2024年全國碩士研究生考試《數(shù)學(xué)一》真題及答案

2024年全國碩士研究生考試《數(shù)學(xué)一》真題及答案[單選題]1.已知函數(shù)，，則()。A.f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)B.f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)C.f（x）與g（x）均為奇函數(shù)D.f（x）與g（x）均為周期函數(shù)正確答案：C參考解析：由于ecost是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以g（x）是奇函數(shù)。故選擇C項。[單選題]2.設(shè)P＝P（x，y，z），Q＝Q（x，y，z）均為連續(xù)函數(shù)，∑為曲面的上側(cè)，則()。A.B.C.D.正確答案：A參考解析：根據(jù)轉(zhuǎn)換投影法，，，。由此可得：故選擇A項。[單選題]3.已知冪級數(shù)的和函數(shù)為ln（2＋x），則()。A.B.C.D.正確答案：A參考解析：方法一：所以，。當(dāng)n＞0，。所以，。故選擇A項。方法二：S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2所以，。所以，。故選擇A項。[單選題]4.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上有定義，且，則()。A.當(dāng)時，f′（0）＝mB.當(dāng)f′（0）＝m時，C.當(dāng)時，f′（0）＝mD.當(dāng)f′（0）＝m時，正確答案：B參考解析：因為f′（0）＝m，所以f（x）在x＝0處連續(xù)。從而，所以，故選擇B項。對于A項，，推不出來f′（0）＝m。對于C項，f′（x）在x＝0處不一定連續(xù)。對于D項，f′（x）在x＝0處極限未必存在。[單選題]5.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，三張平面πi：aix＋biy＋ciz＝di（i＝1，2，3）的位置關(guān)系如圖所示，記αi＝（ai，bi，ci），βi＝（ai，bi，ci，di），若，，則()。A.m＝1，n＝2B.m＝n＝2C.m＝2，n＝3D.m＝n＝3正確答案：B參考解析：由題意知有無窮多解，故，又由于存在兩平面的法向量不共線，即線性無關(guān)，故，則，故m＝n＝2，故選擇B項。[單選題]6.設(shè)向量，，，若α1，α2，α3線性相關(guān)，且其中任意兩個向量均線性無關(guān)，則()。A.a＝1，b≠－1B.a＝1，b＝－1C.a≠－2，b＝2D.a＝－2，b＝2正確答案：D參考解析：由于α1，α2，α3線性相關(guān)，故r（α1，α2，α3）＜3，故，得a＝1或－2，當(dāng)a＝1時，α1，α3線性相關(guān)，與題意矛盾，故a＝－2，又由，得b＝2，故選擇D項。[單選題]7.設(shè)A是秩為2的3階矩陣，α是滿足Aα＝0的非零向量，若對滿足βTα＝0的3維列向量β，均有Aβ＝β，則()。A.A3的跡為2B.A3的跡為5C.A2的跡為8D.A2的跡為9正確答案：A參考解析：由Aα＝0且α≠0，故λ1＝0，設(shè)非零向量β1，β2線性無關(guān)（因為與α垂直的平面中一定存在兩個線性無關(guān)的向量）且滿足β1Tα＝β2Tα＝0，則Aβ1＝β1，Aβ2＝β2，又由β1，β2線性無關(guān)，故λ＝1至少為二重根，故λ1＝0，λ2＝λ3＝1，故A3的特征值為0，1，1，故tr（A3）＝0＋1＋1＝2，故選擇A項。[單選題]8.設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且X服從正態(tài)分布N（0，2），Y服從正態(tài)分布N（－2，2），若P{2X＋Y＜a}＝P{X＞Y}，則a＝()。A.B.C.D.正確答案：B參考解析：2X＋Y～N（－2，10），Y－X～N（－2，22）。所以，。于是，，。故選擇B項。[單選題]9.設(shè)隨機變量X的概率密度為，在X＝x（0＜x＜1）的條件下，隨機變量Y服從區(qū)間（x，1）上的均勻分布，則Cov（X，Y）＝()。A.B.C.D.正確答案：D參考解析：當(dāng)0＜x＜1時，可得：所以，可得：故選擇D項。[單選題]10.設(shè)隨機變量X、Y相互獨立，且均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，令Z＝|X－Y|，則下列隨機變量與Z同分布的是()。A.X＋YB.C.2XD.X正確答案：D參考解析：令Z＝|X－Y|，則FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{|X－Y|≤z}。當(dāng)z＜0時，F(xiàn)Z（z）＝0。當(dāng)z≥0時，所以，。顯然Z＝|X－Y|與X同分布。故選擇D項。[問答題]1.已知平面區(qū)域，計算。正確答案：詳見解析參考解析：由于積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)，故可得：[問答題]2.已知函數(shù)f（x，y）＝x3＋y3－（x＋y）2＋3，設(shè)T是曲面z＝f（x，y）在點（1，1，1）處的切平面，D為T與坐標(biāo)平面所圍成的有界區(qū)域在xOy平面上的投影。（1）求T的方程；（2）求f（x，y）在D上的最大值和最小值。正確答案：詳見解析參考解析：（1）對于z＝f（x，y）＝x3＋y3－（x＋y）2＋3，有zx′（1，1）＝－1，zy′（1，1）＝－1，從而曲面在點（1，1，1）處的一個法向量為n＝（－zx′，－zy′，1）＝（1，1，1），得該點處曲面的切平面方程為x＋y＋z＝3。（2）在xOy平面中，區(qū)域D：x＋y≤3，x≥0，y≥0，在D內(nèi)部求駐點，解方程組得，有。在邊界y＝0，0＜x＜3上，對于f（x，0）＝x3－x2＋3，解得其駐點，有。在邊界x＝0，0＜y＜3上，對于f（0，y）＝y(tǒng)3－y2＋3，解得其駐點，有。在邊界x＋y＝3，0＜x＜3上，對于f（x，3－x）＝x3＋（3－x）3－6，解得其駐點，有。在邊界頂點，有f（0，0）＝3，f（3，0）＝f（0，3）＝21。綜上，得f（x，y）在D上的最大值為f（3，0）＝f（0，3）＝21，最小值為。[問答題]3.設(shè)函數(shù)f（x）具有2階導(dǎo)數(shù)，且f′（0）＝f′（1），|f″（x）|≤1，證明：（1）當(dāng)x∈（0，1）時，；（2）。正確答案：詳見解析參考解析：（1）證明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。令。因為F（0）＝0，F(xiàn)（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（|f″（x）|≤1）所以F（x）為凹函數(shù)，因此F（x）≥0。所以。令。因為F（0）＝0，F(xiàn)（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）－1≤0，（|f″（x）|≤1）。所以F（x）為凸函數(shù)，因此F（x）≥0。所以。綜上，。（2）由（1）中由第（1）中綜上，。[問答題]4.已知有向曲線L的球面x2＋y2＋z2＝2x與平面2x－z－1＝0的交線，從z軸正向往z軸負向看去為逆時針方向，計算曲線積分。正確答案：詳見解析參考解析：[問答題]5.已知數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}滿足x0＝－1，y0＝0，z0＝2，且，記，寫出滿足的矩陣A，并求An及xn，yn，zn。正確答案：詳見解析參考解析：由題設(shè)得，即，故。由，即，得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝－2。當(dāng)λ1＝0時，Ax＝0，可得基礎(chǔ)解系為：η1＝（1，－1，1）T。當(dāng)λ2＝1時，（E－A）x＝0，可得基礎(chǔ)解系為：η2＝（2，－2，3）T。當(dāng)λ3＝－2時，（－2E－A）x＝0，可得基礎(chǔ)解系為：η3＝（－1，2，0）T。故存在可逆矩陣，使，即，則由，得則xn＝8＋（－2）n，yn＝－8＋（－2）n＋1，znub>＝12。[問答題]6.設(shè)總體X服從[0，θ]上的均勻分布，其中θ∈（0，＋∞）為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機樣本，記X（n）＝max{X1，X2，…，Xn}，Tc＝cX（n）。（1）求c，使得Tc是θ的無偏估計；（2）記h（c）＝E（Tc－θ）2，求c使得h（c）最小。正確答案：詳見解析參考解析：（1）X的概率密度為，X的分布函數(shù)為。X（n）的分布函數(shù)為：FX（n）（x）＝P{max{X1，X2，…，Xn}≤x}＝P{X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x}＝P{X1≤x}·P{X2≤x}……P{Xn≤x}＝Fn（x）X（n）的概率密度為。，令，得。（2）令h′（c）＝0，得。，所以當(dāng)時，h（c）最小。[填空題]1.若，則a＝()。正確答案：6參考解析：故可得：a＝6。[填空題]2.設(shè)函數(shù)f（u，v）具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且df|（1，1）＝3du＋4dv，令y＝f（cosx，1＋x2），則()。正確答案：5參考解析：df|（1，1）＝3du＋4dv，fu′（1，1）＝3，fv′（1，1）＝4，又，則有：因此，可得：[填空題]3.已知函數(shù)f（x）＝x＋1，若，則()。正確答案：參考解析：由題意可得，將f（x）在[0，π]展為余弦級數(shù)，由公式可得：[填空題]4.微分方程滿足條件y（1）＝0的解為()。正確答案：參考解析：令x＋y＝u，等式兩邊同時對x求導(dǎo)，得到u′＝1＋y′，代入原式可得，整理得，即，求得u－arctanu＝x＋c，即y－arctan（x＋y）＝c，把初始條件代入可得，解得。[填空題]5.設(shè)實矩陣