全等三角形旋轉(zhuǎn)模型（解析版） -2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

備戰(zhàn)2021年中考復(fù)習(xí)重難點(diǎn)與壓軸題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題04全等三角形旋轉(zhuǎn)模型

【專題訓(xùn)練】

一、解答題

I.（2020?遼寧沈陽(yáng)市?中考真題）在^ABC中，A8=AC,N8AC=a,點(diǎn)尸為線段C4延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接

將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為。，得到線段PO,連接￡>8,￡>C.

（1）如圖，當(dāng)a=600時(shí)，

①求證：PA—DC■

②求NDCP的度數(shù)：

（2）如圖2,當(dāng)。=120。時(shí)，請(qǐng)直接寫出Q4和0c的數(shù)量關(guān)系為；

（3）當(dāng)a=120°時(shí)，若=6,BP=歷時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。到CP的距離為.

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②60°；（2）DC=&PA；（3）立或述.

22

【分析】

（I）①通過(guò)證明△PBA/ADBC即可得證：②根據(jù)△P84/△DBC得到

/BCD=ZBAP=180°-ABAC=120°,故ZDCP=ZDCB-ZACB即可求解

（2）通過(guò)證明△73A3S/\￡）C8,對(duì)應(yīng)線段成比例可得==￡二=＞二；

DCCB3

（3）分兩種情形，解直角-:角形求出AD即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：（1）①證明：.NWC=NBP￡）=a=60°，AB^AC-PB=PD，

：.UABC與都是等邊三角形，

/PBD=ZABC=60。.BA=BC，BP=BD，

/PBD-ZABD=ZABC—ZABD，即NPBA=NDBC，

APBA^/XDBC,

PA=DC：

②MBQADBC，

/PAB=NDCB，

ZBAC=60°.

ABCD=ZBAP=1800-ABAC=120°-

□ABC足等邊三角形，

ZACB=60°.

ZDCP=ZDCB-ZACB=60°：

（2）.ZBP￡）=ZABC=120°，AB=AC，PB=PD-

NPBD=ZABC=30"—=—=^,

DBCB3

ZPBD+ZABD=ZABC+ZABD即NPBA=NDBC，

APABS^DCB，

&_=四="即。。=舟兒

DCCB3

故答案為：DC=&A

（3）過(guò)點(diǎn)。作ZW_LPC于M，過(guò)點(diǎn)B作5NLCP交CP的延長(zhǎng)線于N.

如圖3-1中,當(dāng)［JPBA是鈍角三角形時(shí),

圖3-1

在Rt^ABN中，???〃=90°,AB=6ZB/W=60°，

.-./W=AB-cos60°=3,BN=AB-sin60°=35

VPN=yJPB2-BN2=x/31-27=2，

7^4=3—2=1,

由(2)可知，CD=&A=6,

-ZBAP=ZBDC

ZDCA=^PBD=30°^

?.?DM工PC，

iG

：.DM=-CD=—

22

如圖3—2中，當(dāng)DABN是銳角三角形時(shí)，同法可得R4=2=3=5,CD=5?DM=gcD=當(dāng),

D

圖3-2

綜上所述，滿足條件的DM的值為正或亞.

22

22

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題.

2.(2020?重慶中考真題)△ABC為等邊三角形，A8=8,4D_LBC于點(diǎn)。，E為線段上一點(diǎn)，AE=2>/§.以AE為邊在

直線AO右側(cè)構(gòu)造等邊三角形4EF,連接CE,N為CE的中點(diǎn).

(1)如圖1,EF與AC交于點(diǎn)G,連接NG,求線段NG的長(zhǎng)；

(2)如圖2,將AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為,a,M為線段EF的中點(diǎn)，連接ON,MN.當(dāng)3(TVa<120,時(shí)，猜想NDNM

的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；

(3)連接BM在A4E尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段BN最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出AAON的面積.

S△

Az

BDCBDCBC

圖1圖2備用圖

【答案】(1)NG=J7；(2)N￡WM的為定值120。，證明見(jiàn)詳解；(3)A4N。的面積為76

【分析】

(1)證明NCGE=90。，求出￡>E=2j§，EC=2j7,根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可求解：

(2)證明BEWDN,MNWCF,△ABE^△ACF,得到因此/DGC=4BHC,ZENM=4ECF,ZABE=ZACF,通過(guò)角的代換

即可求解：

(3)取AC中點(diǎn)P,因?yàn)锽P+PNZBN,所以當(dāng)B、P、N在?直線上，BN最大.求出8%=5行，設(shè)BP與A。交于O,NQLAD

7

于。，根據(jù)△CWQSAOB。，可求得NQ=—,問(wèn)題得解.

2

【詳解】

解：(1)；&ABC為等邊三角形，4B=8,ADLBC于點(diǎn)D,

ZDAC=30",CD=-BC=4.

2

AD=\lAC2-CD2=45/3，

DE=AD-AE=26，

CE=y]DE2+CD2=277,

???三角形AEF是等邊三角形，

ZA￡G=60°

NEGC=90。

為CE的中點(diǎn)

NG=-CE=y[i.

2

Si

(2)ZONM的為定值120°.

連CF,BE,BE交AC于H,DN交AC于G,如圖，

:D、N、M分別為3C、CE、EF中點(diǎn)，

.?.ON、MN分別為ABCE、ECF中位線,

BEWDN,MNWCF,

△ABC.△AEF都是等邊三角形，

ABAC=ZEAF=60°

ZBAE=ZCAF

：.△ABE^△ACF.

??.ZDGC=4BHC,ZENM"ECFtZABE=^ACF

又；zBHC=￡ABE+NBAH=NABE+60。，

/.ZDGC=ZAB￡+60°=zACF+600

又「zDGC=ZDNC+Z.GCN=/DNCMACF-/.ECF,ZDNC=60°+NECT=6()°+NENM,

JZ。3180°-/D/VC=I2O0-ZENM,

...zDNM=tDNE包EW=120".

(3)AAM)的面積為76，

如圖，取4C中點(diǎn)P,因?yàn)锽P+PNWBN,所以當(dāng)8、P、N在一直線上，BN最大.

BN=BP+PN=BP+gAE=+6=573

設(shè)BP與A。交于。，NQ_LA。于Q,如圖，

B0=—BP=,0N=,BD=4,

333

由題意得4ONQs△OBD,

7

:.NQ=一,

2

/.△AND的面積為：gxA￡)xN0=7石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，中位線定理，相似等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知圖形變化規(guī)律，根據(jù)題意正確

畫出圖形是解題關(guān)鍵.

3.（2020?遼寧錦州市?中考真題）已知口AQB和△A7ON都是等腰直角三角形—OA<OM<ON

\

ZAOB=AMON=90°.

（1）如圖1：連AM,BN,求證：E]AOM芻1BQN；

（2）若將AMON繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)N恰好在邊上時(shí)，求證：BN2+AN2=2ON2-

②當(dāng)點(diǎn)A",N在同一條直線上時(shí)，若OB=4,ON=3,請(qǐng)直接寫出線段8N的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②廊+3夜或灰-30

22

【分析】

（1）利用SAS定理證明口43/4:30可即正

（2）①連接AM，證明DAOM維BQV，即可證BN2+AN2=2ON2：

②當(dāng)點(diǎn)N在線段4M上時(shí)，連接BN，在H/V4vB中構(gòu)造勾股定理的等量關(guān)系；當(dāng)點(diǎn)例在線段AN上時(shí)，同理即可?求

得.

【詳解】

（1）證明：

即ZAOB=NMON=90°，

ZMON+ZAON=ZAOB+ZAON，

即ZAOM=ZBON.

?.?「MON和口AO3是等腰直角?:角形，

/.OM=ON,OA=OB,

：QAOM^BON.(SAS)

(2)①證明：如圖1,連接AM.

?.?ZAOB=NMON=9d，

：.ZMON-ZAON=ZAOB-ZAON.

即ZAOM=4BON.

?.?□MON和口4。8是等腰直角三角形，

OM=ON,OA=OB,ZOAB=NOBA=45"，

：QAOM^BON.(SAS)

：.ZMAO=NOBA=45°,AM=BN，

/MAN=90°，

:.AM2+AN2^MN2-

:UMON是等腰直角三角形，

MN2=2ON2>

BN2+AN2=2ON2.

②A+3/或標(biāo)-30

22

A

N

0B

溫馨提示：

如圖2,當(dāng)點(diǎn)N在線段AM上時(shí)，連接BN，沒(méi)BN=x.

在RtVANB中,f+（x_30）2=（4&）2,

DKT灰+3夜

2

如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時(shí)，連接BN，、設(shè)BN=x，

在RNANB中,/+（1+3夜）2=（4夜）2

A?zf!nz\/46-3>/2

解得：BN=-------------

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考杳全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，三點(diǎn)共線分類討論，對(duì)幾何題目的綜合把握是解題關(guān)鍵.

4.（2020?遼寧葫蘆島市?中考真題）在等腰［:AOC和等腰△3EC中，ZADC=ABEC=90°，BC〈CD，將

△8EC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接A3,點(diǎn)0為線段A3的中點(diǎn)，連接。。,￡。.

（1）如圖I,當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到8邊上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段。。與￡0的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若BC=4,CD=2&，在△3EC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)NAC8=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OD的

長(zhǎng).

【答案】（1）DO1E0,。。=￡。；（2）成立，證明詳見(jiàn)解析：（3）0D=2或0D=23.

【分析】

3）根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊的?半作答，得出DO=EO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出

ZDOE=2ZDAC=900.從而得出問(wèn)題得解；

（2）方法1：延長(zhǎng)E8交于尸，先證明ZFQB=90°,然后證明△OFD/△08E,最后證NEOD=ZFOB=90°

問(wèn)題得以證明；方法2:延長(zhǎng)EO到M,使得OM=OE,先證口MDE是等腰-：角形，然后證UOAA/gUOBE,再證UMAD

gU/）CE,最后證明UMQE為等腰三角形問(wèn)題得解.

（3）分BC在AC左側(cè)時(shí)和BC在AC右側(cè)兩種情況，畫出對(duì)應(yīng)圖形，求得NECH=30°，根據(jù)含30。角的直角三角形邊

之間的關(guān)系和勾股定理即可求得OE,再結(jié)合（2）可證OZ5_LOE,OD=OE,根據(jù)等腰直角三角形三邊關(guān)系可求得OD.

【詳解】

（1）DOLEO,DO=EO

理由：?.?NADC=N3EC=90°，

.□ADB與口A3E是直角三角形，

,/。是A8的中點(diǎn),

DO=-AB,OE=-AB，

22

OD=OE，

?：OA=OD=OE

..ZDAONADO,ZEAOZAEO.

ZDOB=ZZMO+ZADO=2ZDAO，ZBOE=ZEAO+ZOAE=2ZEAO

NDOE=NDOB+NBOE=2(ZZMO+ZE4O)=2NZMC.

在RrZXAQC中，ZDAC^45°，

.-.ZDOE=2x45o=90°-

:.OD±OE

故OD工OE，OD=OE.

(2)成立.

證法一：延長(zhǎng)EB交AOF點(diǎn)F，連接OF

4CD和△CBE是等腰?.角形，ZADC^ZCEB^90°

ZBCE=ZACD=ZCBE=ZDAC=45°,BE=CE

NBCE+ZACD=/ECD=90°

四邊形CDEE是矩形

:.DF=CE,NDFE=ZAFE=90°

BE=CE

:.DF=BE

???O是A3的中點(diǎn)

:.OF=-AB,AO=OB=-AB

22

:.OF=OB

vZDAC=45°

：.ZOBF=ZAFO=45°

：.ZOBE=180°-ZOBF=135°

ZOFD=180°-ZAFO=135°

:.40FD=40BE

.QODF^OEB

：.OD=OE,/DOF=ZEOB

；在RtUABF中，。是AB中點(diǎn)

:.OFrAB.則NFOC=90°

NDOF+NDOC=90°

：.ZEOB+ZDOC=90

:.DO1EO

DOLEO,DO=EO.

證法二：延長(zhǎng)EO到點(diǎn)M，使得OM=OE,連接AM,DM,DE

是AB的中點(diǎn)

:.OA=OB

???ZAOM=/BOE

：UAOM對(duì)BOE

ZMAO=NEBO,MA=EB

\'GACD和△(?海是等腰三角形，ZADC=NCEB=90°

:.ZCAD=ZACD=NEBC=/BCE=45°

NOBE=180°—ZEBC=135°

ZMAO=135°

ZMAD=ZMAO-ZDAC=90°

?/NDCE=NDCA+NBCE=90°

:.ZMAD=ZDCE

-：MA=EB,EB=EC

:.MA=EC

vAD=DC

:QMAD^]ECD

MD=ED,ZADM=NCDE

vZCD￡+ZAr)E=90°

ZADM+ZADE=9Q)

：.NMDE=90°

-：MO=EO,MD=DE

:.OD=-ME,OD±ME

2

-：OE=-ME

2

：.OD=OE,ODLOE.

(3)如下圖，當(dāng)BC在AC左側(cè)時(shí)，ZACB=60",

過(guò)E作E”J_QC,與它的延長(zhǎng)線交于”，連接DE,

A八。<?和4BEC為等腰直角三角形,

BE=EC=aBC=2>/2,?BCE?AC。45?，

2

?ECH180?2BCE2ACD?ACB30?,

■-■在Rt^ECH中，EH=；EC=垃,CH=\ICE2-EH2=J(2揚(yáng)2-(偽2=R.

DH=DC+CH=2y/6+y[6=3y[6,

在RtAEDH中,DE=y/DH2+EH2=J（3府+（近辛=2>/14，

由（2）中的證法2可證得OD_LOE,OD=OE,

AOED為等腰直角三角形，

在Rf&OED中,OD=OE=—DE=—?27142幣：

22

如下圖，當(dāng)8c在AC右側(cè)時(shí)，NAC8=60。，

過(guò)E作EH_LDC,與它交于H,連接DE,

△4。<7和4BEC為等腰直角三角形，

BE=EC=^BC=2>/2,?BCE?ACD45?，

2

?ECH?ECB?DCB?ECB(?ACB2ACD)45?(60?45?)30?,

???在心AECH中，EH=*C=3，CH=y/CE2-EH2=J（20A-（后=屈,

DH=DC-CH=而

在Rt\EDH中,DE=y/DH2+EH2=J（府+（后=瓜，

0。=0E=也。E=①？龍2.

22

綜上所述0D=2或0D-2J7?

【點(diǎn)睛】

本題是一道幾何綜合題，考杳了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)及勾股

定理，三角函數(shù)等知識(shí)，屬于中考?jí)狠S題.

5.（2020?山東煙臺(tái)市?中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)E

為一邊作等邊三角形。ER連接CF.

（問(wèn)題解決）

（1）如圖1,若點(diǎn)。在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

（類比探究）

（2）如圖2,若點(diǎn)。在邊BC的延長(zhǎng)線上,請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CQ之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

4

M

iFBcD

圖1圖2

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）FC=CD+CE,見(jiàn)解析

【分析】

(1)在8上截取C〃=CE,易證△CE〃是等邊三角形，得出￡7/=EC=C"，證明△DE於△FEC(SAS)t得出Q〃=CR

即可得出結(jié)論；

(2)過(guò)。作。GIIAB,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,由平行線的性質(zhì)易證NGDC=NOGC=60。，得出△GCD為等邊三角形，則

DG=CD=CG,證明△EG8△/CO(SA5),得出EG="C,即可得出廠C=C￡)+CE.

【詳解】

(1)證明：在8上截取CH=C￡如圖1所示：

?「△A3C是等邊三角形，

...ZECH=60°,

??.△CE〃是等邊三角形，

；EH=EC=CH,NCEH=60。,

?/△DEF是等邊三角形,

,DE=FE,NDEF=60。,

/.zDEH”HEF=4FEC+4//￡F=60°,

ZDEH=tFEC,

在4。a7和4FEC中,

DE=FE

<ZDEH=ZFEC,

EH=EC

△DEH^△FEC(SAS),

DH=CF,

/.CD=CH+DH=CE+CF,

??.CE+CF=CD；

（2）解：線段CE,C尸與C￡>之間的等量關(guān)系是FC=C￡>+CE：理由如下:

?「△A8C是等邊三角形，

/.ZA=N3=60。，

過(guò)D作DGIIA8,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖2所示:

,/GDWAB,

ZGDC=Z8=6()。，ZDGC=ZA=60°,

..NGDC=￡DGC=60°,

△GCO為等邊三角形，

..DG=CD=CGtNGDC=60%

?「△EDF為等邊三角形,

?.ED=DF,zEDF=￡GDC=60°,

ZEDG=NFDC,

在AEGDWAFC￡)中，

ED=DF

<ZEDG=ZFDC.

DG=CD

???△EGD^△FCD(SAS),

/.EG=FC,

??.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等二角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的

關(guān)鍵.

6.（2020.山東東營(yíng)市.中考真題）如圖1,在等腰三角形A8C中，NA=120°,A3=AC,點(diǎn)。、￡分別在邊A3、AC

上，4。=4￡,連接8瓦點(diǎn)加、N、P分別為OE、BE、6c的中點(diǎn).

（1）觀察猜想

圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是一，NMNP的大，卜為；

（2）探究證明

把口A/DE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判斷△腸VP的形狀，并說(shuō)明理由;

（3）拓展延伸

把口AZ）石繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=1,AB=3,請(qǐng)求出△M/VP面積的最大值.

【答案】（1）相等，60°：（2）AMNP是等邊三角形,理由見(jiàn)解析；（3）/XM/VP面積的最大值為百.

【分析】

（1）根據(jù)“NA=120°,AB=AC,4D=AE,點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、的中點(diǎn)"，可得MN"BD.

NP//CE,根據(jù)三角形外角和定理，等量代換求出NMNP.

(2)先求出/\ABD^/\ACE，得出ZABD=ZACE，根據(jù)MN"BD,NP//CE,和三角形外角和定理，可知MN=PN,

再等量代換求出即可求解..

(3)根據(jù)A6+AD，可知8。最大值，繼而求出AWVq面積的最大值.

【詳解】

(1)由題意知：AB=AC,AD=AE,且點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)，

??11

:.BD^CE,MN//BD,NP//CE,MN=—BD,NP=—EC

22

MN=NP

丈：MN"BD,NPHCE,ZA=120°,AB=AC,

zMNE=4DBE,ZNPB=NC,ZABC=NC=30°

根據(jù)三角形外角和定理，

得NENP=ZNBP+NNPB

-：zMNP=/MNEMENP,ZENPSNBP+ZNPB,

ZNP8=NC,ZMNE=aDBE,

：.ZMNP=LDBE+4NBP+NC

=ZABC+ZC=60°

(2)VMNP是等邊三角形.

理由如下：

如圖，由旋轉(zhuǎn)可得ZBAD=NC4E

在UA8D和U4CE中

AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

:QABD^ACE（SAS）

：.BD=CE,ZABD=ZACE.

?.?點(diǎn)M、N分別為DE、BE的中點(diǎn)，

是△EBD的中位線，

:.MN=、BDnMN//BD

2

同理可證PN=、CEf\.PNIICE

2

MN=PN,4MNE=ZDBE,ZNPB=ZECB

QZMNE=ADBE=ZABD+ZABE=ZACE+ZABE

AENP=AEBP+ZNPB=ZEBP+ZECB

:.ZMNP=ZMNE+ZENP=ZACE+ZABE+ZEBP+ZECB

=ZABC+ZACB=60°

在ZWVP中

ZMNP=60°，MN=PN

.■□M/VP是等邊三角形.

（3）根據(jù)題意得:BD<AB+AD

即從而M/VW2

△MNP的面積=4MN?且MN=走M(jìn)N?.

224

△MVP面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形中點(diǎn)的性質(zhì)、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)；正確掌握三角形

相似的判定定理、三角形外角和定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（2020.黑龍江鶴崗市.中考真題）如圖①，在R陽(yáng)fic中，ZACB=90°-AC=BC，煎D、￡分別在AC、BC

邊上，DC=EC，連接OE、4E、BD，點(diǎn)M、N、P分別是4E、BD、AB的中點(diǎn)，連接尸M、PN、MN.

（1）與MN的數(shù)量關(guān)系是.

（2）將A0EC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷BE與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并利用圖

②或圖③進(jìn)行證明.

【答案】（1）BE=0MN：（2）圖（2）；莊二麻,圖（3）：莊=麻，理由見(jiàn)解析.

【分析】

（1）先證明AD=8E,根據(jù)中位線定理證明APMN為等腰點(diǎn)角三角形，得到pM=y=MN，再進(jìn)行代換即可;

2

（2）：如圖（2）連接AD，延長(zhǎng)BE交AZ）:"，交AC于G，先證明△A8三，得至ij,AD=8E,ZAHB=90°，

根據(jù)中位線定理證明APMN為等腰直角三角形，得到PM=，^MN，再進(jìn)行代換即可.

2

【詳解】

解：（i）..R/TABC中，ZACB=90°-AC=6C，

ZBAC=NABC=45°

AC=BCDC=EC

AD二BE,

??,點(diǎn)〃、N、尸分別是4E、BDAB的中點(diǎn),

PM,PN分別為AABE,△BAD中位線，

11

PMWBE,PM=—BE.PNWAC,PN=—AD,

22

PM=PN,ZAPW=ZBPN=45°,

ZPMN=90°,

■.△PMN為等腰直角三角形，

PM=MNEMnZPNMMN，

BE=2PM=?MN?

即BE=梃MN'■

（2）圖（2）：虎=廊圖⑶：應(yīng)=廂

證明：如圖（2）

連接A￡>.延長(zhǎng)仍交AD于”，交AC于G，

QZACB=ZDCE=90°，

NDCA=NECB

?;DC=EC.AC=BC-

：.△ACDNABCE.

:"CAD=/CBE，BE=AD

ZAGH=NCGE，

ZCAD+ZAGH=ZCBE+NCGE=90°，

:.ZAHB=9()°.

?.?P、M、N分別是AB、AE>B￡>的中點(diǎn)，

:.PN//AD，PN=-AD.

2

PMi/BE、PM=-BE.

2

PM=PN，

ZMPN=4=ZAHB=9QP.

:ZMN是等腰直角三角形，

MN=yf2PM，

:.BE=2PM=CMN-

【點(diǎn)睛】

本題考杳了等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，中位線定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵理解運(yùn)用好中位線性

質(zhì).

8.(2020?山東濰坊市?中考真題)如圖I,在口A6c中，NA=90°,A5=AC=y5+1，點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC

上，且AT>=AE=1，連接DE.現(xiàn)將口4)后繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(()<a<360"),如圖2,連接

CE,BD,CD.

(1)當(dāng)0°<a<180°時(shí)，求證：CE=BD,

(2)如圖3,當(dāng)a=90°時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，求證：C77垂直平分BD；

(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求△BCD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析：(3)△BCD的面積的最大值為3拒+5,旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為135°

2

【分析】

(I)利用"SAS”證得A4CEM△ABD即可得至IJ結(jié)論；

(2)利用"SAS，證得AACEMAABD,推出NACE=NA8￡),計(jì)算得出AD=BC=g+2-利用等腰二角形“三線合一一”的性

質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)D在線段8c的垂直平分線上時(shí)，△6CD的血枳取得最大值，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角

形面積公式即可求解.

【詳解】

(I)根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZC4B=ZEAD=9()°,

ZCAE+ZBAE=NBAD+ZBAE=90°,

/.ZCAE=ZBAD,

AC=AB

在△人(?￡'和448。中，<ZCAE=/.BAD.

AE=AD

：.△ACE=AABD(SAS),

CE=BD-

(2)根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°,

AC=AB

在4ACE和AABD中，NCAE=/.BAD,

AE=AD

.?.AACE=AABD{SAS),

ZACE-Z.ABD,

???Z-AEC=90°,J1ZAEONFEB,

?.NABD+NFEB=90°,

ZEFB=90°,

/.CF上BD,

「AB=AC=0+1,AD=AE=\,ZCAB=zEA￡>=90°,

??BC=^2A8=yf2,+2,OAC+AD=^2+2，

BC=CDt

?「CF±BD,

二?CF是線段BD的垂直平分線；

（3）△BCD中,邊8c的長(zhǎng)是定值，則8c邊上的高取最大值時(shí)ABCO的面積有最大值,

當(dāng)點(diǎn)a在線段BC的垂直平分線上時(shí)，/\BCD的面積取得最大值，如圖:

1一；AB=AC=&+1,AD=AE=l,ZCAB=Z.EAD=90°,DGLBC于G,

1J2+2

AG=—BC=-----------,ZGA8=450,

22

+2

DG=AG+AD=.^+1=.5+4,

ZmB=l80°-45°=l35°,

22

二△BCD的面積的最大值為：|BC-DG=1(V2+2)=3號(hào)+5'

旋轉(zhuǎn)角a=135°.

【點(diǎn)睛】

本題屬于兒何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等二角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.

9.(2020?湖北中考真題)如圖1,已知△ABCgAEBD，NACB=NE￡>3=90°，點(diǎn)。在A3上，連接CO并延

長(zhǎng)交AE于點(diǎn)?

(1)猜想：線段AR與EE的數(shù)量關(guān)系為:

(2)探究：若將圖1的△EBO繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)NC8E小于180。時(shí)，得到圖2,連接CO并延長(zhǎng)交4E于

點(diǎn)尸，則(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)拓展：圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EG_LCB，垂足為點(diǎn)G.當(dāng)ZABC的大小發(fā)生變化，其它條件不變時(shí)，若NEBG=ZBAE，

BC=6,直接寫出AB的長(zhǎng).

【答案】(1)AF=EF：(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)12

【分析】

(1)延長(zhǎng)DF到G點(diǎn)，并使FG=DC,連接GE,證明AACF也AEDG,進(jìn)而得到△GE尸為等腰三角形，即可證明AF=GE=EB

(2)證明原理同(1),延長(zhǎng)。F到G點(diǎn)，并使尸G=DC,連接GE,證明AACFgAEDG,進(jìn)而得到AGEF為等腰三角形，即可

證明AF=GE=EF：

(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進(jìn)而得到NABC=zABE=NEBG=60。即可求解.

【詳解】

解：(I)延長(zhǎng)?一到G點(diǎn)，并使尸G=OC,連接GE,如下圖所示

△AB8AEBD

；.DE=AC,BD=HC.

：.ZCDBMDCB,且/CDB=ZADF,

ZADF-Z.DCB,

'：ZACB=90°,

ZACD+Z0c6=90°,

z￡08=90。，

ZADF+ZFDE=90。,

/.ZACD=ZFDE,

乂延長(zhǎng)。下使得FG=DC,

FG+DF=DC+DF,

DG=CF,

在△AC尸和AEDG中,

AC=ED

,ZACF=NEDG,

CF=DG

.,.AACF^AEDG(SAS),

GE=AF,zG=ZAFC,

又/AFC=4GFE,

ZG=ZGFE

GE=EF

：.AF=EF,

故AF與E5的數(shù)量關(guān)系為：AF=EF.

故答案為：AF=EF；

(2)仍舊成立,理由如下:

延長(zhǎng)。尸到G點(diǎn)，并使尸G=DC,連接GE,如下圖所示

設(shè)BD延長(zhǎng)線￡>M交于M點(diǎn)，

△AB84EBD

DE=AC,BD=BCf

?.NCDB=iDCB,且/CDB=4MDF,

：.ZA7DF=zDCB,

ZAC8=90。，

/.ZACD+Z0cB=90°,

??,ZEDB=9U0,

二zA/DF+zFDE=90°,

/.ZACD=ZFDE,

又延長(zhǎng)￡>F使得FG=OC,

...FG+DF=DC+DF,

...DG=CF,

在△川。尸和4EDG中,

AC=ED

<ZACF=NEDG.

CF=DG

AACF絲△EDG(SAS),

GE=AFfZG=ZAFC,

又NAFC=ZGFE,

：，ZG=ZGFE

GE=EF,

AF=EF,

故A尸與E尸的數(shù)量關(guān)系為：AF=￡F.

故答案為：AF=EF；

(3)如下圖所示：

「BA二BE,

ZBAE=NBEA,

?.ZBAE=NEBG,

ZBEA=NEBG,

AE〃CG,

/.ZAEG+ZG=180°,

ZAEG=90°,

??.ZACG=NG=ZAEG=90°,

二.四邊形AEGC為矩形，

/.AC=EGt且A8=8E,

.../?/△ACB咨RIAEGB(HL),

BG=BC=6,4ABe;NEBG,

乂：ED二AC=EG,旦EB=EB,

RmEDBmR仙EGB(HL),

..DB=GB=6,NEBG=iABE,

/.ZA8C=NABE=NEBG=60%

zBAC=30°,

了.在川△ABC中由30。所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知：

AB=2BC=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睹】

本題屬于四邊形的綜合題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，本題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)D”到G點(diǎn)并使FG=DC,

進(jìn)而構(gòu)造全等，本題難度稍大，需要作出合適的輔助線.

10.(2020?湖南郴州市?中考真題)如圖1,在等腰直角三角形AOC中，/4。。=90°,4。=4.點(diǎn)后是71￡>的中點(diǎn),

以DE為邊作正方形DEFG，連接AG,C石.將正方形"FG繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°va<90°).

（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

①判斷AAGO與ACED是否全等，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)C￡=C。時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)、H，求G”的長(zhǎng).

（2）如圖3,延長(zhǎng)CE交直線4G于點(diǎn)P.

①求證：AGLCP-.

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段PC的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）①全等，證明見(jiàn)解析；②生叵：（2）①證明見(jiàn)解析；@273+2.

15

【分析】

（I）①由等腰直角三角形性質(zhì)和正方形性質(zhì)根據(jù)全等三角形判定定理（SAS）即可證明：②過(guò)4點(diǎn)作AMA.GD,垂足為M,

交尸E與N,利用等腰三角形三線合一性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出

cosZGAM=cosZAGF=25,再由GH=求出結(jié)果;

4cosZAGF

（2）①根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得NG4D=NE8,再在八4尸。和□ADC中由三角形內(nèi)角和定理得出

ZGAD+ZECA+ZDAC=90°，從而證明結(jié)論；②根據(jù)NAPC=90?得出PC最大值是NGAD最大時(shí)，即GD_LAG時(shí),

進(jìn)而可知CEF三點(diǎn)共線，尸與P重合，求出此時(shí)CE長(zhǎng)，繼而可得CP最大值.

【詳解】

解：（I）①全等，理由如下:

在等腰直角一:角形ADC中，AD=CD,ZADC=900'

在正方形￡)￡FG中，GD=ED,ZGDE=90°-

又.?/4￡>E+NEDC=90。，ZADE+ZADG-9Q0

ZADG=ZCDE

在△AGO和口CBD中，

AD=CD

<ZADG=ZCDE,

GD=ED

■■QAGD^CED<SAS)-.

②如解圖2,過(guò)A點(diǎn)作AM_LG。，垂足為M,交FE與M

解圖2

,?I點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

...在正方形DEFG中，DE=GD=GF=EF=2,

由①得Q4G。與CEO，

AG=CE，

又.CE=CD.

AG=AD=CD—4?

:AM±GD,

.-.GM=-G￡）=l.

2

文:NO=NF=90°，

四邊形GMN尸是矩形，

MN=GF=2,

在R/CAGM中，AM=\IAG2-GM。=依-，=用，

AMV15

cosZGAM=-----=------

AG4

FG//AM，

ZGAM^ZAGF

/…_FG_岳

-COSNAQjr=------------，

GH4

“一FG_2_8后

cosZAGFV1515

工

（2）①由①得口AGORCE。.

/GAD=/ECD，

又「AECD+ZECA+ZDAC=