2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練：二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

專練54二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布

［基礎(chǔ)強(qiáng)化］

一、選擇題

1.隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(n，1),若p(&<2)=02P(2<^<6)=0.6,則.=()

A.6B.5

C.4D.3

答案：C

2I6

解析:由正態(tài)分布的特點可知，P(^>6)=1-P(^<2)-P(2<^<6)=0.2,AFi=-=4.

2.已知X+Y=8,若X?B(10,0.6),則E(Y)和D(Y)分別是()

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

答案：B

解析:VX-B(10,0.6),.*.E(X)=10X0.6=6,D(X)=10X0.6X(l-0.6)=2.4,

又X+Y=8,；.Y=8—X,

；.E(Y)=8—E(X)=8—6=2,

D(Y)=(-1)2D(X)=2.4.

3.設(shè)隨機(jī)變量X?N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a—3),則實數(shù)a的值為()

5

A.1B.

C.5D.9

答案：B

角星析：?/P(X>a+2)=P(X<2a-3),

4.[2024.山東威海模擬]設(shè)隨機(jī)變量&?B(n,p),且E?)=1.6,D@=1.28,則p=()

A.1B.1

C.gD.1

答案：A

解析：??,隨機(jī)變量&?B(n,p),且E?=1.6,D@=1.28,

n=8

np=1.6,解得11.故選A

np(1—p)=1.28

5.[2024?浙江溫州適應(yīng)性考試(一)]一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個紅球,

小明從中無放回地摸出3個小球，摸到一個白球記1分，摸到一個紅球記2分，則小明總得分自的數(shù)學(xué)期

望等于()

A.3.8分B.4分

C.4.2分D.4.4分

答案：C

解析：由題意可得，小明總得分匕的所有可能取值為3,4,5,P化=3)=*=志,P化=4)=號H=

—=|,P化=5)=?/=磊.所以總得分。的數(shù)學(xué)期望E《)=3X古+4x|+5X-=4.2(分).故選C

6.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10

位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),貝Up=()

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

答案：B

解析：由題意得X?B(10,p),則D(X)=10XpX(l-p)=2.4,

得p=0.4或p=0.6,又P(X=4)<P(X=6),

?Yop4(l-p)6<Ctop6(l-p)"

(1—p)2<p2,p>0.5,

.??p=0.6.

7.設(shè)X~N(|ii，o；),Y?N(眼，o；),這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是()

A.P(Y2pi2)2P(Y》m)

B.P(XWG2)WP(XW6)

C.對任意正數(shù)t,P(XWt)》P(YWt)

D.對任意正數(shù)t,P(X2t)》P(YNt)

答案：C

解析:由圖可知，m<0<(12,O1<CT2,

.,.P(Y>H2)<P(Y^m),故A不正確；

P(XW02)>P(XWGI),故B不正確；

當(dāng)t為任意正數(shù)時，由圖可知P(XWt)NP(YWt),

而P(XWt)=l—P(X》t),P(YWt)=l—P(Y2t),

.?.P(X》t)WP(YNt),故C正確，。不正確.

8.(多選)某市有A,B,C,D四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽A的概率為1,游覽

B,C和D的概率都是且該游客是否游覽這四個景點相互獨立，用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點

的個數(shù)，下列正確的是()

A.游客至多游覽一個景點的概率:

3

B.P(X=2)=g

c.P(X=4)=擊

D.E(X)=y

答案：ABD

解析：記該游客游覽i個景點為事件A”i=0,1,

則P(AO)=(I-D°-號(i-3(T尸古,

P(A1)=|(1—￡)+(1一|)C；(1-1)=24,

所以游客至多游覽一個景點的概率為

P(Ao)+P(Ai)=*+.=；,故A正確；

隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4；

P(X=O)=P(Ao)=/，

P(X=l)=P(Ai)=5，

P(X=2)=|XC|x|X(l—￡|十(1一|)XCfX(￡)X(l—￡),故8正確；

P(X=3)=|XCX(￡)X(l—0+(1—I)X式X(￡)=妥,

P(X=4)=|X自，故C錯誤；

15Q7?13

數(shù)學(xué)期望為：E(X)=OX五+1Xzr+2XZT+3XZT+4XZT,故。正確，故選ABD

9.(多選)[2024?新課標(biāo)I卷]隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出

口.為了解推動出口后的畝收入(單位：萬元升青況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均

值1=2.1,樣本方差$2=0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(L8,0.12),假設(shè)推動出口后

的畝收入Y服從正態(tài)分布N(I,s2),則(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布及山<?),則P(Z<n+o)^0.8413)()

A.P(X>2)>0,2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

答案：BC

解析：由題可得X?N(1.8,0.12),Y?N(2.1,O.l2),所以P(X>2)=P(X>n+20)<P(X>「i+c)仁1—0.8413

=0.1587<0.2,故A錯誤,8正確；P(Y>2)=P(Y>同一6)^0.8413>0.5,故C正確，。錯誤.

二、填空題

10.已知隨機(jī)變量X?B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,貝!Jp=.

答案:|

??P=Q-

11.隨機(jī)變量X?N(3,O2),且P(0<X<3)=0.35,則P(X>6)=.

答案：0.15

解析：\?X?N(3,o2),

???P(X<3)=0.5.

又P(0<Xv3)=0.35,

JP(X<0)=0.5—0.35=0.15,

.,.P(X>6)=P(X<0)=0.15.

12.在我校高三高考調(diào)研中，數(shù)學(xué)成績X?N(90,o2)(o>0),統(tǒng)計結(jié)果顯示P(60WXW120)=0.8,假設(shè)

我校參加此次考試的有780人，那么估計此次考試中，我校成績高于120分的有人.

答案：78

］一08

解析：?N(90,，)，.?.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=90對稱，又P(60WXW120)=0.8,；.P(X>120)=..

=0.1,

.?.估計高于120分的有780X0.1=78人.

［能力提升］

13.(多選)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”

釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科

學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn).某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高X(單位：

1(x—100)2

cwt)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為f(x)=1s^-e--------200------，xG(—8,+oo),則下列說法正確的是

()

A.該地水稻的平均株高為100c機(jī)

B.該地水稻株高的方差為10

C.隨機(jī)測量一株水稻，其株高在120cMi以上的概率比株高在70以下的概率大

。.隨機(jī)測量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之間的概率一樣大

答案：AC

1(x—11)2

解析：正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=g^-e----—,xG(—8,+8),由題意知「1=100,?2=100,

所以該地水稻的平均株高為100CM方差為100,故A正確；B錯誤;因為正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直線x=

100對稱，所以P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正確；P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故。

錯誤.故選AC.

14.(多選)某學(xué)校共有6個學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇每

個餐廳的概率相同)，則下列結(jié)論正確的是()

A.四人去了四個不同餐廳就餐的概率為磊

B.四人去了同一餐廳就餐的概率為擊

C.四人中恰有兩人去了第一餐廳就餐的概率為2念5

210

2

D.四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的均值為1

答案：ACD

解析：四人去餐廳就餐的情況共有64種，其中四人去了四個不同餐廳就餐的情況有4種，則四人去

了四個不同餐廳就餐的概率為務(wù)=焉，故A正確；

同理，四人去了同一餐廳就餐的概率為親=由，故B錯誤；

dX52

四人中恰有兩人去了第一餐廳就餐的概率為=荒，故C正確；

設(shè)四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)為匕，

因為四人去第一餐廳就餐的概率都為卷,則自?B(4,*

12

所以E&)=4X4=§,故。正確.

故選ACD

15.2012年國家開始實行法定節(jié)假日高速公路免費通行政策，某收費站在統(tǒng)計了2024年清明節(jié)前后車

輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天每天通行車輛的數(shù)量自服從正態(tài)分布自?N(1000,?2),若P化>1200)=a,

19

P(8OO<^<1000)=b,貝咳+的最小值為________.

dD

答案：32

110

解析：由自?N(1000,?2),p(^>i200)=a,P(8OO<^<1000)=b#a=0.5-b,所以a+b=],則&+g

------1b=3a,

=2弓+弓)(a+b)=2(10+與+患)力2(10+2＜譽(yù))=32,當(dāng)且僅當(dāng)\+b」即