2024年湖南省新寧縣水廟鎮(zhèn)中心學(xué)校中考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年湖南初中學(xué)業(yè)水平考試模擬復(fù)習(xí)（一）

數(shù)學(xué)

溫馨提示：本卷共三道大題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘.

一、選擇題（本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.有理數(shù)一2024的相反數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)即可得出答案.

【詳解】解：有理數(shù)-2024的相反數(shù)是2024,

故選：C.

2.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人視覺上以鏤空的感覺和藝術(shù)享

受.下列剪紙圖案中，既是軸對稱圖形乂是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別，“一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線

兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形”，“如果一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身

重合，這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形”，根據(jù)定義逐項(xiàng)判斷即可得出答案.

【詳解】解：A,該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

B,該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；

C,該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不合題意；

D,該圖形即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

故選：D.

3.如圖，在“8。中，4c8=90。,CD_L43,垂足為D如果40=8,8。=4,那么tanB的值是

c

A.yB.也C.BD.V2

223

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查解宜角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)CD148,4c8=90。，推出

ZA=NDCB,證明△/CQS^CB。，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以求得C。的長，然后即可求得

tanB的值.

【詳解】解：???CQ_LN8,

???/ADC=/CDB=90。,

??,4C8=90。，

：.ZACD+ZDCB=90°,

???48+4=90。，

???4=NDCB，

???AJCPs&CBD,

.ADCD

CDBD

???4）=8,3。=4,

.8CD

??=~~，

CD4

解得CD=4JI，

._CP4>/2r-

??taiw=---=-------=V2，

BD4

故選：D.

4.2023年3月5日，十四屆全國人大一次會(huì)議在北京人民大會(huì)堂開幕，國務(wù)院總理李克強(qiáng)在政府工作報(bào)告

中指出：五年來移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)增加到14.5億戶，實(shí)物商品網(wǎng)上零售額占社會(huì)消費(fèi)品零售總額的比重從

15.8%提高至U27.2%,數(shù)據(jù)“14.5億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.14.5xl07B.14.5xl08C.1.45x10sD.1.45xl09

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1＜忖＜10，?

為整數(shù).確定〃的值即可.

【詳解】解：14.5億=1450000000=1.45x109.

故選：D.

5.計(jì)算（一2m3〃2丫的結(jié)果是（）

A.—2m6n4B.4w5/?4C.4/w6//4D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了積的乘方、舞的乘方，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)積的乘方、塞的乘方法則計(jì)

算即可.

【詳解】解：原式=（一2）2.他3。（〃2）2

=＞

故選：C.

6.如圖，四邊形O/8C是平行四邊形，以點(diǎn)。為圓心，OC長為半徑畫圓，分別與43邊相切于點(diǎn)8,

力。邊相交于點(diǎn)。，連接8。，則NC8Z）的度數(shù)為（）

A.135°B.120°C.112.5°D.105.5°

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOA4=90。，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得/8OC=NOA4=90。，

進(jìn)而確定NC=NO8C=45。，再證明/5。。=45°,易得NOBD=NODB=67.50,即可獲得答案.

【詳解】解：???力8為。。切線，08為0O半徑，

AOBLAB,即/0氏4=90。，

???四邊形OZ3C是平行四邊形，

：?0C〃AB,OA//BC,

???ZBOC=/OBA=90°

???OC=OB,

???NC=ZOBC=lx90°=45°,

2

???4BOD=/OBC=45。,

,:OD=OB,

???NOBD+/ODB=1(180°-/BOD)=67.5°,

???NCBD=NOBC+40BD=45°+67.5°=112.5°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知

識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

7.一組數(shù)據(jù)：1,4,7,7,",4的平均數(shù)是5,則下列說法中正確的是()

A.這組數(shù)據(jù)的極差是3B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7

C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4D,這組數(shù)據(jù)的方差是5

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查極差，眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)、方差的定義，屬于基礎(chǔ)題.分別求出這組數(shù)據(jù)的極差,

眾數(shù)，中位數(shù)，方差，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).

【詳解】解：:一組數(shù)據(jù)：1，4,7,7,x,4的平均數(shù)是5,

1+4+7+7+X+4.

:.----------------=5

6

x=7

極差是7-1=6,故A是錯(cuò)誤的：

則一組數(shù)據(jù)：1,4,4,7,7,7,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是上U=5.5,故B是錯(cuò)誤的；

2

二這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是7,故C是錯(cuò)誤的；

方差_(if+(4—5)2+(4-5『+(4—7)2+(4一7『+(4一7『=§

6

故D是正確的

故選：D.

8.一次函數(shù)歹=ax+力的圖像如圖所示，則二次函數(shù)歹=。/+云的圖像大致是（）

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)以及二次函數(shù)的圖象綜合判斷，直接利用一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限得出。、b

的符號，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)圖像的性質(zhì)得出答案.正確確定。、6的符號是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=+6的圖像經(jīng)過二、三、四象限，

Aa<0,b<0,

又,當(dāng)x=0時(shí)，y=ax2+Z>x=0?

???二次函數(shù)丁="2+隊(duì)的圖像開口方向向下，圖像經(jīng)過原點(diǎn)，對稱軸在丁軸左側(cè).

故選：A.

9.如圖，在/BC中，點(diǎn)。是邊45的中點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫

弧，分別交力8,4C于點(diǎn)N②分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于!A/N長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)

P；③作射線8P；④以點(diǎn)。為圓心，80長為半徑畫弧，交射線BP于點(diǎn)0;⑤作射線。。交邊力。于

點(diǎn)E.若DE=3,則8C的長為（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了角的平分線作圖，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理，三

角形中位線定理，根據(jù)基本作圖，得NDBQ=NCBQ,根據(jù)BD=QD得/DBQ=/DQB,繼而得到

AHAp

/CBQ=/DQB得到DE〃BC,得到二二0，結(jié)合點(diǎn)。是邊Z8的中點(diǎn)，得到力E=EC,

DBEC

。七二』8C結(jié)合?！?3解答即可.

2

【詳解】根據(jù)基本作圖，得NDBQ=NCBQ,

根據(jù)BD=QD得/DBQ=ZDQB,

??.ZCBQ=ZDQB,

：.DE//BC,

.AD_AE

??麗一正’

???點(diǎn)。是邊Z8的中點(diǎn)，

???AE=EC,

：.DE=-BC

2f

??,DE=3,

???BC=6.

故選C.

10.如圖，已知力3是。。的直徑，弦CZ)_L48,垂足為E,ZACD=22.5°,4B=4,則。。的長為

)

H

A.2>/2B.5C.4>/2D.2加

【答案】A

【解析】

【分析】此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、以及三角函數(shù)的應(yīng)用，連接。。，由圓周角定理得出

N/OD=45。，根據(jù)垂徑定理可得圓二。￡=！。僅證出SOE為等腰直角三角形，利用特殊角的三

2

角函數(shù)可得答案，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等

于這條弧所對的圓心角的一半.

【詳解】解：連接。。，如圖所示：

VAB是的直徑，弦CD±AB,AB=4,

:.0D=2,CE=DE=；CD,

vZ^CZ)=22.5°,

:.^AOD=2ZACD=45°,

ADOE為等腰直角三角形，

:.DE=—OD=y/2,

2

二.CD=IDE=2V2,

故選：A.

二、填空題（本大題有8個(gè)小題，每小題3分，共24分）

11.分解因式：1一機(jī)2一〃2+2〃?〃=.

【答案】（1+〃7-〃）（1一加+〃）

【解析】

【分析】本題考查了分組分解法進(jìn)行因式分解，利用添括號把l-m?一〃2+2〃〃?后三項(xiàng)放一起，得到

1一（〃2-2〃7〃+〃2）,利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，得到1—（加一〃丫，再利用平方差公式因式分解

即可求解，掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=1-（加一〃『，

=（1+〃？一〃）（1一加+〃）,

故答案為：（l+m-w）（l-m+/i）.

12.若代數(shù)式33有意義，則x的取值范圍

x-2

【答案】xN—3且工工2

【解析】

【分析】本題考查了分式和二次根式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于0,二次根式有意

義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)分式和二次根式有意義的條件得出不等式組，求解即可.

fx+3>0

【詳解】解：由題意，得｛.八，

x-2^0

解得：且x=2.

故答案為：XN—3且XH2.

13.如圖，直線4C經(jīng)過點(diǎn)O,且與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)/、C,過A作/BSx軸于點(diǎn)，，連接

BC,已知,1）?則S“BC=.

【答案】J5

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，由直線力。經(jīng)過點(diǎn)

O,且與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)/、C,得出/、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，進(jìn)一步得到Sw.二，3C即可

求解，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???直線NC經(jīng)過點(diǎn)0,且與反比例函數(shù)圖像相交于點(diǎn)4、C,

/、C兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

0A=0C＞

S^GBA=SgBc,

???力（國），

?/OB=RAB=',

又??,AB1X,

:?S.A=-OBAB=-xy/2x1=—f

△GZz/i222

,*S.ABC=S^QBA+S&OBC=與+與二企，

故答案為：J5.

14.甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員在5次射擊訓(xùn)練中，平均成績都是8.5環(huán)，方差分別是*=0.78,

4=0.20,襦=1.28,則三名運(yùn)動(dòng)員中這5次訓(xùn)練成績最穩(wěn)定的是.（填“甲”或“乙”或

“丙”）

【答案】乙

【解析】

【分析】根據(jù)方差越小，波動(dòng)性越小，越穩(wěn)定即可判斷.

【詳解】???s1=0.78,年=020，=1.28,平均成績都是8.5環(huán),，

：■S乙＜S甲＜S丙

???三名運(yùn)動(dòng)員中這5次訓(xùn)練成績最穩(wěn)定的是乙.

故答案為乙.

【點(diǎn)睛】本題考查方差.根據(jù)方差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，越不穩(wěn)定.反之

方差越小，波動(dòng)性越小，越穩(wěn)定是解答本題關(guān)鍵.

2023

15.若。是一元二次方程x2—2023x+l=0的一個(gè)根，則代數(shù)式。2-2022。+與■二的值為。

【答案】2022

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程根的定義，解題的關(guān)鍵是利用整體思想進(jìn)行代數(shù)式的求解.根據(jù)a是一元

二次方程一一2023》+1=0的一個(gè)根，得到與。有關(guān)的代數(shù)式，利用整體代入的思想進(jìn)行求值.

【詳解】解：???。是一元二次方程/_2023工+1=0的一個(gè)根,

???。2-2023。+1=0,

????2023a=-1，+1=2023。，

20…2023

礦一2022a+——

a2+\

：(a2-2023a+a)+^^-

v72023〃

=(-l+tz)+—

.1

=-1+。+一

a

.a2+1

=-14--------

a

,2023a

-14---------

a

=-14-2023

=2022.

故答案是：2022.

16.如圖，在中，。是力C上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E〃8C,交力8于點(diǎn)E,作。尸〃48交5。于

點(diǎn)/，若DE=2CF,48=12,則8￡=.

【答案】4

【解析】

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，由題意得出四邊形8EOF是平行

四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得。9=8E,BF=DE，證明△。。//△口5，得出

DFCF1

——-——一一，求出。產(chǎn)=4,即可得解.

ABBC3

【詳解】解：OE〃BC,DF//AB,

二?四邊形BEDF是平行四邊形,

:.DF=BE,BF=DE，

?：DE=2CF,

BF=2CF,

BC=BF+CF=2CF+CF=3CF、

DFHAB,

:ACDFSKAB,

.DF_CF

\4B~~BC~3r

:.DF=-AB=4,

3

：.BE=DF=4,

故答案為：4.

17.如圖，點(diǎn)E為正方形力BCO的邊,48上一點(diǎn)，連接。E,AC,且OE與彳C相交于點(diǎn)M.若

則sin/COE=

'aCMD?6

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由△/A/EsaCA/Q,

得到器W

由推出屋叫=|＜建］=—,得到空=!，因此在=，，令A(yù)E=X,AD=4X,

VCD)16CD4AD4

由勾股定理得到。E=J萬x，即可求出sin乙440二岑.由=求解.

【詳解】解：???四邊形/BCQ是正方形，

AE//CD,AD=CD,

:.AAMEsACMD,

E1

萬=

4-

J￡1

J-=-

。4

令4E=x,AD=4x,

DE=y]AE2+AD2=V17x>

4x4>/17

sinZAED=-——

EDV17x17

vAE//CD,

NCDE=NAED,

sin￡CDE=sinNAED=.

17

故答案為：生叵.

17

18.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是。+3和2。-9,則這個(gè)正數(shù)是.

【答案】25

【解析】

【分析】本題考杳了平方根的定義，根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)得出a+3+2Q-9=0,求出。的

值，艮］可得出答案.

【詳解】解：???一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是。+3和2。—9,

..。+3+2。-9=0,

解得：。=2,

???這個(gè)正數(shù)為（a+3）2=（2+3）2=25,

故答案為：25.

三、解答題（本大題有8個(gè)小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第

23、24題每小題9分，第25、26題每小題10分，共66分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟）

-2

19.計(jì)算：6sin45°-|l-V2|-V8x（^-2024）°+-

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，零指數(shù)累，絕對值等計(jì)算即可，本題考查了特殊角的

三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕，絕對值，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，公式是解題的關(guān)鍵.

/1\-2

【詳解】6sin450-11-V21-V8x（-2024）°+-

=6x--V24-1-2A/2+4

2

=30-71+1-20+4=5.

2,C[

20.先化簡，再求值：與二L+a--三），其中X=JJ+L

X+xX

【答案】也.

3

【解析】

【分析】先算括號里面的，再算除法，把分式化為最簡公式，把X的值代入進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】原式=（二1）（'”.竺1￡

X（X+1）X

x-1X

T\x-i)2

1

-x^T'

1_V3

當(dāng)x=6+1時(shí),原式=

岳1-13

【點(diǎn)睛】此題考查分式的化簡求值，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵

21.731遺址博物館的爆火，引發(fā)了市民走安徽抗日歷史的討論.某校數(shù)學(xué)興趣小組為了解本市市民對安徽

抗日歷史的了解程度，在街頭組織一次隨機(jī)問卷調(diào)查活動(dòng)，并將問卷調(diào)查活動(dòng)結(jié)果分為四個(gè)類別：A.非

常了解：B.比較了解：C.基本了解：D.不了解.并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

對女景抗.11歷史r解程度條形統(tǒng)計(jì)圖對女邀技n為1JwK?喇形統(tǒng)計(jì)圖

請結(jié)合圖中所給的信息，解答下列問題.

（1）本次活動(dòng)共調(diào)查了人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中。部分的扇形所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是.

（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3）若本市共有36萬人，請通過此次問卷調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全市對安徽抗日歷史“非常了解”的人數(shù).

【答案】⑴40,126°；

（2）見解析（3）3.6萬人

【解析】

【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖，樣本估計(jì)總體：

（1）根據(jù)類別。的人數(shù)和所占百分比就可求出本次活動(dòng)共調(diào)查的人數(shù)，用。部分的百分比乘以360。即可

得出圓心角的度數(shù)；

（2）先求出B類別的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）根據(jù)樣本估計(jì)總體即可得出答案.

【小問1詳解】

解：本次活動(dòng)共調(diào)查的人數(shù)為：16?40%=40人，

14

扇形統(tǒng)計(jì)圖中。部分的扇形所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是）X360。=126。，

40

故答案為：40,126°；

【小問2詳解】

解：B類別的人數(shù)為：40-4-16-14=6,

條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

時(shí)安做抗n歷史「雌程相條形統(tǒng)計(jì)圖

【小問3詳解】

4

解：36x—=3.6萬人，

40

答：計(jì)全市對安徽抗日歷史“非常了解”的人數(shù)為3.6萬人.

22.2023年哈爾濱冰雪大世界一開園，就備受全國各地游客的關(guān)注.某商場以每件50元的價(jià)格購進(jìn)某款冰

雪大世界紀(jì)念品，以每件80元的價(jià)格出售，每日可售出200件.后來該商場決定以降價(jià)促銷的方式回饋

顧客，發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念品每降價(jià)1元，日銷售量就增加20件.設(shè)售價(jià)為每件x（50<x<80）元.

（1）當(dāng)該紀(jì)念品的售價(jià)定為多少元時(shí)，日銷售利潤為7500元且能讓顧客得到更多的實(shí)惠？

（2）該商場如何定價(jià)才能使銷售該款紀(jì)念品的日銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

【答案】（1）當(dāng)該紀(jì)念品的售價(jià)定為65元時(shí)，口銷包:利潤為7500元且能讓顧客得到更多的實(shí)惠

（2）該商場把該紀(jì)念品的單價(jià)定為70元時(shí)日銷售利潤最大，最大利潤為8000元

【解析】

【分析】本題主要考查一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；

（1）根據(jù)題意可得此時(shí)日銷售量為［200+20（80-力］件，然后根據(jù)“利潤=收入?成本”可列出方程進(jìn)行

求解；

（2）設(shè)該款紀(jì)念品的日銷售利潤為w元，然后由（1）可列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而問題可求解.

【小問1詳解】

解：由題意得：

（x-5O）［2OO+20（80-x）］=7500

解得:%=75,%2=65：

???要讓顧客得到更多的實(shí)惠，

??x—65；

答：當(dāng)該紀(jì)念品的售價(jià)定為65元時(shí)，日銷售利潤為7500元旦能讓顧客得到更多的實(shí)惠.

【小問2詳解】

解：設(shè)該款紀(jì)念品的日銷售利潤為w元，由題意得：

w=(x-50)[200+20(80-x)]=-20x2+2800x-90000=-20(x-70)2+8000,

-20<0,50Vx<80,

???當(dāng)x=70時(shí)，w的值最大,即為8000；

答：該商場把該紀(jì)念品的單價(jià)定為70元時(shí)日銷售利潤最大，最大利潤為8000元.

23.在中，/區(qū)4。=90。,。是8。的中點(diǎn)，E是力。的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作/尸〃8。交CE的延

長線于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形4089是菱形；

(2)若/8=2,/AFB=60。,求CE的長.

【答窠】(1)見解析(2)6的長是24

【解析】

【分析】(1)先利用“中點(diǎn)+平行模型"證明義△C0E,得4F=CD,再根據(jù)。是8C的中點(diǎn)，可

得/尸二80,從而可證四邊形力九8。是平行四邊形，最后利用直角三角形斜邊上的中線可得8。=40,

從而利用菱形的判定定理即可解答；

(2)根據(jù)四邊形403廠是菱形，N4q=60?？傻肁ZOB和都是等邊三角形，作/G_LC3交

C8的延長線于點(diǎn)G,/BFG=30°,求出8G=1,FG^FB^+BG?=也，再在RtZ\CFG中由勾

股定理即可求解.

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練學(xué)

握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

證明：?.?。是8c的中點(diǎn)，E是力。的中點(diǎn)，

BD-CD,AE-DE,

AF〃BC,

:"AFE=NDCE,

AAFE=ZDCE

在XAFE和l\DCE中，<乙4EF=/DEC,

AE=DE

△/（膽右△Z）CE（AAS）,

FA=CD?

;.FA〃BD,FA=BD,

二?四邊形ADBF是平行四邊形，

???/H4C=90。,。是3C的中點(diǎn)，

/.AD=BD=—BC>

2

???四邊形尸是菱形.

【小問2詳解】

解：作/GJLCB交C8的延長線于點(diǎn)G,則NG=90。,

/.AF=BF=AD=BD,ZADB=NAFB=60°,

;.“DB和AAFB都是等邊三角形，

?.CD=BD=BF=AB=2/ABF=ZABD=60°,

/GBF=180°-NABF-/ABD=60°,

NBFG=30°,

?.BG=-BF=\tFG=\IFB?+BG?

.?.CG=CD+BO+BG=2+2+l=5,

:.CF=ylFG?+CG?=J（百＞+5]=2近，

.?.C/的長是2近.

24.如圖，在等腰三角形48。中，AB=AC,以48為直徑的。。與8c交于點(diǎn)O,DE1AC,垂足

為E,￡7）的延長線與力8的延長線交于點(diǎn)尸.

(1)求證：￡廠是。。的切線；

(2)若O。的半徑為5,BD=4,求CE的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)CE=\.6

【解析】

【分析】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，三角形中位數(shù)定理等等:

(1)連接OQ,AD,先得到乙4。8=90。，由三線合一定理得到8。=CD.則。。為MBC的中位

線，即可證明OD1OE.進(jìn)而證明政是0。的切線；

,三角形的中位線定理，平行線的判定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)先求出48=ZC=10.由(1)知：BD=DC=4,再證明△CDEs/xc/。，利用相似三角形

的性質(zhì)列出比例式求解即可.

【小問1詳解】

證明：連接。。，AD,如圖，

?.T8為0O的直徑,

/ADB=9Q。,

AD1BC.

AB=AC,

BD=CD.

OA=OBt

.?.QD為A48c的中位線，

:.0D//AC.

:DELAC,

ODLDE.

?.?OQ為。。的半徑，

「.EE是O。的切線；

【小問2詳解】

解：?.?OO的半徑為5,

/.AB=AC=IO.

由（1）知：BD=DC=4>

'：AD1BC,

NCDE+NADE=90。.

DEIAC,

ND4E+/ADE=90。,

/CDE=/DAE.

?/ZC=ZC,

:.^CDEs《；AD,

.CDCE

~CA~~CDf

4CE

,",__—一___，

104

z.CE=1.6.

25.如圖1,在矩形力ACO中,4B=6./力=8,抨"5繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<180。）得到彳兒

連接44,過8點(diǎn)作BEJ_44'于E點(diǎn)，交矩形力3co邊于尸點(diǎn).

圖1

（1）求。4的最小值：

（2）若4點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為2儲(chǔ)求點(diǎn)H到直線力。的距離:

(3)如圖2,若C〃=4,求tan/ECB的值.

【答案】(1)04'最小值為4；

(2)點(diǎn)4到直線的距離為3；

EH3

(3)tanZECB=—=—.

CH14

【解析】

【分析】(1)連接80、DA,先由勾股定理求得8。=10,由旋轉(zhuǎn)可得，BA'=BA=6,因?yàn)?/p>

BA'+DA'NBD,所以當(dāng)點(diǎn)H落在6。上時(shí)，OH最小，據(jù)此求解即可；

(2)先由弧長公式求得a=60。，得△力8H是等邊三角形，從而求得/。44'=30。，過點(diǎn)4作

于加點(diǎn)，可由直角三角形性質(zhì)得求解：

(3)先證得空=空，即可求出sE=g叵，過E作EHJ.BC于H點(diǎn),則

CFBF5

RFpiTRH61o2g

EH/!CD,證明則一=一=一，即可求出BH=—,CH=——，

BFCFBC555

即可由tan/ECB=——求解.

CH

【小問1詳解】

解：連接50、DA,如圖，

;四邊形48。。是矩形,

???440=90。，

?:AB=6,40=8,

/.BD=10,

由旋轉(zhuǎn)可得，BA'=BA=6,

???B4+DA'之BD,

，當(dāng)點(diǎn)H落在3。上時(shí)，DT最小，最小值為10—6=4,

???。力,最小值為4；

【小問2詳解】

anx6一

解：由題意得，---------=2乃，解得：a=60。,

180

?:AB=A'B，

???胡'是等邊三角形，

AZ-BAA=60°,AB=A'B=AA'=6,

???ZZ)JZ=30°,

過點(diǎn)/作//_L4D于M點(diǎn),

???AfM=-AAf=3,

2

???點(diǎn)/到直線40的距離為3；

【小問3詳解】

解：?；3C=8,CF=4,

:,BF=4亞,

VZBAE+ZABE=90°,NCBF+NABE=90。,

：.NBAE=NCBF,

?：4AEB=/BCF=90。,

???AABEsABFC,

.BE_AB

??赤一而‘

3還

5

過E作EH工BC于H點(diǎn)、,

???EH//CD,

:.^BEHS^BFC,

.BE_EH_BH

??而―彳茲，

：.EH=-BH=—

5f5t

???8=竺，

5

EH3

AtanZECB=—=—.

CH14

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì):,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì):.直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，弧形長公式，垂徑定理等知識，熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，已知拋物線卜二62+6+3與工軸交于力(7,0)、8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接3C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)尸為線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與8、。重合)，軸,且交拋物線于點(diǎn)"，交x軸于

點(diǎn)N,當(dāng)?shù)拿娣e最