二次函數(shù)與冪函數(shù)課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二章§2.6二次函數(shù)與冪函數(shù)1.通過具體實例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律.2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等).課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練第一部分落實主干知識1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象y＝xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點

和

，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點

，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時，y＝xα為

；當(dāng)α為偶數(shù)時，y＝xα為

.(1,1)(0,0)(1,1)奇函數(shù)偶函數(shù)2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝

.頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標(biāo)為

.零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的

.ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)零點(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)

函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)定義域___值域______________________________對稱軸x＝______頂點坐標(biāo)_______________R函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)奇偶性當(dāng)b＝0時是

函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性偶減增增減1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝

是冪函數(shù).(

)(2)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象恒在x軸下方，則a<0且Δ<0.(

)(3)二次函數(shù)y＝a(x－1)2＋2的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞).(

)(4)若冪函數(shù)y＝xα是偶函數(shù)，則α為偶數(shù).(

)××√×√3.(2023·南京模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，則函數(shù)f(x)的值域為A.(2,10) B.[1,2)C.[2,10] D.[1,10)√當(dāng)x∈(－2,2)時，－3<x－1<1，則f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，－3]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是___________.由函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，－3]上單調(diào)遞減，(－∞，4]即a≤4，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，4].返回第二部分探究核心題型題型一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1

(1)(2023·合肥模擬)如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相對應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的n依次為√根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象：(2)(2023·無錫模擬)“n＝1”是“冪函數(shù)f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√因為f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是冪函數(shù)，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“冪函數(shù)f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上單調(diào)遞減”的充要條件.(1)對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.(2)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.跟蹤訓(xùn)練1

(1)冪函數(shù)y＝

(0≤m≤3，m∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則m的值為A.0 B.2 C.3 D.2或3√當(dāng)m＝0時，y＝x－2，由冪函數(shù)性質(zhì)得，y＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)m＝1時，y＝x0，由冪函數(shù)性質(zhì)得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函數(shù)；當(dāng)m＝2時，y＝x4，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱，y＝x4在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)m＝3時，y＝x10，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.(2)(2023·臨沂模擬)如圖所示是函數(shù)y＝

(m，n均為正整數(shù)且m，n互質(zhì))的圖象，則√由冪函數(shù)性質(zhì)可知，y＝

與y＝x的圖象恒過定點(1,1)，即在第一象限內(nèi)的交點坐標(biāo)為(1,1)，又y＝

的圖象關(guān)于y軸對稱，∴y＝

為偶函數(shù)，又m，n互質(zhì)，∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù).題型二二次函數(shù)的解析式例2

已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數(shù)的解析式.方法一(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用“頂點式”解題)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因為f(2)＝f(－1)，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三(利用“零點式”解題)由已知得f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函數(shù)解析式的三個策略(1)已知三個點的坐標(biāo)，宜選用一般式.(2)已知頂點坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點式.(3)已知圖象與x軸的兩交點的坐標(biāo)，宜選用零點式.跟蹤訓(xùn)練2

已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,3)，對稱軸為直線x＝2，且方程f(x)＝0的兩個根的平方和為10，則f(x)的解析式為________________.f(x)＝x2－4x＋3依題意，設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函數(shù)f(x)的圖象過點(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，設(shè)方程的兩根為x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.題型三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題點1二次函數(shù)的圖象例3

(多選)(2023·銀川模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法正確的是A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0√√√又因為f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值例4

(2024·福州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；由題意知a≠0.所以f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減恒成立.(2)若a>0，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式.f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，此時g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減，此時g(a)＝f(2)＝6a－3.二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題在含參的二次函數(shù)中，常常出現(xiàn)兩種情況的討論：(1)二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值”.(2)二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”.√所以f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，(2)若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a在區(qū)間[0,1]上的最大值為M，最小值為m，則M－m的值A(chǔ).與a無關(guān)，與b有關(guān)B.與a有關(guān)，與b無關(guān)C.與a有關(guān)，且與b有關(guān)D.與a無關(guān)，且與b無關(guān)√函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋3a的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝b，①當(dāng)b>1時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，則M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此時M－m＝2b－1，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)；②當(dāng)b<0時，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此時M－m＝1－2b，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)；③當(dāng)0≤b≤1時，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，∴M－m＝b2，故M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，綜上，M－m的值與a無關(guān)，與b有關(guān).二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2024·宣城模擬)已知y＝(x－m)(x－n)＋2023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的兩根，則α，β，m，n的大小關(guān)系是A.α<m<n<β

B.m<α<n<βC.m<α<β<n

D.α<m<β<n√y＝(x－m)(x－n)＋2023(m<n)為二次函數(shù)，圖象開口向上，因為α，β(α<β)是方程y＝0的兩根，故α，β(α<β)為二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，其中f(m)＝f(n)＝2023，畫出大致圖象如圖所示，顯然m<α<β<n.(2)(2023·鎮(zhèn)江模擬)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋2在區(qū)間[a，b]上的值域為[－2,2]，則b－a的取值范圍是________.[2,4]解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的值域為[－2,2].若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此時b－a取得最小值2；若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上不單調(diào)，返回且當(dāng)b－a取最大值時，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值為4，所以b－a的取值范圍是[2,4].課時精練12345678910111213141516一、單項選擇題1.(2023·唐山模擬)若冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過第三象限，則α的值可以是√12345678910111213141516當(dāng)α＝－2時，f(x)＝x－2為偶函數(shù)，圖象在第一和第二象限，不經(jīng)過第三象限，A不符合題意；當(dāng)α＝2時，f(x)＝x2為偶函數(shù)，圖象過原點，分布在第一和第二象限，不經(jīng)過第三象限，B不符合題意；123456789101112131415162.(2023·保定模擬)已知

，則A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b√由題意得<4<5＝

＝c，所以b<a<c.123456789101112131415163.(2023·成都模擬)若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是A.[32,40] B.(－∞，32]∪[40，＋∞)C.(－∞，32] D.[40，＋∞)√所以k的取值范圍是(－∞，32]∪[40，＋∞).123456789101112131415164.函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋1與g(x)＝xa在同一直角坐標(biāo)系中的圖象不可能為√12345678910111213141516對于A，二次函數(shù)的圖象開口向下，所以a<0，此時g(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，與圖中符合；對于B，二次函數(shù)的圖象開口向上，所以a>0，此時g(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，與圖中不符合；12345678910111213141516對于C，二次函數(shù)的圖象開口向上，所以a>0，此時g(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，與圖中符合；對于D，二次函數(shù)的圖象開口向上，所以a>0，此時g(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，與圖中符合.123456789101112131415165.已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋5在區(qū)間[0，m]上的值域為[5,6]，則實數(shù)m的取值范圍是A.(0,1] B.[1,3] C.(0,2] D.[1,2]√f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，f(x)的圖象開口向下，對稱軸為直線x＝1，畫出f(x)的圖象如圖所示，由于f(x)在區(qū)間[0，m]上的值域為[5,6]，由圖可知，m的取值范圍是[1,2].123456789101112131415166.(2024·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(a>0)，實數(shù)m滿足f(m)<0，則下列關(guān)系一定成立的是A.f(m＋1)>0 B.f(m＋2)>0C.f(m－1)<0 D.f(m－2)<0√12345678910111213141516函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.f(m)＝m2－2m＋a<0，故m2－2m<－a<0，解得0<m<2.m＋2∈(2,4)，f(m＋2)>f(2)＝a>0，B正確；m－2∈(－2,0)，f(m－2)>f(0)＝a>0，D錯誤；12345678910111213141516二、多項選擇題7.設(shè)abc<0，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是√√12345678910111213141516A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合題意；B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合題意；C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合題意；D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合題意.123456789101112131415168.下列說法正確的是B.若函數(shù)f(x)＝

，則f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減C.冪函數(shù)y＝xα(α>0)的圖象始終經(jīng)過點(0,0)和(1,1)D.若冪函數(shù)f(x)＝(2m2－2m－3)xm的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(－a2＋2a－5)

>f(3)√√12345678910111213141516又f(x)＝

的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝f(x)，故f(x)＝

為偶函數(shù)，故f(x)＝

在(－∞，0)上單調(diào)遞增，B錯誤；12345678910111213141516C選項，因為α>0，所以0α＝0,1α＝1，故冪函數(shù)y＝xα(α>0)的圖象始終經(jīng)過點(0,0)和(1,1)，C正確；D選項，由題意得2m2－2m－3＝1，解得m＝2或－1，當(dāng)m＝2時，f(x)＝x2為偶函數(shù)，滿足圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)m＝－1時，f(x)＝x－1為奇函數(shù)，不滿足圖象關(guān)于y軸對稱，舍去，其中－a2＋2a－5＝－(a－1)2－4≤－4恒成立，故|－a2＋2a－5|＝(a－1)2＋4≥4>3，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(－a2＋2a－5)>f(3)，D正確.12345678910111213141516三、填空題9.(2023·大慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(2)＝________.解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211.2111234567891011121314151610.已知二次函數(shù)的圖象過點(－3,0)，(1,0)，且頂點到x軸的距離等于2，則二次函數(shù)的表達(dá)式為______________________________.12345678910111213141516因為二次函數(shù)的圖象過點(－3,0)，(1,0)，所以可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開得y＝ax2＋2ax－3a，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離為2，1234567891011121314151611.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的值域為[2，＋∞)，且滿足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(x)在[m，n]上的值域為[2,6]，則n－m的最大值為________.412345678910111213141516由f(1－x)＝f(1＋x)，可得函數(shù)的對稱軸為直線x＝1.所以f(x)＝x2－2x＋b.因為f(x)的值域為[2，＋∞)，所以f(1)＝12－2×1＋b＝1－2＋b＝2，可得b＝3，故f(x)＝x2－2x＋3.若f(x)在[m，n]上的值域為[2,6]，令x2－2x＋3＝6，解得x＝3或x＝－1.所以m最小為－1，n最大為3，則n－m的最大值為4.1234567891011121314151612.(2023·樂山模擬)冪函數(shù)y＝xm(m≠0)，當(dāng)m取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一簇美麗的曲線(如圖).設(shè)點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，則αβ＝________.112345678910111213141516因為A(1,0)，B(0,1)，BM＝MN＝NA，所以αβ＝1.12345678910111213141516四、解答題13.已知冪函數(shù)f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.(1)求m的值；由冪函數(shù)的定義可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3.因為f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以m＋2<0，即m<－2，則m＝－3.12345678910111213141516(2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范圍.設(shè)g(x)＝x3，則g(x)是增函數(shù).由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3，則2a－1<a＋3，解得a<4，即a的取值范圍為(－∞，4).1234567891011121314151614.(2024·巴中模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(0,0)，(5,0)，且最小值為－

.(1)求函數(shù)的解析式；由題意設(shè)函數(shù)的解析式為y＝ax(x－5)(a>0)，所以二次函數(shù)的解析式為y＝2x(x－5)，即y＝2x2－10x.12345678910111213141516(2)當(dāng)t≤x≤t＋1時，該函數(shù)的最小值為－12，求此時t的值.12345678910111213141516所以當(dāng)x＝t＋1時，y＝2x2－10x取得最小值，所以2(t＋1)2－10(t＋1)＝－12，解得t＝1或t＝2(舍去)，所以t＝1；12345678910111213141516所以當(dāng)x＝t時，y＝2x2－10x取得最小值，所以2t2－10t＝－12