高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(七大題型)(原卷版+解析)

重難點突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)目錄1、基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域為．=2\*GB3②值域為，函數(shù)在整個定義域上沒有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實根個數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個實根；(2)若,且，則恰有一個實根；(3)若,且，則有兩個不相等的實根；(4)若,且，則有三個不相等的實根.說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;(6)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.性質(zhì)3：對稱性（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2、常用技巧（1）其導(dǎo)函數(shù)為對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導(dǎo)為零的點；（2）是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則圖象關(guān)于直線對稱.（3）若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點對稱.（4）已知三次函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個極值點，，則有.題型一：三次函數(shù)的零點問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．（2023·江蘇揚州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實數(shù)，使得方程恰好有兩個實數(shù)根?若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．例3．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且在和處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.變式1．（2023·天津河西·高三天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)，求的極值；（2）當(dāng)，，設(shè)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時，若函數(shù)恰有兩個零點，求的值.變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）若在上有解，求的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的零點為，則點恰好就是該函數(shù)的對稱中心.試求的值.變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)過點，且函數(shù)在點處的切線恰好是直線.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點.例5．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時，對應(yīng)的值.例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=，其中a>0.(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)在點處的切線與y軸的交點為（0，b），求b+的最小值.變式5．（2023·廣東珠?！じ呷Ｂ?lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個根為（1）求的值；（2）求證：還有不同于的實根、，且、、成等差數(shù)列；（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍變式8．（2023·浙江寧波·高三效實中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)(其中).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個不同的極值點，，求的取值范圍.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題例7．（2023·陜西商洛·高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2023·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，m是實數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個零點，求m的取值范圍.變式9．（2023·陜西榆林·高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)在處取得極值，且在點處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求的取值范圍.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．題型四：三次函數(shù)的切線問題例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．例11．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，若過點可作曲線的三條切線，證明:.例12．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處取得極值．（1）求m的值；（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．變式12．（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)，的值；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點、處的切線都過點，證明：．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.例15．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個三次函數(shù)都有“拐點”.設(shè)函數(shù)，則_____________.變式14．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個零點C．點是的對稱中心D．變式15．（多選題）（2023·廣東佛山·高三南海中學(xué)?？计谥校┒x：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個零點C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則變式16．（多選題）（2023·安徽阜陽·高三安徽省太和中學(xué)?？几傎悾┒x：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．的值是199.C．函數(shù)有三個零點D．過可以作三條直線與圖像相切題型六：三次函數(shù)的綜合問題例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8例17．（2023·陜西西安·高三西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，給出下列四個結(jié)論，分別是：①；②在上單調(diào)；③有唯一零點；④存在，使得．其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是__．變式17．（2023·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)?？计谀┮阎?，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；

②；

③；

④.其中正確結(jié)論的序號為（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①③變式18．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)若函數(shù)的對稱中心為，求函數(shù)的解析式.(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項式方程有n個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）.如設(shè)實系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為、、，當(dāng)時，求的最大值；②若，函數(shù)的零點分別為、、，求的值.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且方程的三個根分別為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．變式20．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點”，且該“固點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問題：已知函數(shù).(1)當(dāng)時，試求的對稱中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，有三個不相等的實數(shù)根，當(dāng)取得最大值時，求的值.題型七：三次函數(shù)恒成立問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對任意，都有．例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.例21．（2023·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數(shù)的取值范圍．變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；(2)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)有且只有兩個整數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍；(3)對任意時，任意實數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的最大值.變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)對任意，使得是函數(shù)在區(qū)間上的最大值，試求最大的實數(shù)．(2)若，對于區(qū)間的任意兩個不相等的實數(shù)、，且，都有成立，求的取值范圍．變式23．（2023·遼寧沈陽·高三東北育才學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意，，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．變式24．（2023·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中，.（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，且時，（i）若有兩個極值點，，求證：；（ii）若對任意的，都有成立，求正實數(shù)的最大值.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，．（1）求的值與的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，已知函數(shù)，若對于任意、，，都有，求實數(shù)的取值范圍．

重難點突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)目錄1、基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域為．=2\*GB3②值域為，函數(shù)在整個定義域上沒有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實根個數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個實根；(2)若,且，則恰有一個實根；(3)若,且，則有兩個不相等的實根；(4)若,且，則有三個不相等的實根.說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;(6)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.性質(zhì)3：對稱性（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2、常用技巧（1）其導(dǎo)函數(shù)為對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導(dǎo)為零的點；（2）是可導(dǎo)函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則圖象關(guān)于直線對稱.（3）若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點對稱.（4）已知三次函數(shù)的對稱中心橫坐標(biāo)為，若存在兩個極值點，，則有.題型一：三次函數(shù)的零點問題例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.例2．（2023·江蘇揚州·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實數(shù)，使得方程恰好有兩個實數(shù)根?若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1），令，得或．∵當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，的極小值為，極大值為．（2）由（1）知，在上遞減，在上遞增，在上遞減，而，即函數(shù)的極大值大于極小值．∴當(dāng)極大值等于0時，極小值小于0，此時曲線與軸恰好有兩個交點，即方程恰好有兩個實數(shù)根，如圖1所示．，即．

當(dāng)極小值等于0時，極大值大于0，此時曲線與軸恰有兩個交點，即方程恰好有兩個實數(shù)根，如圖2所示．，即．綜上所述，當(dāng)或時，方程恰好有兩個實數(shù)根．例3．（2023·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且在和處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因為在和處取得極值，所以和是方程＝0的兩個根，則，解得，經(jīng)檢驗符合已知條件，所以；（2）由題意知，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又取足夠大的正數(shù)時，，取足夠小的負(fù)數(shù)時，，因此，為使曲線與軸有一個交點，結(jié)合的單調(diào)性，得：或，∴或，即當(dāng)或時，使得曲線與軸有一個交點.變式1．（2023·天津河西·高三天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)，求的極值；（2）當(dāng)，，設(shè)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時，若函數(shù)恰有兩個零點，求的值.【解析】（1），∴，，.0+0-0+-4∴在時，取極大值.在時，取極小值-4.（2），即，設(shè)，，單調(diào)增函數(shù)，且，∴不等式的解集為.（3），，.，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，所以至多一個零點，（舍去）..，單調(diào)增，所以至多一個零點，（舍去）..，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，，∴在上有一個零點，所以在上有一個零點，根據(jù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.∴.變式2．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）若在上有解，求的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)的零點為，則點恰好就是該函數(shù)的對稱中心.試求的值.【解析】（1）因為所以所求切線的斜率又因為切點為所以所求的切線方程為（2）因為，所以因為在上有解，所以不小于在區(qū)間上的最小值.因為時，，所以的取值范圍是.（3）因為，所以.令可得，所以函數(shù)的對稱中心為，即如果，則，所以.變式3．（2023·山西太原·高三太原市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知三次函數(shù)過點，且函數(shù)在點處的切線恰好是直線.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），由題意可知：；（2）令，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故有，即實數(shù)的取值范圍為.變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．【解析】（1），，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即，的最小值為．（2），，．①若，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞增．，，當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點．②若，則，有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為，，．，．當(dāng)變化時，，的取值情況如下表：00增極大值減極小值增，，，同理，．因為有且只有一個零點，故，解得．故當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點．綜上所述，的取值范圍是．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例4．（2023·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求的零點.【解析】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在上有解，又是對稱軸為的二次函數(shù)，所以在上的最大值大于0，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵當(dāng)時，，，∴在上的最大值點為，最小值為或，而，當(dāng)，即時，，得，此時，的零點為；當(dāng)，即時，，得（舍）.綜上的零點為.例5．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè).若，在上的最小值為，求在上取得最大值時，對應(yīng)的值.【解析】（1）∵在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴在上有解，即在上成立，而的最大值為，∴，解得：.（2），∴，由得：，，則在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵當(dāng)時，，，∴在上的最大值點為，最小值為或，而，當(dāng)，即時，，得，此時，最大值點；當(dāng)，即時，，得（舍）.綜上在上的最大值點為.例6．（2023·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=，其中a>0.(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)在點處的切線與y軸的交點為（0，b），求b+的最小值.【解析】(1)當(dāng)a=1時，，令，得或，故的增區(qū)間為，.(2)，則，而，故曲線在的切線方程為：，它與軸的交點為，故，故，其中，設(shè)，則，當(dāng)時，；時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故即的最小值為.變式5．（2023·廣東珠?！じ呷Ｂ?lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1），，，又圖象在點處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）得，，或時，，時，，所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，極大值是，極小值是；（3）由（2）知在和上遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上的最大值是，最小值是．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1）由得，，解得，曲線在點處的切線方程為，即；（2）由（1），令得或，令得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個根為（1）求的值；（2）求證：還有不同于的實根、，且、、成等差數(shù)列；（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍【解析】（1），由題意，可知是極大值點，故.（2）令，得或,由的單調(diào)性知，是方程的一個根，則，，方程的根的判別式，，又，（）即不是方程的根有不同于的根、，，、、成等差數(shù)列.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知是極大值點,，于是,令，求導(dǎo)，時，，在上單調(diào)遞減，，即.變式8．（2023·浙江寧波·高三效實中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)(其中).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個不同的極值點，，求的取值范圍.【解析】（1）,①當(dāng)即時，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)，為()的兩根，，設(shè)()，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，即.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題例7．（2023·陜西商洛·高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4【答案】D【解析】，由題意得恒成立，，，故選D.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，得因為函數(shù)在上是減函數(shù)，則在上恒成立，即恒成立，當(dāng)，即時，恒成立；當(dāng)，即時，，則，即，因為，所以，即；又因為當(dāng)時，不是三次函數(shù)，不滿足題意，所以.故選：A．例9．（2023·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，m是實數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個零點，求m的取值范圍.【解析】(1)，因為在區(qū)間為增函數(shù),所以在區(qū)間恒成立,所以,即恒成立,由,得.所以的取值范圍是.(2)，所以,令,解得或,時,,在上是增函數(shù),不合題意,時,令,解得或,令,解得,所以在遞增,在遞減,所以極大值為,極小值為,要使有3個零點,需，解得.所以的取值范圍是.變式9．（2023·陜西榆林·高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)在處取得極值，且在點處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解析】（1），由題意，解得，所以；（2）由（1），，在是遞增，則在上恒成立，，時，，所以．變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．【答案】【解析】①當(dāng)對任意的恒成立時，則，則，對任意的恒成立，則，此時；②當(dāng)對任意的恒成立時，則，則，對任意的恒成立，則，此時不存在；③當(dāng)時，，則，當(dāng)時，恒成立，則；當(dāng)時，恒成立，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的的取值范圍為.故答案為：.題型四：三次函數(shù)的切線問題例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點，處的切線方程；(2)設(shè)常數(shù)，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)，．切線方程為，即．（2）由已知關(guān)于的方程，即有三個不等實根．令，則．可知在遞減，在遞增，在遞減，的極小值為：，極大值為．所以.例11．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，若過點可作曲線的三條切線，證明:.【解析】（1）則在點處的切線方程為整理得（2）構(gòu)造函數(shù)，即過點可做曲線的三條切線等價于函數(shù)有三個不同的零點.，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即可得例12．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，則，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.（2）設(shè)曲線與過點，的切線相切于點，則切線的斜率為，所以切線方程為因為點，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實數(shù)的取值范圍是.變式11．（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處取得極值．（1）求m的值；（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以．經(jīng)驗證符合題意；（2）設(shè)切點坐標(biāo)為，由，得，所以方程為，將代入切線方程，得．令，則，則，解得．當(dāng)或時，，所以在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減．所以的極大值為，的極小值為．因為有三條切線，所以方程有三個不同的解，與的圖象有三個不同的交點，所以．變式12．（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)，的值；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），由在點處的切線方程為，得，，故，故，（2）由（1）得，過點向曲線做切線，設(shè)切點為，則切線方程為．因為切線過，故，整理得到：，∵過點可做曲線的三條切線，故方程有3個不同的解.記，．∴當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值．故當(dāng)，即時，函數(shù)有3個不同零點．∴實數(shù)的取值范圍是．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處取得極值．(1)設(shè)點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設(shè)曲線在點、處的切線都過點，證明：．【解析】（1）證明：由，得：，由題意可得，所以，．此時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極大值．設(shè)切點為，則切線方程為，即，即為，將點的坐標(biāo)代入方程可得，即，所以，即點為切點，且切點是唯一的，故切線有且只有一條．所以切線方程為.（2）因為切線方程為，把點的坐標(biāo)代入切線方程可得，因為有三條切線，故方程得有三個不同的實根．設(shè)，，令，可得和．當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，函數(shù)在處取得極大值，且，函數(shù)在處取得極小值，且，因為方程有三個根，則，解得，因為，，由零點存在定理可知，函數(shù)有三個零點，綜上所述，．（3）證明：假設(shè)，則，則，因為，所以．由（2）可得，兩式相減可得．因為，故．把代入上式可得，，所以，，所以．又由，這與矛盾．所以假設(shè)不成立，即證得．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，令，可得，又，所以的圖像的對稱中心為，即，所以，故選：B.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.【答案】2【解析】因為為定點，為定值，所以兩點關(guān)于點對稱，由可得，設(shè)，令，解得，所以根據(jù)三次函數(shù)的對稱中心的二階導(dǎo)數(shù)為0可得是三次函數(shù)的對稱中心，所以，即.故答案為：2例15．（2023·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個三次函數(shù)都有“拐點”.設(shè)函數(shù)，則_____________.【答案】－3033【解析】因為，所以，設(shè)，則，令，可得，又，所以，即，所以，所以.故答案為：.變式14．（多選題）（2023·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學(xué)校聯(lián)考期末）對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個零點C．點是的對稱中心D．【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)有3個零點，所以B錯誤；由，可得，令，可得，又由，所以點是函數(shù)的對稱中心，所以C正確；因為是函數(shù)的對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD.變式15．（多選題）（2023·廣東佛山·高三南海中學(xué)校考期中）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個零點C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則【答案】ACD【解析】對于A中，由，可得，則，因為點是對稱中心，結(jié)合題設(shè)中“拐點”的定義可知，且，解得，所以A正確；對于B中，由，可知，則，令，可得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又，則函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)只有一個零點，所以B錯誤；對于C中，因為，所以點恰好在的圖象上，畫出函數(shù)的切線，如圖所示，由圖象可知過點可作函數(shù)的兩條切線，所以C正確；

對于D中，若在區(qū)間上有最大值，由上圖可知，最大值只能是，所以且，解得，所以D正確.故選：ACD.變式16．（多選題）（2023·安徽阜陽·高三安徽省太和中學(xué)?？几傎悾┒x：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．的值是199.C．函數(shù)有三個零點D．過可以作三條直線與圖像相切【答案】AB【解析】因為，所以，從而，由題意，即，解得，故A正確；因為函數(shù)的對稱中心為，所以有，設(shè)，所以有，得，，所以即的值是199.故B正確；因為，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在與處取得極大值與極小值，又，，即的極大值與極小值大于0，所以函數(shù)不會有3個零點，故C錯誤；設(shè)切點為，則切線方程為，又切線過，則，化簡得，即，解得或，即滿足題意的切點只有兩個，所以滿足題意只有兩條切線，故D錯誤.故選：AB.題型六：三次函數(shù)的綜合問題例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8【答案】A【解析】由得，因為在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，所以，此時的另外一個根，所以，因為方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，所以，所以且，所以則所以，因為，所以，所以的最小值是5.故選：A．例17．（2023·陜西西安·高三西安中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，給出下列四個結(jié)論，分別是：①；②在上單調(diào)；③有唯一零點；④存在，使得．其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】C【解析】，假設(shè)①錯誤，則，因此二次函數(shù)是開口向下的拋物線，因此④一定正確，當(dāng)時，即時，②成立，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以③有唯一零點正確；假設(shè)②錯誤，則在上不單調(diào)，所以有，即，兩根為：，顯然④正確，要想①正確，二次函數(shù)是開口向上的拋物線，所以函數(shù)從左到右先增后減再增，要想③正確，只需或，比如當(dāng)時可以使①③正確；假設(shè)③錯誤，則在上單調(diào)，且，因此，所以④也錯誤；假設(shè)④錯誤，則，因此②在上單調(diào)遞增，顯然此時有，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以③有唯一零點正確，故選：C例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是__．【答案】③④⑤【解析】求導(dǎo)函數(shù)可得，當(dāng)時，；當(dāng)，或時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為，函數(shù)沒有最值，要使有三個解、、，那么結(jié)合函數(shù)草圖可知：，所以，且，所以，，，，故①②錯誤；③④⑤正確.故答案為：③④⑤．變式17．（2023·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學(xué)?？计谀┮阎F(xiàn)給出如下結(jié)論：①；

②；

③；

④.其中正確結(jié)論的序號為（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①③【答案】A【解析】分析：先求出f′（x），再進(jìn)行因式分解，求出f′（x）＜0和f′（x）＞0對應(yīng)x的范圍，即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再由條件判斷出a、b、c的具體范圍和f（1）＞0且f（2）＜0，進(jìn)行求解得到abc的符號，進(jìn)行判斷出f（0）的符號．由題意得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），∴當(dāng)x＜1或x＞2時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（﹣∞，1），（2，+∞），減區(qū)間是（1，2），∴函數(shù)的極大值是f（1）=，函數(shù)的極小值是f（2）=2﹣abc，∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，∴a＜1＜b＜2＜c，f（1）＞0且f（2）＜0，解得2＜，∴f（0）=﹣abc＜0，則f（0）f（1）＜0、f（0）f（2）＞0，故答案為：A．變式18．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)若函數(shù)的對稱中心為，求函數(shù)的解析式.(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個一次因式的乘積.進(jìn)而，一元n次多項式方程有n個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）.如設(shè)實系數(shù)一元二次方程，在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，①若，方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為、、，當(dāng)時，求的最大值；②若，函數(shù)的零點分別為、、，求的值.【解析】（1）為奇函數(shù)，則恒成立.即，整理得：恒成立，故，解得，故.（2）①若，則，由題有的三個實根為，，.設(shè)，展開得，故，則，又，故，綜上：當(dāng)時，的最大值為0；②時，，由有，同時除以得，令，，，由題知是方程的三個根，則，展開得，則.變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且方程的三個根分別為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)得，由題設(shè)兩根為，則，所以.（2）由（1）和條件得,，則，所以所以是方程的兩根，所以，解得，又，所以所以.所以的范圍是.變式20．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點”，且該“固點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問題：已知函數(shù).(1)當(dāng)時，試求的對稱中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時，有三個不相等的實數(shù)根，當(dāng)取得最大值時，求的值.【解析】（1），，，令，，，故的對稱中心為.（2），令，則，，當(dāng)時，，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在，上，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），，令，，，所以對稱中心為，當(dāng)和時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；；，要使得有三個解，故，，且，，是方程的根，由于對稱性，為了簡化研究，只研究的情況，，根據(jù)常數(shù)項知：，根據(jù)對稱性知：，，且，故，即，.當(dāng)時，取得最大值，此時.題型七：三次函數(shù)恒成立問題例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對任意，都有．【解析】（I）由題意，令且所以由的單調(diào)性可知的極小值為極大值為（II）且從而問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立.試題解析：（I）依題意得，知在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)∴，

（II）法1：易得時，，依題意知，只要由知，只要令，則注意到，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，即，綜上知對任意，都有法2：易得時，，由知,,令則注意到，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，，所以,即.綜上知對任意，都有.

法3:易得時，，由知,,令,則令,則,知在遞增,注意到,所以,在上是減函數(shù)，在是增函數(shù),有,即綜上知對任意，都有.

例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.(2)對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，因為，且，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.例21．（2023·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意，函數(shù)，可得，因為函數(shù)在點處的切線方程是，可得，解得，，所以．（2）由（1）知，令，即，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在和上分別單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，，，所以在區(qū)間上