空間向量與立體幾何全章八類必考?jí)狠S題

專題1.7空間向量與立體幾何全章八類必考?jí)狠S題

【人教A版(2019)】

【考點(diǎn)1空間向量的線性運(yùn)算】

1.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)20+2石一30一3(,-21一號(hào)=()

A.--a-4cB.--a+46-2cC.--a+7b+-cD.--a-5b--c

222222

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求解即可.

【解答過程】|(a4-2b-3c)-3(a-2ft-c)=-|a+7h+|c.

故選：C.

2.(2023春?安徽合肥?高二?？计谀?已知益=(1,2,1),b=(2,-4,1),則2—+E等于()

A.(4,-2,0)B.(4,0,3)

C.(-4,0,3)D.(4,0,-3)

【解題思路】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【解答過程】2a+b=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3).

故選：B.

3.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))已知向量d=(-2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),則的坐標(biāo)為—

(10.-3.17).

【解題思路】直接利用向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答過程】向量I=(-2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),則五+6b-c=(-2,-3,1)+6(2,0,3)-(0,0,2)=

(10,-3,17).

故答案為：(10,-3,17).

4.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))已知五=(1,一3,8),b=(3,10,-4),求其+E,a-b,3a.

【解題思路】直接根據(jù)向量的加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.

［解答過程］a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4),

a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,84-4)=(-2,-13,12),

3a=3(1,-3,8)=(3X1,3X(-3),3x8)=(3,-9,24).

5.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，在三棱柱中，M是8當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式，并在

圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量.

4

⑴麗+西；

(2)AC+CB+^AA-y；

(3)|A47聒-AC-CB.

【解題思路】(1)(2)(3)利用空間向量的加減法的運(yùn)算法則和幾何意義化簡(jiǎn).

【解答過程】(1)解：而+西=鬲\

(2)解：因?yàn)镸是BBi的中點(diǎn)，所以麗=(兩，又麗1=西,

所以前+而+9砧=荏+兩=宿?

⑶解：-AA；-L^B-AC-CB

=I（再+西）一/+西=京一麗=西

【考點(diǎn)2空間向量數(shù)量積的應(yīng)用】

1.（2023春?福建泉州?高二校聯(lián)考期末）平行六面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為1,^BAD=ABAAT=

^DAAr=60°,貝MG的長(zhǎng)度為（）

A.—B.V6C.3D.6

2

【解題思路】由力BCD-AiBiQA為平行六面體，可知AC1為體對(duì)角線，由向量的模長(zhǎng)公式即可求得AC】.

【解答過程】|殖|=\AB+AD+AA^\=J（AB+AD+AA^）2

=J|AB|2+|珂2+|再/+2府”畫.COS600+2|祠|福|.COS600+2|京||畫.cos60°

111

+2X1X1X+2X1X1X+2X1X1X

2-2-2-

2.（2023春?甘肅金昌二校考期中）如圖，在平行六面體4BCD-&B1C1D1中，AB=2,AD=2,A&=2,

/.BAA1=ND/MI=60°,^BAD=90°,貝l]BG與CA1所成角的余弦值為()

G

4

IDl.

A113

A.-遺B.、C.-立D.在

6644

【解題思路】根據(jù)空間向量的基本定理和向量的數(shù)量積的定義即可求解.

【解答過程】設(shè)4B=a,AD=b,AAX=c,

因?yàn)閐,b,5向量不共面，故但,b,己可構(gòu)成空間的一組基底，

結(jié)合悶=2,\b\=2,|c|=2,￡BAAi=LDAAX=60°,/.BAD=90°,

所以心3=0,a-c=2x2x；2,b-c=2x2x^2,

則8C；=b+c,CA[=-a-h+C,

22

可得8cl?CA；=(h+c)?(—a—h+c)=—a-b—a-c—b—b-cc-b+c

=0-2-44-4=-2

|可=J(-a-b+cf=y/a2+b2+c2+2d-b-2a-c-2b-c

=14+4+4+0—4—4=2,

所以cos（宿，京）=8%%-2V3

|殂|向；|-273X26

又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是（0,外,

所以BG與所成角的余弦值為，

6

故選：B.

3.（2023春?江蘇淮安?高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐P—4BCO中，底面4BC。為平行四邊形，且4B=

AP=6,AD=2,/.BAD=/-BAP=4DAP=60°,E,F分別為PB,PC上的點(diǎn)，SLPE=2EB,PF=FC,|￡?|=

【解題思路】根據(jù)給定條件選定基底向量而，而，而，并表示出方，再利用向量運(yùn)算即可得解.

【解答過程】在四棱錐P—ABC。中，底面48CD為平行四邊形，連接4C,如圖，~PE=2EB,'PF=FC,

F

,一+,'''?'''',*?1，.,1.-1……f….,----T*1???一,

^EF=EB+BA+AP+PF=-PB-AB+AP+-PC=-PB-AB+AP+-^C-AP)

=±(48-力P)—力8+4P+±(48+4。-AP)=--AB+-AD+-AP=-(-AB+3A0+4P),

326266

乂AB=AP=6,AD=2,/.BAD=乙BAP=4DAP=60°,

則而■AD=APAD=6x2xcos60°=6,ABAP=6x6xcos600=18,

因此，研(-AB+3同+AP)2=^AB2+9AD2+AP2-6AB■AD+6AD-AP-2AB-AP

=-y/36+9x4+36-6x6+6x6-2x18=V2.

6

故答案為：V2.

4.(2023春?江蘇揚(yáng)州?高二統(tǒng)考期中)如圖，在四面體ABC。中，4B4c=60°,ABAD=/.CAD=45。,AD=V2,

AB=AC=3.

(1)求正?麗的值；

(2)已知尸是線段CD中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足族=2方，求線段EF的長(zhǎng).

【解題思路】(1)根據(jù)題意得到近?前=(前-布)?(而-荏)，再求解即可.

(2)根據(jù)=EA+AD+DF———AB+AD+-^AC—4。)=--AB+-AD-i--AC)再平方求解即可.

【解答過程】(1)在四面體4BC0中，/.BAC=60°,^BAD=Z.CAD=45°,AD=\[2,AB=AC=3

JC-'BD=(AC-AB)■(AD-AB)=AC-AD-AC-AB-ABAD+AB2=3Xy/2-32-3X

V2x—+32=-.

22

(2)如圖所示:

DF

因?yàn)橄?2麗，則荏=|荏，

因?yàn)槭荂O中點(diǎn)，則而=：沆=*前-而），

于是麗=而+而+而=--AB+AD+-（AC-AD）=--AB+-AD+-AC.

3217322

EF2=^AB2+yAD2+\AC2-l；AB-AD-l-AB-AC+]-AD-AC

944332

=ix9+ix24-ix9--x3xV2x---x3x3xi+ixV2x3x—=—,

9443232224

所以網(wǎng)=".

5.（2023春?江蘇宿遷?高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體48C￡>-4/B/G。/中，底面48CC是邊長(zhǎng)為2

的正方形，側(cè)棱AA,的長(zhǎng)度為4,且乙4/8=/4滔。=120。.用向量法求：

⑴的長(zhǎng)；

(2)直線BD,與AC所成角的余弦值.

【解題思路】(1)利用向量模的計(jì)算公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算即得出BD/的長(zhǎng)；

(2)分別求出|前西前?前1的值，代入數(shù)量積求夾角公式，即可求得異面直線BD/與AC所成角的余

弦值.

【解答過程】(1)?西=西+瓦匹+五瓦，

__>,,‘____,2

+8]/4]+4]/)])

____?2_____?2_____?2??I_____?_____?_____+

=BB[+B]A]+4]D]+2B8]+2BB]]D]+28]/],/

=42+22+22+2X4X2COS600+2X4X2COS1200+2X2X2COS90<!

...BDi的長(zhǎng)為2遍，

（2）\"AC=AB+BC,

2

.?.前2=（而+或）=AB2+BC2+2AB-BC=22+22+0=8,

二|祠=2或，

甌]=2瓜

南西=（而+硝?（西

=2x4cosl20°4-2x2cosl800+2x2cos900+2x4cosl2004-2x2cos9004-2x2cos0°

=-8

\cos（AC,BDi）\=8

11,1=I"f-\,

'\AC[\BDY\|2ex2聞123

所以直線BDi與AC所成角的余弦值為號(hào).

【考點(diǎn)3空間向量基本定理及其應(yīng)用】

1.（2023春?安徽池州?高二聯(lián)考階段練習(xí)）已知但是同是空間的一組基底，其中荏^2a-3b,AC=a-c,

AD=2b+Ac.^A,B,C,。四點(diǎn)共面，則入=（）

3344

A.--B.±C.-D.--

4433

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（%,y）,使得標(biāo)=%而+丫而，結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算和相等向

量的概念計(jì)算，即可求解.

【解答過程】由題意，設(shè)存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（居y）,使得同=%X?+y而，

即2d—3b=x（a—c）4-y（2b+Ac）,

貝Ij2五—3b=xa+2yb4-（Ay—x）c.

則;v=2,y=—|.Ay—x=0,解得2=—

故選：D.

2.（2023春?江蘇泰州?高二統(tǒng)考期末）己知三棱柱ABC-4B1G的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面4BC是邊長(zhǎng)為2的正

三角形，乙4遇8=乙414c=60。，若BiC和BQ相交于點(diǎn)M.則|俞|=（）

A.V3B.2C.V5D.V6

【解題思路】以｛荏，而，而｝為基底表示祠，利用平方的方法求得I宿

【解答過程】依題意可知M是的中點(diǎn)，

所以宿=：（宿+說）=1溫+g而

=-(AC+AA^)+-AB=-AC+-AA^+-AB,

2、1722212

所以|宿|=J砌2=J；函+近+畫2

=|JAC2+AA^+AB2+2(AC-AA^+AC-AB+AA^AB)

=丫4+4+4+2(2?2?cos60。x3)=跖

3.（2022?湖北十堰?高三校考階段練習(xí)）如圖，已知空間四邊形04BC,其對(duì)角線為OB,AC,M,N分別為

OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且流=2而，若赤=xH?+y而+z次，則x+v+z=:.

【解題思路】以礪，礪,而為一組基向量，首先而=麗+麗，再將麗，而逐步地用基向量表示，最后

合并整理得出結(jié)果.

【解答過程】由M,N分別為。4BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN匕

且麗=2GN,

所以詬=OM+MG=-'OA+-'MN

23

=^OA+l(ON-OM)

1―2rlz—―1—q

=^OA+-^OB+OC）--OA\

=-OA+-OB+-0C,

633

則％+y+z=

故答案為：

6

4.（2023春?江蘇鹽城?高二校考階段練習(xí)）如圖，設(shè)P是平行四邊形A8CO所在平面外一點(diǎn)，。是平行四

邊形對(duì)角線AC和BQ的交點(diǎn)，。是C。的中點(diǎn)，求下列各式中羽y的值.

⑴OQ=PQ+xPC+yPA\

（2）PA=xPO+yPQ+PD.

【解題思路】（1）利用向量的三角形法則及其向量相等即可得出.

（2）利用向量的三角形法則及其向量相等即可得出.

【解答過程】（1）解：???麗=麗一而

一1一一

=PQ--CPA+PC）

=PQ--PA--PC.

“22

.-.x=y=-1.

（2）解：?；PA+K：=2PO,???PA=2PO-PC.

又???PC+PD=2PQ,PC=2PQ-PD.

從而有訓(xùn)=2PO-（2PQ一同）=2PO-2PQ+~PD.

x=2,y——2.

5.（2022.高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在平行六面體4BCO-&&小/中，E,F分別在8名和上，且BE=

”Bi，=

(1)證明：4、E、G、F四點(diǎn)共面.

(2)若EF=+y4D+zAAi，求x+y+z.

【解題思路】(1)在CCi上取一點(diǎn)G,使得CG=連接EG、DG,根據(jù)平行六面體的性質(zhì)CG〃尸GME〃0G,

即可得到AE〃尸G，即可得證；

(2)結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【解答過程】(I)證明：在CG上取一點(diǎn)G,使得CG=3CCi，連接EG、DG,

在平行六面體4BCD-a/iGDi中，BE=；BB「DF=^DDltCG=)C\,

DF/f^GiLDF=CjG,BE//CG旦BE=CG,

所以四邊形DFGG為平行四邊形，四邊形BEGC為平行四邊形，

所以DG〃2Q,EG//BC旦EG=BC,

)CAD//BCS.AD=BC,

所以EG//4D且EG=AD,

所以四邊形4EGD為平行四邊形，

所以ZE〃/)G,

所以4E〃FCi，

■.A.E、J、F四點(diǎn)共面.

（2）解：因?yàn)槿?函+印=兩+瓦元+印

2________________河=|稱—南+而一河

+B1A1+81cl—

——AB+AD+~AA1—xAB+yAD+zAA^,

即X=-l,y=l,z=3

?,?%+y+z=g.

【考點(diǎn)4空間線、面平行關(guān)系的判定及應(yīng)用】

1.（2023春?四川成都?高二校聯(lián)考期中）已知直線，的方向向量為沆=（1,-2,4）,平面a的法向量為元=-

2）,若直線I與平面a平行，則實(shí)數(shù)x的值為（）

A.-B.--

22

C.10D.-10

【解題思路】依題意可得沅上元，即可得到記?元=0,從而得到方程，解得即可.

【解答過程】因?yàn)橹本€/的方向向量為沆=（1,一2,4）,平面a的法向量為元=（x,l,-2）,

若直線I與平面a平行，則沆_L元，即記?五=0,即x—2—8=0,解得x=10.

故選：C.

2.（2023春?高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD-AiBCiDi中，棱長(zhǎng)為a,M,N分別為AiB,AC的中點(diǎn)，則

與平面的位置關(guān)系是（）

MNBBtC,C

A.相交B.平行

C.垂直D.不能確定

【解題思路】利用而與平面BBiGC的法向量瓦?的數(shù)量積為零，從而得到結(jié)果.

【解答過程】以Ci為原點(diǎn)，GB"CD”CC所在直線為無軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

令a=2,M(2,l,l),N(l,l,2),則麗=(—1,0,1),

平面BBiCiC的法向量為前=(0,2,0)

=-1x04-0x2+1x0=0,又MN<t平面BBICIC

...MN〃平面BBICIC

故選B.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知兩個(gè)不重合的平面a與平面A8C,若平面a的法向量為人=(2,-3,1),

AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),則平面a和平面ABC的位置關(guān)系是平行.

【解題思路】先證明出4_L面ABC,即可證明出平面a和平面A8C平行.

【解答過程】因?yàn)槠矫鎍的法向量為五=(2,-3,1),而=(1,0,-2),4C=(1,1,1),

且正-AB=(^2,-3,1)-(1,0,-2)=24-0-2=0,所以41AB.

同理可證：n；lAC.

乂ABnAC=4,

所以/_1_面ABC.

又大為面a的法向量，

所以面a〃面ABC.

故答案為：平行.

4.(2023?江蘇?高二專題練習(xí))在正方體AB8-A/B/C/。/中，點(diǎn)P在線段4/力上，點(diǎn)。在線段4C上，線

段PQ與直線4。和AC都垂直，求證：PQ//BDt.

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求出而，再根據(jù)共線向量證明即可.

???。4=(1,0,1),AC=(-]f1,0),設(shè)PQ=(4,btc)9

則佗通”

Q+C=0,

即取,二(1,1,-1).

AC-PQ=0,,—CL+/?=0,

易知=(-1,-1,1),

：.PQ=-血，

：.PQ//BDlf

即PQ//BD1.

5.(2023?全國(guó)?高二專題練習(xí))在正方體ABC。-力道由/中，點(diǎn)E,尸分別是正方形4遇￡%和正方形/GCB

的中心.求證：

⑴4G，平面4BC；

(2)EF〃平面4BD；

（3）平面平面&BD.

【解題思路】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得4Gl平面4BD；

（2）利用向量法證得EF〃平面4BD；

（3）利用向量法證得平面當(dāng)EFII平面A/D.

【解答過程】（1）設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

Q(2,2,2),4(0,0,2),8(2,。,0),。(0,2,0),

A^B=(2,0,-2),初=(0,2,-2),

AC1-AXB=0,AC1-AtD=0,

所以力G^-A^.ACiJLA”,

由于4/n&D=4i，所以4Q_L平面&BD.

（2）設(shè)平面4BD的法向量為兀?=

n[-XjB=2*1—2zi=0

故可設(shè)瓦=（1,1,1）.

、五?=2yl-2zi=0

E(l,1,2),尸(2,1,1),而=(1,0,—1)，

n^EF=0,E,尸至平面4BD,

所以EF〃平面&BD.

(3)/(2,0,2),瓦=(0,1,-1),

設(shè)平面BiEF的法向量為而=(X2，y2，z2)，

則便亙=血一Zz=°,故可設(shè)通=(1,1,1).

{n2'B^F=y2-z2-0

幾1=九2，

顯然，平面BiEF與平面。不重合，所以平面4ER平面48D.

【考點(diǎn)5空間線、面垂直關(guān)系的判定及應(yīng)用】

1.（2022秋?四川達(dá)州?高二統(tǒng)考期末）長(zhǎng)方體SBC。-&B1GC1中，力B=3,BC=4,AA1=5,ACaBD=O,M

為CC1中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中與0M垂直的是()

A.04B.BCC.OB】D.AtC

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量逐個(gè)分析判斷即可.

【解答過程】如圖，以D為原點(diǎn)，以。4。&。久所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0))(4,0,0),B(4,3,0),C(030),4(4,0,5),當(dāng)(4,3,5),6(0,3,5),

因?yàn)榱nBD=O,M為CCi中點(diǎn)，

所以。(2,|,0),“(0,3,?

所以而=(一2,|,|),

對(duì)于A,西=(2,-|,5),則西?麗=一4一3+弓=g40,所以O(shè)M與04不垂直，所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,前=(-4,0,0),則近?麗=8#0,所以O(shè)M與BC不垂直，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,西=(2,|,5),則西?麗=-4+：+§片0,所以。M與。Bi不垂直，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,A^C=(-4,3,-5),則中?血=8+g-§=0,所以碇1麗，所以D正確，

故選：D.

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)P是正方體4BCD的棱CD的中點(diǎn)，給出以下結(jié)論:

①4P1G。；

②41P1BD-,

③為P1BG；

④&P1平面BCiD

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①B.②C.③D.@

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間中兩個(gè)向量垂直則數(shù)量積為0逐個(gè)判定即可.

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,建立如圖空間宜角坐標(biāo)系.則審=(-2,1,-2).

對(duì)①，”=(0,-2,-2),因?yàn)椴?C^=0-2+4=2,故①錯(cuò)誤.

對(duì)②.BD=(-2,—2,0),因?yàn)楦?麗=4-2=2,故②錯(cuò)誤.

對(duì)③，跖=(-2,0,2),因?yàn)閷?麗=4-4=0,故③正確.

對(duì)④,由②有41P1BD不成立，故41P_L平面BCi。不成立.故④錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2023春?內(nèi)蒙古呼和浩特.高三統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中

點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MN1OP的是①③(填寫正確的序號(hào))

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量分析判斷即可.

【解答過程】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

對(duì)于①，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(2,0,0),N(0,0,2),P(2,0,1),0(1,1,0),

所以而=(-2,0,2),而=(1,-1,1),所以而?前=-2+0+2=0,所以而1而，即MN1OP,所以①正確,

對(duì)于②，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,L2),0(LLO)，

所以標(biāo)=(0,-2,2),左=(1,0,2),所以而?亦=0+0+4#0,所以而與詞不垂直，即MN與。P不垂直，所以

②錯(cuò)誤，

對(duì)于③,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則M(2,2,2),N(0,2,0)/(0,0,1),

所以而=(-2,0,-2),而=(-1,-1,1),所以而7?而=2+0-2=0,所以而，而，即MN1OP,所以③正確,

對(duì)于④，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(2,0,2),N(0,2,2),P(0,2,1),0(LLO)，

所以而=(-2,2,0),而=(-1,1,1),所以而?前=2+2+0力0,所以而與而不垂直，即MN與OP不垂直，所以

④錯(cuò)誤，

故答案為：①③.

4.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐P-4BCD中，PA1底面力BCD,AB1AD,AC±CD,^ABC=60°

P4=4B=BC=2,E是PC的中點(diǎn).

P

求證：(1)CDLAE；(2)PD_L平面ABE.

【解題思路】方法一：(1)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,得到而、荏，計(jì)算得到而?荏=0,

即證明CDJ.4E.

(2)先寫出與坐標(biāo)，再求出平面ABE的法向量記，驗(yàn)證可知而〃元，即證明PC，平面ABE.

方法二：(1)由P4_L底面ABC。證明P41C。.再結(jié)合4cle?？勺C明CD1平面P4C.從而得到CDJL4E.

(2)由P4底面ABCD證明241AB,再結(jié)合AB1證明_1_平面PAD,從而得到AB1PD-.

再證明4E1PC.結(jié)合CD14E可證AE，平面PCD,得到AE1PD；最后根據(jù)線面垂直的判定即可以證明PD1

平面4BE.

【解答過程】方法-(1)以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4P所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,0),B(2AO),6(1,73,0),D(0,竿,0),P(0,0,2),E所以而=(-l,y,O),AE=(段,1)，

所以CD,AE=—1x—F—x—+0x1=0,所以C。.LAE.

232

(2)由(1),得麗=(0,竽,一2),AB=(2,0,0),AE=(py.l)-

設(shè)向量元=(x,y,z)是平面4BE的法向量，則g?黑二:，即卜刀+",：=0'取丫=2,則元=(0,2,—6),

所以麗=竽亢，所以麗〃元，所以PD平面4BE.

方法二(1)'：PALJ^ABCD,：.PA1CD.又4C_LCD,PAnAC=A,；.CD1平面P4C.u平面

PAC,：.CDLAE.

(2)J_底面ABCO,：.PA1AB.又ABIAO,PAC\AD=A,，平面PAO,：.AB1PD.由題可

得24=AC=2,由E是PC的中點(diǎn)，：.AE1PC.

XCD1AE,PCCCD=C,.XE_L平面PCD,：.AE1PD.'：AB1PD,AE1PD,ABQAE=A,：.PD1

平面ABE.

5.(2023秋?湖南婁底?高二校聯(lián)考期末)如圖，在三棱柱ABC-A^Cr中，，底面ABC,408=90。，

AB=AC=2,AA1=A/3,M為BC的中點(diǎn)，P為側(cè)棱BBr上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面APMJ_平面BBiGC；

(2)試判斷直線BG與4P是否能夠垂直.若能垂直，求PB的長(zhǎng)；若不能垂直，請(qǐng)說明理由.

【解題思路】（1）利用4M1BC,AM1BBi推出AML平面BBiGC,即可證明面面垂直;

⑵建系，寫出8,G，4的坐標(biāo)，設(shè)BP=t（O<t<V3）,利用直線BG與4P能垂直，數(shù)量積為零，求出t=竽,

t=^>BB1,不能垂直.

【解答過程】（I）因?yàn)樵谌庵鵄BC-AiB^中，，底面=90。，48=4C=2,44=V3,

M為BC的中點(diǎn)，P為側(cè)棱BBr上的動(dòng)點(diǎn).

所以AM1BC,AM1BBi，

因?yàn)锽CnBBi=B,u平面BBQC

所以4M，平面BBiGC,

因?yàn)锳Mu平面4PM,

所以平面4PM，平面BBiGC.

（2）以4為原點(diǎn)，4c為x軸，4B為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

B（0,2,0）,Cx（2,0,V3）,4（0,0,0）,

設(shè)BP=t（04CW6）,

則P（0,2,t）,蚓=（2,-2,V3）,AP=（0,2,t）,

若直線BG與AP能垂直，則反7?而=0—4+百￡=0,

解得t=竽,

因?yàn)閠=>BBi=V3>

所以直線BQ與AP不能垂直.

【考點(diǎn)6利用空間向量研究距離問題】

1.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高二?？计谀┮阎襟w4BCD-4B1GD1的棱長(zhǎng)為2,E、尸分別為上底面AiBiGA

和側(cè)面CO5G的中心，則點(diǎn)0到平面4E尸的距離為（）

?1111411

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出點(diǎn)。到平面4EF的距離.

【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

4(0,0,0),E(l,l,2),F(l,2,l),￡>(0,2,0),AE=(1,1,2),AF=(1,2,1),AD=(0,2,0)

設(shè)平面4EF的法向量為五=(x,y,z),佇.?x+y+2z°,令z=-i,得元=(3,一1,一1)

?n=x+2y+z=0

則點(diǎn)。到平面4EF的距離為喀=去=甯.

|n|vll11

故選：A.

2.(2023秋?高二課時(shí)練習(xí))正方體48co-4當(dāng)心。］的棱長(zhǎng)為1,則平面/劣為與平面8。的的距離為()

A.V2B.V3C.—D.—

33

【解題思路】將平面力/Di與平面8DG的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)8到平面AB1)的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，，然

后用空間向量求解.

【解答過程】由正方體的性質(zhì)：4Bi〃￡>G，DiBi〃DB,

ABtC\D1BA=BA,DCrADB=D,

且A%u平面AB也,D/iu平面力Bi%

u平面u平面

DCXBOQ,DBBCG，

所以平面4/么小平面BDCi,

則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離.

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，￡>4。。,。。1所在的直線分別為羽.2軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由正方體的棱長(zhǎng)為1,所以4(1,0,0),

C(0,l,0),Bi(LLl)，。式0,0,1)

所以西=(1,-L1)，BA=(0,-1,0),

福=(0,1,1),甌=(-1,-1,0).

連接4C，

由西AB^=(1,-1,1)-(0,1,1)=1x0+(-1)x1+1x1=0,西?&D；=(1,-1,1)?(-1,-1,0)=1x

(-1)+(-1)x(-1)+1x0=0,

所以C4；1AB；nCAr1ABVCAi1瓦6=>CAr1B1D1,

且ABiAB1D1=B],

可知C4iL平面

得平面的一個(gè)法向量為兩*=n=(1,-1,1)?

則兩平面間的距離：

,_IgXnl_Oxl+(-l)x(-l)+Oxl__過

-I|n|I—一^+(-1)2+12-—萬一

故選：D.

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-48C0中，P41平面4BCD,底面4BC。為正方形，且P4=

AB=2,F為棱P。的中點(diǎn)，點(diǎn)M在H4上，且PM=2M4則CD的中點(diǎn)E到直線“尸的距離是叵.

【解題思路】以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn),48、40、4。所在直線分別為小丫、2軸建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出8$行尸”、

sinZFFM,進(jìn)而可計(jì)算得出點(diǎn)E到直線FM的距離為d=|而卜in/EFM.

【解答過程】因?yàn)?4J?平面48CD,底面4BCC為正方形，

以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，48、AD,4P所在直線分別為工、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

FM=(0,-1,-i),FE=(1,1,-1)-coszEFM==―,

\3/'，')\FM\\FE\叵XW15

所以，sinzEFM=Vl-cos2Z.EFM=箸，

所以，CD的中點(diǎn)E到直線MF的距離d=[FE\sinAEFM=百x等=等.

故答案為：華.

4.（2023春?高二單元測(cè)試）如圖，四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為矩形，側(cè)面P4D為正三角形，AD

2,AB=3,平面PAD1平面ABCD,E為棱PB上一點(diǎn)（不與P,B重合），平面4DE交棱PC于點(diǎn)F.

pt

F

K7C

AB

(1)求證：AD//EF-,

(2)若二面角E-AC-B的余弦值為噤，求點(diǎn)B到平面4EC的距離.

【解題思路】(1)根據(jù)線面平行的判定定理推出AD〃平面PBC,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得4C〃EF；

(2)取4D的中點(diǎn)0,連P。，取BC的中點(diǎn)G,連0G,可證P0,4D,0G兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，。4。6,。2所在直線為*/*軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意平面4EC和平面BAC的法向量，

再用點(diǎn)面距公式可求出結(jié)果.

【解答過程】⑴因?yàn)?BCD為矩形，所以4D〃BC,

又ADC平面PBC,BCu平面PBC,

所以力?！ㄆ矫鍼BC,又平面PBCn平面4EFO=EF,4。在面AEFD|*J,

所以4D〃EF.

(2)取4。的中點(diǎn)。，連P0,取BC的中點(diǎn)G,連0G,則。G14。，

因?yàn)閭?cè)面P4C為正三角形，所以P。1AD,

因?yàn)槠矫鍼ADJ?平面ABCD,平面P40C平面4BCD=AD,P。u平面PAD,

所以P0J_平面A8CD,乂。Gu平面4BCD,所以P。10G,

所以P。,AC,0G兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，040G,。尸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)?2,且側(cè)面PAD為正三角形，所以P0=V3,乂AB=3,

所以4(1,0,0),8(1,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,V3),AB=(0,3,0),

設(shè)而=tPB,顯然tG(0,1),

所以而=(1,3,一遍)，AP=(-l,0,V3),AC=(-2,3,0),

AE=AP+PE=AP+tPB=(-l,0,V3)+t(l,3,-V3)=(t-l,3t,V3-V3t),

設(shè)平面4EC的一個(gè)法向量為訪=(x,y,z),

貝"沆.荏=(：2萬+30+(舊一方少=0,取“3,則y=2,z=

(m-AC=-2%+3y=0e1

則記=(3,2,回詈)，

t-1

取平面84c的一個(gè)法向量為i?=(0,04),

則|cos＜沅國(guó)＞|=粵=，=^1q=哼，得需率=27,解得t=|.

際1同1c…3(31)220(t-1)23

所以布=(3,2,—3福)，所以荏=(一］,2凈,BE=AE-AB=(-1,2,y)-(0,3,0)=

所以點(diǎn)B到平面4EC的距離為簪=與妄=粵.

5.(2023春?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在長(zhǎng)方體力BCD-41當(dāng)6。1中，AXA=2AB=2BC=2,E為線段。5的

中點(diǎn)，尸為線段BB］的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)A到直線&E的距離；

⑵求直線FC1到直線4E的距離；

⑶求點(diǎn)占到平面ABiE的距離.

【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行計(jì)算；

(2)在第一問的基礎(chǔ)匕得到局〃荏，從而利用空間點(diǎn)到直線距離公式求出直線FG到直線4E的距離:

(3)求出平面4%E的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求出答案.

【解答過程】(1)建立如圖所示以DA、DC、為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系,

則。(000),4(1,0,0),C(0,l,0),Di(0,0,2),B(l,l,0),F(0,0,l),

41(1,0,2),Cj(0,1,2),Bi(1,1,2),F(l,l,l).

設(shè)點(diǎn)兒到直線的距離為d「

*ML誓&

則點(diǎn)4到直線&E的距離為生

(2)FQ=(-1,0,1),=(-1,0,1),故碼〃荏

EF=(1,1,0),

設(shè)直線FC1到直線4E的距離為d2,則d2即為尸到直線AE的距離;

.?@='|前2一(需)4

則直線FG到直線/E的距離為當(dāng)

(3)設(shè)平面48摳的法向量為記=(x,y,z),

由］nAE=(x,y,z)■(-1,0,1)=-x+z=0

In-B^E=(x,y,z)-(-1,-1,-1)=-x-y-z=0

令x=l,則y=-2,z=l,所以元=(1,一2,1)

設(shè)點(diǎn)占到平面ABiE的距離為d3，

?J_|匹瓦司_|(0,1,0)(1,-2,1)|_V6

??%---一-J1+4+1--~3f

則點(diǎn)占到平面的距離為生

【考點(diǎn)7利用空間向量求空間角】

1.(2023春?重慶沙坪壩?高一?？计谀?如圖，平行六面體4BCD-&B1C1D1中，AB=2,AD=3,441=3,

/-BAD=48441==全貝物。與BD1所成角的大小為（）

A.-B.-C.-D.—

4323

【解題思路】設(shè)荏=①而=另，麗（=冷表示出瓦？=3一乙BDi=b+c-a,計(jì)算月工?西=0,即

可求得答案.

【解答過程】設(shè)荏=匕而=耳福=乙則同=2,|瓦=3,6|=3,

三向量而=a,AD=b,AA[=5的夾角皆為以

由題意可得瓦下=近一西—泊BDl=AD[-AB=b+c-d,

故-BD；=（b—c）-（b+c—a'）=b2—b-a—c2+a.-c

=9-2x3xc竭-9+2x3xcos；=0,

即瓦忑1西，所以BiC與BD1所成角的大小為;,

故選：C.

2.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）在平行四邊形4BC0中，角4=248==1,將三角形4BC沿8。翻折

6

到三角形4BD,使平面4BD1平面BCD.記線段A'C的中點(diǎn)為M,那么直線4。與平面BDM所成角的正弦值

【解題思路】由余弦定理，則8。=4。=1,^DBA=^A=~,4/WB=W，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)

63

系，利用向量法解決線面角問題.

【解答過程】A=-,AB=y[3,AD=1,由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2ABAD-cosA=V32+l2-2x

6

V3x1xcos-=1,

6

則BD=AD=1,乙DBA=^A=~,乙ADB=

63

平面4BD，平面BCD,Z.A'DB=/.ADB=y,DC=AB=&A'D=AD=BD=1,

以。為原點(diǎn)，08所在直線為y軸，平面48。內(nèi)垂直于08的直線為x軸，垂直于平面ABD的直線為z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝！]￡）（0,0,0）,A（今一：,0）,8（0,1,0）,C（一表|，。），&（-華，：，手）,

西=(仇心與，麗=(?！?,0),麗=(-T)PT)1

n-DB=y=0

設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為五=(%,y,z),則有——,w173

n?DM=---%4--yH---z=0

42/4

令x=l,有y=0,z=1,即元=(1,0,1),

cosn,DA'="=-勺=—,

|n|.|DAz|lxV24

所以直線4'D與平面BDM所成角的正弦值為手.

4

故選：A.

3.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多

年，書中將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉腌.如下圖，四面體P-ABC為鱉席，出，平面ABC,

A8_LBC,且P4=AB=BC=1,則二面角A-PC-B的余弦值為:_

p

AC

B

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面4PC與平面尸8。的法向量，然后利用公式計(jì)算即可.

【解答過程】依據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

做0。0),8(1。0),P(0,0,l),C(1,LO)，

所以前=(1,1,0),AP=(0,0,1),BC=(0,1,0),~PB=(1,0,-1).

設(shè)平面APC的法向量為五=(力,月,冬)

(n^.AC=0.(Zi=0

居＞而=0,?‘卜+丫1=。

不妨設(shè)%=1,則與=-1.可'=(-1,1,0)

設(shè)平面P8C的法向量為荻=(x2,y2,z2)

(n2'BC—0,(、2=0

[n；-PB=O'"lx2-z2=0

不妨設(shè)*2=1，則z2=1,y2-0,nJ=(1,0,1)

設(shè)4-PC-B為a,則cosa=|cosmi，@〉l=昌黑=房行=

|n1||n2|v2y22

故答案為：

4.（2023春?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）如圖，正四棱錐P-4BCO的高為2VL體積為等.

R

冷...\-->C

V

（1）求正四棱錐P-4BCD的表面積；

（2）若點(diǎn)E為線段P8的中點(diǎn)，求直線A