全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及模擬試題集-全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題(一)

企國名中數(shù)老寐賽模加裁敢(一)

(命題人：吳偉朝)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

1、方程6X(5a2+/)=5c2滿足cW20的正整數(shù)解(a,b,c)的個(gè)數(shù)是

(A)1(B)3(C)4(D)5

r2

2、函數(shù)y=―-(xGR,xWl)的遞增區(qū)間是

(A)x22(B)xWO或x?2

(C)xWO(D)xWl-后或及

3、過定點(diǎn)P(2,l)作直線/分別交x軸正向和y軸正向于A、B,使aAOB(。

為原點(diǎn))的面積最小，貝卜的方程為

(A)x+y-3=0(B)x+3y-5=0

(C)2x+>-5=0(D)x+2y—4=0

4、若方程cos2x+百sin2x=a+l在0,—上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x,則參

L2」

數(shù)a的取值范圍是

(A)OWaVl(B)-3《<1

(C)a<\(D)0<a<l

5、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項(xiàng)是

(A)42(B)45(C)48(D)51

6、在1,2,3,4,5的排列中，滿足條件42>。3,43VM。4

>。5的排列的個(gè)數(shù)是

(A)8(B)10(C)14(D)16

二、填空題：(每小題9分，共54分)

1、國表示不大于x的最大整數(shù)，則方程;X*+X]=]9X+99的實(shí)數(shù)解x

是.

2

2、設(shè)m=1,an+i—2an+n,則通項(xiàng)公式a“=.

3、數(shù)799被2550除所得的余數(shù)是.

4、在△ABC中，ZA=—,sinB=—,則cosC=______________.

313

5、設(shè)屋6是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程/一(2k+l)x+F—1=0的兩個(gè)根為

sin。和cosa則由勺取值范圍是.

6、數(shù)(5+后廣(〃￡N)的個(gè)位數(shù)字是.

三、(20分)

已知x、y、z都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且x+y+z=L

求證:x(1—2x)(1—3x)+y(1—2y)(1—3y)+z(1—2z)(1—3z)0,并確

定等號(hào)成立的條件.

四、(20分)

(1)求出所有的實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程?+(a+2002)x+?=0的兩根

皆為整數(shù).

(2)試求出所有的實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的方程/+(—a2+2a+2)x—2/—

2a=0有三個(gè)整數(shù)根.

五、(20分)

試求正數(shù)r的最大值，使得點(diǎn)集T={(x,y)|x、y^R,且》2+。一

</}一定被包含于另一個(gè)點(diǎn)集S={(x,y)|x、y￡R,且對(duì)任何66R,都有

cos29+xcose+y20}之中.

第二試

一、(50分)

設(shè)a、b、cWR,b#ac,aW-c,z是復(fù)數(shù)，且z?—(a—c)z—b=0.

求證：-(a+c、)z=i的充分必要條件是(a—c)2+46W0.

ac-h

(50分)

如圖，在△ABC中，NA8C和NACB均是銳角,

BD

。是邊上的內(nèi)點(diǎn)，且AO平分NBAC,過點(diǎn)。分別向兩條直線A6、AC

作垂線OP、DQ,其垂足是P、Q,兩條直線。尸與8。相交與點(diǎn)K.求證：

(1)AK±BC；

(2)AK<AP=AQ<AABC,其中S^BC表示△ABC的面積.

BC

三、（50分）

給定一個(gè)正整數(shù)〃，設(shè)〃個(gè)實(shí)數(shù)處,。2,…，斯?jié)M足下列n個(gè)方程:

n%4

(j=l,2,3,-,n).

E2/77

/=1i+j

確定和式的值（寫成關(guān)于〃的最簡式子）.

白2?+1

參考琴嗓

第一試

一、選擇題:

題號(hào)123456

答案CCDABD

二、填空題：

1181或1587.\2°2

1>----或----；2>7X2n-n—2〃一3；

3838

1/5有-12

3、343；4、-------；

26

5、{4用2〃4十誡2”不一?，?eZ}；6、1（〃為偶數(shù)）；7（〃為奇數(shù)）.

111

x=y=—?"='=2或y=z=-

三、證略’等號(hào)成立的條件是-2或<1?

2=0y=02=0

四、(1)a的可能取值有0,-1336,-1936,-I960,-2664,一4000,-2040；

(2)a的可能取值有-3,11,-1,9.

五、rmax-4A/^".

第二試

一、證略（提示：直接解出一",通過變形即得充分性成

2

立，然后利用反證法證明必要性）.

二、證略（提示：用同一法，作出8C邊上的高AR,利用塞瓦定理證明AR、BQ、

CP三線共點(diǎn)，從而AK_L8C；記AR與尸。交于點(diǎn)T,則2s.=4R>AT>

AQ=AP,對(duì)于可證NAPKVNAKP）.

1

三、S=一+1.

(2〃+1)2

全國裔中數(shù)老寐賽模料信奧（二）

（命題人：江厚利審題人：李潛）

第一試

一、選擇題（每小題6分，共36分）

1、已知集合A=<(x,y)^~~|=a+l>,5={(x,y)|(a2-l)x+(a-l)y=若

4口8=0，則。的所有取值是

(A)-1,1(B)-1,

2

(C)±1,2(D)±1,

2、如圖1,已知正方體ABC。一AiBiGQ,點(diǎn)

在ABi、BC,±,S.AM=BN.那么，

?AAi±MN；

②AC〃MN；

③MN〃平面AiBiGQ；

④MN與4G異面.A

以上4個(gè)結(jié)論中，不正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為'圖1?

(A)1(B)2(C)3(D)4

3、用工與斯分別表示區(qū)間［0,1)內(nèi)不含數(shù)字9的九位小數(shù)的和與個(gè)數(shù).則

lim區(qū)的值為

…S“

3579

(A)-(B)-(C)-(D)-

4444

4、首位數(shù)字是1,且恰有兩個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)共有

(A)216個(gè)(B)252個(gè)(0324個(gè)(D)432個(gè)

5、對(duì)一切實(shí)數(shù)x,所有的二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+cQa<b)的值均為非負(fù)

實(shí)數(shù).則士巴-的最大值是

a+b+c

(A)-(B)-(C)3(D)2

32

22

6、雙曲線三-2=1的一個(gè)焦點(diǎn)為為，頂點(diǎn)為4、①，P是雙曲線上任意

ab

一點(diǎn).則分別以線段PF】、A1A2為直徑的兩圓一定

(A)相交(B)相切

(C)相離(D)以上情況均有可能

二、填空題(每小題9分，共54分)

,7+j

1、已知復(fù)數(shù)Z1=2+i,2z,=m—.若△A6C的3個(gè)內(nèi)角NA、/B、

⑵+1)-芍

NC依次成等差數(shù)列，且"=cosA+2icos25,則M+Z2I的取值范圍

是.

2、點(diǎn)P(a,b)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作一直線/,分別交x、y軸的正半軸于A、

B兩點(diǎn).那么，尸屋十尸)取最小值時(shí)，直線/的斜率為.

3、若△A6C是鈍角三角形，則arccos（sinA）+arccos（sin6）+arccos（sinC）的取

值范圍是.

4、在正四面體A8CO中，點(diǎn)M、P分別是AO、CO的中點(diǎn)，點(diǎn)N、。分別

是△BCO、AABC的中心.則直線MN于PQ的夾角的余弦值為.

5、在（?+2片的展開式中，x的幕指數(shù)是整數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和是.

6、集合A、B、C（不必兩兩相異）的并集AUBUC=｛1,2,3,…則滿足

條件的三元有序集合組（A,8,0的個(gè)數(shù)是.

三、（20分）

設(shè)p>0,當(dāng)P變化時(shí)，Cp：y2=2px為一族拋物線，直線/過原點(diǎn)且交

。于原點(diǎn)和點(diǎn)A。.又M為x軸工異宇原點(diǎn)的任意點(diǎn)，直線MA2交Cp于點(diǎn)

A。和場.求證：所有的點(diǎn)跖在同一條直線上.

四、（20分）

對(duì)于公差為d（dWO）的等差數(shù)列｛為｝,求證：數(shù)列中不同兩項(xiàng)之和仍是這

一數(shù)列中的一項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù)1,使ax=md.

五、（20分）

求最大的正數(shù)2使得對(duì)任意實(shí)數(shù)。、b,均有

Aa2b2(a+byW(a2+ab+h2^f.

第二試

一、（50分）

如圖2,。。切△ABC的邊A6于點(diǎn)O,切邊AC于點(diǎn)C,M是邊8c上

一點(diǎn)，AM交CD于點(diǎn)、N.求證：M是8C中點(diǎn)的充要條件是ONLBC.

二、（50分）

求出能表示為“=（"+力+，'）一（a、氏cCZ+）的所有正整數(shù)〃.

abc

三、（50分）

在一個(gè)（2"-l）x（2"-1）（〃22）的方格表的每個(gè)方格內(nèi)填入1或一1,如

果任意一格內(nèi)的數(shù)都等于與它有公共邊的那些方格內(nèi)所填數(shù)的乘積，則稱這

種填法是“成功”的.求“成功”填法的總數(shù).

參考答嗓

第一試

一、選擇題:

題號(hào)123456

答案DBDDAB

二、填空題:

4ab

2、

a

1

4、

18

6、7”.

三、證略.

四、證略.

五、4ax年77

第二試

一、證略；

二、1,2,3,4,5,6,89

三、1種(每空填1).

全國方中劇學(xué)藤賽模加曲奧(三)

(命題人：吳偉朝)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

1、若集合S={〃|〃是整數(shù)，且22〃+2整除2003“+2004},則S為

(A)空集0(B)單元集(C)二元集(D)無窮集

2、若多項(xiàng)式f—x+1能除盡另一個(gè)多項(xiàng)式/+/+仆+灰q、b皆為常數(shù)).則

a+b等于

(A)0(B)-1(C)1(D)2

3、設(shè)。是整數(shù)，關(guān)于x的方程工2+5一3廢+/=0的兩個(gè)實(shí)根為修、通，且

tan(arctanxi+arctanx2)也是整數(shù).則這樣的a的個(gè)數(shù)是

(A)0(B)1(C)2(D)4

4、設(shè)一個(gè)四面體的體積為匕，且它的各條棱的中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)凸多面體，其

體積為V2.則匕■為

匕

i9

(C)常數(shù)，但不等于工和4

23

(D)不確定，其值與四面體的具體形狀有關(guān)

5、在十進(jìn)制中，若一個(gè)至少有兩位數(shù)字的正整數(shù)除了最左邊的數(shù)字外，其

余各個(gè)數(shù)字都小于其左邊的數(shù)字時(shí)，則稱它為遞降正整數(shù).所有這樣的

遞降正整數(shù)的個(gè)數(shù)為

(A)1001(B)1010(C)1011(D)1013

6、在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，能構(gòu)成一個(gè)直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的直角三點(diǎn)

組的個(gè)數(shù)是

(A)36(B)37(C)48(D)49

二、填空題：(每小題9分，共54分)

1、若直線xcose+ysin9=cos2。-sin2e(0V6V7T)與圓x?+y2=工有公共點(diǎn)，

則陰勺取值范圍是.

2、在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，一個(gè)圓經(jīng)過(0,2)、(3,1),且與x軸相切.則

此圓的半徑等于.

3、若常數(shù)。使得關(guān)于x的方程

lg(x2+20x)—lg(8x—6a—3)=0

有惟一解.則。的取值范圍是.

r2

4、/(x)=—+xcosx+cos(2x)(xGR)的最小值是.

8

5、若女是一個(gè)正整數(shù)，且2k整除

C，6+C；0063a…+CK3,+…+C牒3?。。3

則k的最大值為.

6、設(shè)A8CD為凸四邊形，AB=7,BC=4,CD=5,DA=6,其面積S的取

值范圍是(a力］.則。+匕=.

三、(20分)

設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為8、F2,左準(zhǔn)線為/，點(diǎn)P在橢圓上.作尸Q_L

I,。為垂足.試問：對(duì)于什么樣的橢圓，才存在這樣的點(diǎn)P,使得「。r出

為平行四邊形？說明理由(答案用關(guān)于離心率e的等式或不等式來表示).

四、(20分)

設(shè)ao=l,ai=2,an+i=2an.i+n,“=1,2,3,….試求出a”的表達(dá)式(答

案用有限個(gè)關(guān)于〃的式子相加的形式表示，且項(xiàng)數(shù)與〃無關(guān)).

五、(20分)

試求出所有的有序整數(shù)對(duì)(a,6),使得關(guān)于x的方程x4+(2b-a2)x2—2ax

+從一1=0的各個(gè)根均是整數(shù).

第二試

一、（50分）

點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，SLZBAP^ZCAP,連結(jié)6P并延長交AC于點(diǎn)Q.設(shè)

N6AC=60°且上+!」

BPPCPQ

求證：P是△ABC的內(nèi)心.

二、（50分）

b

設(shè)正數(shù)。、人滿足。＞且使得關(guān)于x的不等式

＞Jx—12aJx+1—b

總有實(shí)數(shù)解.試求式a力）=。2—3帥+/的取值范圍.

三、（50分）

試求出正整數(shù)k的最小可能值，使得下述命題成立：對(duì)于任意的k個(gè)整

數(shù)四,。2,…，伙（允許相等），必定存在相應(yīng)的左的整數(shù)Xg,…網(wǎng)（也允許相

等），且|卻＞2?=1,2,㈤+悶+…+網(wǎng)會(huì)。，使得2003整除xg+x2a2

+…+x*a?.

參考答嗓

第一試

一、選擇題:

題號(hào)123456

答案CCBADC

二、填空題：

1、HU停用；2、15±66

5、2004；6、27210.

四、。2"=2"-2—2〃-3；42"+i=3X2"+i—2〃-4.

五、（a,b）=⑵一1,產(chǎn)一/—1）（V/￡Z）

第二試

一、證略（提示：將條件變形為￡9?必+1=",然后應(yīng)用正弦定理，進(jìn)行三角

PAPBPQ

變換，得N8PC=120°,利用同一法即證）；

二、(一8,-1).

全國裔中趙學(xué)賽賽模料能奧(8)

(命題人：劉康寧)

第一試

一、選擇題(每小題6分，共36分)：

1、函數(shù)/(%)=是奇函數(shù)的充要條件是

|x+tz|-a

(A)一1《VO或OVaWl(B)后一1或心1

(C)a>0(D)a<0

2、已知三點(diǎn)4(-2,1)、8(—3,—2)、。(一1,一3)和動(dòng)直線/：y=kx.當(dāng)點(diǎn)A、

8、C到直線/的距離的平方和最小時(shí)，下列結(jié)論中，正確的是

(A)點(diǎn)A在直線/上(B)點(diǎn)B在直線/上

(C)點(diǎn)。在直線/上(C)點(diǎn)A、B、。均不在直線/上

3、如圖，已知正方體ABCD-AXB\C\D\,過頂點(diǎn)Ai

在空間作直線I，使I與直線AC和BCi所成的角

都等于60°.這樣的直線/可以做

(A)4條(B)3條

(C)2條(D)1條

4、整數(shù)的〃=C黑兩位質(zhì)因數(shù)的最大值是

(A)61(B)67

(C)83(D)97

5、若正整數(shù)。使得函數(shù)y=/(x)=x+J13-2辦的最大值也是整數(shù),則這個(gè)

最大值等于

(A)3(B)4(C)7(D)8

6、在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則將某些數(shù)染成紅色.先染1,

再染2個(gè)偶數(shù)2、4；再染4后面最鄰近的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5、7、9；再染9

后面最鄰近的4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個(gè)連

續(xù)奇數(shù)17、19、21、23、25.按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列

1,2,4,5,7,9,12,14,16,17,….則在這個(gè)紅色子數(shù)列中,由1

開始的第2003個(gè)數(shù)是

(A)3844(B)3943(C)3945(D)4006

二、填空題(每小題9分，共54分)：

1、在復(fù)平面上，的頂點(diǎn)A、B、。分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)z+1、2z+l、(z

+1-A為直角頂點(diǎn)，且⑶=2.設(shè)集合{訓(xùn)z"'eR,機(jī)￡N+},P={x\x

=《，m&M}.則集合「所有元素之和等于.

2、函數(shù)段）=|sinx|+si/2x+|cosx|的最大值與最小值之差等于

3、關(guān)于x的不等式

x2+（2a2+2）x—a2+4tz—7

x-++4ti-5）x-ci~+4ci—7

的解集是一些區(qū)間的并集，且這些區(qū)間的長度的和小于4,則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

4、銀行計(jì)劃將某項(xiàng)資金的40%給項(xiàng)目“投資一年，其余的60%給項(xiàng)目N.預(yù)

計(jì)項(xiàng)目M有可能獲得19%到24%的年利潤，N有可能獲得29%到34%的

年利潤.年終銀行必須回籠資金，同時(shí)按一定的回扣率支付給儲(chǔ)戶.為

使銀行的年利潤不少于給M、N總投資的10%而不大于總投資的15%,

則給儲(chǔ)戶的回扣率的最小值是.

5、已知點(diǎn)（。,6）在曲線arcsinr=arccosy上運(yùn)動(dòng)，且橢圓ax2+by2=\在圓x2

2

的外部（包括二者相切的情形）.那么，的取值范圍

忑arcsinb

是.

6、同底的兩個(gè)正三棱錐內(nèi)接于同一個(gè)球.已知兩個(gè)正三棱錐的底面邊長為a,

球的半徑為R.設(shè)兩個(gè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為a、生則

tan（a+0的值是.

三、（20分）

△ABC的三邊長a、b、c（aWbWc）同時(shí)滿足下列三個(gè)條件

(i)。、b、c均為整數(shù)；

(ii)a、b、c依次成等比數(shù)列;

（iii）a與c中至少有一個(gè)等于100.

求出的所有可能的解.

四、（20分）

在三棱錐O-A6C中，AD=a,BD=b,AB=CD=c,且ND46+NR4C

+ND4C=180°,ZDBA+ZABC+ZDBC=180°.求異面直線AO與8c

所成的角.

五、（20分）

設(shè)正系數(shù)一元二次方程數(shù)2+云+。=0有實(shí)根.證明:

4

（1）max{a,b,c}2—（a+b+c）；

(2)min{o,Z?,c}W—(G+5+C).

4

第二試

一、（50分）

已知AABC的外角ZEAC平分線與△ABC的外接圓交于。，以CO為直

徑的圓分別交BC、C4于點(diǎn)P、Q.

求證：線段PQ平分aABC的周長.

二、（50分）

已知x（）=1,Xi=3,xn+\—6x（l—xn.i（〃GN+）.

求證：數(shù)列｛%“｝中無完全平方數(shù).

三、（50分）

有2002名運(yùn)動(dòng)員，號(hào)碼依次為1,2,3,…，2002.從中選出若干名運(yùn)

動(dòng)員參加儀仗隊(duì)，但要使剩下的運(yùn)動(dòng)員中沒有一個(gè)人的號(hào)碼數(shù)等于另外兩人

的號(hào)碼數(shù)的乘積.那么被選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動(dòng)員至少能有多少人？給出你的選

取方案，并簡述理由.

永考率案

第一試

一、選擇題:

題號(hào)123456

答案CDBACB

二、填空題：

1、-；2、V2；

7

3、［1,3］；4、10%；

u「乃萬乃1/4柩R

|_64)(43」3a

三、可能解為(100,100,100),(100,110,121),(100,120,144),(100,130,169),

(100,140,196),(100,150,225),(100,160,256),(49,70,100),(64,80,100),

(81,90,100),(100,100,100).

\b2-c2\

四、arccos---；~~1.

五（1）證略（提示：令a+b+c=f,分和4/?〈與4討論）；

99

（2）證略（提示：分和討論）；

44

第二試

一、證略；

二、證略（提示：易由特征根法得X?=lp342A/2）4-（3-2-\/2）,設(shè)為=

■^=^（3+2-72）"-（3-2A/2）,于是x；-2y：=1,原結(jié)論等價(jià)于方程X4-27

=1無整數(shù)解，由數(shù)論只是可證）.

三、43.

企國富中數(shù)君寐賽模料徐敢(A)

(命題人：羅增儒)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

1、空間中〃(〃23)個(gè)平面，其中任意三個(gè)平面無公垂面.那么，下面四個(gè)

結(jié)論

(1)沒有任何兩個(gè)平面互相平行；

(2)沒有任何三個(gè)平面相交于一條直線；

(3)平面間的任意兩條交線都不平行；

(4)平面間的每一條交線均與〃-2個(gè)平面相交.

其中，正確的個(gè)數(shù)為

(A)1(B)2(C)3(D)4

2、若函數(shù)y/x)在口⑸上的一段圖像可以近似地看作直線段，則當(dāng)ce(a,b)

時(shí)，犬c)的近似值可表示為

(A)兒)+陽

-2

(C)僅一，)/(2+(；-。)/⑸(D)/(a)—_[/⑸一/⑷]

[b-a)b-a

3、設(shè)Q>6>C,Q+6+C=1,且〃2+。2+02=1,則

(A)a+b>1(B)a+b=\(C)a'\-h<1

(D)不能確定，與〃、。的具體取值有關(guān)

4、設(shè)橢圓W+A=1的離心率6=無，已知點(diǎn)p(o,3］到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)

a2b22I2)

距離是2,則短半軸之長q

4

(A)—(B)-(C)-(D)-

16842

5、S={1,2,…,2003},A是S的三元子集，滿足：A中的所有元素可以組成等

差數(shù)列.那么，這樣的三元子集A的個(gè)數(shù)是

(A)C2003(B)C100l+C]0O2

(C)A100)+AI002(D)A2003

6、長方體ABC。-AiSGOi，AG為體對(duì)角線.現(xiàn)以A為球心，AB.AD.

A4、AG為半徑作四個(gè)同心球，其體積依次為匕、外、3、匕，則有

(A)V4<Vi+V2+V3(B)V4=VI+V2+V3

(C)V4>VI+V2+V3(D)不能確定，與長方體的棱長有關(guān)

二、填空題：（每小題9分，共54分）

?33

1、已知生注="等=左，則人的取值范圍為___________________.

sinpcos/

2、等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)m=8,且存在惟一的k使得點(diǎn)伏,四）在圓x2+/=102上，

則這樣的等差數(shù)列共有個(gè).

3、在四面體P—ABC中，PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且“Vb,貝H的取

b

值范圍為.

4、動(dòng)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=4（cos什isin如定點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2,點(diǎn)C為

線段A8的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線交0A與。，則。所在的軌跡方程

為.

2003

5、之3?被8所除得的余數(shù)為.

k=]

6、圓周上有100個(gè)等分點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為一.

三、（20分）

已知拋物線y2=2px（p>0）的一條長為1的弦AB.求A3中點(diǎn)M到y(tǒng)

軸的最短距離，并求出此時(shí)點(diǎn)用的坐標(biāo).

四、（20分）

單位正方體ABC。-A由中，正方形A8CO的中心為點(diǎn)〃，正方

形AiSGd的中心為點(diǎn)N,連AN、BiM.

（1）求證：AN、為異面直線；

（2）求出AN與的夾角.

五、（20分）

對(duì)正實(shí)數(shù)。、b、c.求證：

yla2+Sbcy/b2+8acVc2+8ab

--------d----------1---------39.

abc

第二試

一、(50分)

設(shè)ABCD是面積為2的長方形，P為邊CD上的一點(diǎn)，。為APAB

的內(nèi)切圓與邊AB的切點(diǎn).乘積PA?PB的值隨著長方形ABCD及點(diǎn)P

的變化而變化，當(dāng)PA?PB取最小值時(shí)，

(1)證明：AB22BC；

(2)求AQ-BQ的值.

二、(50分)

給定由正整數(shù)組成的數(shù)列

a,==2、

\12(心1).

4“+2=""+1+”“

(1)求證：數(shù)列相鄰項(xiàng)組成的無窮個(gè)整點(diǎn)

(田㈤，(的㈤，…，(儂1M2。，…

均在曲線x2+xy-y2+l=0上.

(2)若設(shè)/)=》"+/*-斯￥-斯一1,g(x)=x2-x-l,證明：g(x)整除於).

三、(50分)

我們稱A4,…4為集合4的一個(gè)〃分劃，如果

(1)4U4U…U4,=A；

(2)4C\A^0,lWi<jWn.

求最小正整數(shù)m,使得對(duì)A={1,2,…,〃?}的任意一個(gè)13分劃

442,…413,一定存在某個(gè)集合4(1WiW13),在4中有兩個(gè)元素a、b

Q

滿足

8

永考卷案

第一試

一、選擇題:

題號(hào)123456

答案DCACBC

二、填空題：

1、(…他團(tuán)；2、17；

5、4；6、117600.

2

四、(1)證略；(2)arccos—.

3

五、證略.

第二試

一、(1)證略(提示：用面積法，得最小值為2,此時(shí)NAPB=90°)；

(2)AQ?BQ=\.

二、證略(提示：用數(shù)學(xué)歸納法).

三、m=l17.

全國方中懿老聯(lián)賽核加彼觀(^)

(命題人：秦永茍春鵬)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

1、在復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)ZI、Z2在以i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上,

■■_

Z1,z2的頭部為零，argzi=—,則Z2=

已知函數(shù)/(x)=logax-x+—在［1,2］上恒正，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

_L23,+8

258

25

2，+°°

258

3、已知雙曲線過點(diǎn)M(-2,4),M4,4),它的一個(gè)焦點(diǎn)為尸0,0),則另一個(gè)焦

點(diǎn)尸2的軌跡方程是

(A)=1或尸1(、工。)

(B)—~~—=1(x#0)或x=l(產(chǎn)0)

1625

(C)("4)+&T)=](>±0)或(xWO)

2516

(D)—~~—=1(x70)或y=l(xWO)

1625

4、已知正實(shí)數(shù)人匕滿足a+b=l,則用二川+9+川+2匕的整數(shù)部分是

(A)1(B)2(C)3(D)4

5、一條筆直的大街寬是40米，一條人行道穿過這條大街，并與大街成某?

角度，人行道的寬度是15米，長度是50米，則人行道間的距離是

(A)9米(B)10米(C)12米(D)15米

6、一條鐵路原有機(jī)個(gè)車站，為適應(yīng)客運(yùn)需要新增加〃個(gè)車站(〃>1),則

客運(yùn)車票增加了58種(注：從甲站到乙站需要兩種不同的車票)，那么

原有車站的個(gè)數(shù)是

(A)12(B)13(C)14(D)15

二、填空題：（每小題6分，共36分）

1、長方形A8C0的長A8是寬8c的2石倍，把它折成無底的正三棱柱，使

AO與重合折痕線E尸、G”分別交原對(duì)角線AC于M、N,則折后截

面AMN與底面AFH所成的角是.

2、在△ABC中，a、b、c是角A、B、。的對(duì)邊，且滿足/+/=2/,則角。

的最大值是.

3、從盛滿。升（a>l）純酒精的容器里倒出1升，然后填滿水，再倒出1

升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去.則第n次操作后溶液的濃度

是.

4、已知函數(shù)Ax）與g（x）的定義域均為非負(fù)實(shí)數(shù)集，對(duì)任意x'O,規(guī)定

/（x）*g（x）=min{/（x）,gQ）}.若“x尸3-x,g（x尸-2x+5,則>/（x）*g（x）的最大

值為.

5、從1至U100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100,

則可有不同的取法.

6、若實(shí)數(shù)a>0,則滿足/_/+。=2的。值屬于區(qū)間：①（0,癡）；②（啦,4）；

③的什）；@（0,V2）.其中正確的是.

三、（20分）

求證：經(jīng)過正方體中心的任--截面的面積不小于正方體的一個(gè)側(cè)面

的面積

四、（20分）

直線Ax+8x+C=0（A?B-CW0）與橢圓b2^+a2y2=。2》2相交于p、Q

兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP，。。.求證：

c2A2+B2

五、（20分）

某新建商場建有百貨部、服裝部和家電部三個(gè)經(jīng)營部，共有190名

售貨員，計(jì)劃全商場日營業(yè)額（指每日賣出商品的總金額）為60萬元，

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各部商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1,每1萬元

營業(yè)額所得利潤如表2.商場將計(jì)劃日營業(yè)額分配給三個(gè)經(jīng)營部，同時(shí)

適當(dāng)安排各部的營業(yè)員人數(shù)，若商場預(yù)計(jì)每日的總利潤為c（萬元）且

滿足19WcW19.7,又已知商場分配給經(jīng)營部的日營業(yè)額均為正整數(shù)萬

元，問這個(gè)商場怎樣分配日營業(yè)額給三個(gè)部？各部分別安排多少名售貨

員？

表1各部每1萬元營業(yè)額所需人數(shù)表

部門人數(shù)

百貨部5

服裝部4

家電部2

表2各部每1萬元營業(yè)額所得利潤表

部門利潤

百貨部0.3萬元

服裝部0.5萬元

家電部0.2萬元

第二試

一、（50分）

矩形A8CO的邊以45為直徑在矩形之外作半圓，在半

圓上任取不同于A、B的一點(diǎn)尸，連PC、PO交AB于E、F,若AE2+BF2=AB2,

試求正實(shí)數(shù)4的值.

二、(50分)

若qWR-(i=l,2,,,?,?),S=￡勾，且2W"WN.

/=1

求證：之/力上汽。〉

hi3一4n-\.&=]

三、（50分）

無窮數(shù)列｛.｝可由如下法則定義：,+1=|1-"2金||,而OWc0.

（1）證明：僅當(dāng)Q是有理數(shù)時(shí)，數(shù)列自某一項(xiàng)開始成為周期數(shù)列.

（2）存在多少個(gè)不同的C1值，使得數(shù)列自某項(xiàng)之后以T為周期（對(duì)

于每個(gè)T=2,3,…）?

參考答嗓

第一試

一、選擇題:

題號(hào)123456

答案ACABCC

二、填空題:

5、2500；6、③④.

三、證略.

四、證略.

五、8,23,29或10,20,30（萬元），對(duì)應(yīng)40,92,58或50,80,60（人）.

第二試

二、證略.

三、(1)證略.

(2)無窮個(gè).

企周名中數(shù)學(xué)藤賽模料徐改(七)

(選題人：李潛)

第一試

一、選擇題：(每小題6分，共36分)

7、a、b是異面直線，直線c與。所成的角等于c與b所成的角，則這樣的

直線C有

(A)1條(B)2條(C)3條(D)無數(shù)條

8、已知於)是口上的奇函數(shù)，g(x)是R上的偶函數(shù)，若4x)-g(x)=/+2x+3,

則本)+g(x尸

(A)-X2+2X-3(B)W+2x—3(C)-x2-2x+3(D)x2-2x+3

9、已知△43C,。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=ZBOC=ZCOA=—,則使

3

AB+BC+CA^m(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

(A)2(B)-(C)V3(D)—

32

10>設(shè)x=0.82°°,y=sinl,z=log3V7則x、y、z的大小關(guān)系是

(A)x<y<z(B)y<z<x(C)z<x<y(D)z<y<x

10年

11、整數(shù)的末尾兩位數(shù)字是

US+3

(A)10(B)01(C)00(D)20

12、設(shè)(a,6)表示兩自然數(shù)a、b的最大公約數(shù).設(shè)3/)=1,則(“2+管,/+63)

為

(A)1(B)2(C)1或2(D)可能大于2

二、填空題：(每小題9分，共54分)

1>若f(x)=x]°+2X9-2J;8-2X7+X6+3X2+6X+],則V2—1)=.

2、設(shè)Q、&是雙曲線x2-y2=4的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，從Fi

引平分線的垂線，垂足為〃，則點(diǎn)M的軌跡方程是.

3、給定數(shù)列{4},