高考數(shù)學一輪復(fù)習高頻考點精講精練(新高考專用)第01講數(shù)列的概念與簡單表示法(分層精練)(原卷版+解析)

第01講數(shù)列的概念與簡單表示法A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．892．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20253．（2023春·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，，則該數(shù)列的前4項依次為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項和（

）A． B． C． D．5．（2023春·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，則（

）A．64 B．62 C．32 D．306．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，若表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．57．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，則使得最小時的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學校聯(lián)考二模）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需要移動的最少次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則（

）A．287 B．272 C．158 D．143二、多選題9．（2023春·遼寧本溪·高二校考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，，，則（

）A． B．C． D．10．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實驗中學校聯(lián)考期中）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（

）A． B．是周期數(shù)列 C． D．三、填空題11．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．12．（2023·全國·高二專題練習）若數(shù)列滿足，若，則的值為___________.四、解答題13．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式；14．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，通項為的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍．15．（2023春·廣東佛山·高二?？茧A段練習）在數(shù)列中，.(1)求的通項公式；B能力提升1．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列共有100項，滿足，且，則符合條件的不同數(shù)列有（

）個．A．4753 B．4851 C．4937 D．49502．（2023·全國·高三專題練習）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍是《戰(zhàn)國策·齊策》，《紅樓夢》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國古人已經(jīng)研究出取下n個圓環(huán)所需的最少步驟數(shù)，且，，，，，，…，則取下全部9個圓環(huán)步驟數(shù)最少為（

）A．127 B．256 C．341 D．5123．（多選）（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立4．（2023·全國·高三專題練習）意大利數(shù)學家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列.斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù).人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：

大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用.設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號是________.5．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學?？计谥校┍本┒瑠W會開幕式上，由所有參賽國家和地區(qū)的引導牌“小雪花”與橄欖枝編織而成的主火炬臺“大雪花”給全世界留下了深刻印象，以獨特浪漫的方式彰顯了“一起向未來”的北京冬奧主題和“更高、更快、更強、更團結(jié)”的奧林匹克格言.1904年，瑞典數(shù)學家科赫把雪花的六角結(jié)構(gòu)理想化，構(gòu)造出了“雪花曲線”：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖）.反復(fù)進行這一過程就可以得到“雪花曲線”.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，則圖③中的圖形比圖②中的圖形新增的面積為________，如果這個操作過程可以一直繼續(xù)下去，那么所得圖形的面積將趨近于________·6．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足.(1)若，求的通項公式.(2)若，求的通項公式.第01講數(shù)列的概念與簡單表示法A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學”．按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則（

）A．110 B．128 C．144 D．89【答案】C【詳解】已知表示第n行中的黑圈個數(shù)，設(shè)表示第n行中的白圈個數(shù)，則由于每個白圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和一個黑圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的一個白圈和2個黑圈，所以，，又因為，，所以，；，；，；，；，；．故選：C.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前n項和為，滿足，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【詳解】由題意，，，兩式相減，得，．，．當時，，，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B3．（2023春·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，，則該數(shù)列的前4項依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】把，2，3，4依次代入通項公式，得，，，.故選：A4．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，，，，則數(shù)列的前10項和（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，，，∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴．∴，∴數(shù)列的前10項和為．故選：C．5．（2023春·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，則（

）A．64 B．62 C．32 D．30【答案】B【詳解】，，則，，，.故.故選：B6．（2023·湖南長沙·雅禮中學?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，若表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【詳解】因為，，所以，，，，，，，，，∴．故選：A．7．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，則使得最小時的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】當時，數(shù)列恒為負，當時，數(shù)列恒為正，所以當時最小.故選:B.8．（2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠縣第一中學校聯(lián)考二模）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串.在某種玩法中，用表示解下個圓環(huán)所需要移動的最少次數(shù)，數(shù)列滿足，且，則（

）A．287 B．272 C．158 D．143【答案】D【詳解】因為數(shù)列滿足，且，所以，,所以.故選：D.二、多選題9．（2023春·遼寧本溪·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對于A項，因為，所以，故A項正確；對于B項，因為，所以，故B項錯誤；對于C項，因為，所以，，，觀察可知，所以數(shù)列是周期數(shù)列，周期是3，則，故C項正確；對于D項，，故D項正確.故選：ACD.10．（2023春·山東淄博·高二山東省淄博實驗中學校聯(lián)考期中）數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法正確的有（

）A． B．是周期數(shù)列 C． D．【答案】ABC【詳解】由題意，數(shù)列滿足，，當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，；當n=5時，；當n=6時，，，歸納可得數(shù)列構(gòu)成以4為周期的周期數(shù)列，所以A正確，B正確；又由，所以C正確；因為，所以，所以D錯誤．故選：ABC．三、填空題11．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【詳解】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.12．（2023·全國·高二專題練習）若數(shù)列滿足，若，則的值為___________.【答案】【詳解】由已知可得，，，，，，所以，是一個周期數(shù)列，周期為3，所以，.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項公式；【答案】【詳解】數(shù)列滿足，，，且，所以當n=1時成立.所以.14．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，通項為的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍．【答案】【詳解】依題意，可得，即，解得．15．（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習）在數(shù)列中，.(1)求的通項公式；【答案】(1)；【詳解】（1）∵，當時，，當時，，所以，即（），又∵也適合，∴；B能力提升1．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列共有100項，滿足，且，則符合條件的不同數(shù)列有（

）個．A．4753 B．4851 C．4937 D．4950【答案】B【詳解】因為，所以或，因為，又，所以，不妨設(shè)99個差中有個5，個，則，解得，于是，所求數(shù)列的99個差中，有97個5，2個，因為這97個5，2個的每一個排列均唯一對應(yīng)一個滿足條件的數(shù)列，所以所求數(shù)列的個數(shù)為.故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習）九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，最早記載九連環(huán)的典籍是《戰(zhàn)國策·齊策》，《紅樓夢》第7回中有林黛玉解九連環(huán)的記載，我國古人已經(jīng)研究出取下n個圓環(huán)所需的最少步驟數(shù)，且，，，，，，…，則取下全部9個圓環(huán)步驟數(shù)最少為（

）A．127 B．256 C．341 D．512【答案】C【詳解】由觀察可得若時，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，∴當n為奇數(shù)時，，∴，又，∴，∴，故選：C．3．（多選）（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．B．1225既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)C．D．，總存在，使得成立【答案】BCD【詳解】三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，3，6，10，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時也成立；正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列：1，4，9，16，…，則有，利用累加法，得，得到，n=1時也成立.對于A，，利用裂項求和法：，故A錯誤；對于B，令，解得；令，解得；故B正確；對于C，，則，整理得，，故C正確；對于D，取，且，則令，則有，故，總存在，使得成立，故D正確.故選：BCD.4．（2023·全國·高三專題練習）意大利數(shù)學家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖問題得到一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列.斐波那契數(shù)列中的任意一個數(shù)叫斐波那契數(shù).人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示：

大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用.設(shè)斐波那契數(shù)列為，其中，有以下幾個命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號是________.【答案】①②③【詳解】斐波那契數(shù)列從第項起，每一項都是前項的和，所以，①正確.，②正確.，所以③正確.當時，，，所以④錯誤.故答案為：①②③5．（2023春·浙江寧波·高二余姚中學?？计谥校┍本┒瑠W會開幕式上，由所有參賽國家和地區(qū)的引導牌“小雪花”與橄欖枝編織而成的主火炬臺“大雪花”給全世界留下了深刻印象，以獨特浪漫的方式彰顯了“一起向未來”的北京冬奧主題和“更高、更快、更強、更團結(jié)”的奧林匹克格言.1904年，瑞典數(shù)學家科赫把雪花的六角結(jié)構(gòu)理想化，構(gòu)造出了“雪花曲線”：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊（如圖）.反復(fù)進行這一過程就可以得到“雪花曲線”.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為1，則圖③中的圖形比圖②中的圖形新增的面積為________，如果這個操作過程可以一直繼續(xù)下去，那么所得圖形的面積將趨近于________·【答案】