例1.記△ABC的內(nèi)角A,2,C的對邊分別為。，反c,若（2054=也,“=5,6=4,貝!k1112?=

4

（）

A.-B.-C.立D.也

4554

【答案】B

【解析】

【分析】

3h

先求出sinA=在由正弦定理可得：sinB=-sinA,代入即可得出答案.

4a

【詳解】

因為cosA=五，則sinA=。，所以由正弦定理三=工，^sinB=-sinA=1.

44sinAsmBa5

故選：B.

變式IL記△麗的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,"si?理，c=2,b=3

則cos8的值為（)

B.旦+也

cD.

14-47

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理求出sin3,再根據(jù)同角公式可得結(jié)果.

【詳解】

25/21

b3x-----3而

根據(jù)正弦定理得,得sin8=X____7_

sinBsinC14

2

所以cos3=±71-sin2B=±J'189_+A/7

19614

故選：c.

變式1-2.在AABC中，角A、8、C的對邊分另u是服〃、c,若a=2,6=26，4=30。,

則8等于（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.60°或135°

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理求解即可

【詳解】

由正弦定理，三=3,故々_汕2_受；_走，因為Be（O，G，故8=60

a22

或120。

故選：C

變式1-3.在△ABC中，BC=15,AC=10,A=60,則cosB=()

A.4r2V2D.述

B。?---

-T33

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理，求得用=*結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式,

即可求解cos3的值.

【詳解】

在.ABC中，BC=15,AC=10,A=60,

ab,可得_10xsinA_5/3

由正弦定理sinB=?i——,

sinAsinBa153

又因為3C>AC,所以B為銳角,所以cosB=Vl-sin2B=

3

故選：B.

變式1-4.在A4BC中，A=30。，BC=l,則△ABC外接圓的半徑為（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

直接使用正弦定理進行求解即可.

【詳解】

設(shè)R為ABC外接圓的半徑，故2/?=三=一白而=2,解得尺=1.

sinAsm30°

故選：A.

題型戰(zhàn)法二余弦定理解三角形

TT

典例2.在AABC中，角A、B、C的對邊分別是。、b、c,若。=3,c=8,8=],

則b=()

A.6B.7C.761D.795

【答案】B

【解析】

【分析】

利用余弦定理計算可得；

【詳解】

解：由余弦定理62=a2+c2-2accosB,即〃=3?+8?-2x3x8xg=49,

所以6=7；

故選：B

變式2-1.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cosB=],6=4"c=5,

則。=()

A.6B.7C.8D.4c

【答案】B

【解析】

【分析】

由余弦定理直接計算可得.

【詳解】

由余弦定理可得：(4>/2)2=a2+52-10ax|

即〃2一6a—7=0,角軍得〃=7或a=—1(舍去)

故選：B

27r

變式2-2.在AABC中，若AB=1,AC=2,ZA=y,則BC=()

A.y/3B.石C.不D.2>/2

【答案】c

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理即可得出答案.

【詳解】

27r

解：因為AB=1,AC=2,Z-A=,

所以BC?=AB2+AC2-2AB-BC.cosA=l+4-2xlx2x(-￡j=7,

所以BC=#\

故選：C.

變式2-3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若，=/+〃+",

則。=()

A.60B.120C.135D.150

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】

c2=a2+b2+ab,a2+b2-c2=-ab,cosC=a-+^———=—=,

lablab2

由于0<C<180,所以C=120.

故選：B.

變式2-4.A/BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若-b。=^ac,

則/B的大小為()

A兀n兀兀-P*51TC.21

A?%B-TC-7或7D-§或可

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦定理即可求得答案.

【詳解】

由題意，1+/一嗔鳥結(jié)合余弦定理可知cosB=@,.0<8<乃,.12=2.

2ac226

故選：A.

題型戰(zhàn)法三邊角互化

典例3.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.若母a=?ysinA,

則sin3=()

A.—B.@C.—D.-

3333

【答案】A

【解析】

【分析】

運用正弦定理邊化角直接計算即可.

【詳解】

由題意，y/2a='j3bsinA,^2sinA=A/3sinBsinA,

VsinA^O,；.sinB=^=—；

y/33

故選：A.

變式3-1.在AaBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2#,cosA=-；,

sinB=2sinC,貝l|b=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理得b=2c,在一ABC中，由余弦定理即可求解.

【詳解】

因為sinjB=2sinC,由正弦定理可知6=2c,

在，ABC中，由余弦定理可得：cosAJ-4.f-24=_；,解得C2=4,

2bc44c4

c>0,:.c=2,故/?=4

故選：D

變式3-2.已知△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為c,若（3a-c）cosB=/?cosC,

貝！jcosB=（）

A-|B.|C.當D,1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進行求解即可.

【詳解】

根據(jù)正弦定理，由（3a-c）cos3=Z?cosC=>3sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC=>

3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosCn3sinAcosB=sin（B+C）=sin（7i-A）=sinA因為

Ae（0,it）,所以sinAWO,于是有3cos8=1ncos3=g,

故選：A

變式3-3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acos8+》cosA=；》c,

貝"（）

A.1B.72C.2D.73

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦逆應(yīng)用進行化簡即可.

【詳解】

解：

acosB+bcosA=^bc,根據(jù)正弦定理得

sinAcosB+sinBcosA=-bsinC

2

：.sin（A+B）=^Z?sinC,BPsinC=-|z?sinC

CG（0,兀）,sinCw0

b=2.

故選：c

變式3-4.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、6、。，若

sinA:sinJ5:sinC=2:4:5,貝!JcosB=（）

133751

A.—B.—C.--D.-

2040168

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理可得。：。：。=5m24411區(qū)：5111。=2:4:5,利用余弦定理可求得cos5的值.

【詳解】

13tz:Z?:c=sinA:sinB:sinC=2:4:5,令a=2，，b-4t9c=5，（，>0）,

a2+c2-b24/+25”—16/13

則cosB=

2ac2x2/x5/20

故選：A.

題型戰(zhàn)法四判斷三角形形狀

典例4.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,J若acosB=6cosA,則AABC

為（）

A.等腰且直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意結(jié)合余弦定理化簡得6=/A即可得解.

【詳解】

由qcos3=bcosA結(jié)合余弦定理可得a?巴上~-^b-b+<?~,

2ac2bc

化簡得片=尸，即4=6,所以一A5C為等腰三角形.

故選：D.

變式4-1.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,已知a=26cosC,

則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和，兩角和的正弦函數(shù)化簡。=?cosC,求出B與C

的關(guān)系，即可判斷三角形的形狀.

【詳解】

解：a-2bcosC,由正弦定理可知，sinA=2sin2?cosC,因為A+3+C=TT,

所以sin(3+C)=2sinBcosC,所以sinBcosC+cos3sinC=2sinBcosC,

即sinBcosC-cosBsinC=0

所以sin(3-C)=0,所以B-C=AT,keZ,

因為A、B、C是三角形內(nèi)角，

所以B=C.

所以dABC是等腰三角形.

故選：A.

變式4-2.在非鈍角AABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知3a=2指bsinA,

且cosA=cosC,則△ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理可得3sinA=2/sinBsinA,由于sinAwO,可求sinB=^^,可得

2

B=~,進而可求。=。，即可判定得解AABC的形狀為等邊三角形.

【詳解】

解：，在非鈍角AABC中，3a=2&sinA,

二由正弦定理可得：3sinA=2/sin8sinA,

sinAw0,

sinB=—,可得：B=T,

23

cosA=cosC,cos2A=cos2C,

sin2A=sin2C,sinA=sinC,

a=c9

:.A=C=B=^,AABC的形狀為等邊三角形.

故選：C.

變式4-3.在△ABC中，E^[]sinC=2sin（3+C）cos3,那么△ABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理和余弦定理將已知的式子轉(zhuǎn)化為邊的形式，然后化簡即得.

【詳解】

因為sinC=2sin（3+C）cos3,sin（B+C）=sinA,

所以sinC=2sinAcosB,

所以由正余弦定理得c=,化簡得"=萬2,

2ac

所以a=6,

所以」ABC為等腰三角形.

故選：B.

變式44若△ABC的三個內(nèi)角滿足$；11144113411。=2:3:4,則448（?的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.以上都有可能

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理可得可設(shè)。=2左，b=3k,c=4k,再由余弦定理判斷最大角C的余弦值

符號即可求解.

【詳解】

由sinA:sin3:sinC=2:3:4,得a:6:c=2:3:4,設(shè)a=2左，b=3k,c=4k（Z>0）,

則由余弦定理有：8sC="+/一/=4后2+又0<c〈萬，

2ab2x2kx3k4

所以即C為鈍角；

故選：A.

題型戰(zhàn)法五面積公式的應(yīng)用

典例5.在AABC中，cosB=-,6=2,sinC=2sinA,則AABC的面積等于（）

4

D.叵

AB?I

-:24

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理余弦定理和三角形面積公式求解即可

【詳解】

由sinC=2sinA可得c=2a,

a2+c2-b2a2+4O2-4

又cos5=r解得a"c=2,

2ac4/

又由cos5=，可得sin5二

44

所以二ABC的面積為工acsinB=—xlx2x^^-=^^-,

2244

故選：D

變式5-1.在AABC中，角ABC的對邊分別為a,6，c,若。=石,b=6,c=2,則△ABC

的面積為（）

A.叵B.叵

c.VTTD.庖

22

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦定理和面積公式計算后可得正確的選項.

【詳解】

b2+c2-a2_A/3

因為a=亞,b=>/3,c=2,所以cosA=

2bc6

因為A為三角形內(nèi)角，故sinA=Jl-cos2A=

6

屈A/U

所以三角形的面積S=—bcsinA=—xx2X---------=----------

2262

故選：B.

變式5-2.在△ABC中，〃=2,8=g”A5C的面積等于蟲，貝同等于（）

32

A.—B.1C.V3D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知利用三角形面積公式可求。，進而利用余弦定理可求b的值.

【詳解】

1且

解：a-2,B=三,ABC的面積等于咚■ngacsin/JX2XCX

2-2

，解得：c=l,

.?■由余弦定理可得：Z?=Va2+c2-2accosB=J4+1-2X2X1X1=A/3.

故選：C.

變式5-3.已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且（4+。）2_02=6,C=60°,

則△ABC的面積為（）

A.也B.氈C.且D.2百

233

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理可求向的值，從而可求三角形的面積.

【詳解】

因為C=60°,故=a?_|__2abcos60°=a1+b2—ab,

而（〃+M-。2=6,故=片+人2+2〃b—6=〃+62一他，

故必=2,故三角形的面積為LaZ?xsin6（）o=^x2=3，

242

故選：A.

變式5-4.已知△力8。的內(nèi)角A仇C的對邊分別為①b,c若△ABC的面積為

向2）

2L2--------------L,則角A=（）

4

【答案】c

【解析】

【分析】

利用面積公式和余弦定理可求A.

【詳解】

由余弦定理可得/=62+C2-2ACOSA,而三角形面積為g^csinA,

,,y/3（b2+c2-2bccosA-b2-c2]i

故一---------------------2=-bcsinA^

42

O-7T

整理得到tanA=-百，而A為三角形內(nèi)角，故人=胃.

故選：C.

題型戰(zhàn)法六判斷三角形解的個數(shù)

典例6.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列各組條件中，使

得A/BC恰有一個解的是（）

71

A.a=2,Z?=4,A=—B.a=V13,Z?=4,A=—

33

I-27rI-2冗

C.a=2V3,b=4,A=—D.a=3V2,力=4,A=—

33

【答案】D

【解析】

【分析】

利用正弦定理逐項判斷.

【詳解】

A.因為。=2,6=4,A=g,由正弦定理得￡=芻，則

3smAsmB

4xsin—

.八Z?sinA無解;

smB=--------______3_=5/3>r

a2

b

B.因為。=屈，b=4,A=g,由正弦定理得三,則

3sinAsinB

4xsin

sinB.^inA_l_2739,又也〈冥H<i,則9<3<斗，有兩解，故錯誤;

aV131321333

C.因為“<b,A=?27r則3>A,所以無解，故錯誤；

-ginA_4xsin§_",又二巫<],且…，所以g<8<g,故有一解，故

'SB-F--FT-萬2362

正確.

故選：D

變式6-1.在AOAB中，4=：,“=3,%=夜，則滿足條件的三角形的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理結(jié)合三角形邊角關(guān)系定理即可判斷

【詳解】

=>sinB=—

sinAsinB夜sinB3

~T

如圖所示，因為。>力，所以A>6

又A=所以5為銳角

則滿足條件的三角形只有一個

故選：B

變式6-2.下列條件判斷三角形解的情況，正確的的個數(shù)是（）.

①》=8,b=16,A=30。，有兩解；

②b=18,c=20,3=60°,有一解；

③。=15,b=2,A=90°,無解；

④〃=40,b=30,A=120°,有一解.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

對于①，由正弦定理求得sin3=l,可判斷三角形解的個數(shù)；對于②，由正弦定理求

得sinC=%8,結(jié)合三角形中大邊對大角性質(zhì)，可判斷三角形解的個數(shù)；對于③，

9

由正弦定理sin5=\,結(jié)合A=90。，可得解的個數(shù)；對于④，由正弦定理得

sinB=2叵，結(jié)合A=120。可得三角形的解有一個，由此可得答案.

8

【詳解】

對于①，由正弦定理abbsinA16X2,,

------=-------,sinD=-----------=--------=1

sinAsinBa8

則由BCQTT）,可得B有一解，故三角形的解有一個，錯誤；

V3

對于②，由正弦定理bc.csinB20x^573,

=,sinC==---------=-----

sin3----sinC--------------b18------9

因為b<c,故C>3=60，則三角形的解有兩解，錯誤；

bsinA2

對于③，由正弦定理」7------,sinB=

sinAsin5a15

則由3C（0,TI）且A=90，可得B有一解，故三角形的解有一個，錯誤;

an3l

對于④，由正弦定理a_b.bsinA_*23布,

------=-------,sinD===

sinAsinB〃----------40--------8

則由3c（0,兀）且A=120。,可得8有一解，故三角形的解有一個，正確，

故選：A

變式6-3.已知。，b,c分別為3ABe三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2,A=45。，若

三角形有兩解，則b的可能取值是（）

A.2B.2.3C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合圖形即可由解的個數(shù)求得b的取值范圍，從而得到答案.

【詳解】

如圖，ABC有兩解的充要條件是6sin45o<2<b,解得2<6<20,

故b的取值范圍是僅,2后），結(jié)合各選項可知B正確.

故選:B

變式6-4.在ABC中，AB=2,A=60°,BC=m,若滿足條件的三角形有兩個，則

m的取值范圍為（）

A.l<m<2B.m<2C.垂）<m<2D.m>乖i

【答案】C

【解析】

【分析】

因為滿足條件的三角形有兩個，所以csinA<a<c,將已知條件代入即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為滿足條件的三角形有兩個，所以csinA<a<c,將A=60。，c=AB=2,a=3C=機，

代入，解得G<〃Z<2.

故選：C

題型戰(zhàn)法七正、余弦定理的綜合應(yīng)用

典例7.記△ABC中，角A，2，C的對邊分別為a,6,c,已知acosB+bcosA=\/^ctanA.

⑴求A；

（2）若a=2,6=2括，求△ABC的面積.