高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練(新高考專用)第12講拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題(高頻精講)(原卷版+解析)

第12講拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算 3高頻考點(diǎn)二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 5第一部分：知識點(diǎn)必背一、型及型未定式1、定義：如果當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，及；（2）在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導(dǎo)，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.6、若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.二、型、、、型1、型的轉(zhuǎn)化：或；2、型的轉(zhuǎn)化：3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算典型例題例題1、求例題2、求例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則______．練透核心考點(diǎn)1．求2．求3．（2023·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測）年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再4．（2023·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則________．高頻考點(diǎn)二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，(1)若，（為常數(shù)），求的解析式；(2)在（1）條件下，若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．例題2．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題3．（2023·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；(2)若，且對任意，都有不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對于恒成立，求的取值范圍.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：存在唯一的極小值點(diǎn)，且；(3)設(shè)，.對，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.第12講拓展五：利用洛必達(dá)法則解決導(dǎo)數(shù)問題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點(diǎn)必背 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3高頻考點(diǎn)一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算 3高頻考點(diǎn)二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 5第一部分：知識點(diǎn)必背一、型及型未定式1、定義：如果當(dāng)（或）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.2、定理1（型）：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，及；（2）在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；（3）；則：.3、定理2（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)，和在與上可導(dǎo)，且；

(3)，那么.4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；

(3)，那么=.5、將上面公式中的,,,洛必達(dá)法則也成立.6、若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.二、型、、、型1、型的轉(zhuǎn)化：或；2、型的轉(zhuǎn)化：3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算典型例題例題1、求【答案】0解析：不適合條件，需轉(zhuǎn)化：故答案為：0例題2、求【答案】解析：故答案為：例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【詳解】，故選：D例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型，兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則______．【答案】2【詳解】由題可得.故答案為：2.練透核心考點(diǎn)1．求【答案】1【詳解】故答案為：1.2．求【答案】【詳解】3．（2023·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測）年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有______．【答案】【詳解】由題意可得：．故答案為：.4．（2023·黑龍江雞西·高三?？茧A段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則________．【答案】##0.5【詳解】故答案為：高頻考點(diǎn)二：洛必達(dá)法則在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，(1)若，（為常數(shù)），求的解析式；(2)在（1）條件下，若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，，解得，所以；?）由（1）可知，時(shí)，，此時(shí)，；故時(shí)，成立時(shí)，成立，對恒成立，即對恒成立；記，則，記，則，記，則，∴當(dāng)0時(shí)，，在上單調(diào)遞增；，所以在上單調(diào)遞增；；∴時(shí)，0，即在上單調(diào)遞增；記，，當(dāng)時(shí)，，符合洛必達(dá)法則條件，∴，∴時(shí)，，∴．例題2．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），所以在點(diǎn)處的切線的斜率，又，所以切線的方程為：，即，由經(jīng)過點(diǎn)可得：.（2）易知為方程的根，由題只需說明當(dāng)和時(shí)原方程均沒有實(shí)數(shù)解即可.①當(dāng)時(shí)，若，顯然有，而恒成立，此時(shí)方程顯然無解若，，，令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故在單調(diào)遞減從而，，此時(shí)方程也無解.若，由，記，則，設(shè)，則有恒成立，所以恒成立，故令在上遞增，在上遞減，可知原方程也無解由上面的分析可知時(shí)，，方程均無解.②當(dāng)時(shí)，若，顯然有，而恒成立，此時(shí)方程顯然無解若，和①中的分析同理可知此時(shí)方程也無解.若，由，記，則，由①中的分析知，故在恒成立，從而在上單調(diào)遞增，如果，即，則，要使方程無解，只需，即有如果，即，此時(shí)，方程一定有解，不滿足.由上面的分析知時(shí)，，方程均無解，綜合①②可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有唯一解.例題3．（2023·河北邯鄲·高三大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：,

；函數(shù)在處取得極值，

；又曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，當(dāng)時(shí)，沒有意義，由洛必達(dá)法得，．練透核心考點(diǎn)1．（2023·四川綿陽·四川省綿陽實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；(2)若，且對任意，都有不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴恒成立，∴，即，∴，即實(shí)數(shù)的最小值為.（2）∵，∴函數(shù)，由（1）可得在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，，即，由對任意都成立，得恒成立.即恒成立.①當(dāng)，恒成立；②當(dāng)，恒成立；③當(dāng)時(shí)，即：恒成立；令，則∴在上單調(diào)遞增；由洛必達(dá)法則：，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.初等方法解決：∵，∴函數(shù)，∵，∴.對于任意，令，則①當(dāng)，即時(shí)，，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，符合題意，∴.②當(dāng)，即時(shí)，令，于是.∵，∴，∴，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，即，∴.①當(dāng)，即時(shí)，，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，于是，符合題意，∴.②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，從而，不能使恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對于恒成立，求的取值范圍.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于.記，則.記，則.因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有，即趨向于0時(shí)，趨向，即有.故時(shí)，不等式對于恒成立.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)（1）時(shí)，

，令得或在時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增；所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）注意到，設(shè)，則在時(shí)有兩不同解，，令，，令，則有，是增函數(shù)，則時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，所以時(shí)，

，時(shí)，，所以在時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?/p>

，當(dāng)時(shí)，，，即，當(dāng)時(shí)，，并且，，并且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像如下：所以即；綜上，函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，.4．（2023春·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求證：存在唯一的極小值點(diǎn)，且；(3)設(shè)，.對，恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)(1)解：由題意，函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，可得，且時(shí)函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，令，可得，因?yàn)?，且，可得，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，符合題