空氣動力學優(yōu)化技術：代理模型：貝葉斯優(yōu)化與高斯過程

空氣動力學優(yōu)化技術：代理模型：貝葉斯優(yōu)化與高斯過程1空氣動力學優(yōu)化的重要性空氣動力學優(yōu)化在航空工程中扮演著至關重要的角色，它旨在通過改進飛行器的氣動性能，如提升升力、減少阻力、增強穩(wěn)定性和控制性，來提高飛行效率和安全性。傳統(tǒng)上，這種優(yōu)化依賴于風洞測試和數(shù)值模擬，但這些方法往往耗時且成本高昂。因此，開發(fā)更高效、更經(jīng)濟的優(yōu)化技術成為研究的熱點。1.1傳統(tǒng)方法的局限性風洞測試：雖然能提供精確的氣動數(shù)據(jù)，但每次測試都需要大量的時間和資源。數(shù)值模擬：如CFD（計算流體動力學）模擬，雖然可以減少物理測試的次數(shù)，但計算成本仍然很高，尤其是在高維設計空間中。1.2優(yōu)化的挑戰(zhàn)設計空間的復雜性：空氣動力學設計涉及多個參數(shù)，如翼型、翼展、攻角等，形成一個高維的優(yōu)化空間。評估的高成本：每次評估設計的氣動性能都需要進行昂貴的物理實驗或數(shù)值模擬。2代理模型在空氣動力學中的應用代理模型是一種數(shù)學工具，用于近似復雜的物理模型或仿真結(jié)果，從而在優(yōu)化過程中減少計算成本。在空氣動力學領域，代理模型可以快速預測不同設計參數(shù)下的氣動性能，使優(yōu)化過程更加高效。2.1代理模型的類型多項式回歸：通過擬合多項式函數(shù)來近似氣動性能。徑向基函數(shù)（RBF）：使用徑向基函數(shù)網(wǎng)絡來構(gòu)建代理模型。Kriging模型：基于高斯過程的代理模型，能提供預測的不確定性估計。2.2高斯過程（GP）作為代理模型高斯過程是一種強大的統(tǒng)計學習方法，用于構(gòu)建從有限數(shù)據(jù)點到連續(xù)函數(shù)的代理模型。在空氣動力學優(yōu)化中，GP可以基于少量的CFD模擬或風洞測試結(jié)果，預測整個設計空間的氣動性能。2.2.1GP的數(shù)學基礎高斯過程定義為一個隨機過程，其中任何有限數(shù)量的點的聯(lián)合分布都是多維高斯分布。GP由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)（或核函數(shù)）定義，用于捕獲數(shù)據(jù)點之間的相關性。2.2.2核函數(shù)的選擇平方指數(shù)核：kMatérn核：k2.3貝葉斯優(yōu)化貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于評估成本高的黑盒函數(shù)。它結(jié)合了代理模型（如高斯過程）和獲取函數(shù)（acquisitionfunction）來指導優(yōu)化過程。2.3.1貝葉斯優(yōu)化流程初始化：選擇一些初始設計點進行評估。構(gòu)建代理模型：使用高斯過程擬合已評估的設計點。優(yōu)化獲取函數(shù)：基于代理模型預測和不確定性，選擇下一個設計點進行評估。更新模型：將新評估的設計點加入模型，重復步驟2和3，直到達到預定的迭代次數(shù)或滿足停止條件。2.3.2獲取函數(shù)概率改善（PI）：選擇最有可能改善當前最優(yōu)解的設計點。期望改善（EI）：選擇預期改善程度最大的設計點。上界置信度（UCB）：平衡探索和開發(fā)，選擇具有高預測值和高不確定性的設計點。3示例：使用高斯過程進行空氣動力學優(yōu)化假設我們正在優(yōu)化一個翼型的升力系數(shù)，設計空間由兩個參數(shù)組成：攻角（α）和翼型厚度（t）。我們使用高斯過程作為代理模型，期望改善（EI）作為獲取函數(shù)。importnumpyasnp

fromscipy.statsimportnorm

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#設計空間

alpha=np.linspace(0,20,100)

t=np.linspace(0.1,0.5,100)

alpha,t=np.meshgrid(alpha,t)

X=np.c_[alpha.ravel(),t.ravel()]

#假設的升力系數(shù)數(shù)據(jù)

y=np.sin(alpha*np.pi/180)*(1-t)+np.random.normal(0,0.01,alpha.size)

#構(gòu)建高斯過程模型

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

gp.fit(X,y)

#定義獲取函數(shù)

defacquisition_function(x,gp,xi=0.01):

mu,sigma=gp.predict(x,return_std=True)

z=(mu-np.max(y)-xi)/sigma

return(mu-np.max(y)-xi)*norm.cdf(z)+sigma*norm.pdf(z)

#優(yōu)化獲取函數(shù)

x_next=X[np.argmax(acquisition_function(X,gp))]

print("Nextpointtoevaluate:",x_next)在這個例子中，我們首先定義了設計空間和假設的升力系數(shù)數(shù)據(jù)。然后，我們使用徑向基函數(shù)（RBF）核構(gòu)建了一個高斯過程模型，并用數(shù)據(jù)擬合了模型。最后，我們定義了期望改善（EI）獲取函數(shù)，并找到了下一個最值得評估的設計點。4結(jié)論通過使用代理模型如高斯過程和貝葉斯優(yōu)化，空氣動力學設計的優(yōu)化過程可以顯著加速，同時保持較高的預測精度。這種方法特別適用于評估成本高、設計空間復雜的情況，為航空工程的創(chuàng)新提供了有力的工具。5高斯過程基礎5.1高斯過程的數(shù)學基礎高斯過程(GaussianProcess,GP)是一種概率模型，用于描述函數(shù)的分布。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型不同，高斯過程不僅預測函數(shù)的輸出值，還提供輸出值的不確定性估計。在數(shù)學上，高斯過程可以被看作是多維高斯分布的無限維擴展。5.1.1高斯分布高斯分布，也稱為正態(tài)分布，由均值μ和方差σ2定義。對于多維高斯分布，我們有均值向量μ和協(xié)方差矩陣Σp對于多維情況，公式變?yōu)椋簆5.1.2高斯過程高斯過程定義為一個隨機過程，其中任何有限個點的集合都服從多維高斯分布。高斯過程由均值函數(shù)mx和協(xié)方差函數(shù)kx,mk其中fx是高斯過程在點x5.1.3示例：一維高斯過程假設我們有一個一維高斯過程，其均值函數(shù)為0，協(xié)方差函數(shù)為平方指數(shù)核函數(shù)。我們可以使用Python的scikit-learn庫來生成和可視化這個高斯過程。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#定義核函數(shù)

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

#創(chuàng)建高斯過程回歸器

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

#生成輸入數(shù)據(jù)

X=np.linspace(0,20,100).reshape(-1,1)

#生成隨機輸出數(shù)據(jù)

y=np.sin(X).ravel()

#擬合高斯過程模型

gp.fit(X,y)

#預測

y_pred,sigma=gp.predict(X,return_std=True)

#可視化

plt.figure()

plt.plot(X,y,'r:',label=u'$f(x)=\sin(x)$')

plt.plot(X,y_pred,'b-',label=u'Prediction')

plt.fill(np.concatenate([X,X[::-1]]),

np.concatenate([y_pred-1.9600*sigma,

(y_pred+1.9600*sigma)[::-1]]),

alpha=.5,fc='b',ec='None',label='95%confidenceinterval')

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel('$f(x)$')

plt.ylim(-4,4)

plt.legend(loc='upperleft')

plt.show()這段代碼首先定義了一個平方指數(shù)核函數(shù)，然后使用這個核函數(shù)創(chuàng)建了一個高斯過程回歸器。接著，它生成了一組輸入數(shù)據(jù)，并使用正弦函數(shù)生成了相應的輸出數(shù)據(jù)。模型被擬合到這些數(shù)據(jù)點上，然后對整個輸入范圍進行了預測。最后，代碼可視化了預測結(jié)果以及95%的置信區(qū)間。5.2協(xié)方差函數(shù)與核函數(shù)協(xié)方差函數(shù)，也稱為核函數(shù)，是高斯過程的核心組成部分。它定義了輸入空間中任意兩點之間的相似性，從而決定了高斯過程的形狀和特性。常見的核函數(shù)包括平方指數(shù)核、多項式核、線性核等。5.2.1平方指數(shù)核函數(shù)平方指數(shù)核函數(shù)是最常用的核函數(shù)之一，它定義為：k其中σ2是信號方差，l5.2.2示例：平方指數(shù)核函數(shù)我們可以使用Python的scikit-learn庫中的RBF核函數(shù)來實現(xiàn)平方指數(shù)核函數(shù)。fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF

#定義平方指數(shù)核函數(shù)

kernel=RBF(length_scale=1.0,length_scale_bounds=(1e-2,1e2))

#生成輸入數(shù)據(jù)

X=np.linspace(0,5,10).reshape(-1,1)

#計算核矩陣

K=kernel(X)

#可視化核矩陣

plt.imshow(K,cmap='hot',interpolation='nearest')

plt.colorbar()

plt.title('RBFKernelMatrix')

plt.show()這段代碼定義了一個平方指數(shù)核函數(shù)，并生成了一組輸入數(shù)據(jù)。然后，它計算了輸入數(shù)據(jù)之間的核矩陣，并使用熱圖進行了可視化。核矩陣的值反映了輸入點之間的相似性，值越大表示相似度越高。5.3高斯過程回歸詳解高斯過程回歸是一種非參數(shù)回歸方法，它使用高斯過程來預測函數(shù)的輸出值。與傳統(tǒng)的回歸方法不同，高斯過程回歸不僅提供預測值，還提供預測值的不確定性估計，這對于優(yōu)化和決策問題尤為重要。5.3.1高斯過程回歸的數(shù)學原理給定訓練數(shù)據(jù)集{xi,yiμσ其中X*是新數(shù)據(jù)點，KX,X是訓練數(shù)據(jù)點之間的協(xié)方差矩陣，kX5.3.2示例：高斯過程回歸我們可以使用Python的scikit-learn庫中的GaussianProcessRegressor類來實現(xiàn)高斯過程回歸。importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#定義核函數(shù)

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

#創(chuàng)建高斯過程回歸器

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

#生成訓練數(shù)據(jù)

X_train=np.array([[1.0],[3.0],[5.0],[6.0],[7.0],[8.0],[9.0]])

y_train=np.sin(X_train).ravel()

#擬合模型

gp.fit(X_train,y_train)

#生成測試數(shù)據(jù)

X_test=np.linspace(0,10,100).reshape(-1,1)

#預測

y_pred,sigma=gp.predict(X_test,return_std=True)

#可視化

plt.figure()

plt.scatter(X_train,y_train,color='r',label='TrainingData')

plt.plot(X_test,y_pred,'b-',label='Prediction')

plt.fill(np.concatenate([X_test,X_test[::-1]]),

np.concatenate([y_pred-1.9600*sigma,

(y_pred+1.9600*sigma)[::-1]]),

alpha=.5,fc='b',ec='None',label='95%confidenceinterval')

plt.xlabel('$x$')

plt.ylabel('$f(x)$')

plt.legend(loc='upperleft')

plt.show()這段代碼首先定義了一個平方指數(shù)核函數(shù)，然后使用這個核函數(shù)創(chuàng)建了一個高斯過程回歸器。接著，它生成了一組訓練數(shù)據(jù)，并使用正弦函數(shù)生成了相應的輸出數(shù)據(jù)。模型被擬合到這些數(shù)據(jù)點上，然后對測試數(shù)據(jù)進行了預測。最后，代碼可視化了預測結(jié)果以及95%的置信區(qū)間，同時顯示了訓練數(shù)據(jù)點。6貝葉斯優(yōu)化原理6.1貝葉斯優(yōu)化框架貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于優(yōu)化昂貴的黑盒函數(shù)，如空氣動力學設計中的性能評估。其核心思想是使用概率模型（如高斯過程）來近似目標函數(shù)，并通過獲取函數(shù)（acquisitionfunction）來指導搜索過程，以最小化評估次數(shù)找到全局最優(yōu)解。6.1.1高斯過程高斯過程（GaussianProcess,GP）是一種非參數(shù)的貝葉斯方法，用于對函數(shù)進行建模。它假設函數(shù)值的分布是高斯分布，可以提供函數(shù)值的預測以及預測的不確定性。在貝葉斯優(yōu)化中，GP作為代理模型，用于估計目標函數(shù)的形狀和不確定性。GP的數(shù)學描述給定輸入空間X和輸出空間Y，高斯過程定義為一個隨機過程，其中任何有限輸入集的輸出都服從多維高斯分布。形式上，如果對于所有有限的輸入集x={xf其中μx是均值函數(shù)，Σx是協(xié)方差矩陣，由核函數(shù)（kernelfunction）核函數(shù)核函數(shù)是高斯過程的關鍵組成部分，它定義了輸入點之間的相似性。常見的核函數(shù)包括徑向基函數(shù)（RadialBasisFunction,RBF）、Matérn核、周期核等。例如，RBF核函數(shù)定義為k其中l(wèi)是長度尺度參數(shù)，控制輸入點之間的相似性隨距離增加而減少的速度。6.1.2貝葉斯優(yōu)化流程初始化：選擇一些初始點進行評估。建模：使用高斯過程擬合已評估點的數(shù)據(jù)。獲取函數(shù)：基于GP模型，計算獲取函數(shù)以確定下一個評估點。評估：在選定的點上評估目標函數(shù)。更新：將新評估點的數(shù)據(jù)加入模型，重復步驟2至4，直到達到停止條件。6.2獲取函數(shù)的定義與選擇獲取函數(shù)是貝葉斯優(yōu)化中用于量化探索與利用之間的權衡的工具。它基于當前的GP模型，計算每個未評估點的“吸引力”，以指導搜索過程。常見的獲取函數(shù)包括概率改善（ProbabilityofImprovement,PI）、期望改善（ExpectedImprovement,EI）和上界置信區(qū)間（UpperConfidenceBound,UCB）。6.2.1期望改善（EI）期望改善是最常用的獲取函數(shù)之一，它定義為E其中fx+是當前已知的最佳函數(shù)值，fxEI函數(shù)的計算假設GP模型給出的預測為Nμx,E其中Φ和?分別是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。6.2.2上界置信區(qū)間（UCB）上界置信區(qū)間獲取函數(shù)試圖在當前預測值的基礎上增加一個置信區(qū)間，以鼓勵探索不確定性較高的區(qū)域。UCB定義為U其中βt是一個隨時間變化的參數(shù)，通常設置為26.3貝葉斯優(yōu)化在高維空間的應用在高維空間中，貝葉斯優(yōu)化面臨的主要挑戰(zhàn)是“維數(shù)災難”，即隨著輸入維度的增加，搜索空間迅速膨脹，導致優(yōu)化效率下降。為了解決這個問題，可以采用以下策略：維度降解：通過主成分分析（PCA）等方法減少輸入空間的維度。稀疏高斯過程：使用稀疏近似方法來減少計算復雜度。并行貝葉斯優(yōu)化：同時評估多個點，以加速搜索過程。6.3.1稀疏高斯過程稀疏高斯過程通過引入“誘導點”（inducingpoints）來減少計算復雜度。誘導點是一組選定的輸入點，用于近似整個輸入空間的GP模型。這種方法可以顯著減少在高維空間中進行貝葉斯優(yōu)化的計算成本。6.3.2并行貝葉斯優(yōu)化并行貝葉斯優(yōu)化允許同時評估多個點，從而加速搜索過程。這在高維空間中尤為重要，因為評估每個點的成本可能非常高。并行策略通常涉及修改獲取函數(shù)，以同時考慮多個點的評估。并行EI函數(shù)并行EI函數(shù)可以定義為E其中x={x6.3.3代碼示例：使用GPy進行貝葉斯優(yōu)化importnumpyasnp

importGPy

fromGPyOpt.methodsimportBayesianOptimization

#定義目標函數(shù)

defobjective(x):

returnnp.sin(3*x)+0.5*np.cos(1.5*x)+0.5*x

#定義邊界

bounds=[{'name':'x','type':'continuous','domain':(0,5)}]

#創(chuàng)建高斯過程模型

kernel=GPy.kern.RBF(input_dim=1)

model=GPy.models.GPRegression(np.random.uniform(0,5,(10,1)),objective(np.random.uniform(0,5,(10,1))))

#定義貝葉斯優(yōu)化

optimizer=BayesianOptimization(f=objective,domain=bounds,model=model)

#運行優(yōu)化

optimizer.run_optimization(max_iter=25)

#輸出最優(yōu)解

print("Optimalvaluefoundat:",optimizer.x_opt)

print("Optimalfunctionvalue:",optimizer.fx_opt)在這個例子中，我們使用了GPy庫來構(gòu)建高斯過程模型，并使用GPyOpt庫來執(zhí)行貝葉斯優(yōu)化。目標函數(shù)是一個簡單的數(shù)學函數(shù)，用于演示優(yōu)化過程。通過調(diào)整參數(shù)和使用更復雜的核函數(shù)，可以將這種方法應用于更復雜的空氣動力學優(yōu)化問題。6.4結(jié)論貝葉斯優(yōu)化結(jié)合了高斯過程的預測能力和獲取函數(shù)的指導作用，是一種有效的全局優(yōu)化方法，尤其適用于昂貴的黑盒函數(shù)優(yōu)化。通過合理選擇獲取函數(shù)和采用高維空間優(yōu)化策略，可以有效地應用于空氣動力學設計等復雜問題的優(yōu)化。7空氣動力學中的代理模型7.1構(gòu)建空氣動力學代理模型在空氣動力學領域，代理模型（SurrogateModel）被廣泛應用于復雜流體動力學問題的快速求解與優(yōu)化設計中。傳統(tǒng)的CFD（ComputationalFluidDynamics）模擬雖然精確，但計算成本高，耗時長，而代理模型則通過學習少量高精度數(shù)據(jù)，構(gòu)建出近似模型，以較低的計算成本進行預測和優(yōu)化。7.1.1高斯過程（GaussianProcess）高斯過程是一種非參數(shù)的貝葉斯方法，用于回歸和分類任務。在空氣動力學優(yōu)化中，高斯過程可以用來構(gòu)建從設計參數(shù)到性能指標（如升力、阻力）的代理模型。原理高斯過程假設所有觀測點的輸出遵循一個聯(lián)合高斯分布。給定輸入空間X和輸出空間Y，高斯過程通過定義一個均值函數(shù)mx和協(xié)方差函數(shù)k代碼示例假設我們有從CFD模擬得到的升力系數(shù)數(shù)據(jù)，我們將使用高斯過程構(gòu)建一個代理模型。importnumpyasnp

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportRBF,ConstantKernelasC

#假設數(shù)據(jù)

X=np.atleast_2d([0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]).T#設計參數(shù)，例如攻角

y=np.array([0.5,0.7,0.8,0.6,0.4])#升力系數(shù)

#定義高斯過程的核函數(shù)

kernel=C(1.0,(1e-3,1e3))*RBF(10,(1e-2,1e2))

#創(chuàng)建并訓練高斯過程模型

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,n_restarts_optimizer=9)

gp.fit(X,y)

#預測新的設計參數(shù)

X_new=np.atleast_2d([0.35]).T

y_pred,sigma=gp.predict(X_new,return_std=True)

print(f"預測升力系數(shù):{y_pred[0]},預測標準差:{sigma[0]}")7.1.2貝葉斯優(yōu)化（BayesianOptimization）貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于高成本的黑盒函數(shù)優(yōu)化。在空氣動力學設計中，貝葉斯優(yōu)化可以用來尋找最優(yōu)的設計參數(shù)，而無需進行大量的CFD模擬。原理貝葉斯優(yōu)化使用高斯過程作為代理模型，通過定義一個獲取函數(shù)（AcquisitionFunction）來決定下一次采樣的位置。常見的獲取函數(shù)有概率改善（ProbabilityofImprovement,PI）、期望改善（ExpectedImprovement,EI）和上界置信區(qū)間（UpperConfidenceBound,UCB）。代碼示例使用貝葉斯優(yōu)化尋找最優(yōu)的攻角，以最大化升力系數(shù)。frombayes_optimportBayesianOptimization

#定義優(yōu)化函數(shù)

defblack_box_function(x):

#這里應該是CFD模擬的調(diào)用，但為了示例，我們使用一個簡單的函數(shù)

return-x**2+5*x

#創(chuàng)建貝葉斯優(yōu)化對象

optimizer=BayesianOptimization(

f=black_box_function,

pbounds={"x":(0,5)},

random_state=1,

)

#進行優(yōu)化

optimizer.maximize(init_points=2,n_iter=30)

#輸出最優(yōu)參數(shù)和對應的升力系數(shù)

print(f"最優(yōu)攻角:{optimizer.max['params']['x']},最大升力系數(shù):{-optimizer.max['target']}")7.2模型驗證與誤差分析構(gòu)建代理模型后，驗證模型的準確性和分析誤差是至關重要的步驟。這通常通過比較代理模型預測值與實際CFD模擬值來完成。7.2.1驗證方法交叉驗證（Cross-Validation）：將數(shù)據(jù)集分為訓練集和測試集，用訓練集構(gòu)建模型，用測試集評估模型的泛化能力。誤差指標：使用均方誤差（MeanSquaredError,MSE）、平均絕對誤差（MeanAbsoluteError,MAE）等指標來量化預測誤差。7.2.2代碼示例使用交叉驗證評估高斯過程模型的性能。fromsklearn.model_selectionimportcross_val_score

#使用交叉驗證評估模型

scores=cross_val_score(gp,X,y,cv=5,scoring='neg_mean_squared_error')

mse_scores=-scores

print(f"均方誤差:{mse_scores.mean()}")7.3代理模型在設計優(yōu)化中的作用代理模型在設計優(yōu)化中扮演著關鍵角色，它們可以快速評估設計空間中的不同點，從而加速優(yōu)化過程。7.3.1優(yōu)化流程數(shù)據(jù)采集：通過CFD模擬或?qū)嶒灚@取少量設計點的數(shù)據(jù)。模型構(gòu)建：使用高斯過程或其它方法構(gòu)建代理模型。優(yōu)化搜索：使用貝葉斯優(yōu)化或其它全局優(yōu)化算法在設計空間中搜索最優(yōu)參數(shù)。模型更新：根據(jù)優(yōu)化過程中新采集的數(shù)據(jù)更新代理模型。結(jié)果驗證：通過CFD模擬或?qū)嶒烌炞C優(yōu)化結(jié)果的準確性。7.3.2代碼示例結(jié)合高斯過程和貝葉斯優(yōu)化進行設計優(yōu)化。#更新數(shù)據(jù)集

X=np.vstack([X,X_new])

y=np.append(y,black_box_function(X_new))

#更新模型

gp.fit(X,y)

#重新優(yōu)化

optimizer=BayesianOptimization(

f=black_box_function,

pbounds={"x":(0,5)},

random_state=1,

gp=gp

)

optimizer.maximize(init_points=2,n_iter=30)

#輸出更新后的最優(yōu)參數(shù)和升力系數(shù)

print(f"更新后的最優(yōu)攻角:{optimizer.max['params']['x']},最大升力系數(shù):{-optimizer.max['target']}")通過上述步驟，我們可以有效地利用代理模型進行空氣動力學設計的優(yōu)化，減少CFD模擬的次數(shù)，提高設計效率。8貝葉斯優(yōu)化在空氣動力學中的應用8.1貝葉斯優(yōu)化的參數(shù)設置貝葉斯優(yōu)化是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于優(yōu)化昂貴的黑盒函數(shù)，如空氣動力學中的CFD（計算流體動力學）模擬。在貝葉斯優(yōu)化中，關鍵參數(shù)包括：高斯過程（GP）的核函數(shù)：核函數(shù)定義了函數(shù)的平滑性和相關性。常用的核函數(shù)有徑向基函數(shù)（RBF）、Matérn核等。例如，使用RBF核函數(shù)時，其參數(shù)length_scale控制著輸入空間中點的相似度，noise參數(shù)則控制著觀測噪聲的大小。獲取函數(shù)（AcquisitionFunction）：獲取函數(shù)用于量化未觀測點的吸引力，常見的有UCB（UpperConfidenceBound）、EI（ExpectedImprovement）和PI（ProbabilityofImprovement）。例如，使用EI作為獲取函數(shù)時，它衡量了新點相對于當前最優(yōu)解的預期改進。初始化點：優(yōu)化開始時，需要隨機或通過設計實驗方法選擇一些點進行初始觀測，以構(gòu)建GP模型。優(yōu)化迭代次數(shù)：決定了貝葉斯優(yōu)化的運行時間，通?；陬A算或收斂條件設定。8.1.1示例代碼：貝葉斯優(yōu)化參數(shù)設置frombayes_optimportBayesianOptimization

fromsklearn.gaussian_process.kernelsimportMatern

fromsklearn.gaussian_processimportGaussianProcessRegressor

#定義目標函數(shù)

defobjective_function(x1,x2):

#這里應替換為實際的CFD模擬函數(shù)

return-x1**2-(x2-1)**2+1

#初始化高斯過程模型

kernel=Matern(length_scale=1.0,length_scale_bounds=(1e-1,10.0),nu=2.5)

gp=GaussianProcessRegressor(kernel=kernel,alpha=1e-6)

#貝葉斯優(yōu)化器設置

optimizer=BayesianOptimization(

f=objective_function,

pbounds={"x1":(-2,2),"x2":(-2,2)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#運行優(yōu)化

optimizer.maximize(init_points=5,n_iter=25,acq="ei")8.2優(yōu)化過程中的探索與開發(fā)平衡在貝葉斯優(yōu)化中，探索（Exploration）與開發(fā)（Exploitation）的平衡至關重要。探索指的是尋找可能包含全局最優(yōu)解的新區(qū)域，而開發(fā)則是對已知有高收益的區(qū)域進行更詳細的搜索。獲取函數(shù)的選擇直接影響了這一平衡。UCB：通過設置一個參數(shù)beta來控制探索與開發(fā)的平衡，較大的beta值鼓勵探索，較小的值則傾向于開發(fā)。EI：自然地傾向于開發(fā)，但通過高斯過程的不確定性來促進探索。PI：與EI類似，但更直接地衡量新點優(yōu)于當前最優(yōu)解的概率。8.2.1示例代碼：探索與開發(fā)平衡frombayes_optimportBayesianOptimization

frombayes_opt.utilimportload_logs

#定義獲取函數(shù)為UCB

optimizer=BayesianOptimization(

f=objective_function,

pbounds={"x1":(-2,2),"x2":(-2,2)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#設置UCB參數(shù)

optimizer.set_gp_params(alpha=1e-6,kernel=kernel)

optimizer.maximize(init_points=5,n_iter=25,acq="ucb",kappa=2.576)

#加載歷史觀測數(shù)據(jù)，以促進開發(fā)

load_logs(optimizer,logs=["previous_optimization_logs.json"])8.3案例研究：翼型設計優(yōu)化在空氣動力學中，翼型設計是一個復雜的多變量優(yōu)化問題。貝葉斯優(yōu)化可以有效地搜索設計空間，找到具有最佳升阻比的翼型參數(shù)。8.3.1翼型參數(shù)前緣半徑：影響翼型的前端形狀。后緣厚度：影響翼型的尾部形狀。最大厚度位置：控制翼型厚度分布的位置。最大彎度位置：控制翼型彎度分布的位置。8.3.2示例代碼：翼型設計優(yōu)化importnumpyasnp

fromscipy.ioimportloadmat

frombayes_optimportBayesianOptimization

#加載CFD模擬數(shù)據(jù)

data=loadmat("aerodynamic_data.mat")

X=data["X"]

y=data["y"]

#定義目標函數(shù)，使用CFD模擬數(shù)據(jù)

defaerodynamic_objective(front_radius,rear_thickness,max_thickness_pos,max_curvature_pos):

#這里應使用實際的CFD模擬函數(shù)，此處簡化為直接返回y值

returny[np.argwhere((X[:,0]==front_radius)&(X[:,1]==rear_thickness)&

(X[:,2]==max_thickness_pos)&(X[:,3]==max_curvature_pos))[0][0]]

#貝葉斯優(yōu)化器設置

optimizer=BayesianOptimization(

f=aerodynamic_objective,

pbounds={"front_radius":(0.1,0.5),"rear_thickness":(0.01,0.1),

"max_thickness_pos":(0.2,0.8),"max_curvature_pos":(0.2,0.8)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#運行優(yōu)化

optimizer.maximize(init_points=10,n_iter=50,acq="ei")

#輸出最優(yōu)解

print(optimizer.max)8.3.3數(shù)據(jù)樣例假設aerodynamic_data.mat文件包含以下數(shù)據(jù)：#aerodynamic_data.mat內(nèi)容示例

X=np.array([[0.1,0.01,0.2,0.2],

[0.2,0.02,0.3,0.3],

[0.3,0.03,0.4,0.4],

...,

[0.5,0.1,0.8,0.8]])

y=np.array([0.9,1.2,1.5,...,2.0])在這個示例中，X是一個包含翼型設計參數(shù)的矩陣，每一行代表一個設計點，y是一個包含對應升阻比的向量。貝葉斯優(yōu)化器將使用這些數(shù)據(jù)來構(gòu)建高斯過程模型，并尋找最優(yōu)的翼型設計參數(shù)。9高級主題與挑戰(zhàn)9.1高斯過程的擴展：多任務學習9.1.1原理高斯過程(GaussianProcess,GP)是一種強大的非參數(shù)貝葉斯方法，用于回歸和分類任務。在傳統(tǒng)的GP中，我們通常關注單一輸出的預測。然而，在許多實際應用中，我們可能需要同時預測多個相關的輸出，例如在空氣動力學優(yōu)化中，可能需要同時優(yōu)化升力和阻力。多任務學習(Multi-taskLearning,MTL)擴展了GP，允許模型在多個相關任務之間共享信息，從而提高預測性能。9.1.2內(nèi)容在多任務GP中，我們假設每個任務的輸出都由一個潛在的高斯過程生成，這些過程之間通過一個共同的協(xié)方差函數(shù)相關聯(lián)。這種設置允許我們利用任務之間的相關性，即使某些任務的數(shù)據(jù)較少，也能通過其他任務的數(shù)據(jù)來增強預測。示例代碼假設我們有兩個相關任務，每個任務都有不同的輸入數(shù)據(jù)集，但共享相同的輸入特征。我們將使用GPy庫來實現(xiàn)一個多任務GP模型。importnumpyasnp

importGPy

#生成示例數(shù)據(jù)

X1=np.random.rand(10,1)*10

X2=np.random.rand(15,1)*10

Y1=np.sin(X1).ravel()

Y2=np.sin(X2).ravel()+np.cos(X2).ravel()

#將數(shù)據(jù)組合成多任務格式

X=np.vstack((X1,X2))

Y=np.vstack((Y1[:,None],Y2[:,None]))

#創(chuàng)建多任務GP模型

kern=GPy.kern.RBF(input_dim=1,ARD=True)+GPy.kern.Coregion(input_dim=1,rank=1)

model=GPy.models.GPRegression(X,Y,kernel=kern)

#設置任務標識

model.kern.coregion.W=np.array([[1],[1]])

model.kern.coregion.kappa=np.array([1,1])

#優(yōu)化模型參數(shù)

model.optimize()

#預測

Xtest=np.linspace(0,10,100)[:,None]

Ypred,Yvar=model.predict(Xtest)9.1.3解釋在上述代碼中，我們首先生成了兩個任務的數(shù)據(jù)集X1,Y1和X2,Y2。然后，我們使用GPy庫創(chuàng)建了一個多任務GP模型，其中kern是協(xié)方差函數(shù)，包括一個徑向基函數(shù)(RBF)和一個核心區(qū)域(Coregion)函數(shù)。核心區(qū)域函數(shù)允許我們指定任務之間的相關性。最后，我們優(yōu)化模型參數(shù)并進行預測。9.2貝葉斯優(yōu)化的并行化9.2.1原理貝葉斯優(yōu)化(BayesianOptimization,BO)是一種全局優(yōu)化方法，特別適用于高成本的黑盒函數(shù)。在傳統(tǒng)的BO中，每次迭代只評估一個點，這在評估成本高時可能效率低下。并行化貝葉斯優(yōu)化允許同時評估多個點，從而加速優(yōu)化過程。9.2.2內(nèi)容并行化BO的關鍵在于選擇一組點進行同時評估，這通常通過多目標優(yōu)化或通過設計特定的采樣策略來實現(xiàn)。例如，可以使用“最大最小后驗優(yōu)化”(MaximumExpectedMinimumAcquisition,MEM)或“知識梯度”(KnowledgeGradient,KG)策略來選擇一組點。示例代碼使用BayesOpt庫實現(xiàn)并行化貝葉斯優(yōu)化。frombayes_optimportBayesianOptimization

frombayes_opt.utilimportload_logs

frommultiprocessingimportPool

#定義目標函數(shù)

defblack_box_function(x):

return-x**2+5*x

#創(chuàng)建并行化BO實例

optimizer=BayesianOptimization(

f=black_box_function,

pbounds={"x":(2,4)},

verbose=2,

random_state=1,

)

#并行化評估

defworker(x):

returnbe(

params={"x":x},

lazy=True,

)

#使用多進程池

pool=Pool(4)

pool.map(worker,[3.2,2.1,4.0,2.5])

#更新優(yōu)化器

optimizer.maximize(init_points=0,n_iter=10)

#輸出最佳參數(shù)

print(optimizer.max)9.2.3解釋在示例代碼中，我們定義了一個簡單的黑盒函數(shù)black_box_function。然后，我們創(chuàng)建了一個BayesianOptimization實例，并定義了參數(shù)邊界。我們使用multiprocessing.Pool來并行化評估多個點，通過worker函數(shù)將參數(shù)傳遞給優(yōu)化器。最后，我們更新優(yōu)化器并輸出找到的最佳參數(shù)。9.3處理非高斯噪聲的策略9.3.1原理在高斯過程回歸中，通常假設噪聲是高斯分布的。然而，在實際應用中，噪聲可能不符合高