2023-2024學年高二年級上冊期末區(qū)統(tǒng)考模擬考試數(shù)學試卷（解析版）

2023年深圳華附高二年級期末區(qū)統(tǒng)考模擬考試

數(shù)學學科試題

第I卷選擇題

一、單項選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的

1.直線x=tan60°的傾斜角為（）

A.60°B.90°C.120°D,150°

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可知直線與無軸垂直，結(jié)合傾斜角的概念即可得解.

【詳解】由題意直線x=tan60°=6為與x軸垂直的直線，故它的傾斜角為90。.

故選：B.

22

2.雙曲線?一2=1（。>0,b>0）的一條漸近線經(jīng)過卜1,一6）,則該雙曲線離心率為（）

A.V5B.2C.73D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系求解.

b

【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=—x,

a

將（-1,-G）代入漸近線方程得2=百，

a

故選:B.

一1?1

3.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足。2=5，%+1=1---，則〃2023=（）

,an

A.1B.2C.-1D.!

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得到數(shù)列周期，利用周期性求項.

,1,1c,11

［詳解］由題設。3=1-----=-1，%=1=2,%=1=5，.......，

a?^^3^^4乙

所以｛4｝是周期為3的數(shù)列，

?11

又％=1一*=5'可得％=2廁％023=G674+1=%=2.

故選：B

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“,％+%+%=1，&+。4+。6=2，貝氏2-56=()

A.18B.54C.128D.192

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合求和定義，可得答案.

【詳解】設等比數(shù)列｛4｝的公比為4,貝|］(q+%+%)"=%+2+4,解得4=2.

6

SpSg=<77+H-------Fa1？=(%+a,H—+/)x=3x2=192.

故選：D.

5.已知A(l,0,l),為=(1,0,1)是平面a的一個法向量，且3(—1,2,2)是平面a內(nèi)一點，則點A到平面a

的距離為()

A.—B.—C.V2D.—

362

【答案】D

【解析】

【分析】求出通的坐標，再利用點到面的距離公式求解即可.

【詳解】由已知而=(—2,2,1),又行=(1,0,1),

府臼1-2+11V2

則點A到平面a的距離為.

忖Vl+12

故選：D.

22

6.已知橢圓二+多=1(a>人〉0)的左，右焦點分別為耳，鳥，尸為橢圓上一點，|。耳|的最大值為

ab

3,且歸國+|P6|=2閨用，則橢圓的標準方程為（）

2222222

A.土+y2=iB.土+乙=1C.工+匕=1D.工+2=1

4-434284

【答案】B

【解析】

【分析】由題意得a+c=3,根據(jù)橢圓的定義可得2。=4c,結(jié)合/一62=02計算即可求解.

【詳解】因為歸耳|的最大值為3,所以。+c=3.

因為|尸盟+|「鳥|=2閨詞，所以2a=4c,即a=2c,所以c=l,a=2.

22

又a24=c2,所以b=G，所以橢圓的標準方程為土+乙=1

43

故選：B

7.設圓CMY+V—2以+/-1=0.20）的直徑為A3,若在圓。2：/+/一4y—21=0上存在點

P,使得西.麗=0，則。的取值范圍是（）

A.[2,4]B.[2百,4逝]C.[3,472]D.[3,4]

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得圓G與圓。2有交點，則卜-目4|。1。2|<卜+臼，進而可得出答案.

【詳解】圓G：/+/一2ax+。2-1=0化為標準方程（X—。）2+>2=1,

則圓心G（a,0）,半徑6=1，

圓。2：/+/一4y—21=0化為標準方程V+Q—a7=25,

圓心。2（。，2）,半徑馬=5,

因為AB為圓G的直徑，在圓。2上存在點尸，使得西?麗=0，即PA1PB,

所以圓C與圓。2有交點，

則小一臼《|。1。2區(qū)卜+目，

即4V，/+4V6且?！?，解得2V3<tz<4-\/2，

故選：B.

7T

8.已知耳，鳥是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且/耳尸耳=§,則橢圓和雙曲線的

離心率乘積的最小值為（）

R后

D.---------

2

CV6

,V

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線以及橢圓的定義可得|P￡l=q+%，\PF,\=ax-a2,進而在焦點三角形中運用余弦

13）

定理即可得太+玄=4,再結(jié)合均值不等式即可求解.

e\ei

【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為4,雙曲線的半實軸長為出,

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義，得|「耳|+|/3月|=2囚，|「￡|-|。8|=2%,

所以|P耳|=4+%，IP居1=日一的，

7T

設|4心|=2c,NFFF、,

--7T

則在△尸百工中由余弦定理，得4c2=(a1+%)2+(q—〃2)2—2(q+%)(。1—〃2)COS1，

化簡得:

1]2I-

又q>0,26.亟一?豆"7T則做/，

13亞娓

當且僅當^=^，即4=在42=之時，等號成立，

G021222

所以橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為走.

2

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是利用橢圓與雙曲線的定義得到IP4|=。1+生，1尸乙1=。1-。2,從

而利用余弦定理構(gòu)造得關(guān)于,。2，C的齊次方程，由此得解.

二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求

9.下列求導運算正確的是()

A.卜in]]=cos^B.1—--20=—21n2

x+1J(x+1)2

C.(二]=2x一爐D.(

x2-cosxj=2x-cosx+x2-sinx

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算公式及運算法則進行計算即可.

【詳解】A選項，fsin^K^cosi,故A選項錯誤；

<2；22

B選項，——2"［=［上］—21n2=—

-.........2%ln2>故B選項正確；

<x+l)+(.x+1)2

c選項，L=2x-e-X.e=2x-x,

故C選項正確；

(e*)2e*

D選項,(d.cosx)=2x,cosx+x2-(-sinx)=2x-cosx-x2-sinx,故D選項錯誤；

故選：BC.

io.公差為d的等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為s,

，S2023<S2021<S2022,則下列選項正確的是()

A.d>0B.4<0時，〃的最小值為2022

c.s“有最大值D.S“〉0時，n的最大值為4043

【答案】CD

【解析】

【分析1AB選項,根據(jù)5,2023<S2021V，20229得到“2023+“2022<°,“2023<°，“2022〉09從而得到

d=“2023一％)22<°，A錯誤，a.<0時，”的最小值為2023,B錯誤;C選項，求出Sn=，

由二次函數(shù)性質(zhì)得到S.有最大值；D選項，計算出邑044=2022,2022+%023)<0,S4043=4043/022〉。，

得到答案.

【詳?牛1對于A:由*5,2023<‘2021<，2022可得“2023+02022<°，°2023<°,02022〉。，

故等差數(shù)列｛a,｝的公差d=%023一4022<0，故A錯誤；

對于B:由A得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且%023<°，。2022〉0，故4<0時，

〃的最小值為2023,故B錯誤；

對于C：由A得，d<0,故S“=*〃2+［弓—是關(guān)于"的開口向下的二次函數(shù)，

其有最大值，沒有最小值，故C正確；

對于D：因為數(shù)列｛4｝的前2022項均為正數(shù)，

且54044==2022(q+?4044)=2022(a2022+?2023)<0,

“成號斗―，

S”〉0時，〃的最大值為4043,故D正確

故選：CD

11.過拋物線V=2px(p>o)的焦點廠的一條直線交拋物線于A(XQJ,3(%2,%)兩點，則下列結(jié)論正

確的是()

A.為定值

B.若經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線交準線于點C,則〃龍軸

C,存在這樣的拋物線和直線使得。(。為坐標原點)

D,若直線AB與x軸垂直，貝“AB|=2p

【答案】ABD

【解析】

【分析】由已知可得A3的斜率不等于0,所以設直線方程為x=代入拋物線方程，運用韋達定

理，可判斷A；求得直線OA方程和準線方程聯(lián)立，求得交點C,可判斷B；若0A_L05,即

西馬+弘%=0,運用韋達定理和點滿足拋物線方程，解方程即可判斷C；當AB與x軸垂直時，

&=3=X],可求得|陰，可判斷D.

【詳解】

由已知可得AB的斜率不等于0,

所以設AB的方程為x=加丁+5(m/0)，

y2=2px

聯(lián)立直線與拋物線的方程p，消去x得y2-2〃my-p2=0,

x=my+—

所以M=一。2為定值，即A正確,

經(jīng)過點A和拋物線的頂點的直線的方程為y=—X,與準線的交點的坐標C_P_PM

2'2xj

因為2%

所以C]-,為

，即BC〃尤軸，所以B正確,

3

因為OAOB=xxx2+yxy2=―p2=--p2W0,

所以。4,03不可能，即C錯誤,

當AB與x軸垂直時，x\=~^=

則由拋物線定義得|A3|=|A可+忸F|=JC[+^+/+f=2p,所以D正確,

故選:ABD.

12.如圖，正方體ABC。內(nèi)G2的棱長為1,線段BQ上有兩個動點E,F,且EF。,則下列結(jié)

論中正確的有（）

A.當點E運動時，4CLAE總成立

B.當￡向，運動時，二面角A—EF-8逐漸變小

C.二面角E—AB—C的最小值為45。

D.三棱錐A-的體積為定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項，作出輔助線，得到用口，AC，ADJ1AjC,從而得到AC,平面A312,因為

4石匚平面4月2,所以AC,AE總成立；B選項，當E向2運動時，平面3。2片與平面A3］，的

夾角不變；c選項，建立空間直角坐標系，設得到二面角的法向量，求出二面角

2

棱錐的體積為定值.

【詳解】對于A,連接AG，AD,,AB,,

因為四邊形A4GA為正方形，故用2,4G，

又M，平面44GD,Bnu平面ABC］。］,

所以用2

又4GC4A=A，AG，AAU平面AGCA,

所以耳2，平面aac4.

因為ACu平面AGC4,

所以42,AC,同理可證AAlAiC.

因為A"cBXDX=?,AR,4Ru平面ABR,

所以AC,平面A312，

因為AEu平面AB]',

所以ACLAE總成立，故A正確.

對于B,平面￡7吆即平面,平面￡7%即平面AB]，，

所以當E向2運動時，二面角A-EE-8的大小不變，故B錯誤.

對于C,建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(LLO),8(0,1,。)，所以通=(—1,0,0),

因為E,尸在片。上，且EF*,

故可設_￡(//一1)，-<Z<1,則AE1=(/_[_/,1),

由題知平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1),

設平面ABE的一個法向量為m=(x,y,z)，

m-AB=(%,y,z)?(-1,0,0)=-x=0

解得x=0,

in-AE=(x,z)?(r-1,-Z,1)=(r-1)x-Zy+z=0

取y=l,則2=/,故而=(0,lj),

設二面角E-A5-C的平面角為8,則。為銳角,

辰臼_1(0,1,7).(0,0,1)1_t1

所以cos,=

ml-Ini-Jr+1+1

i萬

又一W/Wl,所以當f=l時，cos。取得最大值注，

22

。取得最小值45°,故C正確；

對于D,因為$BEF=gxEEx35]=；***1=字,

點A到平面EFB的距離即到平面BDDXB｝的距離，為注,

2

所以匕所尸二工工也工變=人，為定值，故D正確?

A-BEF34212

故選：ACD

第n卷非選擇題

三、填空題：本題共4小題

13.已知向量N=(—1,0,1),3=(—2,1,1),則己在B方向上的投影向量的坐標為

【答案】卜；J

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義，數(shù)量積和模的坐標運算公式即可得解.

【詳解】由題意向量。=(—1,0,1)石=(—2,1,1),

則反在B方向上的投影向量的坐標為

2+1

(同cos(---------------X(-2』」)=11g；

4+1+1

故答案為：

14.如圖，長方體ABC?！狝4GA中，A8=BC=6,點E在線段G。上，且22E=EG，M為線段

BE的中點，若BE=2歷,則異面直線A。與CM所成角的余弦值為

【答案］生竺##±莊

3535

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，設出相關(guān)點及向量的坐標，求出必要參數(shù)，利用向量的夾角公式求解即可,

或作合適輔助線，利用線線角定義求解也可.

解法一

以點。為坐標原點，所在直線分別為x，%z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設

CQ=a^a>0）,

則4（6,0,0）,3（6,6,0），2（0,0,。）,。（0,6,0）6（0,6,。）,石（0,2,。）,“3,4,|,

所以而=（一6,—4,。），則BE=｛（—6）2+（-4/+/=24a，解得。=2,

所以“（3,4,1）㈤（0,0,2）,所以麗=（—6,0,2）,函=（3,—2,1）,設線線角為。

AD?CM4A/35

則cosa={

HR35

因此異面直線ADX與CM所成角的余弦值為孽5.

故答案為：生85

35

解法二

設。A=x(x>0),因為2。也=￡。1，43=3。=6,所以86=7^^+x2=2V14，得x=2?如圖，

取線段A3上靠近點A的三等分點P,靠近點8的三等分點產(chǎn)，連接EP,ME,CE,易知

ADJ/EP,AD[=EP,又EP//MF,EP=2MF,

所以AD,=2MF,故NCMF為異面直線AD,與CM所成的角或其補角.

MF=-XA/62+22=V10,CF=762+22=2710,CM=-BE=y/14,

22

所以cos/CMR;M『+CM--CF-=,因此異面直線與CM所成角的余弦值為拽5.

2MFxCM3535

故答案為：生竺

35

15.若直線y=2x+a+l是函數(shù)/(x)=x+hu的圖象在某點處的切線，則實數(shù)。=

【答案】—2

【解析】

【分析】利用/(力=2求得切點坐標，代入切線方程，從而求得

【詳解】令/'(》)=1+1=2,解得x=l,所以切點為(1』)，

將(1,1)代入切線y=2%+。+1得1=2+a+1,a=-2.

故答案為：—2

Q,若方=2訪,OQLPQ（。為坐標原點），則6=.

【答案】1

【解析】

【分析】解法一：不妨設口（。,0）,。=百，點P在x軸上方，過點尸作交。尸于點易得

\FQ\=\FM\,再根據(jù)而=2而，求出瓦c的關(guān)系，結(jié)合。,仇。的關(guān)系即可得解.

解法二：記。=百，F(xiàn)（c,O）,設直線P。的方程為y=k（x—c）,不妨設點P在無軸上方，則點。在尤

軸下方，分別聯(lián)立直線PQ,OP和直線尸。,。。的方程，求出P,。的坐標，再根據(jù)而=2而得

-yP=2yQ,結(jié)合OQJ_PQ即可得出答案.

【詳解】解法一：不妨設歹（c,0）,。=百，點P在x軸上方，則直線。尸的方程為y=—x,

過點尸作RMLOP交OP于點M,則但“1=

又，PQ,由雙曲線的對稱性可得怛。|=|我叫=6,

所以|P典=26,ZOPF=30°,

所以NPOQ=60°,所以NPOE=30°,所以c=2。,

又3+/?2=,2,所以6=1.

解法二：記a=5尸(c,0),

由題可知，直線尸。的斜率存在且不為0,故設直線尸。的方程為y=k(x-c),

不妨設點尸在龍軸上方,

bb

則點。在x軸下方，直線。尸的方程為y=—%,直線OQ的方程為》=——%,

aa

kac

bx=-------

y--xakbkackbc

由＜a得＜~,所以p

kbcak-b"ak-bj

y-k^x-c^y=-------

ak-b

kac

bx=-------

y-——x冰：b所以Qkac-kbc

由＜a，得v1,

-kbcak+b'ak+b)’

y-k^x-c^y=-------

ak+b

由而=2而得一丁尸=2y0,即yp+2y0=0,

”…kbc-2kbc八g73b

所以c+?=o,得左=——，

ak—bak+ba

因為OQCQ,左=上所以改「牛—1,得2=走,

aaya)a3

故答案為：1.

四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知動點尸與兩個定點A(l,0),3(4,0)的距離的比是2.

(1)求動點尸的軌跡C的方程;

（2）直線/過點（2,1）,且被曲線C截得的弦長為26，求直線/的方程.

【答案】（1）（x—5y+y2=4

（2）y=1或3x+4y-10=0

【解析】

【分析】（1）直接利用條件求出點尸的軌跡方程，所求方程表示一個圓；

（2）直線/的斜率分存在與不存在兩種情況，當直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當直線的斜率存在

時，用點斜式設出直線的方程，根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即可求出直線的斜率，進而求出直

線的方程.

【小問1詳解】

設點P（x,y）,

???動點尸與兩個定點A（1,0）,3（4,0）的距離的比是2,

??而=2,即附=2閥,

則7（x-l）2+j2=27（X-4）2+/，

化簡得爐+/—10》+21=0,

所以動點尸的軌跡C的方程為（x-5）2+V=4；

【小問2詳解】

由（1）可知點尸的軌跡C是以（5,0）為圓心，2為半徑的圓，

???直線被曲線C截得的弦長為2百，

.〔圓心（5,0）到直線/的距禺d=J4-3=1，

①當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=2,此時圓心到直線/的距離是3,不符合條件；

②當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為丁-1=左（工—2）,即乙—y—24+1=0,

所以圓心（5,0）到直線I的距離d==1,

3

化簡得942+6左+1=獷+1，解得左=0或左=—7，

4

此時直線/的方程為y=1或3x+4y—10=0.

綜上，直線/的方程是y=l或3x+4y—10=0.

18.已知等差數(shù)列｛為｝的前"項和為％,04=9,53=15.

(1)求S”；

113

(2)設數(shù)列《二的前〃項和為T",證明：T<-.

[Sj4

【答案】⑴S“=〃("+2)；⑵見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出.

(2)利用裂項求和方法即可得出.

【詳解】(1)解：S3=3S=15=42=5,；.d=%——=2,

2

3+2〃+1/\

an—2n+\,Sn—--------〃=磯〃+2)；

丁1111^1111111)

(2)證明：4=百+才+…3+，—3+…

=ifi+i-j---q；

2(2n+1n+2)42(“+ln+2J4

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于

基礎題.

19.已知拋物線C:y2=2px(p>Q)上橫坐標為4的點到其焦點的距離是6.

(1)求。的方程；

(2)設直線x=my+a(a〉0)交。于A,B兩點，若。4,03(。為坐標原點)，求。的值.

【答案】(1)丁=8x

(2)8

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線y2=2px(p>0)上一點到焦點的距離等于其橫坐標加光，結(jié)合題意列式求解即可

得出答案；

(2)設4(石,%),B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達定理即可得出必為，進而得出石々，由

題意。4_LO5,得出OA-OB=尤逮2+M%=。，代入即可解出答案.

【小問1詳解】

C的準線為了=-點.

由題意根據(jù)拋物線定義得：4+3=6,解得。=4,

2

故C的方程為：/=8x.

【小問2詳解】

聯(lián)立9=8x與》=切+。得/一8小y一8a=0,A=64/n2+32a>0.

設A(x"J,3(尤2,%),貝8a,于是I/=』-,"=(%%)="?

8864

因為。4_L03,所以玉%2+%%=0，即/一8a=0,

因為aH0,所以a=8.

20.已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，％=4=2,%=24—1也=2g+2.

(1)求｛4｝和也,｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛。屋包｝的前〃項和.

l

【答案】(1)an=n+l,bn=2',(neN*)

(2)S?=n-2n+1,(neN*)

【解析】

【分析】(1)直接由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量的計算算出公差，公比即可得解.

(2)直接由等比數(shù)列公式法、錯位相減法求和運算即可得解.

【小問1詳解】

由題意設等差數(shù)列等比數(shù)列的公差公比分別為>0,

則由題意有2+d=3,2q2=2(2+d)+2,解得d=l,q=2,

所以｛an｝和也｝的通項公式分別為a,=2+(〃—1)=〃+1也=2?2=T=2",(〃eN*).

【小問2詳解】

設數(shù)列｛。屋2｝的前"項和為5“，由⑴可得a/％=(n+l)-2",(〃eN*),

所以S),=2.21+3.22+—+(〃+1).2",2S?=2-22+3-23+---+(n+l)-2,!+1,

兩式相減得—SM=2?T+22+…+2”—(〃+l)2"+i+—(”+1)2.=—”.2"+1，

所以數(shù)列｛4?〃｝的前〃項和為S“=”?2向,(“eN*).

21.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ZADC=60°,口PAO為正三角形,

。為A。的中點，且平面平面ABC。，M是線段PC上的點.

(1)求證：PC1BC；

(2)是否存在點M,使得直線AM與平面P43的夾角的正弦值為邊°,若存在；求出此時整的值;

10PC

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，-

3

【解析】

【分析】(1)先利用線面垂直從而證明平面尸OC,從而證明PC；

(2)利用空間向量法求出直線AM與平面的夾角為巫時點M的位置，從而求解.

10

【小問1詳解】

證明：連接。C,AC,如圖所示，

因為四邊形ABCD是菱形，所以AD=CD,

因為NADC=60。，所以口AC。為等邊三角形，

又因為。為AO的中點，所以OCLA。，

因為口瓦。是等邊三角形，。為中點，所以「

因為POcOC=O,PO,OCu平面POC,所以平面POC,

又因為AD〃BC,所以平面尸OC,

因為PCu平面POC,所以「CLBC.

【小問2詳解】

/才:;方「/rr

J/*\7

*?PM1―工.

存在，----=一,理由如下：

PC3

因為平面PAD，平面ABC。，平面PADc平面ABCD=AD,

由（1）知，POLAD,POu平面PAD,所以POL平面ABC。，

因為。CLA。，以點。為坐標原點，OC,OD,。尸所在直線分別

為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

則A（O,-L,O）,B（V3,-2,0）,C（V3,O,O）,P（0,0,?。?/p>

AB=（V3,-l,0）,AP=（0,l,V3）,PC=（V3,O,-V3）

設兩=2正=彳（百,0,_@=（?0,_?Q,（0