人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)-9下第01講 銳角三角形函數(shù)（解析版）

第01講銳角三角函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①銳角三函數(shù)的定義②特殊的銳角三角函數(shù)值掌握銳角三角函數(shù)的定義及其求法，能夠熟練求銳角三角函數(shù)。掌握特殊的銳角函數(shù)值，并能夠熟練的進(jìn)行計(jì)算。知識(shí)點(diǎn)01正弦函數(shù)正弦函數(shù)的定義與算法：在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作，則。題型考點(diǎn)：①計(jì)算正弦三角函數(shù)值。②根據(jù)三角函數(shù)求邊長(zhǎng)【即學(xué)即練1】1．如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，則sinA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，∴sinA＝＝．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，則sinB的值為（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，∴sinB＝＝，故選：B．【即學(xué)即練3】3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，則sinB＝（）A． B．3 C． D．【解答】解：設(shè)AC＝x，則BC＝3AC＝3x，由勾股定理得：AB＝＝＝x，所以sinB＝＝＝．故選：C．【即學(xué)即練4】4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，則AC＝（）A．10 B．8 C．5 D．4【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，∴sinA＝＝＝，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8．故選：B．【即學(xué)即練5】5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，則AB的值為（）A．8 B．9 C．10 D．12【解答】解：∵sinA＝＝，設(shè)BC＝4x，AB＝5x，∴AC＝3x，∴3x＝6，解得x＝2，∴AB＝10．故選：C．知識(shí)點(diǎn)02余弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義與算法：在Rt△ABC中?！螩=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，∠A的鄰邊與斜邊的比值叫做∠A的余弦，記作，則。題型考點(diǎn)：①計(jì)算余弦三角函數(shù)值。②根據(jù)余弦三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)?！炯磳W(xué)即練1】6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，則cosA的值為（）A． B． C． D．3【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝2，則cosA＝＝＝．故選：B．【即學(xué)即練2】7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，由勾股定理，得AB＝＝，由銳角的余弦，得cosA＝＝＝．故選：B．【即學(xué)即練3】8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，則cosB的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13，∴cosB＝＝．故選：A．【即學(xué)即練4】9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，如果AB＝14，那么AC＝4．【解答】解：∵cosB＝，AB＝14，∴cosB＝＝＝，∴BC＝10，∴AC＝＝＝4．故答案為：．【即學(xué)即練5】10．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若，AB＝12，則BC長(zhǎng)為16．【解答】解：在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝12，∴cosA＝＝＝，∴AC＝20，∴BC＝＝＝16．故答案為：16．知識(shí)點(diǎn)03正切函數(shù)正切函數(shù)的定義與算法：在Rt△ABC中。∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，∠A的對(duì)面與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作，則。題型考點(diǎn)：①計(jì)算正切三角函數(shù)值。②根據(jù)正切三角函數(shù)值計(jì)算邊長(zhǎng)?！炯磳W(xué)即練1】11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tanA＝＝，故選：D．【即學(xué)即練2】12．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，則tanB＝（）A． B．3 C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，∴tanB＝＝＝．故選：A．【即學(xué)即練3】13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則∠BAC的正切值為（）A．5 B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴tan∠BAC＝＝．故選：C．【即學(xué)即練4】14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，tanA＝，則AB＝（）A． B． C．4 D．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝2，tanA＝，∴AC＝2BC＝4，∴AB＝＝＝2．故選：B．【即學(xué)即練5】15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，，那么BC＝10．【解答】解：∵tanA＝＝，∴令BC＝5x，AC＝12x，∵∠C＝90°，∴AB＝＝13x＝26，∴x＝2，∴BC＝5x＝10．故答案為：10．知識(shí)點(diǎn)04特殊角的銳角三角函數(shù)值特殊的銳角三角函數(shù)：特殊角三角函數(shù)30°45°60°1題型考點(diǎn)：①特殊銳角三角函數(shù)值的計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】16．求下列各式的值（1）2sin30°﹣cos45°；（2）sin45°+tan30°?sin60°；（3）sin30°+cos30°．【解答】解：（1）原式＝2×﹣＝1﹣；（2）原式＝+?＝+＝+＝；（3）原式＝+＝．【即學(xué)即練2】17．計(jì)算：cos30°＝；tan60°?sin45°＝；|tan60°﹣2|＝2﹣；＝．【解答】解：cos30°＝；tan60°?sin45°＝＝；|tan60°﹣2|＝|﹣2|＝2﹣；＝＝．故答案為：，，2﹣，．【即學(xué)即練3】18．若（tanA﹣）2+（tanB﹣）2＝0，∠A，∠B為△ABC的內(nèi)角，試確定三角形的形狀．【解答】解：由，得，則，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90度．∴△ABC為直角三角形．題型01求銳角三角函數(shù)值【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且a＝3，c＝5，求sinA和sinB的值．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：在Rt△ABC中，a2+b2＝c2，又∵a＝3，c＝5，∴b2＝c2﹣a2＝16，∴b＝4，∴sinA＝＝，sinB＝＝．【典例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，求tanA和cosA．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴，∴，．【典例2】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求sinA，cosA，tanA的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．題型02根據(jù)銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA＝，求AC．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanA＝，∵BC＝3，tanA＝，∴＝，解得：AC＝．【典例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，BC＝2，求AB的長(zhǎng)．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，∵tanB＝，BC＝2，∴＝，解得：AC＝3，由勾股定理得：AB＝＝＝．【典例3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，，求AC和AB．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝，∵BC＝10，sinA＝，∴＝，∴AB＝26，∴AC＝＝＝24．【典例4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝26．求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，∴sinA＝＝，∴BC＝24，∴AC＝＝＝10，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝26+10+24＝60．題型03特殊的銳角三角函數(shù)值【典例1】計(jì)算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°＝3×+1﹣2×＝+1﹣＝1．【典例2】計(jì)算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．【典例3】計(jì)算：（1）2sin30°﹣3tan45°+cos60°；（2）cos245°﹣tan30°?sin60°．【解答】解：（1）2sin30°﹣3tan45°+cos60°＝2×﹣3×1+＝1﹣3+＝﹣；（2）cos245°﹣tan30°?sin60°＝（）2﹣×＝﹣＝0．【典例4】在△ABC中，∠A與∠B都是銳角，且，則△ABC的形狀是等腰三角形．【解答】解：∵∠A與∠B都是銳角，且，∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，∴∠A＝30°，∠B＝30°，∴△ABC的形狀是等腰三角形．故答案為：等腰三角形．1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∴tanB＝＝，所以A選項(xiàng)不符合題意；tanA＝＝，所以B選項(xiàng)不符合題意；sinB＝＝，所以C選項(xiàng)符合題意；cosB＝＝，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，則AB＝25，則BC＝（）A．24 B．20 C．16 D．15【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴＝，∵AB＝25，∴BC＝15．故選：D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別表示∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)＝bcotA B．a(chǎn)＝csinA C． D．b＝atanB【解答】解：∵由銳角三角函數(shù)的定義可知sinA＝，cosA＝，cotA＝，tanB＝，∴a＝csinA，c＝，a＝，b＝atanB，故A選項(xiàng)不符合題意．故選：A．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanB＝＝＝．故選：D．5．已知實(shí)數(shù)a＝tan30°，b＝sin45°，c＝cos60°，則下列說(shuō)法正確的是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞b＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b【解答】解：，∵，∴b＞a＞c．故選：A．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度數(shù)是（）A．15° B．45° C．30° D．60°【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，故選：D．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，若將△ABC各邊都擴(kuò)大5倍，則tanA的值為（）A． B． C．5 D．【解答】解：設(shè)AC＝b，AB＝c，BC＝a，則擴(kuò)大5倍后三邊長(zhǎng)是5b，5a，5c，∵tanA＝＝，∴擴(kuò)大后tanA＝＝＝．故選：D．8．在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【解答】解：∵|cosA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故選：C．9．2cos45°﹣（π+1）0＝﹣1．【解答】解：原式＝2×﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝12，則AC＝16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴，即，∴AB＝20，由勾股定理得：，故答案為：16．11．已知△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，則∠C＝75度．【解答】解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．12．如圖，已知tanα＝，如果F（4，y）是射線OA上的點(diǎn)，那么F點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，2）．【解答】解：過(guò)F作FC⊥x軸于C，∵F（4，y），則OC＝4，CF＝y(tǒng)，在Rt△OFC中，tanα＝＝，即＝，∴CF＝2，即y＝2．故答案為（4，2）．13．計(jì)算：（1）2cos60°+2sin30°+3tan45°；（2）2sin230°﹣﹣（tan30°﹣1）．【解答】解：（1）原式＝2×+2×+3×1＝1+1+3＝5；（2）原式＝2×（）2﹣﹣（﹣1）＝2×﹣﹣+1＝﹣﹣+1＝1﹣14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，∴b＝＝＝5，∵sinA＝＝＝，∴∠A＝30°；（2）∵tanA＝＝2，∴a＝2b，∵S△ABC＝9，∴＝9，∴＝9，解得：b＝3（負(fù)數(shù)舍去），即a＝6，由勾股定理