空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化技術(shù)：代理模型：貝葉斯優(yōu)化與高斯過程

空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化技術(shù)：代理模型：貝葉斯優(yōu)化與高斯過程1空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的重要性空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化在航空工程中扮演著至關(guān)重要的角色，它旨在通過改進(jìn)飛行器的氣動(dòng)性能，如提升升力、減少阻力、增強(qiáng)穩(wěn)定性和控制性，來提高飛行效率和安全性。傳統(tǒng)上，這種優(yōu)化依賴于風(fēng)洞測(cè)試和數(shù)值模擬，但這些方法往往耗時(shí)且成本高昂。因此，開發(fā)更高效、更經(jīng)濟(jì)的優(yōu)化技術(shù)成為研究的熱點(diǎn)。1.1傳統(tǒng)方法的局限性風(fēng)洞測(cè)試：雖然能提供精確的氣動(dòng)數(shù)據(jù)，但每次測(cè)試都需要大量的時(shí)間和資源。數(shù)值模擬：如CFD（計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)）模擬，雖然可以減少物理測(cè)試的次數(shù)，但計(jì)算成本仍然很高，尤其是在高維設(shè)計(jì)空間中。1.2優(yōu)化的挑戰(zhàn)設(shè)計(jì)空間的復(fù)雜性：空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)涉及多個(gè)參數(shù)，如翼型、翼展、攻角等，形成一個(gè)高維的優(yōu)化空間。評(píng)估的高成本：每次評(píng)估設(shè)計(jì)的氣動(dòng)性能都需要進(jìn)行昂貴的物理實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬。2代理模型在空氣動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用代理模型是一種數(shù)學(xué)工具，用于近似復(fù)雜的物理模型或仿真結(jié)果，從而在優(yōu)化過程中減少計(jì)算成本。在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，代理模型可以快速預(yù)測(cè)不同設(shè)計(jì)參數(shù)下的氣動(dòng)性能，使優(yōu)化過程更加高效。2.1代理模型的類型多項(xiàng)式回歸：通過擬合多項(xiàng)式函數(shù)來近似氣動(dòng)性能。徑向基函數(shù)（RBF）：使用徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)來構(gòu)建代理模型。Kriging模型：基于高斯過程的代理模型，能提供預(yù)測(cè)的不確定性估計(jì)。2.2高斯過程（GP）作為代理模型高斯過程是一種強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法，用于構(gòu)建從有限數(shù)據(jù)點(diǎn)到連續(xù)函數(shù)的代理模型。在空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，GP可以基于少量的CFD模擬或風(fēng)洞測(cè)試結(jié)果，預(yù)測(cè)整個(gè)設(shè)計(jì)空間的氣動(dòng)性能。2.2.1GP的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高斯過程定義為一個(gè)隨機(jī)過程，其中任何有限數(shù)量的點(diǎn)的聯(lián)合分布都是多維高斯分布。GP由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)（或核函數(shù)）定義，用于捕獲數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相關(guān)性。2.2.2核函數(shù)的選擇平方指數(shù)核：kMatérn核：k2.3貝葉斯優(yōu)化貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于評(píng)估成本高的黑盒函數(shù)。它結(jié)合了代理模型（如高斯過程）和獲取函數(shù)（acquisitionfunction）來指導(dǎo)優(yōu)化過程。2.3.1貝葉斯優(yōu)化流程初始化：選擇一些初始設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行評(píng)估。構(gòu)建代理模型：使用高斯過程擬合已評(píng)估的設(shè)計(jì)點(diǎn)。優(yōu)化獲取函數(shù)：基于代理模型預(yù)測(cè)和不確定性，選擇下一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行評(píng)估。更新模型：將新評(píng)估的設(shè)計(jì)點(diǎn)加入模型，重復(fù)步驟2和3，直到達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)或滿足停止條件。2.3.2獲取函數(shù)概率改善（PI）：選擇最有可能改善當(dāng)前最優(yōu)解的設(shè)計(jì)點(diǎn)。期望改善（EI）：選擇預(yù)期改善程度最大的設(shè)計(jì)點(diǎn)。上界置信度（UCB）：平衡探索和開發(fā)，選擇具有高預(yù)測(cè)值和高不確定性的設(shè)計(jì)點(diǎn)。3示例：使用高斯過程進(jìn)行空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化假設(shè)我們正在優(yōu)化一個(gè)翼型的升力系數(shù)，設(shè)計(jì)空間由兩個(gè)參數(shù)組成：攻角（α）和翼型厚度（t）。我們使用高斯過程作為代理模型，期望改善（EI）作為獲取函數(shù)。importnumpyasnp

fromscipy.statsimportnorm

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#設(shè)計(jì)空間

alpha=np.linspace(0,20,100)

t=np.linspace(0.1,0.5,100)

alpha,t=np.meshgrid(alpha,t)

X=np.c_[alpha.ravel(),t.ravel()]

#假設(shè)的升力系數(shù)數(shù)據(jù)

y=np.sin(alpha*np.pi/180)*(1-t)+np.random.normal(0,0.01,alpha.size)

#構(gòu)建高斯過程模型

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

gp.fit(X,y)

#定義獲取函數(shù)

defacquisition_function(x,gp,xi=0.01):

mu,sigma=gp.predict(x,return_std=True)

z=(mu-np.max(y)-xi)/sigma

return(mu-np.max(y)-xi)*norm.cdf(z)+sigma*norm.pdf(z)

#優(yōu)化獲取函數(shù)

x_next=X[np.argmax(acquisition_function(X,gp))]

print("Nextpointtoevaluate:",x_next)在這個(gè)例子中，我們首先定義了設(shè)計(jì)空間和假設(shè)的升力系數(shù)數(shù)據(jù)。然后，我們使用徑向基函數(shù)（RBF）核構(gòu)建了一個(gè)高斯過程模型，并用數(shù)據(jù)擬合了模型。最后，我們定義了期望改善（EI）獲取函數(shù)，并找到了下一個(gè)最值得評(píng)估的設(shè)計(jì)點(diǎn)。4結(jié)論通過使用代理模型如高斯過程和貝葉斯優(yōu)化，空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化過程可以顯著加速，同時(shí)保持較高的預(yù)測(cè)精度。這種方法特別適用于評(píng)估成本高、設(shè)計(jì)空間復(fù)雜的情況，為航空工程的創(chuàng)新提供了有力的工具。5高斯過程基礎(chǔ)5.1高斯過程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高斯過程(GaussianProcess,GP)是一種概率模型，用于描述函數(shù)的分布。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型不同，高斯過程不僅預(yù)測(cè)函數(shù)的輸出值，還提供輸出值的不確定性估計(jì)。在數(shù)學(xué)上，高斯過程可以被看作是多維高斯分布的無限維擴(kuò)展。5.1.1高斯分布高斯分布，也稱為正態(tài)分布，由均值μ和方差σ2定義。對(duì)于多維高斯分布，我們有均值向量μ和協(xié)方差矩陣Σp對(duì)于多維情況，公式變?yōu)椋簆5.1.2高斯過程高斯過程定義為一個(gè)隨機(jī)過程，其中任何有限個(gè)點(diǎn)的集合都服從多維高斯分布。高斯過程由均值函數(shù)mx和協(xié)方差函數(shù)kx,mk其中fx是高斯過程在點(diǎn)x5.1.3示例：一維高斯過程假設(shè)我們有一個(gè)一維高斯過程，其均值函數(shù)為0，協(xié)方差函數(shù)為平方指數(shù)核函數(shù)。我們可以使用Python的scikit-learn庫(kù)來生成和可視化這個(gè)高斯過程。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#定義核函數(shù)

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

#創(chuàng)建高斯過程回歸器

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

#生成輸入數(shù)據(jù)

X=np.linspace(0,20,100).reshape(-1,1)

#生成隨機(jī)輸出數(shù)據(jù)

y=np.sin(X).ravel()

#擬合高斯過程模型

gp.fit(X,y)

#預(yù)測(cè)

y_pred,sigma=gp.predict(X,return_std=True)

#可視化

plt.figure()

plt.plot(X,y,'r:',label=u'$f(x)=\sin(x)$')

plt.plot(X,y_pred,'b-',label=u'Prediction')

plt.fill(np.concatenate([X,X[::-1]]),

np.concatenate([y_pred-1.9600*sigma,

(y_pred+1.9600*sigma)[::-1]]),

alpha=.5,fc='b',ec='None',label='95%confidenceinterval')

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel('$f(x)$')

plt.ylim(-4,4)

plt.legend(loc='upperleft')

plt.show()這段代碼首先定義了一個(gè)平方指數(shù)核函數(shù)，然后使用這個(gè)核函數(shù)創(chuàng)建了一個(gè)高斯過程回歸器。接著，它生成了一組輸入數(shù)據(jù)，并使用正弦函數(shù)生成了相應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)。模型被擬合到這些數(shù)據(jù)點(diǎn)上，然后對(duì)整個(gè)輸入范圍進(jìn)行了預(yù)測(cè)。最后，代碼可視化了預(yù)測(cè)結(jié)果以及95%的置信區(qū)間。5.2協(xié)方差函數(shù)與核函數(shù)協(xié)方差函數(shù)，也稱為核函數(shù)，是高斯過程的核心組成部分。它定義了輸入空間中任意兩點(diǎn)之間的相似性，從而決定了高斯過程的形狀和特性。常見的核函數(shù)包括平方指數(shù)核、多項(xiàng)式核、線性核等。5.2.1平方指數(shù)核函數(shù)平方指數(shù)核函數(shù)是最常用的核函數(shù)之一，它定義為：k其中σ2是信號(hào)方差，l5.2.2示例：平方指數(shù)核函數(shù)我們可以使用Python的scikit-learn庫(kù)中的RBF核函數(shù)來實(shí)現(xiàn)平方指數(shù)核函數(shù)。fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF

#定義平方指數(shù)核函數(shù)

kernel=RBF(length_scale=1.0,length_scale_bounds=(1e-2,1e2))

#生成輸入數(shù)據(jù)

X=np.linspace(0,5,10).reshape(-1,1)

#計(jì)算核矩陣

K=kernel(X)

#可視化核矩陣

plt.imshow(K,cmap='hot',interpolation='nearest')

plt.colorbar()

plt.title('RBFKernelMatrix')

plt.show()這段代碼定義了一個(gè)平方指數(shù)核函數(shù)，并生成了一組輸入數(shù)據(jù)。然后，它計(jì)算了輸入數(shù)據(jù)之間的核矩陣，并使用熱圖進(jìn)行了可視化。核矩陣的值反映了輸入點(diǎn)之間的相似性，值越大表示相似度越高。5.3高斯過程回歸詳解高斯過程回歸是一種非參數(shù)回歸方法，它使用高斯過程來預(yù)測(cè)函數(shù)的輸出值。與傳統(tǒng)的回歸方法不同，高斯過程回歸不僅提供預(yù)測(cè)值，還提供預(yù)測(cè)值的不確定性估計(jì)，這對(duì)于優(yōu)化和決策問題尤為重要。5.3.1高斯過程回歸的數(shù)學(xué)原理給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)集{xi,yiμσ其中X*是新數(shù)據(jù)點(diǎn)，KX,X是訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的協(xié)方差矩陣，kX5.3.2示例：高斯過程回歸我們可以使用Python的scikit-learn庫(kù)中的GaussianProcessRegressor類來實(shí)現(xiàn)高斯過程回歸。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#定義核函數(shù)

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

#創(chuàng)建高斯過程回歸器

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

#生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)

X_train=np.array([[1.0],[3.0],[5.0],[6.0],[7.0],[8.0],[9.0]])

y_train=np.sin(X_train).ravel()

#擬合模型

gp.fit(X_train,y_train)

#生成測(cè)試數(shù)據(jù)

X_test=np.linspace(0,10,100).reshape(-1,1)

#預(yù)測(cè)

y_pred,sigma=gp.predict(X_test,return_std=True)

#可視化

plt.figure()

plt.scatter(X_train,y_train,color='r',label='TrainingData')

plt.plot(X_test,y_pred,'b-',label='Prediction')

plt.fill(np.concatenate([X_test,X_test[::-1]]),

np.concatenate([y_pred-1.9600*sigma,

(y_pred+1.9600*sigma)[::-1]]),

alpha=.5,fc='b',ec='None',label='95%confidenceinterval')

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel('$f(x)$')

plt.legend(loc='upperleft')

plt.show()這段代碼首先定義了一個(gè)平方指數(shù)核函數(shù)，然后使用這個(gè)核函數(shù)創(chuàng)建了一個(gè)高斯過程回歸器。接著，它生成了一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)，并使用正弦函數(shù)生成了相應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)。模型被擬合到這些數(shù)據(jù)點(diǎn)上，然后對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。最后，代碼可視化了預(yù)測(cè)結(jié)果以及95%的置信區(qū)間，同時(shí)顯示了訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)。6貝葉斯優(yōu)化原理6.1貝葉斯優(yōu)化框架貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于優(yōu)化昂貴的黑盒函數(shù)，如空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中的性能評(píng)估。其核心思想是使用概率模型（如高斯過程）來近似目標(biāo)函數(shù)，并通過獲取函數(shù)（acquisitionfunction）來指導(dǎo)搜索過程，以最小化評(píng)估次數(shù)找到全局最優(yōu)解。6.1.1高斯過程高斯過程（GaussianProcess,GP）是一種非參數(shù)的貝葉斯方法，用于對(duì)函數(shù)進(jìn)行建模。它假設(shè)函數(shù)值的分布是高斯分布，可以提供函數(shù)值的預(yù)測(cè)以及預(yù)測(cè)的不確定性。在貝葉斯優(yōu)化中，GP作為代理模型，用于估計(jì)目標(biāo)函數(shù)的形狀和不確定性。GP的數(shù)學(xué)描述給定輸入空間X和輸出空間Y，高斯過程定義為一個(gè)隨機(jī)過程，其中任何有限輸入集的輸出都服從多維高斯分布。形式上，如果對(duì)于所有有限的輸入集x={xf其中μx是均值函數(shù)，Σx是協(xié)方差矩陣，由核函數(shù)（kernelfunction）核函數(shù)核函數(shù)是高斯過程的關(guān)鍵組成部分，它定義了輸入點(diǎn)之間的相似性。常見的核函數(shù)包括徑向基函數(shù)（RadialBasisFunction,RBF）、Matérn核、周期核等。例如，RBF核函數(shù)定義為k其中l(wèi)是長(zhǎng)度尺度參數(shù)，控制輸入點(diǎn)之間的相似性隨距離增加而減少的速度。6.1.2貝葉斯優(yōu)化流程初始化：選擇一些初始點(diǎn)進(jìn)行評(píng)估。建模：使用高斯過程擬合已評(píng)估點(diǎn)的數(shù)據(jù)。獲取函數(shù)：基于GP模型，計(jì)算獲取函數(shù)以確定下一個(gè)評(píng)估點(diǎn)。評(píng)估：在選定的點(diǎn)上評(píng)估目標(biāo)函數(shù)。更新：將新評(píng)估點(diǎn)的數(shù)據(jù)加入模型，重復(fù)步驟2至4，直到達(dá)到停止條件。6.2獲取函數(shù)的定義與選擇獲取函數(shù)是貝葉斯優(yōu)化中用于量化探索與利用之間的權(quán)衡的工具。它基于當(dāng)前的GP模型，計(jì)算每個(gè)未評(píng)估點(diǎn)的“吸引力”，以指導(dǎo)搜索過程。常見的獲取函數(shù)包括概率改善（ProbabilityofImprovement,PI）、期望改善（ExpectedImprovement,EI）和上界置信區(qū)間（UpperConfidenceBound,UCB）。6.2.1期望改善（EI）期望改善是最常用的獲取函數(shù)之一，它定義為E其中fx+是當(dāng)前已知的最佳函數(shù)值，fxEI函數(shù)的計(jì)算假設(shè)GP模型給出的預(yù)測(cè)為Nμx,E其中Φ和?分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。6.2.2上界置信區(qū)間（UCB）上界置信區(qū)間獲取函數(shù)試圖在當(dāng)前預(yù)測(cè)值的基礎(chǔ)上增加一個(gè)置信區(qū)間，以鼓勵(lì)探索不確定性較高的區(qū)域。UCB定義為U其中βt是一個(gè)隨時(shí)間變化的參數(shù)，通常設(shè)置為26.3貝葉斯優(yōu)化在高維空間的應(yīng)用在高維空間中，貝葉斯優(yōu)化面臨的主要挑戰(zhàn)是“維數(shù)災(zāi)難”，即隨著輸入維度的增加，搜索空間迅速膨脹，導(dǎo)致優(yōu)化效率下降。為了解決這個(gè)問題，可以采用以下策略：維度降解：通過主成分分析（PCA）等方法減少輸入空間的維度。稀疏高斯過程：使用稀疏近似方法來減少計(jì)算復(fù)雜度。并行貝葉斯優(yōu)化：同時(shí)評(píng)估多個(gè)點(diǎn)，以加速搜索過程。6.3.1稀疏高斯過程稀疏高斯過程通過引入“誘導(dǎo)點(diǎn)”（inducingpoints）來減少計(jì)算復(fù)雜度。誘導(dǎo)點(diǎn)是一組選定的輸入點(diǎn)，用于近似整個(gè)輸入空間的GP模型。這種方法可以顯著減少在高維空間中進(jìn)行貝葉斯優(yōu)化的計(jì)算成本。6.3.2并行貝葉斯優(yōu)化并行貝葉斯優(yōu)化允許同時(shí)評(píng)估多個(gè)點(diǎn)，從而加速搜索過程。這在高維空間中尤為重要，因?yàn)樵u(píng)估每個(gè)點(diǎn)的成本可能非常高。并行策略通常涉及修改獲取函數(shù)，以同時(shí)考慮多個(gè)點(diǎn)的評(píng)估。并行EI函數(shù)并行EI函數(shù)可以定義為E其中x={x6.3.3代碼示例：使用GPy進(jìn)行貝葉斯優(yōu)化importnumpyasnp

importGPy

fromGPyOpt.methodsimportBayesianOptimization

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective(x):

returnnp.sin(3*x)+0.5*np.cos(1.5*x)+0.5*x

#定義邊界

bounds=[{'name':'x','type':'continuous','domain':(0,5)}]

#創(chuàng)建高斯過程模型

kernel=GPy.kern.RBF(input_dim=1)

model=GPy.models.GPRegression(np.random.uniform(0,5,(10,1)),objective(np.random.uniform(0,5,(10,1))))

#定義貝葉斯優(yōu)化

optimizer=BayesianOptimization(f=objective,domain=bounds,model=model)

#運(yùn)行優(yōu)化

optimizer.run_optimization(max_iter=25)

#輸出最優(yōu)解

print("Optimalvaluefoundat:",optimizer.x_opt)

print("Optimalfunctionvalue:",optimizer.fx_opt)在這個(gè)例子中，我們使用了GPy庫(kù)來構(gòu)建高斯過程模型，并使用GPyOpt庫(kù)來執(zhí)行貝葉斯優(yōu)化。目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)，用于演示優(yōu)化過程。通過調(diào)整參數(shù)和使用更復(fù)雜的核函數(shù)，可以將這種方法應(yīng)用于更復(fù)雜的空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問題。6.4結(jié)論貝葉斯優(yōu)化結(jié)合了高斯過程的預(yù)測(cè)能力和獲取函數(shù)的指導(dǎo)作用，是一種有效的全局優(yōu)化方法，尤其適用于昂貴的黑盒函數(shù)優(yōu)化。通過合理選擇獲取函數(shù)和采用高維空間優(yōu)化策略，可以有效地應(yīng)用于空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)等復(fù)雜問題的優(yōu)化。7空氣動(dòng)力學(xué)中的代理模型7.1構(gòu)建空氣動(dòng)力學(xué)代理模型在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，代理模型（SurrogateModel）被廣泛應(yīng)用于復(fù)雜流體動(dòng)力學(xué)問題的快速求解與優(yōu)化設(shè)計(jì)中。傳統(tǒng)的CFD（ComputationalFluidDynamics）模擬雖然精確，但計(jì)算成本高，耗時(shí)長(zhǎng)，而代理模型則通過學(xué)習(xí)少量高精度數(shù)據(jù)，構(gòu)建出近似模型，以較低的計(jì)算成本進(jìn)行預(yù)測(cè)和優(yōu)化。7.1.1高斯過程（GaussianProcess）高斯過程是一種非參數(shù)的貝葉斯方法，用于回歸和分類任務(wù)。在空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，高斯過程可以用來構(gòu)建從設(shè)計(jì)參數(shù)到性能指標(biāo)（如升力、阻力）的代理模型。原理高斯過程假設(shè)所有觀測(cè)點(diǎn)的輸出遵循一個(gè)聯(lián)合高斯分布。給定輸入空間X和輸出空間Y，高斯過程通過定義一個(gè)均值函數(shù)mx和協(xié)方差函數(shù)k代碼示例假設(shè)我們有從CFD模擬得到的升力系數(shù)數(shù)據(jù)，我們將使用高斯過程構(gòu)建一個(gè)代理模型。importnumpyasnp

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#假設(shè)數(shù)據(jù)

X=np.atleast_2d([0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]).T#設(shè)計(jì)參數(shù)，例如攻角

y=np.array([0.5,0.7,0.8,0.6,0.4])#升力系數(shù)

#定義高斯過程的核函數(shù)

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

#創(chuàng)建并訓(xùn)練高斯過程模型

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

gp.fit(X,y)

#預(yù)測(cè)新的設(shè)計(jì)參數(shù)

X_new=np.atleast_2d([0.35]).T

y_pred,sigma=gp.predict(X_new,return_std=True)

print(f"預(yù)測(cè)升力系數(shù):{y_pred[0]},預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差:{sigma[0]}")7.1.2貝葉斯優(yōu)化（BayesianOptimization）貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于高成本的黑盒函數(shù)優(yōu)化。在空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)中，貝葉斯優(yōu)化可以用來尋找最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，而無需進(jìn)行大量的CFD模擬。原理貝葉斯優(yōu)化使用高斯過程作為代理模型，通過定義一個(gè)獲取函數(shù)（AcquisitionFunction）來決定下一次采樣的位置。常見的獲取函數(shù)有概率改善（ProbabilityofImprovement,PI）、期望改善（ExpectedImprovement,EI）和上界置信區(qū)間（UpperConfidenceBound,UCB）。代碼示例使用貝葉斯優(yōu)化尋找最優(yōu)的攻角，以最大化升力系數(shù)。frombayes_optimportBayesianOptimization

#定義優(yōu)化函數(shù)

defblack_box_function(x):

#這里應(yīng)該是CFD模擬的調(diào)用，但為了示例，我們使用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)

return-x**2+5*x

#創(chuàng)建貝葉斯優(yōu)化對(duì)象

optimizer=BayesianOptimization(

f=black_box_function,

pbounds={"x":(0,5)},

random_state=1,

)

#進(jìn)行優(yōu)化

optimizer.maximize(init_points=2,n_iter=30)

#輸出最優(yōu)參數(shù)和對(duì)應(yīng)的升力系數(shù)

print(f"最優(yōu)攻角:{optimizer.max['params']['x']},最大升力系數(shù):{-optimizer.max['target']}")7.2模型驗(yàn)證與誤差分析構(gòu)建代理模型后，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和分析誤差是至關(guān)重要的步驟。這通常通過比較代理模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際CFD模擬值來完成。7.2.1驗(yàn)證方法交叉驗(yàn)證（Cross-Validation）：將數(shù)據(jù)集分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，用訓(xùn)練集構(gòu)建模型，用測(cè)試集評(píng)估模型的泛化能力。誤差指標(biāo)：使用均方誤差（MeanSquaredError,MSE）、平均絕對(duì)誤差（MeanAbsoluteError,MAE）等指標(biāo)來量化預(yù)測(cè)誤差。7.2.2代碼示例使用交叉驗(yàn)證評(píng)估高斯過程模型的性能。fromsklearn.model_selectionimportcross_val_score

#使用交叉驗(yàn)證評(píng)估模型

scores=cross_val_score(gp,X,y,cv=5,scoring='neg_mean_squared_error')

mse_scores=-scores

print(f"均方誤差:{mse_scores.mean()}")7.3代理模型在設(shè)計(jì)優(yōu)化中的作用代理模型在設(shè)計(jì)優(yōu)化中扮演著關(guān)鍵角色，它們可以快速評(píng)估設(shè)計(jì)空間中的不同點(diǎn)，從而加速優(yōu)化過程。7.3.1優(yōu)化流程數(shù)據(jù)采集：通過CFD模擬或?qū)嶒?yàn)獲取少量設(shè)計(jì)點(diǎn)的數(shù)據(jù)。模型構(gòu)建：使用高斯過程或其它方法構(gòu)建代理模型。優(yōu)化搜索：使用貝葉斯優(yōu)化或其它全局優(yōu)化算法在設(shè)計(jì)空間中搜索最優(yōu)參數(shù)。模型更新：根據(jù)優(yōu)化過程中新采集的數(shù)據(jù)更新代理模型。結(jié)果驗(yàn)證：通過CFD模擬或?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果的準(zhǔn)確性。7.3.2代碼示例結(jié)合高斯過程和貝葉斯優(yōu)化進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化。#更新數(shù)據(jù)集

X=np.vstack([X,X_new])

y=np.append(y,black_box_function(X_new))

#更新模型

gp.fit(X,y)

#重新優(yōu)化

optimizer=BayesianOptimization(

f=black_box_function,

pbounds={"x":(0,5)},

random_state=1,

gp=gp

)

optimizer.maximize(init_points=2,n_iter=30)

#輸出更新后的最優(yōu)參數(shù)和升力系數(shù)

print(f"更新后的最優(yōu)攻角:{optimizer.max['params']['x']},最大升力系數(shù):{-optimizer.max['target']}")通過上述步驟，我們可以有效地利用代理模型進(jìn)行空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)化，減少CFD模擬的次數(shù)，提高設(shè)計(jì)效率。8貝葉斯優(yōu)化在空氣動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用8.1貝葉斯優(yōu)化的參數(shù)設(shè)置貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于優(yōu)化昂貴的黑盒函數(shù)，如空氣動(dòng)力學(xué)中的CFD（計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)）模擬。在貝葉斯優(yōu)化中，關(guān)鍵參數(shù)包括：高斯過程（GP）的核函數(shù)：核函數(shù)定義了函數(shù)的平滑性和相關(guān)性。常用的核函數(shù)有徑向基函數(shù)（RBF）、Matérn核等。例如，使用RBF核函數(shù)時(shí)，其參數(shù)length_scale控制著輸入空間中點(diǎn)的相似度，noise參數(shù)則控制著觀測(cè)噪聲的大小。獲取函數(shù)（AcquisitionFunction）：獲取函數(shù)用于量化未觀測(cè)點(diǎn)的吸引力，常見的有UCB（UpperConfidenceBound）、EI（ExpectedImprovement）和PI（ProbabilityofImprovement）。例如，使用EI作為獲取函數(shù)時(shí)，它衡量了新點(diǎn)相對(duì)于當(dāng)前最優(yōu)解的預(yù)期改進(jìn)。初始化點(diǎn)：優(yōu)化開始時(shí)，需要隨機(jī)或通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法選擇一些點(diǎn)進(jìn)行初始觀測(cè)，以構(gòu)建GP模型。優(yōu)化迭代次數(shù)：決定了貝葉斯優(yōu)化的運(yùn)行時(shí)間，通常基于預(yù)算或收斂條件設(shè)定。8.1.1示例代碼：貝葉斯優(yōu)化參數(shù)設(shè)置frombayes_optimportBayesianOptimization

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportMatern

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

#定義目標(biāo)函數(shù)

defobjective_function(x1,x2):

#這里應(yīng)替換為實(shí)際的CFD模擬函數(shù)

return-x1**2-(x2-1)**2+1

#初始化高斯過程模型

kernel=Matern(length_scale=1.0,length_scale_bounds=(1e-1,10.0),nu=2.5)

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,alpha=1e-6)

#貝葉斯優(yōu)化器設(shè)置

optimizer=BayesianOptimization(

f=objective_function,

pbounds={"x1":(-2,2),"x2":(-2,2)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#運(yùn)行優(yōu)化

optimizer.maximize(init_points=5,n_iter=25,acq="ei")8.2優(yōu)化過程中的探索與開發(fā)平衡在貝葉斯優(yōu)化中，探索（Exploration）與開發(fā)（Exploitation）的平衡至關(guān)重要。探索指的是尋找可能包含全局最優(yōu)解的新區(qū)域，而開發(fā)則是對(duì)已知有高收益的區(qū)域進(jìn)行更詳細(xì)的搜索。獲取函數(shù)的選擇直接影響了這一平衡。UCB：通過設(shè)置一個(gè)參數(shù)beta來控制探索與開發(fā)的平衡，較大的beta值鼓勵(lì)探索，較小的值則傾向于開發(fā)。EI：自然地傾向于開發(fā)，但通過高斯過程的不確定性來促進(jìn)探索。PI：與EI類似，但更直接地衡量新點(diǎn)優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)解的概率。8.2.1示例代碼：探索與開發(fā)平衡frombayes_optimportBayesianOptimization

frombayes_opt.utilimportload_logs

#定義獲取函數(shù)為UCB

optimizer=BayesianOptimization(

f=objective_function,

pbounds={"x1":(-2,2),"x2":(-2,2)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#設(shè)置UCB參數(shù)

optimizer.set_gp_params(alpha=1e-6,kernel=kernel)

optimizer.maximize(init_points=5,n_iter=25,acq="ucb",kappa=2.576)

#加載歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)，以促進(jìn)開發(fā)

load_logs(optimizer,logs=["previous_optimization_logs.json"])8.3案例研究：翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化在空氣動(dòng)力學(xué)中，翼型設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的多變量?jī)?yōu)化問題。貝葉斯優(yōu)化可以有效地搜索設(shè)計(jì)空間，找到具有最佳升阻比的翼型參數(shù)。8.3.1翼型參數(shù)前緣半徑：影響翼型的前端形狀。后緣厚度：影響翼型的尾部形狀。最大厚度位置：控制翼型厚度分布的位置。最大彎度位置：控制翼型彎度分布的位置。8.3.2示例代碼：翼型設(shè)計(jì)優(yōu)化importnumpyasnp

fromscipy.ioimportloadmat

frombayes_optimportBayesianOptimization

#加載CFD模擬數(shù)據(jù)

data=loadmat("aerodynamic_data.mat")

X=data["X"]

y=data["y"]

#定義目標(biāo)函數(shù)，使用CFD模擬數(shù)據(jù)

defaerodynamic_objective(front_radius,rear_thickness,max_thickness_pos,max_curvature_pos):

#這里應(yīng)使用實(shí)際的CFD模擬函數(shù)，此處簡(jiǎn)化為直接返回y值

returny[np.argwhere((X[:,0]==front_radius)&(X[:,1]==rear_thickness)&

(X[:,2]==max_thickness_pos)&(X[:,3]==max_curvature_pos))[0][0]]

#貝葉斯優(yōu)化器設(shè)置

optimizer=BayesianOptimization(

f=aerodynamic_objective,

pbounds={"front_radius":(0.1,0.5),"rear_thickness":(0.01,0.1),

"max_thickness_pos":(0.2,0.8),"max_curvature_pos":(0.2,0.8)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#運(yùn)行優(yōu)化

optimizer.maximize(init_points=10,n_iter=50,acq="ei")

#輸出最優(yōu)解

print(optimizer.max)8.3.3數(shù)據(jù)樣例假設(shè)aerodynamic_data.mat文件包含以下數(shù)據(jù)：#aerodynamic_data.mat內(nèi)容示例

X=np.array([[0.1,0.01,0.2,0.2],

[0.2,0.02,0.3,0.3],

[0.3,0.03,0.4,0.4],

...,

[0.5,0.1,0.8,0.8]])

y=np.array([0.9,1.2,1.5,...,2.0])在這個(gè)示例中，X是一個(gè)包含翼型設(shè)計(jì)參數(shù)的矩陣，每一行代表一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，y是一個(gè)包含對(duì)應(yīng)升阻比的向量。貝葉斯優(yōu)化器將使用這些數(shù)據(jù)來構(gòu)建高斯過程模型，并尋找最優(yōu)的翼型設(shè)計(jì)參數(shù)。9高級(jí)主題與挑戰(zhàn)9.1高斯過程的擴(kuò)展：多任務(wù)學(xué)習(xí)9.1.1原理高斯過程(GaussianProcess,GP)是一種強(qiáng)大的非參數(shù)貝葉斯方法，用于回歸和分類任務(wù)。在傳統(tǒng)的GP中，我們通常關(guān)注單一輸出的預(yù)測(cè)。然而，在許多實(shí)際應(yīng)用中，我們可能需要同時(shí)預(yù)測(cè)多個(gè)相關(guān)的輸出，例如在空氣動(dòng)力學(xué)優(yōu)化中，可能需要同時(shí)優(yōu)化升力和阻力。多任務(wù)學(xué)習(xí)(Multi-taskLearning,MTL)擴(kuò)展了GP，允許模型在多個(gè)相關(guān)任務(wù)之間共享信息，從而提高預(yù)測(cè)性能。9.1.2內(nèi)容在多任務(wù)GP中，我們假設(shè)每個(gè)任務(wù)的輸出都由一個(gè)潛在的高斯過程生成，這些過程之間通過一個(gè)共同的協(xié)方差函數(shù)相關(guān)聯(lián)。這種設(shè)置允許我們利用任務(wù)之間的相關(guān)性，即使某些任務(wù)的數(shù)據(jù)較少，也能通過其他任務(wù)的數(shù)據(jù)來增強(qiáng)預(yù)測(cè)。示例代碼假設(shè)我們有兩個(gè)相關(guān)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有不同的輸入數(shù)據(jù)集，但共享相同的輸入特征。我們將使用GPy庫(kù)來實(shí)現(xiàn)一個(gè)多任務(wù)GP模型。importnumpyasnp

importGPy

#生成示例數(shù)據(jù)

X1=np.random.rand(10,1)*10

X2=np.random.rand(15,1)*10

Y1=np.sin(X1).ravel()

Y2=np.sin(X2).ravel()+np.cos(X2).ravel()

#將數(shù)據(jù)組合成多任務(wù)格式

X=np.vstack((X1,X2))

Y=np.vstack((Y1[:,None],Y2[:,None]))

#創(chuàng)建多任務(wù)GP模型

kern=GPy.kern.RBF(input_dim=1,ARD=True)+GPy.kern.Coregion(input_dim=1,rank=1)

model=GPy.models.GPRegression(X,Y,kernel=kern)

#設(shè)置任務(wù)標(biāo)識(shí)

model.kern.coregion.W=np.array([[1],[1]])

model.kern.coregion.kappa=np.array([1,1])

#優(yōu)化模型參數(shù)

model.optimize()

#預(yù)測(cè)

Xtest=np.linspace(0,10,100)[:,None]

Ypred,Yvar=model.predict(Xtest)9.1.3解釋在上述代碼中，我們首先生成了兩個(gè)任務(wù)的數(shù)據(jù)集X1,Y1和X2,Y2。然后，我們使用GPy庫(kù)創(chuàng)建了一個(gè)多任務(wù)GP模型，其中kern是協(xié)方差函數(shù)，包括一個(gè)徑向基函數(shù)(RBF)和一個(gè)核心區(qū)域(Coregion)函數(shù)。核心區(qū)域函數(shù)允許我們指定任務(wù)之間的相關(guān)性。最后，我們優(yōu)化模型參數(shù)并進(jìn)行預(yù)測(cè)。9.2貝葉斯優(yōu)化的并行化9.2.1原理貝葉斯優(yōu)化(BayesianOptimization,BO)是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于高成本的黑盒函數(shù)。在傳統(tǒng)的BO中，每次迭代只評(píng)估一個(gè)點(diǎn)，這在評(píng)估成本高時(shí)可能效率低下。并行化貝葉斯優(yōu)化允許同時(shí)評(píng)估多個(gè)點(diǎn)，從而加速優(yōu)化過程。9.2.2內(nèi)容并行化BO的關(guān)鍵在于選擇一組點(diǎn)進(jìn)行同時(shí)評(píng)估，這通常通過多目標(biāo)優(yōu)化或通過設(shè)計(jì)特定的采樣策略來實(shí)現(xiàn)。例如，可以使用“最大最小后驗(yàn)優(yōu)化”(MaximumExpectedMinimumAcquisition,MEM)或“知識(shí)梯度”(KnowledgeGradient,KG)策略來選擇一組點(diǎn)。示例代碼使用BayesOpt庫(kù)實(shí)現(xiàn)并行化貝葉斯優(yōu)化。frombayes_optimportBayesianOptimization

frombayes_opt.utilimportload_logs

frommultiprocessingimportPool

#定義目標(biāo)函數(shù)

defblack_box_function(x):

return-x**2+5*x

#創(chuàng)建并行化BO實(shí)例

optimizer=BayesianOptimization(

f=black_box_function,

pbounds={"x":(2,4)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#并行化評(píng)估

defworker(x):

returnbe(

params={"x":x},

lazy=True,

)

#使用多進(jìn)程池

pool=Pool(4)

pool.map(worker,[3.2,2.1,4.0,2.5])

#更新優(yōu)化器

optimizer.maximize(init_points=0,n_iter=10)

#輸出最佳參數(shù)

print(optimizer.max)9.2.3解釋在示例代碼中，我們定義了一個(gè)簡(jiǎn)單的黑盒函數(shù)black_box_function。然后，我們創(chuàng)建了一個(gè)BayesianOptimization實(shí)例，并定義了參數(shù)邊界。我們使用multiprocessing.Pool來并行化評(píng)估多個(gè)點(diǎn)，通過worker函數(shù)將參數(shù)傳遞給優(yōu)化器。最后，我們更新優(yōu)化器并輸出找到的最佳參數(shù)。9.3處理非高斯噪聲的策略9.3.1原理在高斯過程回歸中，通常假設(shè)噪聲是高斯分布的。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，噪聲可能不符合高