6.5.2平面與平面垂直的判定（教學(xué)設(shè)計(jì)）高一數(shù)學(xué)（北師大版2019）

北師大版必修第二冊(cè)第六章《立體幾何初步》6.5.2平面與平面垂直的判定（教學(xué)設(shè)計(jì)）【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握平面與平面垂直的判定定理；（數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象）2.能利用平面與平面垂直的判定定理解決問(wèn)題（邏輯推理）【教學(xué)重點(diǎn)】平面與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】平面與平面垂直的判定定理的理解及其應(yīng)用【教學(xué)過(guò)程】一、實(shí)例分析，提出問(wèn)題（1）為什么教室的門(mén)轉(zhuǎn)到任何位置時(shí)，門(mén)所在的平面都與地面垂直？（2）如果你是一名質(zhì)檢員，你會(huì)怎樣去判斷一面墻與地面是否垂直呢？（3）建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線(xiàn)來(lái)檢查墻面與地面是否垂直.系有鉛錘的線(xiàn)是垂直于地面的，如果系有鉛錘的線(xiàn)緊貼墻面，就說(shuō)明墻面垂直于地面.這種判斷方法的理論依據(jù)是什么？這3個(gè)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面垂直的問(wèn)題，今天我們就來(lái)討論如何判斷兩個(gè)平面垂直。猜想：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直.證明：已知：如圖，AB?α，AB⊥β.求證：α⊥β.假設(shè)α∩β=a，∵a?β，AB⊥β，∴AB⊥a.在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BC⊥a，則∠ABC是二面角αaβ的平面角.而AB⊥BC，故αaβ是直二面角，∴α⊥β.由此，我們就得到了：二、抽象概括，得出概念平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言：l?α，l⊥β?α⊥β圖形語(yǔ)言：【概念辨析】1.判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的在它后面的括號(hào)里畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）若a∥α，a⊥β，則α⊥β；(√)（2）若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β；(√)（3）經(jīng)過(guò)已知平面的垂線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直. (×)（1）正確，理由如下：∵a∥α，∴α內(nèi)必存在一條直線(xiàn)b∥a.又a⊥β，∴b⊥β.又b?α，∴α⊥β.（2）正確，理由如下：∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b?α.又b⊥β，∴結(jié)合（1）中結(jié)論可得α⊥β.（3）錯(cuò)誤.理由如下：不妨設(shè)平面α的垂線(xiàn)為a，顯然，過(guò)直線(xiàn)a的平面有無(wú)數(shù)個(gè).根據(jù)面面垂直的判定定理，過(guò)直線(xiàn)a的平面都與平面α垂直，故命題錯(cuò)誤.三、典例剖析，理解概念課本P246例8課本P246例9【方法點(diǎn)撥】證明面面垂直的常用方法1.定義法：說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角.2.判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直.3.性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.

【當(dāng)堂訓(xùn)練】如下圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點(diǎn).求證：平面AMD⊥平面BMC.證明由已知有平面CMD⊥平面ABCD，交線(xiàn)為CD.又在矩形ABCD中，BC⊥CD，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面CMD.∵DM?平面CMD，∴BC⊥DM.∵M(jìn)為eq\o(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，∴DM⊥CM.又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BMC，∴DM⊥平面BMC.∵DM?平面AMD，∴平面AMD⊥平面BMC.四、遷移應(yīng)用，掌握概念1.如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AEAC＝AFAD＝λ(0<(1)求證：無(wú)論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD?(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AE/AC＝AF/AD＝λ(0<λ<1)，∴無(wú)論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴無(wú)論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC?平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，∴AC＝AB2＋BC由Rt△AEB∽R(shí)t△ABC，得AB2＝AE?AC，∴AE＝67，∴λ，平面BEF⊥平面五、當(dāng)堂檢測(cè)，鞏固達(dá)標(biāo)1.如右圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點(diǎn).求證：平面BDC1⊥平面BDC.證明由題設(shè)知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC?平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1.又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.∵AC＝eq\f(1,2)AA1，D為AA1的中點(diǎn)，∴AC＝AD.又AD⊥AC，∴△ADC是等腰直角三角形.∴∠ADC＝45°.同理可得∠A1DC1＝45°.∴∠CD