高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)第05講一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法(講義)(原卷版+解析)

第05講一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式．（2）結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式．（3）了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．2020年I卷第1題，5分從近幾年高考命題來(lái)看，三個(gè)“二次”的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中．1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對(duì)值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【解題方法總結(jié)】1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【典例例題】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法【解題總結(jié)】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫(xiě)出其解集例1．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是__________.例2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)_____．例3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．例4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)_____．題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法【解題總結(jié)】1、數(shù)形結(jié)合處理．2、含參時(shí)注意分類討論．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式【解題總結(jié)】1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2、含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換．例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例12．（2023·北京海淀·101中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－2 B．1 C．2 D．8題型四：其他不等式解法【解題總結(jié)】1、分式不等式化為二次或高次不等式處理．2、根式不等式絕對(duì)值不等式平方處理．例14．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）不等式的解集為_(kāi)________．例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的的解集是______例16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若不等式，則x的取值范圍是____________．例17．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）不等式的解集是__________．例18．（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知集合，則___________．題型五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題【解題總結(jié)】解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常常需考慮：判別式，對(duì)稱軸，特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向．例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為_(kāi)_．例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則可取的最大整數(shù)值是______.例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為_(kāi)_______.題型六：一元二次不等式恒成立問(wèn)題【解題總結(jié)】恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式，一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則a的取值范圍是____________．例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意恒成立，實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知集合則（

）A． B．C． D．3．（2018·全國(guó)·高考真題）已知集合，則A． B．C． D．第05講一元二次不等式與其他常見(jiàn)不等式解法目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式．（2）結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式．（3）了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法．2020年I卷第1題，5分從近幾年高考命題來(lái)看，三個(gè)“二次”的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中．1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上．（2）=1\*GB3①若，解集為．=2\*GB3②若，解集為．=3\*GB3③若，解集為．（2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下．=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對(duì)值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分段法和圖象法求解【解題方法總結(jié)】1、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為．已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．2、已知關(guān)于的不等式的解集為（其中），解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為．3、已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式．由的解集為，得：的解集為即關(guān)于的不等式的解集為，以此類推．4、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7、已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【典例例題】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法【解題總結(jié)】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應(yīng)方程根，將根標(biāo)在軸上，結(jié)合圖象，寫(xiě)出其解集例1．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】不等式，即，解得，則的取值范圍是.故答案為：.例2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】解:由題知不等式為,即,即,解得,所以解集為.故答案為:例3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.例4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】不等式即，的根為，故的解集為，即不等式的解集為，故答案為：題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法【解題總結(jié)】1、數(shù)形結(jié)合處理．2、含參時(shí)注意分類討論．例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要條件，，當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，若，則需；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式即，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這四個(gè)整數(shù)只能是3,4,5,6，故，當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)不符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式解集為，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這四個(gè)整數(shù)只能是，故，，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：C例7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【解析】方程：且解得方程兩根：；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：綜上所述,當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：例8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時(shí)，可知，對(duì)應(yīng)的方程的兩根為1，，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點(diǎn)，可知不等式的解集為：.故選：A.題型三：一元二次不等式與韋達(dá)定理及判別式【解題總結(jié)】1、一定要牢記二次函數(shù)的基本性質(zhì)．2、含參的注意利用根與系數(shù)的關(guān)系找關(guān)系進(jìn)行代換．例9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為【答案】B【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為或，所以，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由題得，所以為.所以選項(xiàng)B正確；設(shè)，則，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；不等式為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B例10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.例11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的解集是，，得，則不等式，即，解得：，所以不等式的解集是.故選：D例12．（2023·北京海淀·101中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則【答案】C【解析】由題意，所以正確;對(duì)于:，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立,所以正確;對(duì)于,由韋達(dá)定理，可知，所以錯(cuò)誤;對(duì)于,由韋達(dá)定理，可知，則，解得，所以正確,故選：.例13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－2 B．1 C．2 D．8【答案】C【解析】由題意可知，方程的兩個(gè)根為m，，則，解得：，故，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為2.故選：C.題型四：其他不等式解法【解題總結(jié)】1、分式不等式化為二次或高次不等式處理．2、根式不等式絕對(duì)值不等式平方處理．例14．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）不等式的解集為_(kāi)________．【答案】或【解析】根據(jù)分式不等式解法可知等價(jià)于，由一元二次不等式解法可得或；所以不等式的解集為或.故答案為：或例15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式的的解集是______【答案】：【解析】則或【考點(diǎn)定位】本題考查將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為高次不等式、考查高次不等式的解法例16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若不等式，則x的取值范圍是____________．【答案】【解析】∵，則，解得，∴x的取值范圍是.故答案為：.例17．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考三模）不等式的解集是__________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，當(dāng)時(shí)，，即，符合要求，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上：不等式的解集為.故答案為：例18．（2023·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知集合，則___________．【答案】【解析】，.故.故答案為：題型五：二次函數(shù)根的分布問(wèn)題【解題總結(jié)】解決一元二次方程的根的分布時(shí)，常常需考慮：判別式，對(duì)稱軸，特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)，所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向．例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，的取值范圍為_(kāi)_．【答案】【解析】令，圖象恒過(guò)點(diǎn)，方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的根，，解得.故答案為：例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】.【解析】方程

方程兩根為，若要滿足題意，則，解得，故答案為：.例21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則可取的最大整數(shù)值是______.【答案】1【解析】方程化為，由，解得，所以最大整數(shù)值是.故答案為：1.例22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】，故，，，將看成方程的兩根，則，即，故，解得.故答案為：題型六：一元二次不等式恒成立問(wèn)題【解題總結(jié)】恒成立問(wèn)題求參數(shù)的范圍的解題策略（1）弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式，一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．例23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】原不等式可化為對(duì)恒成立．（1）當(dāng)時(shí)，若不等式