2024-2025學年北師大版九年級數(shù)學上冊 特殊平行四邊形 單元綜合測試卷（含答案）

第1章特殊平行四邊形（單元培優(yōu)卷北師大版）

考試時間：120分鐘，滿分：120分

一、選擇題:共10題，每題3分，共30分。

1.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.鄰邊相等B.對邊相等C.對角相等D.是中心對稱圖形

2.已知是的對角線，要判定口ABCD為矩形，可添加的一個條件是（）.

A.AC=BDB.AB=BCC.AC±BDD.AB=CD

3.菱形ABCD的兩條對角線長分別為4和6,則菱形ABCD的面積為（）

A.12B.18C.24D.30

4.如圖，在矩形中,對角線AC,交于點O,若。4=3,則的長為（）

A.3B.6C.2V3D.373

5.如圖，四邊形4BCD是正方形，是對角線，以8c為邊，在正方形的內(nèi)部作等邊三角形BCE,則

4DBE為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

6.如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊BC為邊向外作矩形BCDE,連接AE,AD,設(shè)AAED,4ABE,

△ACD的面積分別為S,&,S2,若要求出S—Si—S2的值，只需知道（）

A.△4BE的面積B.A4CD的面積C.△4BC的面積D.矩形BCDE的面積

7.下列說法正確的有（）

①一組對邊平行的四邊形是平行四邊形;②有一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形;

?1?

③一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形;④兩條對角線互相垂直的矩形是正方形;⑤三個角相

等的四邊形是矩形;⑥對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形;⑦無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù);⑧無

限小數(shù)是無理數(shù).

A.2個B.3個C.4個D.5個

8.如圖，矩形4BCD的兩條對角線相交于點O,CE//BD,DE〃AC,若AD=6,48=8,則四邊形

CODE的面積是（）

A.24B.14C.48D.25

9.如圖.邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點人順時針旋轉(zhuǎn)45°,則

這兩個正方形重疊部分的面積是（）

A.B.率C.1-乎D.V2-1

/JO

10.如圖，正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上一動點，則ON+的最小值

為（）

二、填空題:共6題，每題3分，共18分。

11.在矩形ABCD中,對角線AC、8。相交于點。，若人。=6,則OD的長度為

12.菱形ABCD的對角線入。與AD相交于點。，若人。=4,口。=8,則菱形的面積為

13.如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，使它成為菱形的條件可以是

14.如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點、E、F分別在邊AB.CD1.,將紙帶沿班折疊，點人、。的對

?2?

應點分別為H、D，若N2=34°,則Z1的度數(shù)為

15.如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點,得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個

矩形,按照此方法繼續(xù)下去蘇，已知第一個-矩形的右面積是1,則f第n個詢矩形的面一積是___….…

16.如圖，菱形48co的對角線AC,AD相交于點O,過點。作OH,AB于點連接。H,若。4=

5,OH=3,則菱形ABCD的面積為.

三、解答題:共9題，共72分,其中第1778題每小題4分，第19~20題每小題6分，第21題8分,

第22-23題每小題10分，第24-25題每小題12分。

17.（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、相交于點O,AC=2BO,且BD為/ABC的

平分線，求證:平行四邊形ABCD為正方形.

18.（4分）如圖，四邊形4BCD是矩形，AE〃m，交CB的延長線于點E,CFV/BD,交4B的延長線于

點連接班.

求證：四邊形AEFC是菱形.

?3?

19.（6分）如圖，在四邊形4BCD中，4D〃8C,/BCD=90°,AB=AC,AE平分/A4c交8。于點

E.

（1）求證：四邊形AECD是矩形；

⑵連接座,若Z.CAE=30°,AE=K,則Z2E的長為

20.（6分）如圖,在菱形ABCD中，對角線人C,BD相交于點O,延長CB到點E,使得BE=BC.連接

AE.過點口作班V/AC,交4E于點尸，連接QF.

⑴求證：四邊形AFBO是矩形；

（2）若NE=30°,B尸=1,求。尸的長.

21.（8分）如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，對角線AC,8。相交于點O,且/I=N2.

⑴求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若乙406=60°,AB=6,求四邊形ABCD的面積.

-4■

22.（10分）如圖，矩形AEBO的對角線AB,OE交于點尸，延長40到點C,使OC=。4,延長到點

。，使00=03,連接AD,DC,8C.

⑴求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若OE=20,乙BCD=60°,求菱形ABCD的面積.

23.（10分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片,把紙片折疊，使點B恰好落在CD邊上的點E處，折

痕為AF，且AB=5cm,AD=4cm，DE=3cm.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形;

⑵求的長.

?5?

24.(12分)如圖，在四邊形ABCD中，4D〃BC,AD=12cm,BC=15cm,點P自點人向。以1cm人的

速度運動，到。點即停止.點Q自點。向B以2cm入的速度運動，到B點即停止，點P,Q同時出

發(fā)，設(shè)運動時間為土(s).

(1)用含t的代數(shù)式表示：AP

(2)當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？

⑶當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？

25.(12分)如圖，矩形的對角線AC,口。相交于點。，將ACOO沿CD所在直線折疊，得到

ACED.

(1)求證：四邊形OCED是菱形；

(2)若8。=3,乙4co=30°,P是CD邊上的動點，Q是CE邊上的動點，那么產(chǎn)E+PQ的最小值是多

少？

-6-

第1章特殊平行四邊形（單元培優(yōu)卷北師大版）

考試時間：120分鐘，滿分：120分

、選擇題:共10題,每題3分，共30分。

1.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.鄰邊相等B.對邊相等C.對角相等D.是中心對稱圖形

【答案】人

【詳解】解：菱形的四條邊都相等，而矩形的鄰邊不一定相等，

故選：A.

2.已知是的對角線,要判定OABCD為矩形，可添加的一個條件是（）.

A.AC=BDB.AB=BCC.AC±BDD.AB=CD

【答案】A

【詳解】解：?.?四邊形ABC?是平行四邊形，

/.四邊形ABCD是矩形，

故選：A.

3.菱形ABCD的兩條對角線長分別為4和6,則菱形的面積為（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】A

【詳解】解：：菱形ABCD的兩條對角線長分別為4和6,

/.菱形ABCD的面積為：［x4x6=12,

故選：A.

4.如圖，在矩形中,對角線AC,BD交于點O,若。4=3,則的長為（）

A.3B.6C.2V3D.3V3

【答案】B

【詳解】解：：在矩形ABCD中，對南線AC,BD交于點O,

/.AO=CO=^-AC,AC=BD,

???OA=3,

：.BD=AC=2OA=2x3=6.

故選：B.

5.如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，以BC為邊，在正方形的內(nèi)部作等邊三角形8CE,則

/DBE為（）

?1?

A.10°B,15°C.20°D.30°

【答案】8

【詳解】解：?.?四邊形ABC?是正方形，BD是對南線，

/.ZCBL>=yX90°=45°,

△BCE是正三角形，

/.NCBE=60°,

ZDBE=60°-45°=15°,

故選：B.

6.如圖，以鈍角三角形ABC的最長邊為邊向外作矩形BCDE,連接AE,AD,設(shè)AAED,AABE,

△ACD的面積分別為S,&,S2,若要求出S—Si—S2的值，只需知道（）

A.ZVIBE的面積B.△AC?的面積C.ZVIBC的面積D.矩形BCDE的面積

【答案】。

【詳解】解:過點人作FG〃反7,交的延長線于點尸，。C的延長線于點G,

\?矩形BCDE,

：.BC±BE,BC±CD,BE=CD,

：.FG±BE,FG±CD,

：.四邊形8斤GC為矩形，

/.FG=BC,AF±BE,AG±CD,

：.&=三BE-AF,S2=^CD-AG,

ED

???昂+S2=^-BE{AF+AG)=±BE-BC=^SWCDE,

又S=S^ABC+S矩形BCDE-SI-S2=S2ABC+《S矩形BCDE，

?e?S-Si-S2=SMBC+矩形BCDES矩形BCDE=S^BC，

???只需要知道△ABC的面積即可求出S—Si—S2的值;

故選

7.下列說法正確的有（）

?2?

①一組對邊平行的四邊形是平行四邊形;②有一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；

③一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形;④兩條對角線互相垂直的矩形是正方形;⑤三個角相

等的四邊形是矩形;⑥對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形;⑦無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù);⑧無

限小數(shù)是無理數(shù).

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【詳解】解:①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原說法錯誤；

②有一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，例如等腰梯形，原說法錯誤；

③一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形，原說法正確；

④兩條對角線互相垂直的矩形是正方形，原說法正確；

⑤四個角相等的四邊形是矩形，原說法錯誤；

⑥對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，原說法錯誤；

⑦開方開不盡的數(shù)是無理數(shù)，但無理數(shù)不一定是開方開不盡的數(shù)，原說法錯誤；

⑧無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，原說法錯誤；

故選：A.

8.如圖，矩形48co的兩條對角線相交于點O,CE//BD,DE〃AC,若AD=6,AB=8,則四邊形

CODE的面積是（）

A.24B.14C.48D.25

【答案】A

【詳解】解：?.?CE〃_BD,JDE〃AC,

/.四邊形。OCE是平行四邊形，

?.?四邊形ABCD是矩形，

:.OD=OC=OB=OA,

：.四邊形0OCE是菱形，

：.DE=DO,

連接OE,則￡

?：DE=AO,DE//AO,

四邊形ADEO是平行四邊形，

/.AD=OE=6,A

/.四邊形DOCE的面積為：：x8x6=24.

故選：A

9.如圖.邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動,將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45。,則

這兩個正方形重疊部分的面積是（）

?3?

A.JB.率C.1-乎D.V2-1

【答案】。

【詳解】：繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45°,

/.ZDrCE=45°,

CD'=D'E,

?：ED'_LAC,

/.NCD'E=90°,

?/AC=V12+12=V2,

/.CDr=V2-l,

正方形重疊部分的面積是2x1x1—：x(2T)(四-1)=2—L

故選：D

10.如圖，正方形4BCD的邊長為8,河在。。上，且DM=2,N是47上一動點，則。N+AW的最小值

為（）

【答案】。

【詳解】解:如圖，連接BN,BD,BM,BM交AC于點、E,

4BCD是正方形，則人。、8。互相垂直平分，

：.ND=NB,

當點N與點E不重合時，4NBM中NB+NM>BM,

當點、N與點、E重合晌，NB+NM=BM,

：.NB+NM>BM,即DN+MN的最小值為BM,

ABCD是正方形，則BC=CD=8,乙BCD=90°,

/.CM=CD-DM=8-2=6,

：.BM=y/BCf+CM^=10,

.?.DV+MN的最小值為10,

故選：C.

二、填空麟共6題，每題3分，共18分。

-4■

11.在矩形ABCD中,對角線AC、相交于點。，若AC=6,則OD的長度為.

【答案】3

【詳解】解：?.?四邊形4BCD是矩形，

：.BD=AC=6,

：.OD=^-BD=3.

故答案為：3.

12.菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點。，若AC=4,BD=8,則菱形的面積為

【答案】16

【詳解】解：菱形面積為9x4x8=16;

故答案為：16.

13.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,使它成為菱形的條件可以是.

【答案】AB=40（答案不唯一）

【詳解】解:根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，

/.當=AD時，平行四邊形ABC?是菱形；

故答案為：AB=40（答案不唯一）.

14.如圖，四邊形ABCD為一矩形紙帶，點E、尸分別在邊AB.CD1.,將紙帶沿EF折疊，點A、。的對

應點分別為4、。,若N2=34°，則Z1的度數(shù)為.

【答案】73773度

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：ZAEF=ZA'EF,

?/Z2=34°,

ZAEF=18。；/2=73。,

四邊形48。。是矩形，

：.AB//CD,

：.Z1=ZAEF=73°.

故答案為：73°

15.如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點,得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個

矩形,按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1,則第八個矩形的面積是.

HGF礙二

?5?

【答案】田"1

【詳解】已知第一個矩形的面積是1,

第二個矩形的面積為1xL

4

第三個矩形的面積是1x田,

則第ri個矩形的面積是1x（［■）"1

故答案為：（十『.

16.如圖，菱形4BCD的對角線AC,8。相交于點O,過點。作DHL于點連接OH,若。4=

5,OH=3,則菱形A8CD的面積為.

【答案】30

【詳解】解：；四邊形是菱形，

：.OA=OC=5,OB=OD,ACYBD,

：.AC=10,

?：DH_LAB,

??.ZBHD=90°,

???OH是斜邊上的中線，

：.BD=2OH=2X3=6,

：.菱形ABCD的面積=-^-AC-BD=/x10x6=30,

故答案為：30.

三、解答題:共9題，共72分,其中第1778題每小題4分，第19~20題每小題6分，第21題8分,

第22-23題每小題10分，第24-25題每小題12分。

17.（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,4。=2BO,且BD為/ABC的

平分線，求證:平行四邊形ABCD為正方形.

【答案】詳見解析

【詳解】證明：?.?四邊形4BCD為平行四邊行,

AB//CD,AC=2AO=2CO,

：.ZABD=ACDB,

???AC=2BO,

?6?

/.AO=BO=CO,

：.ABAO=AABO,ABCO=乙OBC,

：.ZABC=AABO+ZOBC=y(ZABO+ZOBC+NBAO+NBCO)=yx180°=90°,

...平行四邊形ABCD為矩形，

?.?口。為乙4口。的平分線，

/.AABD=ADBC,

：.ACDB=ADBC,

：.BC=CD,

：.平行四邊形ABCD為正方形

18.(4分)如圖，四邊形ABCD是矩形,AE"BD,交CB的延長線于點E,CFUBD,交AB的延長線于

點斤，連接EF.

求證：四邊形AEFC是菱形.

【答案】見詳解

【詳解】證明：：四邊形ABCD是矩形

/.AD//BC,AB〃DC,AC=BD,/ABC=90°

/.AD//EB,BF//DC

AE//BD,CF//BD

：.四邊形AEBD,四邊形AFW都是平行四邊形

AEIIBD,AE=BD,BD//FC,BD=FC

：.AE//FC,AE=FC

：.四邊形4EFC是平行四邊形

VZABC=90°

/.四邊形4EFC是菱形.

19.（6分）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,/BCD=90°,AB=AC,AE平分NR4C交于點

E.

(1)求證：四邊形AECD是矩形；

⑵連接DE,若ACAE=30°,AE=心,則DE的長為

?7?

【答案】（1）見解析

（2）2

【詳解】⑴證明：???AB=AC,AE平分/8AC,

：.AE±BC,

???/BCD=90°,

???DC.LBCf

：.AE//DC,

???AD//BC,

???四邊形AECD是平行四邊形,

又丁/BCD=90°,

???平行四邊形AECD是矩形；

⑵解:如圖，

???平行四邊形AECD是矩形；

：.DE=AC,

又???ACAE=30°,

：.CE=^AC,

在Rt/XAEC中，AC2-EC2=AE2,即AC2-（1/。了=3,

解得：AC=2或？1。=—2（舍去），

/.DE=2.

20.（6分）如圖，在菱形ABCD中，對角線/C,BD相交于點O,延長CB到點E,使得BE=BC.連接

AE.過點B作8斤〃47,交AE于點尸，連接QF.

（1）求證：四邊形AFBO是矩形；

（2）若NE=30°,B尸=1,求OF的長.

【答案】（1）證明過程見詳解

（2）2

【詳解】（1）證明：?.,四邊形ABCD是菱形,

/.AD//BC,AC±BD,AD=BC,

?：BE=BC,

AD=BE,

?8?

???四邊形AEBD是平行四邊形,

：.AE//BD.

?：BF//AC,

???四邊形AFBO是平行四邊形.

?.?AC±BD,AE//BD,

：.AE±AC,

：.AOAF=90°,

：.平行四邊形AFBO是矩形.

（2）解：由（1）知四邊形AFBO是矩形，

??.AAFB=9Q°9OF=AB,

???/BFE=90°.

又;ZE=30°,BF=l,

：.BE=2BF=2.

在Rt/\AEC中,BE=BC,

：.AB=BE=2,

：.OF=2.

21.（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC,BD相交于點O,且Nl=N2.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）若乙408=60°,48=6,求四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）見解析

（2）3673

【詳解】（1）證明：..?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OA=OC=yAC°,08=0。=（平行四邊形的對角線互相平分）

VZ1=Z2,

.?.OB=OC（等角對等邊），

/.OA=OB=OC=OD即AC=BD,

.?.□ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；

（2）解：?.?04=05°,ZAOB=600°,

??.△AOB是等邊三角形（有一個角是60。。的等腰三角形是等邊三角形），

/.AB=OA=OB=6,

：.47=12,

?/DABCD是矩形，

/.ZABC=90°,（矩形的四個角都是直南）

在Rt/\ABC中AC=12,AB=Q,

：.BC=YAC。2-AB。2=J12。2—6。'=6V3,

?9?

S矩形ABCD=6x6A/3=36V3.

22.（10分）如圖，矩形AEBO的對角線AB,OE交于點尸，延長AO到點。，使OC=04,延長BO到點

。，使。。=08,連接AD,DC,BC.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若OE=20,=60°,求菱形ABCD的面積.

【答案】（1）證明見解析；

（2）20073.

【詳解】（1）證明：：CO=40,00=60,

..四邊形ABCD是平行四邊形，?.?四邊形AE8O是矩形，

/.ZAOB=90°,

：.BD±AC,

..四邊形ABCD是菱形；

（2）解：：四邊形AEBO是矩形，

/.AB=OE=20,

?.?四邊形ABC?是菱形，ZBCE>=60°,

/.ABCO=30°,AB=BC=20,AAOB=90°,

,OB=：BC=]x20=10,

在Rt/^OC中，由勾股定理得：OC=y/BCi-OB2=V202-102=IOA/3,

/.BD=2OB=2x10=20,AC=2OC=2x10V3=20V3,

S^}ABCD=^AC-BD=^-x20x20V3^=20073^.

23.（10分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形紙片，把紙片折疊，使點B恰好落在CD邊上的點E處,折

痕為AF,且AB-5cm,AD—4cm,DE—3cm.

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

⑵求B尸的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）2.5cm.

【詳解】（1）證明：由折疊可知：AE=AB=5cm,

?10?

AD=4cm,DE=3cm,

：.AD1+DE-=AE2,

：.△ARE是直角三角形，且NO=90°.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

/.平行四邊形ABCD是矩形.

(2)解：由⑴得平行四邊形ABCD是矩形，

AB=CD=5cm,AD=BC=4cm,90°,

又DE=3cm,

EC=CD—DE=5—3=2(cm),

設(shè)BF=a;c?n,則EF=BF=xcm,FC=BC—BF=(4—x)cm,

在Rt/\EFC中，由勾股定理得：EC2+FC2=EF2,

22+(4-x)2=x2,

解得①