高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)第07講函數(shù)與方程(講義)(原卷版+解析)

第07講函數(shù)與方程目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.（2）理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2022年天津卷第15題，5分2021年天津卷第9題，5分2021年北京卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考對函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方式進行考查，比如：函數(shù)零點的個數(shù)問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生關(guān)注．一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【解題方法總結(jié)】函數(shù)的零點相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間【例1】（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【對點訓(xùn)練1】（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點依次為，則（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍【例2】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練5】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練6】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為__________.【對點訓(xùn)練7】（2023·上海浦東新·高三上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍___________.【解題總結(jié)】本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題【例3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，則________.【對點訓(xùn)練8】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．【對點訓(xùn)練9】（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是________．【對點訓(xùn)練10】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【對點訓(xùn)練11】（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【對點訓(xùn)練12】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)m，n滿足，則___________.【解題總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點問題【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個不同實數(shù)解，則實數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【對點訓(xùn)練14】（2023·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點對稱，且則關(guān)于x的方程()有n個不同的實數(shù)解，則n的所有可能的值為A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【對點訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【解題總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．題型五：函數(shù)的對稱問題【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練16】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對點訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型【例6】（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練19】（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【對點訓(xùn)練20】（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考一模）若至少存在一個，使得方程成立．則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【對點訓(xùn)練21】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】分類討論數(shù)學(xué)思想方法題型七：唯一零點求值問題【例7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【對點訓(xùn)練22】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【對點訓(xùn)練24】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)A． B． C． D．或【解題總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點問題【例8】（2023·天津南開·高三南開中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有兩個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練25】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練26】（2023·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【對點訓(xùn)練27】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點嵌套問題【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【對點訓(xùn)練28】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個不同的零點，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【對點訓(xùn)練29】（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【對點訓(xùn)練30】（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【解題總結(jié)】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.題型十：等高線問題【例10】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對點訓(xùn)練31】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練32】（2023·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練33】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）【解題總結(jié)】數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法題型十一：二分法【例11】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練34】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【對點訓(xùn)練35】（2023·全國·高三專題練習(xí)）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練36】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個零點的近似解（精確到0.1）為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．【對點訓(xùn)練37】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【解題總結(jié)】所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.1．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2019·全國·高考真題）函數(shù)在的零點個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2014·湖南·高考真題）已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．第07講函數(shù)與方程目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.（2）理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.（3）了解用二分法求方程的近似解．2022年天津卷第15題，5分2021年天津卷第9題，5分2021年北京卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考對函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方式進行考查，比如：函數(shù)零點的個數(shù)問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生關(guān)注．一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【解題方法總結(jié)】函數(shù)的零點相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間【例1】（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【解析】因為是函數(shù)的一個零點，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D【對點訓(xùn)練1】（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為是函數(shù)的一個零點，所以，即，故，則．故選：D．【對點訓(xùn)練2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點依次為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，顯然是增函數(shù)，，所以的唯一零點；對于，顯然也是增函數(shù)，，所以的唯一零點；對于，顯然也是增函數(shù)，，所以的唯一零點；；故選：A.【對點訓(xùn)練3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，因為是方程的一個解，所以是方程的解，令，則，當(dāng)時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，所以.故選：C.【解題總結(jié)】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍【例2】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，所以，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.【對點訓(xùn)練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵和在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，∴只需即可，即，解得.故選：D.【對點訓(xùn)練5】（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函數(shù)，∴，，，易知在上是增函數(shù)，∴有唯一零點0，函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，∴在上有解，，∴．故選：A．【對點訓(xùn)練6】（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為__________.【答案】【解析】設(shè)，則，此時，則，令，當(dāng)時，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故答案為：.【對點訓(xùn)練7】（2023·上海浦東新·高三上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍___________.【答案】【解析】當(dāng)時，，，，故，由零點存在性定理知：在區(qū)間上至少有1個零點；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，，由零點存在性定理知，在區(qū)間至少有1個零點；當(dāng)時，，因為，，所以，，當(dāng)時，，，遞增，當(dāng)時，，，遞減，故在上遞增，在上遞減，又，即在上，，故在區(qū)間上沒有零點．所以，當(dāng)時，函數(shù)在上有零點.令，，可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，從而，當(dāng)時，函數(shù)在上有零點.又當(dāng)時，，符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍．故答案為：．【解題總結(jié)】本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題【例3】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，，則________.【答案】4【解析】由，即，即，令，則，即，即.由，得，設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，又，所以函數(shù)在上有唯一的零點，因此，即，所以.故答案為：4.【對點訓(xùn)練8】（2023·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．【答案】【解析】因為，所以當(dāng)時，有，解得，所以當(dāng)時，有兩個零點，不符合題意；當(dāng)時，由，解得或，且有，，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又因為，，所以，存在一個正數(shù)零點，所以不符合題意；當(dāng)時，令，解得或，且有，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又因為，，所以，存在一個負數(shù)零點，要使存在唯一的零點，則滿足，解得或，又因為，所以，綜上，的取值范圍是．故答案為：.【對點訓(xùn)練9】（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是________．【答案】【解析】當(dāng)時，，因為恰有三個不同的零點，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即有三個解，而無解，故.當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，當(dāng)時，與必有1個交點，所以當(dāng)時，有2個交點，即，即令在內(nèi)有兩個實數(shù)解，，當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，

當(dāng)時，必有1個交點，當(dāng)時，與有2個交點，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【對點訓(xùn)練10】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【答案】【解析】設(shè)切線切點為，因，則切線方程為：.因過，則，由題函數(shù)圖象與直線有兩個交點.，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，.據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當(dāng)時，曲線有兩條過的切線.故答案為：【對點訓(xùn)練11】（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】令，因為函數(shù)有一個零點，函數(shù)至多有兩個零點，又有三個零點，所以必須有兩個零點，且其零點與函數(shù)的零點不相等，且函數(shù)與函數(shù)的零點均為函數(shù)的零點，由可得，，所以，所以為函數(shù)的零點，即，所以，令，可得，由已知有兩個根，設(shè)，則有兩個正根，所以，，所以，故，當(dāng)時，有兩個根，設(shè)其根為，，則，設(shè)，則，，所以，令，則，則，，且，，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，為函數(shù)的零點，又也為函數(shù)的零點，且與互不相等，所以當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.故答案為：.【對點訓(xùn)練12】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實數(shù)m，n滿足，則___________.【答案】【解析】因為，所以，故，即，即.由，得.令，因為增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，故，解得，則.故答案為：【解題總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點問題【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由可得，所以，關(guān)于的方程、共有個不同的實數(shù)解.①先討論方程的解的個數(shù).當(dāng)時，由，可得，當(dāng)時，由，可得，當(dāng)時，由，可得，所以，方程只有兩解和；②下面討論方程的解的個數(shù).當(dāng)時，由可得，可得或，當(dāng)時，由，可得，此時方程有無數(shù)個解，不合乎題意，當(dāng)時，由可得，因為，由題意可得或或，解得或.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【對點訓(xùn)練13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個不同實數(shù)解，則實數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由于方程至多兩個實根，設(shè)為和，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)可能為0?2?3?4，由于關(guān)于x的方程有7個不同實數(shù)解，則關(guān)于u的二次方程的一根為，則，則方程的另一根為，直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)必為4，則，解得.所以且.故選：C.【對點訓(xùn)練14】（2023·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點對稱，且則關(guān)于x的方程()有n個不同的實數(shù)解，則n的所有可能的值為A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【答案】B【解析】∵函數(shù)關(guān)于點對稱，∴是奇函數(shù)，時，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知的解的個數(shù)是1，2，3.或時，有一個解，時，有兩個解，時，有三個解，方程中設(shè)，則方程化為，其判別式為恒成立，方程必有兩不等實根，，，，兩根一正一負，不妨設(shè)，若，則，，和都有兩個根，原方程有4個根；若，則，，∴，，有三個根，有一個根，原方程共有4個根；若，則，，∴，，有一個根，有三個根，原方程共有4個根．綜上原方程有4個根．故選：B.【對點訓(xùn)練15】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【解析】在和上單增，上單減，又當(dāng)時，時，故的圖象大致為：令，則方程必有兩個根，且，不仿設(shè)，當(dāng)時，恰有，此時，有個根，，有個根，當(dāng)時必有，此時無根，有個根，當(dāng)時必有，此時有個根，，有個根，綜上，對任意，方程均有個根，故選A.【解題總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．題型五：函數(shù)的對稱問題【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即，若函數(shù)的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，則等價為在上有解，即，在上有解，由，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，，此時函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，即當(dāng)時，取得極小值同時也是最小值，且，即，當(dāng)時，，即，設(shè)，要使得有解，則當(dāng)過點時，得，過點時，，解得，綜上可得．故選C．【對點訓(xùn)練16】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，，設(shè)，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以，的圖象如下，由圖可知，當(dāng)時，與無交點，即無零點．故選：D．【對點訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，由于，，且，所以．故選：A．【對點訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)上一點，，且關(guān)于軸對稱點坐標(biāo)為，在上，有解，即有解．令，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，，，有解等價于與圖象有交點，

．故選：B【解題總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型【例6】（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)至少存在一個零點所以有解即有解令，則因為，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減所以且當(dāng)時所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A【對點訓(xùn)練19】（2023·湖北·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得函數(shù)的定義域為．又，∵函數(shù)至少存在一個零點，∴方程有解，即有解．令，則，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．∴．又當(dāng)時，；當(dāng)時，．要使方程有解，則需滿足，∴實數(shù)的取值范圍是．故選D．【對點訓(xùn)練20】（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考一模）若至少存在一個，使得方程成立．則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】原方程化簡得:有解,令,,當(dāng)時,,所以f(x)在單調(diào)遞減,當(dāng)x<e時,,所以f(x)在單調(diào)遞增..所以.選B.【對點訓(xùn)練21】（2023·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得，函數(shù)至少存在一個零點，且，可構(gòu)造函數(shù)和，因為，開口向上，對稱軸為，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；而，則，由于，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；可知函數(shù)及均在處取最小值，所以在處取最小值，又因為函數(shù)至少存在一個零點，只需即可，即：解得：.故選：D.【解題總結(jié)】分類討論數(shù)學(xué)思想方法題型七：唯一零點求值問題【例7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)，定義域為R,∴，故函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∵有唯一零點，∴，即．故選：D．【對點訓(xùn)練22】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，記，則，令則，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，因為只有唯一的零點，所以零點只能是于是故選：C【對點訓(xùn)練23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【答案】A【解析】已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：，由于關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱，為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，則關(guān)于對稱，由于有唯一零點，則必有，，即：，解得：或.故選：A.【對點訓(xùn)練24】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)A． B． C． D．或【答案】A【解析】函數(shù)有唯一零點，設(shè)則函數(shù)有唯一零點，則設(shè)∴為偶函數(shù)，∵函數(shù)有唯一零點，∴與有唯一的交點，∴此交點的橫坐標(biāo)為0，解得或（舍去），故選A．【解題總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點問題【例8】（2023·天津南開·高三南開中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有兩個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，在同一直角坐標(biāo)系中繪制兩個函數(shù)的圖象：由圖可知，保證兩函數(shù)圖象有兩個交點，滿足，解得：故選：A.【對點訓(xùn)練25】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，求導(dǎo)由反比例函數(shù)及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，且，，故在內(nèi)必有唯一零點，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，令，即，在之間解得或或，作出圖像如下圖數(shù)形結(jié)合可得：，故選：A【對點訓(xùn)練26】（2023·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，且定義域為，關(guān)于原點對稱，故為奇函數(shù)，所以我們求出時零點個數(shù)即可，，，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，而，故在有1零點，，故在上有1零點，圖像大致如圖所示：故在上有2個零點，又因為其為奇函數(shù)，則其在上也有2個零點，且，故共5個零點，故選：D.【對點訓(xùn)練27】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，對任意的，在上至多個零點，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對稱軸為直線，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在上無零點，所以，函數(shù)在上有個零點，當(dāng)時，，則，由題意可得，解得，此時不存在；②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上只有一個零點，當(dāng)時，，則，則函數(shù)在上只有個零點，此時，函數(shù)在上的零點個數(shù)為，不合乎題意；③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，則函數(shù)在上有個零點，則，解得，此時；④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有個零點，則函數(shù)在上有個零點，則，解得，此時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【解題總結(jié)】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點嵌套問題【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，則，故當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，，是減函數(shù)，可得處取得最小值，，，畫出的圖象，由可化為，故結(jié)合題意可知，有兩個不同的根，故，故或，不妨設(shè)方程的兩個根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個根，一正一負；不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，故又，，．故選：A．【對點訓(xùn)練28】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，有三個不同的零點，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【答案】D【解析】令f（x）=0，分離參數(shù)得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數(shù)，在（1，e）上為增函數(shù)．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，對于μ=，則當(dāng)0＜x＜e時，μ′＞0；當(dāng)x＞e時，μ′＜0．而當(dāng)x＞e時，μ恒大于0．不妨設(shè)μ1＜μ2，則μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故選D．【對點訓(xùn)練29】（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】A【解析】∴∴令，，則，∴令，解得∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由于，∴，（不妨設(shè)）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.【對點訓(xùn)練30】（2023·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【答案】A【解析】由有三個不同的零點知：有三個不同的實根，即有三個不同實根，若，則，整理得，若方程的兩根為，∴，而，∴當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增；即當(dāng)時有極小值為，又，有，即.∵方程最多只有兩個不同根，∴，即，，∴.故選：A【解題總結(jié)】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.題型十：等高線問題【例10】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①：作出的圖像如下：若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設(shè)，則，是方程的兩個不等的實數(shù)根，，是方程的兩個不等的實數(shù)根，所以，，所以，所以，所以，故①正確；對于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②錯誤；對于③：方程的實數(shù)根的個數(shù)，即為函數(shù)與的交點個數(shù)，因為恒過坐標(biāo)原點，當(dāng)時，有3個交點，當(dāng)時最多2個交點，所以，當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，即，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)與相切時，即時，此時有4個交點，若有4個實數(shù)根，即有4個交點，當(dāng)時由圖可知只有3個交點，當(dāng)時，令，，則，則當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值即最大值，，又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當(dāng)無限大時，即在和內(nèi)各有一個零點，即有5個實數(shù)根，故③錯誤；對于④：，所以，所以或，由圖可知，當(dāng)時，的交點個數(shù)為2，當(dāng)，0時，的交點個數(shù)為3，當(dāng)時，的交點個數(shù)為4，當(dāng)時，的交點個數(shù)為1，所以若時，則，交點的個數(shù)為個，若時，則，交點的個數(shù)為3個，若，則，交點有個，若且時，則且，交點有個，若，交點有1個，綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數(shù)根1，2，3，6，故④正確；故選：B．【對點訓(xùn)練31】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.先作圖象，由圖象可得因此為，，從而.故選：A【對點訓(xùn)練32】（2023·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：方程有四個不同的實根，，，，滿足，則，即：，所以，，所以，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得：，，考慮函數(shù)單調(diào)遞增，，所以時的取值范圍為.故選：A【對點訓(xùn)練33】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（