自動(dòng)控制原理 教案 項(xiàng)目5 控制系統(tǒng)的頻率特性法

項(xiàng)目名稱項(xiàng)目五控制系統(tǒng)的頻率特性法教學(xué)內(nèi)容頻率特性的基本概念、常用的幅相頻率特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線的作圖方法。典型環(huán)節(jié)中比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)等的頻率特性，系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線與開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的應(yīng)用。相角變化量和系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性及穩(wěn)定裕度。開環(huán)頻率特性與閉環(huán)系統(tǒng)性能和動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系。應(yīng)用MATLAB進(jìn)行頻率特性圖的繪制及求相位裕度和幅值裕度。授課時(shí)間授課學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解頻率特性的基本含義和常用的表示方法。2.掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性及開環(huán)頻率特性曲線的繪制方法。3.掌握Bode圖與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系及運(yùn)用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)性能。4.掌握應(yīng)用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)頻域分析的方法。技能目標(biāo)1.具備控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制能力。2.具備控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能頻率特性的分析能力。3.具備應(yīng)用MATLAB分析控制系統(tǒng)頻率特性的能力。素養(yǎng)目標(biāo)1.有意識(shí)地規(guī)劃自身學(xué)習(xí)生活，合理規(guī)劃個(gè)人職業(yè)發(fā)展。2.培養(yǎng)學(xué)習(xí)毅力，提高學(xué)習(xí)專注力，培養(yǎng)弘毅致遠(yuǎn)、堅(jiān)韌不拔的學(xué)習(xí)意志。學(xué)情分析通過對本項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，理解頻率特性的基本概念、常用的幅相頻率特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線的作圖方法。掌握典型環(huán)節(jié)中比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)等的頻率特性，系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線與開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的應(yīng)用。熟悉相角變化量和系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性及穩(wěn)定裕度。掌握開環(huán)頻率特性與閉環(huán)系統(tǒng)性能和動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系。熟練應(yīng)用MATLAB進(jìn)行頻率特性圖的繪制及求相位裕度和幅值裕度。教學(xué)方法學(xué)生通過課前預(yù)習(xí)、查閱相關(guān)資料，課堂上緊跟著老師的思路，做好隨堂筆記，對老師所講的內(nèi)容要理解，課后要勤加練習(xí)、反思總結(jié)等方法進(jìn)行本章節(jié)的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以通過電腦根據(jù)在課堂上所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，反復(fù)的操作實(shí)踐驗(yàn)證；實(shí)訓(xùn)課上要加強(qiáng)訓(xùn)練，同學(xué)之間要相互討論。教學(xué)媒介教材、配套的PPT課件、多媒體教案等 教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)引入頻率特性是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，是對系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析和校正設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。在工程實(shí)踐中，通常運(yùn)用頻率特性法來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)。在研究方法上，頻率特性法與根軌跡法相似，不是直接求解系統(tǒng)的微分方程，而是運(yùn)用系統(tǒng)的開環(huán)特性來分析閉環(huán)響應(yīng)。由于頻率特性有著確切的物理意義，因此頻率特性法可以將理論分析和實(shí)驗(yàn)研究配合起來，擴(kuò)大其在工程實(shí)際中應(yīng)用的可能性。教授新知一、明確教學(xué)目標(biāo)二、教學(xué)內(nèi)容“控制系統(tǒng)的頻率特性法”任務(wù)一頻率特性的基本概念一、頻率特性的定義系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比為G(jω)；穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的相位差為∠G(jω)；而輸出與輸入的復(fù)數(shù)之比為G(jω)，由此定義如下。系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的相頻特性系統(tǒng)的頻率特性將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的s用jω代替便可得到其頻率特性，即頻率特性與表征系統(tǒng)性能的傳遞函數(shù)之間有著直接的內(nèi)在聯(lián)系，故可由頻率特性來分析系統(tǒng)性能。頻率特性又稱為幅相特性。和微分方程及傳遞函數(shù)一樣，頻率特性也常稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。頻率特性法是指運(yùn)用穩(wěn)態(tài)的頻率特性間接研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從而避免直接求解高階微分方程困難的方法。二、頻率特性的幾何表示法頻域分析是一種圖解分析，其特點(diǎn)就是將系統(tǒng)的頻率特性用曲線表示出來。常用的頻率特性曲線有幅相頻率特性曲線和對數(shù)頻率特性曲線。(一)幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線又稱為奈奎斯特(Nyquist)曲線或極坐標(biāo)圖，簡稱奈氏曲線或奈氏圖。它是以ω為參變量，將幅頻特性A(ω)和相頻特性φ(ω)同時(shí)表示在復(fù)平面上，如下圖。奈氏圖的一般作圖方法如下。(1)分別求出ω=0和ω=∞時(shí)的G(jω)，必要時(shí)還可在0<ω<∞之間選取一些特殊的點(diǎn)，算出這些點(diǎn)處的幅頻值和相頻值，如利用G(jω)的虛部Im[G(jω)]=0的關(guān)系式或利用∠G(jω)=n·180°(n為整數(shù))求出曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)。(2)利用G(jω)的實(shí)部Re[G(jω)]=0的關(guān)系式，或者利用∠G(jω)=n·90°(n為整數(shù))求出曲線與虛軸的交點(diǎn)。(3)在幅相平面上作出這些點(diǎn)，并用光滑的曲線將它們連接起來。(二)對數(shù)頻率特性曲線在工程實(shí)際中通常將頻率特性繪制成對數(shù)坐標(biāo)圖的形式，這種對數(shù)頻率特性曲線稱為伯德(Bode)圖，它由對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線兩部分組成，如下圖。對數(shù)幅頻特性曲線的橫坐標(biāo)表示ω，按照ω的對數(shù)lgω分度，但以ω標(biāo)注，單位為弧度/秒(rad/s)；頻率每變化十倍，稱為十倍頻程，記作dec?？v坐標(biāo)表示20lgA(ω)，線性分度，單位為分貝(dB)，一般用符號(hào)L(ω)表示，即任務(wù)二系統(tǒng)中的頻率特性一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性(一)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=K，則比例環(huán)節(jié)的頻率特性與ω?zé)o關(guān)。(二)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=1/s，則(三)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=s，則(四)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=1/(1+Ts)，則(五)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=1+Ts，T為時(shí)間常數(shù)，則(六)時(shí)滯(延遲)環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G(s)=e-τs，則二、開環(huán)頻率特性頻率特性的最大優(yōu)點(diǎn)是可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線分析系統(tǒng)的閉環(huán)性能，這樣可以簡化分析過程。(一)系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可看作由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，一般可表示為其開環(huán)頻率特性為其幅頻特性為其相頻特性為在確定曲線的起始點(diǎn)和終點(diǎn)之后，再根據(jù)需要選取并計(jì)算出其他特殊點(diǎn)，如奈氏曲線與虛軸、負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)等，然后將所有這些點(diǎn)用平滑曲線連接起來，便可得到系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線。示例可參考書中【例5-1】。(二)系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是由多個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的，即式中，n為典型環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。其開環(huán)頻率特性為其對數(shù)幅頻特性為其對數(shù)相頻特性為由多個(gè)典型環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，經(jīng)對數(shù)化處理后，其幅頻和相頻均轉(zhuǎn)化為各典型環(huán)節(jié)相應(yīng)特性的線性疊加，因此可得出繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的一般步驟如下。(1)將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式。(2)畫出各環(huán)節(jié)的Bode圖。(3)在同一個(gè)橫坐標(biāo)下，分別將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線及相頻特性曲線相加，即可求得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。示例可參考書中【例5-2】和【例5-3】。任務(wù)三頻率特性法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性使用頻率特性法分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還能進(jìn)一步確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度。由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的所有根(閉環(huán)極點(diǎn))都具有負(fù)實(shí)部，因此運(yùn)用開環(huán)頻率特性討論閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先應(yīng)明確開環(huán)頻率特性和閉環(huán)特征式的關(guān)系，然后找出開環(huán)頻率特性和閉環(huán)特征根性質(zhì)之間的規(guī)律。一、開環(huán)頻率特性和閉環(huán)特征方程的關(guān)系對于一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)分母的階次總是高于分子的階次，因此，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的階次與開環(huán)特征方程的階次相同，即N(s)與D(s)根的個(gè)數(shù)相等。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性和閉環(huán)頻率特性的關(guān)系為二、相角變化量和系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系系統(tǒng)階次為n，則F(jω)的分子、分母均為n階，其相角變量為如果系統(tǒng)的開環(huán)是穩(wěn)定的，而且閉環(huán)也穩(wěn)定，則必然有若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)ω由0變到∞時(shí)，F(xiàn)(jω)曲線繞原點(diǎn)的周數(shù)為0。三、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)與對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)(一)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(以下簡稱奈氏穩(wěn)定判據(jù))是一種利用開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)來判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。F(jω)平面(F(jω)=1+G(jω)H(jω)，簡稱F平面)的原點(diǎn)相當(dāng)于G(jω)H(jω)平面(簡稱GH平面)的(-1，j0)點(diǎn)，它們之間的關(guān)系如下圖。奈氏穩(wěn)定判據(jù)可描述為若開環(huán)傳遞函數(shù)中有p個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，當(dāng)ω由0→∞時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線G(jω)H(jω)逆時(shí)針繞(-1，j0)點(diǎn)的周數(shù)為N=p/2，即轉(zhuǎn)過pπ；否則，系統(tǒng)的閉環(huán)不穩(wěn)定。示例可參考書中【例5-4】和【例5-5】。(二)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)由奈氏曲線知，若系統(tǒng)的開環(huán)穩(wěn)定(p=0)，則ω由0→∞變化時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)G(jω)H(jω)曲線繞(-1，j0)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為0°，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定，系統(tǒng)的奈氏圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系如下圖。奈氏穩(wěn)定判據(jù)可以用以下內(nèi)容表述。(1)設(shè)G(jω)H(jω)曲線對負(fù)實(shí)軸上(-1，j0)點(diǎn)至-∞區(qū)段的正穿越次數(shù)為N+，負(fù)穿越次數(shù)為N-，則正負(fù)穿越次數(shù)之差N=N+-N-=p/2是系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件。(2)若G(jω)H(jω)曲線起始或終止于負(fù)實(shí)軸上(-1，j0)點(diǎn)至-∞區(qū)段，則算作1/2次穿越。示例可參考書中【例5-6】。四、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性及穩(wěn)定裕度(一)相角裕度γ對應(yīng)于G(jω)H(jω)=1的角頻率ωc稱為穿越頻率(也稱剪切頻率或截止頻率)。在ωc處，相頻特性距-180°線的相位差γ稱為相角裕度。在奈氏曲線上，γ為G(jω)H(jω)=1處的矢量與負(fù)實(shí)軸之間的夾角；在對數(shù)頻率特性曲線上，γ相當(dāng)于20lgG(jω)H(jω)=0處的相頻曲線與-180°線之間的差值，其算式為(二)幅值裕度Kg幅值裕度(又稱增益裕度)是指當(dāng)開環(huán)頻率特性的相角φ(ωg)=-180°時(shí)，在對應(yīng)頻率ωg處，開環(huán)頻率特性的幅值G(jω)H(jω)的倒數(shù)，其算式為任務(wù)四頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系一、開環(huán)頻率特性與閉環(huán)系統(tǒng)性能的關(guān)系由奈氏穩(wěn)定判據(jù)知，穩(wěn)定系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性G(jω)曲線距離(-1，j0)點(diǎn)的遠(yuǎn)近，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的平穩(wěn)性。通常將開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線分為低、中、高3個(gè)頻段。(一)低頻段低頻段通常是指開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)在第一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段。這一區(qū)段的特性完全由積分環(huán)節(jié)和開環(huán)增益決定。(二)中頻段中頻段是指開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線20lgG(jω)在截止頻率ωc附近(或0dB附近)的區(qū)段，這一區(qū)段對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響很大，它反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。(三)高頻段高頻段是指開環(huán)對數(shù)幅頻特性20lgG(jω)曲線在中頻段以后(ω>ωc)的區(qū)段。這部分特性是由系統(tǒng)中時(shí)間常數(shù)很小、頻帶很高的元件決定的。二、開環(huán)頻率特性與動(dòng)態(tài)性能的關(guān)系使用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能時(shí)，常把相角裕度γ和截止頻率ωc兩個(gè)特征量作為依據(jù)，這就是開環(huán)頻域指標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由超調(diào)量σ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts來描述，其優(yōu)點(diǎn)是直觀和準(zhǔn)確。為了能使用開環(huán)頻率特性來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，應(yīng)先找出開環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系。事實(shí)上，頻域指標(biāo)和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)之間存在著確切的或近似的關(guān)系，因而頻域指標(biāo)是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的間接指標(biāo)。(一)二階系統(tǒng)1.相位裕度γ與超調(diào)量σ%之間的關(guān)系相位裕度γ越大，超調(diào)量σ%越小；反之亦然。2.ωc、γ與ts之間的關(guān)系調(diào)節(jié)時(shí)間ts與ωc及γ有關(guān)。在γ不變時(shí)，穿越頻率ωc越大，調(diào)節(jié)時(shí)間ts越短。(二)高階系統(tǒng)對于一般的三階及三階以上的高階系統(tǒng)，要準(zhǔn)確地得出開環(huán)頻域特征量與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系是比較困難的，并且使用起來也不方便，實(shí)用意義也不大。在控制工程的分析與設(shè)計(jì)中，通常采用下述近似公式來進(jìn)行頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)間的估算。隨著γ的增大，高階系統(tǒng)的超調(diào)量σ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts都將減小。任務(wù)五應(yīng)用MATLAB進(jìn)行頻率特性分析應(yīng)用MATLAB可以畫出頻率特性的精確圖形，也可求取系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，這將有助于系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。一、頻率特性圖的繪制設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=num/den，num和den分別為傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式(均以s的降冪排列)，通過函數(shù)調(diào)用，可畫出兩種頻率特性圖。(一)Bode圖若要給出頻率ω的具體范圍，則可以用下面函數(shù)來繪制系統(tǒng)Bode圖。w=logspace(m，n，npts)；bode(num，den，w)；若需指定幅值范圍和相角范圍，則需按以下形式調(diào)用[mag，phase，w]=bode(num，den)；若給出的傳遞函數(shù)是零、極點(diǎn)形式的，則不必再化成多項(xiàng)式形式，可調(diào)用下列函數(shù)直接畫出Bode圖。h=zpk(z，p，k)；bode(h)；(二)奈氏圖繪制奈氏圖可調(diào)用函數(shù)nyquist(num，den)；當(dāng)用戶需要指定頻率ω時(shí)，可用函數(shù)nyquist(num，den，w)；系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是在那些給定的頻率點(diǎn)上得到的。nyquist()函數(shù)還可調(diào)用以下兩種形式來計(jì)算G(jω)的實(shí)部和虛部，再通過調(diào)用plot(re，im)函數(shù)可在屏幕上繪制奈氏圖。[re，im，w]=nyquist(num，den)；[re，im，w]=nyquist(num，den，w)；示例可參考書中【例5-9】。二、求相位裕度和幅值裕度在MATLAB中調(diào)用函數(shù)[gm，pm，wcg，wcp]=margin(mag，phase，w)；或margin(ma