2024年新高考藝體生沖刺復(fù)習(xí)-統(tǒng)計與概率（解析版）

考點18統(tǒng)計與柢率

知識點一抽樣方法

知識點二頻率分布直方圖（表）

知識點三樣本的數(shù)字特征

空

知識點一一知識點四事件的分類

間

向知識點五兩個事件的關(guān)系和運算

量

知識點六古典概型

在

空知識點七相互獨立事件

間

幾

何「考點一隨機抽樣

中

一考點二特征數(shù)

的

應(yīng)考點三統(tǒng)計圖

用

考點一一考法四古典概型

考點五獨立事件

考點六互斥與對立事件

考點七事件的關(guān)系與運算

知識講解

一.抽樣方法

（一）簡單隨機抽樣

1.概念：一般地，從元素個數(shù)為N的總體中逐個不放回地抽取容量為w的樣本，如果每一次抽取時總體中

的各個個體有相.同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

2.最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法（重點掌握隨機數(shù)表法的讀數(shù)）

3.適用范圍是：總體中的個體性質(zhì)相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小.

（二）分層抽樣

1.概念：當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽

樣、將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不交叉的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體

中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

2.應(yīng)用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系

統(tǒng)抽樣.

3.特征：等比例抽樣

二.頻率分布直方圖(表)

.頻率

1.縱軸表示組距,

2.頻率：數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各長長方形的面積表示

3.各小長方形的面積總和等于1.

4.分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.

隨著樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條

光滑的曲線，統(tǒng)計中稱之為總體密度曲線，它能夠更加精細(xì)的反映出總體的分布規(guī)律.

三.樣本的數(shù)字特征

特征數(shù)具體數(shù)字算法頻率分布直方圖(表)

眾數(shù)次數(shù)出現(xiàn)最多的數(shù)字頻率最大或最高組的中間值

中位數(shù)樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間頻率等于0.5時的橫坐標(biāo)

的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取當(dāng)中兩

個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)

平均數(shù)所有數(shù)字之和除以總個數(shù)每個小矩形面積乘以小矩形底邊中點的橫坐

標(biāo)之和

方差1___

S2=n[(yi—X)2+(X2—X)2+...+(Xn—X)2].

平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)

的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定

四.事件的分類

(1)隨機事件

一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將

樣本空間a的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.隨機事件一般

用大寫字母A,B,C...表示.在每次試驗中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.

(2)必然事件

a作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以◎總會發(fā)生，我們稱

a為必然事件.

(3)不可能事件

空集0不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱叁為不可能事件.

五.兩個事件的關(guān)系和運算

(2)準(zhǔn)確把握互斥事件與對立事件的概念：①互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生；②

對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生.

六.古典概型

1.概念具有以下特征的試驗叫做古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.

2.古典概型的概率公式

一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間2包含"個樣本點，事件A包含其中的左個樣本點，則定義事件

A的概率p(A)=」=",

nn(i2)

其中，“(A)和”(0分別表示事件A和樣本空間Q包含的樣本點個數(shù).

3,概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件A,都有OWP(A)W1；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(a)=l,P(0)=O；

性質(zhì)3：如果事件A與事件8互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)；

性質(zhì)4：如果事件A與事件8互為對立事件，那么P(8)=l—P(A),P(A)=1-P(B)；

性質(zhì)5：如果AU3,那么尸(A)斗￡),由性質(zhì)可得，對于任意事件A,因為0UAUQ,所以gP(A)Sl.

性質(zhì)6：設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，有尸(AUB)=P(A)+P(8)—P(An3).

七.相互獨立事件

1.概念：對任意兩個事件A與2,如果尸(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.

2.性質(zhì)：若事件A與8相互獨立，那么A與8,A與3,A與8也都相互獨立.

典例剖析

考點一隨機抽樣

【例「1］（2023?全國?模擬預(yù)測）已知某中學(xué)初二年級共有學(xué)生668人，為了了解該年級學(xué)生的近視情況，

學(xué)校決定利用隨機數(shù)法從中抽取80人進行成績抽樣統(tǒng)計，先將這668名學(xué)生按001,002,003,668

進行編號.（下面摘取了隨機數(shù)表的第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

如果從第7行第1列的數(shù)開始向右讀，則第6個被抽取的號碼是（）

A.633B.502C.217D.506

【答案】A

【解析】由題意知，編號的范圍為001,002,003,.,668.結(jié)合初始位置，知第一個抽取的號碼為217,

接下來依次抽取的號碼為533,157,245,506,633,所以第6個被抽取的號碼為633.故選:A.

【例1-2】（2023?江西上饒?統(tǒng)考二模）為了支持民營企業(yè)發(fā)展壯大，幫助民營企業(yè)解決發(fā)展中的困難，某

市政府采用分層抽樣調(diào)研走訪各層次的民營企業(yè).該市的小型企業(yè)、中型企業(yè)、大型企業(yè)分別有900家、90

家、10家.若大型企業(yè)的抽樣家數(shù)是2,則中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是（）

A.180B.90C.18D.9

【答案】C

【解析】該市中型企業(yè)和大型企業(yè)的家數(shù)比為9:1,由分層抽樣的意義可得中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是

9x2=18.故選：C.

【變式】

1.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在北京冬奧會期間，共有1.8萬多名賽會志愿者和20余萬人次城市志

愿者參與服務(wù).據(jù)統(tǒng)計某高校共有本科生1600人，碩士生600人，博士生200人申請報名做志愿者，現(xiàn)

用分層抽樣方法從中抽取博士生30人，則該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為（）

A.300B.320C.340D.360

【答案】D

【解析】根據(jù)題意知分層抽樣比例為蕓30=二3，所以該高校抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為

3

（1600+600+200）x—=360.故選：D.

2.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名青年人，從中按比例用

分層隨機抽樣的方法抽取九人，若抽取的老年人與青年人共21名，貝回的值為（）

A.15B.30C.32D.36

【答案】D

n2,1

【解析】由題可知彘=就，解得"=36.故選：D.

3（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）為實現(xiàn)鄉(xiāng)村生態(tài)振興，走鄉(xiāng)村綠色發(fā)展之路，鄉(xiāng)政府采用按比例分層抽樣

的方式從甲村和乙村抽取部分村民參與環(huán)保調(diào)研，已知甲村和乙村人數(shù)之比是3:1,被抽到的參與環(huán)保調(diào)

研的村民中，甲村的人數(shù)比乙村多8人，則參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)是（）

A.16B.24C.32D.40

【答案】A

【解析】設(shè)被抽取參與調(diào)研的乙村村民有x人，則根據(jù)分層抽樣按兩村人口比例，甲村被抽取參與調(diào)研的

有3x人，所以3x-x=8,即x=4,所以參加調(diào)研的總?cè)藬?shù)x+3x=16.故選：A

4.（2023?河南駐馬店?統(tǒng)考二模）已知某班共有學(xué)生46人，該班語文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書

籍的時長情況，決定利用隨機數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進行調(diào)查.將46名學(xué)生按01,02,46進

行編號.現(xiàn)提供隨機數(shù)表的第7行至第9行：

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8

個樣本編號是（）

A.07B.12C.39D.44

【答案】D

【解析】由題意可知得到的樣本編號依次為12,06,01,16,19,10,07,44,39,38,則得到的第8

個樣本編號是44.故選：D.

5.（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）福利彩票"雙色球"中紅球的號碼可以從01,02,03,32,33這

33個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數(shù)表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9

列的數(shù)字開始，從左到右依次讀取數(shù)據(jù)，則第四個被選中的紅色球號碼為（）

第1行:2976341328414241

第2行:8303982258882410

第3行:5556852661668231

A.10B.22C.24D.26

【答案】C

【解析】被選中的紅色球號碼依次為28,03,22,24,10,26,所以第四個被選中的紅色球號碼為24.

故選：C.

考點二特征數(shù)

【例2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）（多選）為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，測得該地連續(xù)10天PM2.5（PM2.5是

衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位:Ag/m3）的日均值,依次為36,26,17,23,33,106,42,31,30,33,則（）

A.中位數(shù)為31或33B.第60百分位數(shù)與眾數(shù)相同

C.前4天的極差大于后4天的極差D.前4天的方差小于后4天的方差

【答案】BC

【解析】將日均值按從小到大的順序排列為17,23,26,30,31,33,33,36,42,106,所以中位數(shù)為匕丁=32,A

2

錯誤.因為，=10x60%=6為整數(shù)，所以第60百分位數(shù)是第6和第7個數(shù)的平均數(shù)，即3也3+產(chǎn)33=33,

2

又33為眾數(shù)，B正確.前4天的極差為36-17=19,后4天的極差為42-30=12,C正確.

前4天的平均數(shù)為-------------=25.5

方美為（36-25.5）2+（26-25.5）2+（17—25.5）2+（23-25.5）2

4

u,工％近小粕342+31+30+33（42-34）2+（31-34）2+（30-34）2+（33-34）2

后4天的平均數(shù)為-------------=34,萬差為1------L_------L_------L_V------L=22.5，

44

前4天的方差大于后4天的方差，D錯誤.故選:BC.

【例2-2】（2023?廣東廣州）（多選）某市實行居民階梯電價收費政策后有效促進了節(jié)能減排.現(xiàn)從某小

區(qū)隨機調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW-h）,將數(shù)據(jù)進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)

間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）

A.圖中。的值為0.015

B.樣本的第25百分位數(shù)約為217

C.樣本平均數(shù)約為198.4

D.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在[170,230)內(nèi)的戶數(shù)為108

【答案】AC

【解析】對A,20(0.006+0.007+0.01+0.012+4)=1,所以。=0.015,故A正確;

對B設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為6，，則20x0.007=0.14<0.2520(0.007+0.012)=0.38>0.25,

所以be[170,190],故B錯誤；

對C,樣本平均數(shù)為：20(160x0.007+180x0.012+200x0.015+220x0.01+240x0.006)=198.4,故C正確；

對D,用電量落在[170,230)內(nèi)的戶數(shù)為：20(0.012+0.015+0.01)x200=148,故D錯誤.故選：AC

【例2-3】(2024?陜西寶雞?統(tǒng)考一模)第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行,

中國代表團共獲得201枚金牌，1U枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎牌的歷史最好成績.某個項目的比賽的

六個裁判為某運動員的打分分別為95,95,95,93,94,94,評分規(guī)則為去掉六個原始分的一個最高分和

一個最低分，剩下四個有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個原始分的中位數(shù)為A,方差為S2,

四個有效分的中位數(shù)為A，方差為S；,則下列結(jié)論正確的是()

A.A*4，曉<5；B.A^A,,S2>Si

c.A=S2<S；D.A=A，S2>S；

【答案】D

【解析】容易求出這六個原始分95,95,95,93,94,94的中位數(shù)為4=94.5,方差為底；

四個有效分95,95,94,94的中位數(shù)為A=94.5,方差為S；；根據(jù)方差的定義知四個有效分的波動性變

小，所以S2>s；.故選:D.

【變式】

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）（多選）甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4,

5,5,6,6,7,7,8,8,9,乙的環(huán)數(shù)從小到大排列為2,5,6,6,7,7,7,8,9,10,貝U（）

A.甲、乙的第70百分位數(shù)相等

B.甲的極差比乙的極差小

C.甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)大

D.甲的方差比乙的方差大

【答案】AB

【解析】對于A,因為10x70%=7,所以甲的環(huán)數(shù)的70百分位數(shù)是k=7.5,乙的環(huán)數(shù)的70百分位數(shù)

2

7Q

是一「=7.5,故A正確；

2

對于B,甲的極差為9-4=5,乙的極差為10-2=8,故B正確；

4+5+5+6+6+7+8+8+92+5+6+6+7+7+7+8+9+10

對于C,甲的平均數(shù)為=6.5,乙的平均數(shù)為=6.7,

1010

所以甲的平均數(shù)比乙的平均數(shù)小，故C錯誤;

對于D,根據(jù)題中數(shù)據(jù)可知，甲數(shù)據(jù)分布更集中，而乙數(shù)據(jù)分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D錯

誤.

故選：AB

2.（2024?江西）（多選）已知一組數(shù)據(jù)：12,31,24,33,22,35,45,25,16,若去掉12和45,則剩下的數(shù)據(jù)與

原數(shù)據(jù)相比，下列結(jié)論正確的是（）

A.中位數(shù)不變B.平均數(shù)不變

C.方差不變D.第40百分位數(shù)不變

【答案】AD

【解析】將原數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為12,16,22,24,25,31,33,35,45,

其中位數(shù)為25,平均數(shù)是(12+16+22+24+25+31+33+35+45)+9=27,

方差是gx[(-15)2+(-11)2+(-5)2+(-3)2+(-2)2+42+62+82+182]=^,

由40%x9=3.6,得原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)24.

將原數(shù)據(jù)去掉12和45,得16,22,24,25,31,33,35,

其中位數(shù)為25,平均數(shù)是(16+22+24+25+31+33+35)+7=母,

方差是:x1916

49

由40%x7=2.8,得新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第3個數(shù)24,

故中位數(shù)和第40百分位數(shù)不變，平均數(shù)與方差改變，故A,D正確，B,C錯誤.

故選：AD.

3.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）某地發(fā)起"尋找綠色合伙人一一低碳生活知識競賽”活動，選取了“

人參與問卷調(diào)查，將他們的成績進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直

方圖，且成績落在［90/00）的人數(shù)為10,則（）

A.m=0.01

B.幾=100

C.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則問卷調(diào)查成績的平均數(shù)低于70

D.問卷調(diào)查成績的80%分位數(shù)的估計值為85

【答案】ABD

【解析】由圖可知.10x(0.006+0.012+0.02+0.032+0.02+9)=1,解得根=0.01,

則成績在［90.100)的頻率為0.1,由0.1〃=10,得”=100,A,B正確；

問卷調(diào)查成績的平均數(shù)為45x0.06+55x0.12+65x0.2+75x0.32+85x0.2+95x0.1=72.8,C不正確.

因為0.06+0.12+0.2+0.32=0.7<0.8,0.06+0.12+0.2+0.32+0.2=0.9>0.8,

所以問卷調(diào)查成績的80%分位數(shù)在［80,90)內(nèi)，設(shè)問卷調(diào)查成績的80%分位數(shù)為x,

貝0.7+0.02(%-80)=0.8,解得x=85,D正確.

故選：ABD.

4.（2023?全國,模擬預(yù)測）（多選）某校某年級為了測試該年級1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，組織了一次數(shù)

學(xué)測試，將這1000名學(xué)生的成績分成了六組，分別為

[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150],并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下

A.該年級學(xué)生成績落在[120,130）的人數(shù)為300

B.該年級學(xué)生成績的第一四分位數(shù)為"0分

C.該年級學(xué)生成績的眾數(shù)為135分

D.該年級學(xué)生成績的平均分為121分

【答案】ABD

【解析】選項A：由頻率分布直方圖可得，該年級學(xué)生成績落在[120,130）的頻率為

1-（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）x10=0.3

則該年級學(xué)生成績落在[120,130）的人數(shù)為1000x0.3=300,故A正確.

選項B：第一四分位數(shù)即25%分位數(shù)，由頻率分布直方圖可得，前兩個區(qū)間的頻率之和恰為0.25,故B正

確.

選項C：由頻率分布直方圖可知，該年級學(xué)生成績落在[120,130）的頻率最大，故該年級學(xué)生成績的眾數(shù)為

125分故C錯誤.

選項D：該年級學(xué)生成績的平均分為

95x0.1+105x0.15+115x0.15+125x0.3+135x0.25+145x0.05=121（分），

故D正確.

故選：ABD

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知一個樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為6,方差為2,現(xiàn)在樣本中插入三個

新數(shù)據(jù)5,6,7,若新樣本的平均數(shù)為元，方差為S2,則（）

A.x=6,s2<2B.x=6,s2=2C.x<6,r=2D.x>6,s2>2

【答案】A

【解析】設(shè)原樣本的7個數(shù)據(jù)分別為4，巧，…，尤7,

插入的三個新數(shù)據(jù)分別為%=5,須=6,.%=7,

717

由題意得2蒼=42,-^(x,.-6)-=2,

i=l/i=l

以x—(石+%2++Mo)—(42+5+6+7)=6,

s~=m[(X]—6)+(x2-6)++(玉0-6)]=而[14+(5—6)2+(6-6)~+(7-6)~]=1.6<2,

故選：A.

考點三統(tǒng)計圖

【例3-1】(2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖是某兩位體育愛好者的運動素養(yǎng)測評圖，其中每項能力

分為三個等級，"一般"記為4分，"較強”記為5分，"很強”記為6分，把分值稱為能力指標(biāo)，則下列判斷

不正確的是()

籃球

長跑馬術(shù)

A.甲、乙的五項能力指標(biāo)的平均值相同

B.甲、乙的五項能力指標(biāo)的方差相同

C.如果從長跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲的運動素養(yǎng)高于乙的運動素養(yǎng)

D.如果從足球、長跑、籃球考慮，甲的運動素養(yǎng)高于乙的運動素養(yǎng)

【答案】D

【解析】由圖可知：甲的平均值為6+4+：4+5=4.8,

乙的平均值為6+5+；5+4=4.8,A正確；

22

甲的方差為＜=:翻-4.8)2+(4-4.8)2+(5-4.8『+(4-4.8)+(5-4.8)=0.56,

乙的方差為y=1^5-4.8『+(5-4.8)2+(4-4.8)2+(5-4.8)2+(4-4.8)2=0.56,

B正確；

從長跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲三方面的分值和為5+4+5=14,乙三方面的分值和為4+5+4=13,乙小于甲,

C正確;

從足球、長跑、籃球考慮，甲三方面的分值和為6+5+4=15,乙三方面的分值和為6+4+5=15,乙與甲

相同，D錯誤.

故選：D

【例3-2】（2023?四川達州?統(tǒng)考一模）將某年級600名學(xué)生分配到甲、乙、丙、丁、戊這5個社區(qū)參加社

會實踐活動，每個人只能到一個社區(qū).經(jīng)統(tǒng)計，將到各個社區(qū)參加志愿者活動的學(xué)生人數(shù)繪制成如下不完整

的兩個統(tǒng)計圖，則分到戊社區(qū)參加活動的學(xué)生人數(shù)為（）

【答案】C

【解析】由題意得，分配到乙社區(qū)的學(xué)生數(shù)為600x20%=120,

分配到丁社區(qū)的學(xué)生數(shù)為600x25%=150,

故分到戊社區(qū)參加活動的學(xué)生數(shù)為600-90-120-180-150=60.

故選：C

【變式】

1.（2024?陜西咸陽?校考模擬預(yù)測）小張分別在A,8兩個地塊培育同一種樹苗5棵，一周后觀察它們的

高度如圖所示，則（）

地塊樹苗高度/m

6

5

4

3

2

1

O??????A

123456/地塊樹苗高度/m

A.B地塊樹苗高度的眾數(shù)小于A地塊樹苗高度的眾數(shù)

B.8地塊樹苗高度的方差等于A地塊樹苗高度的方差

C.B地塊樹苗高度的平均值大于A地塊樹苗高度的平均值

D.B地塊樹苗高度的中位數(shù)等于A地塊樹苗高度的中位數(shù)

【答案】C

【解析】觀察圖象可得，

對于A,B地塊樹苗高度的眾數(shù)為4,A地塊樹苗高度的眾數(shù)為1和2,所以8地塊樹苗高度的眾數(shù)大于A

地塊樹苗高度的眾數(shù)，故A錯誤；

對于B,B地塊樹苗高度波動比較大，A地塊樹苗高度波動比較小，所以8地塊樹苗高度的方差大于A地

塊樹苗高度的方差，故B錯誤；

對于C,3地塊樹苗高度在3到6之間變化，A地塊樹苗高度在1到3之間變化，所以B地塊樹苗高度的

平均值大于A地塊樹苗高度的平均值，故C正確；

對于D,3地塊樹苗高度的中位數(shù)接近4,A地塊樹苗高度的中位數(shù)小于3,所以3地塊樹苗高度的中位數(shù)大

于A地塊樹苗高度的中位數(shù)，故D錯誤.

故選：C.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知圖1為2014-2022年中國游戲用戶規(guī)模（單位：百萬人）及其同比增長率

的統(tǒng)計圖，圖2為2010-2022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量（單位：個）的統(tǒng)計圖，則下列結(jié)論正確的是

（）

2022□468

625.7641.1664.8666.2664.18

%2021I=I679

2020?=i1308

、

樹2019I=I1365

半2018=12055

誓2017?

由2016■^4021

叵2015?=>621

20140680

2013口567

20120576

2011°452

2014201520162017201820192020202120222010&245

?中國游戲用戶規(guī)模/百萬人?同比增長率=數(shù)量/個

圖1圖2

A.2014-2022年中國游戲用戶規(guī)模逐年增長

B.2014-2022年中國游戲用戶規(guī)模同比增長率的中位數(shù)為3.1%

C.2010-2022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的極差是223

D.2010-2022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的平均數(shù)超過1500

【答案】D

【解析】A選項：2022年中國游戲用戶規(guī)模比2021年減少，A錯誤；

B選項：2014-2022年中國游戲用戶規(guī)模同比增長率從小到大依次為

-0.3%,0.2%,2.5%,3.1%,3.2%,3.7%,4.6%,5.9%,7.3%,中位數(shù)為3.2%,B錯誤；

C選項：2010-2022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的極差為9177-245=8932,C錯誤;

D選項：2010-2022年中國國產(chǎn)游戲獲批版號數(shù)量的平均數(shù)為

^x（245+452+576+567+680+621+4021+9177+2055+1365+1308+679+468）?1709>1500,D正確.

故選：D.

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖為2022年全國居民消費價格漲跌幅統(tǒng)計圖，則下列說法錯誤的是（）

2022年全國居民消費價格濠跌幅

“'I月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

―—同比環(huán)比

A.環(huán)比的極差小于同比的極差B.環(huán)比的中位數(shù)為0.05%

C.環(huán)比的方差小于同比的方差D.同比的平均數(shù)約為L8%

【答案】D

【解析】選項A：由統(tǒng)計圖可知，環(huán)比的極差為0.6%-（-0.2%）=0.8%,同比的極差為2.8%-0.9%=1.9%,

故A正確；

選項B：由折線圖可知，各月份的環(huán)比按從小到大的排列依次為：-0.2%,-0.2%,-0.1%,0%,0%,0%,

0.1%,0.3%,0.4%,0.4%,0.5%,0.6%,所以環(huán)比的中位數(shù)為0%+°,％=0.05%,故B正確；

2

選項C：由統(tǒng)計圖可知環(huán)比的波動比同比的波動小，故C正確；

選項D：同比的平均數(shù)

—x（0.9%+0.9%+1.5%+2.1%+2.1%+2.5%+2.7%+2.5%+2.8%+2.1%+1.6%+1.8%）~1.96%,故D錯誤;

12

故選：D.

4.（2023?廣東廣州?廣考一模）（多選）2023年U月15日國家統(tǒng)計局網(wǎng)公布的規(guī)模以上工

業(yè)增加同比增長速度數(shù)據(jù)如圖（其中2023年1月與2月合為一個數(shù)據(jù)），則（）

A.12個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4.15%

B.12個數(shù)據(jù)的極差為4%

C.2022年10月到2023年5月的增長速度方差比2023年6月到2023年10月的方差大

2

D.從小于4%的數(shù)據(jù)中任取兩個數(shù)，其和大于5%的概率為彳

【答案】AC

【解析】對于A項：12個數(shù)據(jù)從小到大排列為1.3,2.2,2,4,3.5,3.7,3.9,4.4,4.5,4.5,4,6,5.0,

39+44

5.6,所以中位數(shù)為二二—=4.15,所以A正確；

對于B項：極差為5.6-1.3=4.3,所以B錯誤；

對于C項：因為2022年10月到2023年5月的增長速度的波動比2023年6月到2023年10月的數(shù)據(jù)波動

大，所以方差更大，所以C正確；

對于D項：因為小于4的數(shù)據(jù)有1.3,2.2,24,3.5,3.7,3.9共6個，

從中任取兩個數(shù)的所有情況共有

（1.3,2.2）（1.3,2.4）（1.3,3.5）（1.3,3.7）（1.3,3.9）（2.2,2.4）（2.2,3.5）（2.2,3.7）（2.2,3.9）

（24,3.5）（24,3.7）（2.4,3.9）（3.5,3.7）（3.5,3.9）（3.7,3.9）共15種，

而兩數(shù)之和大于5的有（133.9）（2.2,3.5）（2.2,3.7）（2.2,3.9）（2.4,3.5）（2.4,3.7）（2.4,3.9）（353.7）

1n7

（3.5,3.9）（3.7,3.9）共10種，所以所以D錯誤.

故選：AC.

考法四古典概型

【例4】（2023?湖南）有編號互不相同的五個祛碼，其中3克、1克的祛碼各兩個，2克的祛碼一個，從

中隨機選取兩個祛碼，則這兩個祛碼的總重量超過4克的概率為（）

【答案】A

【解析】記3克的祛碼為a，4,1克的祛碼為C1,C2,2克的祛碼為B,從中隨機選取兩個祛碼,

樣本空間。={(4,4),(4,8),(4，￡)，(46〉(4,8),(4，￡),(46)，(36)，(&02),(6，。2)},

3

共有10個樣本點，其中事件"這兩個祛碼的總重量超過4克"包含3個樣本點，故所求的概率為歷

故選：A.

【變式】

1.(2024?黑龍江哈爾濱)從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取2個，則這2個數(shù)字之積大于5的概率為()

2137

A.—B."C.—D.—

52510

【答案】C

【解析】由題從L2,3,4,5這5個數(shù)中任取2個

共有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3⑸,{4,5},10種,

滿足這2個數(shù)字之積大于5的有{2,3},{2,4},{2,5},{于4},{3,5},{4,5},共有6種，

則由古典型概率可知其所求概率為2=|.

故選：C

2.(2023?北京)一個學(xué)習(xí)小組有5名同學(xué)，其中2名女生，3名男生.從這個小組中任意選出2名同學(xué)，

則選出的同學(xué)中女生人數(shù)不少于男生人數(shù)的概率為()

3237

A.—B.-C.—D.—

105510

【答案】D

【解析】5人小組中，設(shè)2女生分別為a力，3名男生分別為

則任意選出2名同學(xué)，共有：(a,。),(a,A),(a,B),(a,C),(6,A),g,C),(A,B),(AC),(B,C)10個基本事件,

其中選出的同學(xué)中女生人數(shù)不少于男生人數(shù)有(dbUa,A),(a,B),(a,C),g,A),(b,B),(b,Q7個基本事件，

故選：D.

3.（2023?陜西安康）某班舉辦趣味數(shù)學(xué)活動，規(guī)則是：某同學(xué)從分別寫有1至9這9個整數(shù)的9張卡片

中隨機抽取兩張，將卡片上較大的數(shù)作為十位數(shù)字，較小的數(shù)作為個位數(shù)字組成一個兩位數(shù).若這個兩位數(shù)

與將它的個位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后得到的兩位數(shù)的差為45,就視為該同學(xué)獲獎.若該班同學(xué)A參加這項

活動，則他獲獎的概率為（）

1111

A.—B.—C.—D.一

7236189

【答案】D

【解析】設(shè)同學(xué)A隨機抽取得到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x,個位數(shù)字為y（x>y）.

依題意，若X=2,則y=l,有1種情況；若x=3,貝口=1,2,有2種情況.以此類推.…，

若X=9,貝Uy=l,2,.,8,有8種情況，共計有1+2++8=36種情況，

其中滿足獲獎的情況是（10x+y）-（10y+無）=45,即x-y=5,

也即獲獎情況只有x=6,y=l;x=7,y=2;x=8,y=3;x=9,y=4,這4種情況，

所以該班同學(xué)A參加這項活動獲獎的概率為J4=51.故選：D

369

考點五獨立事件

【例5-1]（2023?遼寧）兩個實習(xí)生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為2]和：3，兩個零件是

否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為

A.JB.—C.-D.1

21246

【答案】B

【解析】記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為4即僅第一個實習(xí)生加工一等品（4）與僅第二個實習(xí)生

21135

加工一等品色）兩種情況，則HA）=P（4）+P（A2）=]X]+§X]=J故選B.

【例5-2】（2023?全國?模擬預(yù)測）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，設(shè)"第1次正面朝上"為事件A,"第

2次反面朝上”為事件B,"2次朝上結(jié)果相同"為事件C,有下列三個命題：

①事件A與事件8相互獨立；②事件A與事件C相互獨立；③事件8與事件C相互獨立.

以上命題中，正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

71?1711

由題意得2（田=]=不，P（B）=-=->尸（C）=z=j，P（AB）=P（AC）=P（BC）=~.

i"乙i"乙乙i,

因為P（A3）=；=P（A）P（B）,故事件A,8相互獨立，①正確；

因為尸（AC）=；=尸（A）P（C）,故事件AC相互獨立，②正確；

因為P（BC）=；=P（3）P（C）,故事件B,C相互獨立，③正確.

故選：D

【變式】

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知一場長跑訓(xùn)練中，隊員甲不及格的概率為0.3,隊員乙及格的概率為0.6,

這兩名隊員是否及格相互獨立，則同一場訓(xùn)練中甲、乙兩人至少有一人及格的概率為（）

A.0.12B.0.88C.0.42D.0.58

【答案】B

【解析】設(shè)甲、及格分別為事件A,8,貝|］尸（可=0.3,尸（刀）=0.6,

所以尸（A）=0.7,尸（萬）=0.4,由于兩名隊員是否及格相互獨立，

同一場訓(xùn)練中甲、乙兩人至少有一人及格的概率為1一尸（題）=1一尸（無）尸（耳）=1一。.3x0.4=0.88.

故選：B.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）為了豐富同學(xué)們的業(yè)余生活，增強體質(zhì)，培養(yǎng)團隊意識，甲、乙兩校舉行乒乓

球比賽.比賽采取5局3勝制.假設(shè)每局比賽甲校勝乙校的概率都為:，沒有平局，且各局比賽的結(jié)果互

不影響，則甲校以3：0獲勝或以3：1獲勝的概率為（）

181617

A.-B.—C.-D.—

9272781

【答案】C

【解析】甲校以3：0獲勝表示比賽進行3局結(jié)束，甲校勝3局，概率為［=12］=&,

甲校以3：1獲勝表示比賽進行4局結(jié)束，甲校勝3局，且第4局甲校勝，概率為X』X2=*_,

23327

所以所求概率為4+￡=捺+捺=言，

故選：c.

3.（2023廣東）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取

1個球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件

“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是7",則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【解析】尸（甲）=!，尸（乙）=!，尸（丙）=?，「（?。?&=:，，

oo3o3oo

p（甲丙）=0W尸（甲）尸（丙），P（￥T）=—=p（甲）尸（?。?，

36

P（乙丙）=2rP（乙）尸（丙），P（丙?。?0X尸（?。㏄（丙），

36

故選：B

考點六互斥與對立事件

【例6】（2023?