專題03直線與平面的位置關(guān)系

【解析版】專題03直線與平面的位置關(guān)系本章主要討論三維空間中的直線與平面，從四個簡單直觀的公理（也稱為“基本事實”)出發(fā)，通過演繹推理的方法建立起關(guān)于空間的點、直線與平面之間基本關(guān)系的比較系統(tǒng)完整的理論；這方面的要求與“二期課改“教材相比，有明顯的提高，因此課程的難度也略有增大；作這樣變化的目的在于克服學(xué)生空間直觀想象和邏輯推理上的不足；所以，充分利用教材的內(nèi)容但不要超越教材的難度，注意給學(xué)生鋪設(shè)好從平面到立體的臺階，聚焦培養(yǎng)學(xué)生的能力和索養(yǎng)；因此，在學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與空間想象能力是學(xué)習(xí)立體幾何的關(guān)鍵；教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注空間圖形及其位置關(guān)系的多種表征方式；如實物、模型、圖形、符號及文字等，并通過不同表征方式的相互轉(zhuǎn)化來幫助學(xué)生理解空間概念、圖形和解決，用好長方體這一直觀的模型；．一、《必修第二冊》目錄與內(nèi)容提要【本章教材目錄】第10章空間直線與平面10.1平面及其基本性質(zhì)10.1.1空間的點、直線與平面；10.1.2相交平面；10.1.3空間圖形的平面直觀圖的畫法；10.2直線與直線的位置關(guān)系10.2.1空間的平行直線；10.2.2異面直線；10.2.3兩條異面直線所成的角；10.3直線與平面的位置關(guān)系10.3.1直線與平面平行；10.3.2直線與平面垂直；10.3.3直線與平面所成的角；10.3.4三垂線定理；10.4平面與平面的位置關(guān)系10.4.1平面與平面平行；10.4.2二面角*10.5異面直線間的距離【本章內(nèi)容提要】1、立體幾何中的公理及其推論（1）公理1如果一條直線上有兩點在一個平面上，那么這條直線上所有的點都在這個平面上；（2）公理2不在同一直線上的三點確定一個平面；推論1一條直線和這條直線外的一點確定一個平面；推論2兩條相交直線確定一個平面；推論3兩條平行直線確定一個平面；（3）公理3如果兩個不同的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線；（4）公理4平行于同一條直線的兩條直線互相平行；2、直線與直線的位置關(guān)系（1）有三種可能的位置關(guān)系：相交、平行、異面；（2）等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等；推論1如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或者互補；推論2如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；（3）異面直線的定義：不同在任何一個平面上的兩條直線叫做異面直線；（4）異面直線判定定理：過平面外一點與平面上一點的直線，和此平面上不經(jīng)過該點的任何一條直線是異面直線；（5異面直線所成的角的定義：兩條異面直線平移到相交位置時所得到的銳角或直角，稱為這兩條異面直線所成的角；3、直線與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面平行的判定定理：如果不在平面上的一條直線與這個平面上的一條直線平行，那么該直線與這個平面平行；（2）直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，過這條直線的一個平面與此平面相交，那么其交線必與該直線平行；（3）線面垂直的定義：如果一條直線與平面上的任意一條直線都垂直，就說這條直線與這個平面互相垂直；（4）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與該平面垂直；（5）直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；推論1：過一點有且只有一個平面與給定的直線垂直；推論:2：過一點有且只有一條直線與給定的平面垂直；（6）線面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角；（7）三垂線定理：平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直；4、平面與平面的位置關(guān)系（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面上的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行；（2）兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行；（3）一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，一個二面角的大小等于它的平面角的大小；（4）平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直；（5）平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果果兩個平面垂直，那么其中一個平面上垂直于兩個平面交線的直線與另一個平面垂直；*5、異面直線間的距離（1）定理：對于任意給定的兩條異面直線，存在唯一的一條直線與這兩條直線都垂直并且相交；（2）定義：兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離；1、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示直線與平面的位置關(guān)系的分類標準（1）按公共點個數(shù)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(有無公共點\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線和平面相交——有且只有一個公共點,直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點)),無公共點——直線和平面平行))（2）按直線是否在平面內(nèi)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線在平面內(nèi)——所有點在平面內(nèi),直線在平面外\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交,直線與平面平行))))2、直線與平面平行的判定定理文字語言符號語言圖形語言如果不在平面上的一條直線與這個平面上的一條直線平行，則該直線與這個平面平行；應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行的基本步驟：（1）利用性質(zhì)定理在面內(nèi)找平行線；（2）證明直線與直線平行；常用方法：三角形的中位線定理，平行四邊形的平行關(guān)系、成比例線段、線線平行的傳遞性．（3）說明兩線與平面的位置關(guān)系（一條在面內(nèi)，一條不在面內(nèi)）；（4）得出結(jié)論；3、直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言符號語言圖形語言直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，過這條直線的一個平面與此平面相交，那么其交線必與該直線平行；4、直線與平面垂直的定義文字語言符號語言圖形語言直線與平面垂直的定義及其相關(guān)概念：如果一條直線與平面上的任意一條直線都垂直，就說這條直線與這個平面互相垂直；如果直線l與平面α垂直，我們記作l⊥α．這時，直線l叫做平面α的垂線（或者法線），l與α的交點叫做垂足；畫示意圖時，通常使直線l與表示平面α的平行四邊形的一邊垂直；5、直線與平面垂直的重要結(jié)論文字語言符號語言圖形語言過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；l⊥α6、直線與平面垂直的判定定理文字語言符號語言圖形語言直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直；【說明】該定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化；7、直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言符號語言圖形語言直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線互相平行；a⊥α，b⊥α?a//b推論1：過一點有且只有一個平面與給定的直線垂直；·推論2：過一點有且只有一條直線與給定的平面垂直；8、點到平面的距離文字語言符號語言圖形語言點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離；如圖，PP′⊥平面α，P′為垂足，線段PP′的長度即為點P到平面α的距離；直線到平面的距離：如果一條直線l平行于一個平面α，那么直線l上任意兩點到平面α的距離都相等（證明過程留作習(xí)題），從而就可以把直線l上一點M到平面α的距離定義為直線l到與它平行的平面α的距離；9、直線和這個平面所成的角文字語言圖形語言一條直線l與一個平面α雖然相交，但不垂直，稱之為斜交；這條直線l稱為平面α的斜線；斜線l和平面α的交點A叫做斜足；過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的投影（也稱射影）；平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角另外，我們約定，如果一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；如果一條直線和平面平行或在該平面上，就說二者所成的角是00的角求斜線和平面所成的角的一般步驟：（1）作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€點，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為斜線和平面所成的角；（2）證：證明（1）中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；（注：關(guān)鍵證明線面垂足，即證得斜線在面內(nèi)的射影）；（3）求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出（1）中所作的角的大?。?0、三垂線定理文字語言符號語言圖形語言三垂線定理：平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直；已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影，a；則a⊥OAa⊥PA.【注意】創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件：題型1、準確把握角的概念例1、（1）若直線上有一點在平面外，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線上所有的點都在平面外B．直線上有無數(shù)多個點都在平面外C．直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個點在平面內(nèi)【答案】B；【解析】直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外；（2）下列命題中正確的個數(shù)是（）①如果a，b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b在平面α外，那么b∥α.A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】可借助正方體來判斷．如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；假設(shè)b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，又b在平面α外，，所以b∥α，故命題③正確．【說明】1、在判斷直線與平面的位置關(guān)系時，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷；2、若直線a?平面α，則平面α內(nèi)的直線與直線a有平行或相交的關(guān)系；若直線a與平面α相交，則平面α內(nèi)的直線與直線a有相交或異面的關(guān)系；若a∥α，則平面α內(nèi)的直線與直線a有平行或異面的關(guān)系；題型2、準確理解直線與平面平行的位置關(guān)系例2、（1）能保證直線a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BDD．直線a在平面α外，b?α，a∥b【答案】D；【解析】由線面平行的判定定理可知，D正確；（2）如果直線a∥直線b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()A．相交 B．b∥αC．b?α D．b∥α或b?α【答案】D；【解析】如圖，正方體中，A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，AB?平面ABCD；A1B1∥C1D1，A1B1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABCD，∴b與α的位置關(guān)系是b∥α或b?α；【說明】判別線面平行，通常可以從視角：1、利用定義，證明線面無公共點，一般利用反證法來驗證；2、利用直線與平面平行的判定定理；3、利用平面與平面平行的性質(zhì)；題型3、直線與平面平行的判定例3、（1）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與過A，C，E三點的平面的位置關(guān)系是【答案】平行；【解析】如圖所示，連接BD交AC于點O；在正方體中容易得到點O為BD的中點；又因為E為DD1的中點，所以O(shè)E∥BD1；又∵OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE；（2）如圖，點P在平面四邊形ABCD外，底面ABCD為梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E為PC的中點；求證：BE∥平面PAD；【證明】方法1：如圖，取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)A.由題意知EF為△PDC的中位線，∴EF∥CD，且EF＝eq\f(1,2)CD＝2.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF.又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法2、如圖，延長DA，CB相交于H，連接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴eq\f(HB,HC)＝eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,2)，即B為HC的中點，又E為PC的中點，∴BE∥PH，又BE?平面PAD，PH?平面PAD，∴BE∥平面PAD.方法3：如圖，取CD的中點H，連接BH，HE，∵E為PC的中點，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知ABDH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH在平面PAD外，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.【說明】1、一種轉(zhuǎn)化：直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行，即要證直線和平面平行，先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化．2、判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用定義，證明線面無公共點，一般利用反證法來證明；（2）利用直線與平面平行的判定定理；（3）利用平面與平面平行的性質(zhì)；題型4、直線與平面平行的性質(zhì)及其應(yīng)用例4、（1）如圖，已知AB與CD是異面直線，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求證：四邊形EFGH是平行四邊形．【證明】因為AB∥平面α，AB平面ABC，平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，因為AB∥平面α，AB平面ABD，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可證EF∥GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.（1）求證：AP∥平面BDM；（2）若G為DM中點，求證：eq\f(GH,PA)＝eq\f(1,4)；【證明】（1）如圖，連接AC交BD于點O，連接OM，在△ACP中，O，M分別為AC，PC的中點，∴OM∥AP，OM?平面BDM，AP?平面BDM，∴AP∥平面BDM.（2）∵AP∥平面BDM，AP?平面APGH，平面BDM∩平面APGH＝GH，∴AP∥GH，又AP∥OM，∴GH∥OM，又G為DM中點，∴GHeq\f(1,2)OM，又OMeq\f(1,2)AP，∴eq\f(GH,PA)＝eq\f(1,4)；【說明】1、直線與平面平行的性質(zhì)定理作為線線平行的依據(jù)，可以用來證明線線平行；2、線面平行的判定與性質(zhì)定理經(jīng)常交替使用：先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去，可稱為平行鏈，如下圖：線線平行eq\o(→,\s\up7(在平面內(nèi)作),\s\do5(或找一條直線))線面平行eq\o(→,\s\up7(經(jīng)過直線作),\s\do5(或找平面與平面的交線))線線平行；題型5、對直線與平面垂直位置關(guān)系的理解例5、（1）試判斷下面說法的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．①垂直于同一條直線的兩直線平行．()②一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直．()③一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直．()④如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線所確定的平面．()⑤垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊．()⑥過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)．()【答案】①×；②√；③×；④√；⑤√；⑥√；【解析】題號分析結(jié)論空間中垂直于同一直線的兩直線可相交、平行或異面錯誤②滿足線面垂直的條件正確③這無數(shù)條直線可能是一組平行線錯誤④由基本性質(zhì)及線面垂直的判定定理知結(jié)論成立正確⑤結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)易得正確正確⑥由線面垂直的判定定理知正確正確（2）已知兩條直線m，n，兩個平面α，β，給出下面四個命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α②α∥β，m?α，n?β?m∥n③m∥n，m∥α?n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號是()A．①③ B．②④C．①④ D．②③【答案】C；【解析】兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，①正確；分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面，②錯；③中m∥n，m∥α?n∥α或n?α，③錯；④α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又m∥n，∴n⊥β，④正確．故選C．【說明】直線和平面垂直的定義中的“任何一條”與“所有”表達相同的含義，當(dāng)直線與平面垂直時，該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線；判斷和證明直線與平面垂直的常見方法有：①定義法；②判定定理，要尋找平面內(nèi)的兩條相交直線；題型6、準確把握角的概念例6、（1）下列說法正確的是()A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．垂直于同一條直線的兩直線垂直C．垂直于同一個平面的兩直線平行D．垂直于同一條直線的一條直線和平面平行【答案】C；【解析】在空間中垂直于同一直線的兩條直線，可能平行，可能相交，也可能異面，所以A、B錯；垂直于同一直線的直線和平面的位置關(guān)系可以是直線在平面內(nèi)，也可以是直線和平面平行，所以D錯；由線面垂直性質(zhì)定理知C正確；（2）已知a，b是異面直線，α∩β＝c，a⊥α，b⊥β，直線l⊥a，l⊥b，求證：l∥c.【提示】先利用線垂直面的性質(zhì)得線垂直線再證平行；【證明】如圖，在a上取一點A，過點A作直線b′⊥β，∵b⊥β，∴b′∥b（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）；∵l⊥b，b′∥b，∴l(xiāng)⊥b′.∵l⊥a，∴l(xiāng)垂直于由a與b′確定的平面γ；∵a⊥α，α∩β＝c，∴a⊥c，同理b⊥c；∵b∥b′，∴c⊥b′，又a∩b′＝A，a與b′確定的平面為γ，∴c⊥γ.又∵l⊥γ，∴l(xiāng)∥c（直線與平面垂直的性質(zhì)定理）；【說明】證明線線平行的常見方法有：1、利用線線平行定義：證共面且無公共點；2、利用平行公理：證明兩線同時平行于第三條直線；3、利用線面平行的性質(zhì)定理；4、利用面面平行的性質(zhì)定理；5、利用線面垂直的性質(zhì)定理；題型7、對三垂線的理解與初步應(yīng)用例7、（1）（1）若直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，為圓周上異于的一點，有下列關(guān)系：①②平面③④，其中正確的是___________.【提示】注意：首先“平面”，然后“”先由題意，得到，根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)，可判斷①②④正確；推出與不垂直；假設(shè)，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)推出，得出矛盾，即可得出③錯.【答案】①②④【解析】因為為以為直徑的圓上異于的一點，所以，因為直線垂直于以為直徑的圓所在的平面，所以平面，因此；即①正確；又，且平面，所以平面；即②正確；又平面，所以；即④正確；因為平面，所以，即是以為直角的直角三角形，所以與不垂直；若，根據(jù)，，平面，可得平面，則，這與“，不垂直”矛盾，故，不垂直；即③錯；故答案為：①②④；【說明】本題主要考查了三垂線定理，線面垂直，線線垂直的判斷，熟記線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可；（2）已知點P是△ABC所在平面外一點，且PA＝PB＝PC，則點P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心【答案】B；【解析】如圖所示，設(shè)點P在平面ABC上的射影為O，連接OA，OB，OC.所以PO⊥平面ABC.因為PA＝PB＝PC，且∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，所以△PAO≌△PBO≌△PCO，所以AO＝BO＝CO.即點O到三角形三個頂點的距離相等，所以點O為△ABC的外心．【說明】三垂線定理：平面上的一條直線和這個平面的一條斜線垂直的充要條件是它和這條斜線在平面上的投影垂直；題型8、對點到這個平面的距離的理解與求法例8、（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則點P到BC的距離是________．【答案】4eq\r(5)；【解析】如圖所示，作PD⊥BC于點D，連接AD.因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5).（2）已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2).S是△ABC所在平面外一點，SA＝SB＝2，SC＝eq\r(5)，點P是SC的中點，求點P到平面ABC的距離．【解析】方法1：如圖，連接PA，PB，易知SA⊥AC，BC⊥AC.分別取AB，AC的中點E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，則EF∥BC，PF∥SA.所以EF⊥AC，PF⊥AC.因為PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC.易證△SAC≌△SBC，所以PA＝PB.又E是AB的中點，所以PE⊥AB.因為AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC.從而PE的長就是點P到平面ABC的距離．因為P是SC的中點，所以在Rt△APE中，AP＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(5),2)，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，所以PE＝eq\r(AP2－AE2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2)，即點P到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),2).方法2：如圖，過點A作BC的平行線，過點B作AC的平行線，兩直線交于點D.因為AC＝BC＝1，AB＝eq\r(2)，所以AC⊥BC.所以四邊形ADBC為正方形，連接SD.易知AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD.易知BC⊥SB，又BC⊥BD，SB∩BD＝B，所以BC⊥平面SDB，所以BC⊥SD.因為BC∩AC＝C，所以SD⊥平面ADBC.所以SD的長即點S到平面ABC的距離，在Rt△SAD中，易得SD＝eq\r(3).因為點P為SC的中點，故點P到平面ABC的距離為eq\f(1,2)SD＝eq\f(\r(3),2).【說明】1、從平面外一點作一個平面的垂線，這個點與垂足間的距離就是這個點到這個平面的距離．當(dāng)該點到已知平面的垂線不易作出時，可利用線面平行、面面平行的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為與已知平面等距離的點作垂線，然后計算，也可以利用等換法轉(zhuǎn)換求解；2、線面距與面面距：（1）一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離；（2）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離；題型9、直線與平面所成的角及其求法例9、（1）等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α所成的角為30°，則斜邊上的中線CM與α所成的角為________．【答案】45°；【解析】如圖，設(shè)C在平面α內(nèi)的射影為點O，連接AO，MO，則∠CAO＝30°，∠CMO就是CM與α所成的角；設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝eq\r(2)，所以CM＝eq\f(\r(2),2)，CO＝eq\f(1,2)，所以sin∠CMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CMO＝45°.答案：45°（2）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中．①求A1B與平面AA1D1D所成角的大??；②求A1B與平面BB1D1D所成角的大?。窘馕觥竣佟逜B⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.②如圖，連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為1，則A1B＝eq\r(2)，A1O＝eq\f(\r(2),2).又∵∠A1OB＝90°，∴sin∠A1BO＝eq\f(A1O,A1B)＝eq\f(1,2)，又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.【說明】求直線與平面所成的角的步驟1、作（找）——作（找）出直線和平面所成的角；尋找過斜線上一點與平面垂直的直線；2、證——證明所作或找到的角就是所求的角并指出線面的平面角；連結(jié)垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角3、求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形）；把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角;4、答——注意：直線與平面所成的角θ的取值范圍是：[0°,90°];題型10、直線與平面的相關(guān)綜合題例10、（1）如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，其中AC＝3，PA＝4，BC＝5，則PB與平面PAC所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(17),5)【答案】A【解析】根據(jù)題意，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點，則BC⊥AC，又由PA⊥圓O所在平面，則PA⊥BC，因為PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，故∠BPC是PB與平面PAC所成的角，在△ACB中，AC＝3，BC＝5，AC⊥BC，則AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(34)，在△PAB中，AB＝eq\r(34)，PA＝4，PA⊥AB，則PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝5eq\r(2)，在△PCB中，BC＝5，PB＝5eq\r(2)，則sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(\r(2),2).（2）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形．①求證：AB∥平面EFGH；②若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍；【證明】①∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.②設(shè)EF＝x(0<x<4)，由(1)知EF∥AB，∴eq\f(CF,CB)＝eq\f(EF,AB)＝eq\f(x,4)，與(1)同理可得CD∥FG，∴eq\f(FG,CD)＝eq\f(BF,BC)，則eq\f(FG,6)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(BC－CF,BC)＝1－eq\f(x,4)，∴FG＝6－eq\f(3,2)x.∴四邊形EFGH的周長L＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋6－\f(3,2)x))＝12－x.又∵0<x<4，∴8<L<12，故四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12)；1、兩平面α，β平行，a?α，下列四個命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③直線a與β內(nèi)任何一條直線都不垂直；④a與β沒有公共點．其中正確的個數(shù)是（個）【答案】2；【解析】①錯誤，a不是與β內(nèi)的所有直線平行，而是與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行，有一些是異面；②正確；③錯誤，直線a與β內(nèi)無數(shù)條直線垂直；④根據(jù)定義，a與β沒有公共點，正確；2、如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是(填序號)．【答案】①③④；【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理條件；3、如圖，P為△ABC所在平面α外一點，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC的形狀為【答案】直角三角形【解析】由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故選B.4、已知在平面內(nèi)，，平面，則直線與的位置關(guān)系是________.【提示】注意：首先“平面”，然后“”等價；【答案】垂直【解析】在中，因為，，所以，；又因為，平面，是斜線在平面上的射影，所以，,【說明】本題考查了三垂線定理的直接應(yīng)用；5、如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α