山東省菏澤市2022-2023學年高二上學期期末數(shù)學試題

2021級高二上學期期末考試數(shù)學試題一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.點關于坐標平面Oxy對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)關于坐標平面對稱的點的坐標直接求解即可.【詳解】因為點關于Oxy平面對稱的點的坐標是，所以點關于平面對稱的點的坐標是，故選：C2.已知直線與直線平行，則m的值為（）A.3 B. C.3或 D.3或4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行的判定得即可求m值，注意驗證兩直線是否平行，而非重合.【詳解】由題設，，可得或，當時，、平行，符合題設；當時，、重合，不合題設；∴故選：B.3.已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線與垂直得到的斜率，再利用斜率與傾斜角的關系即可得到答案.【詳解】因為直線與垂直，且，所以，解得，設的傾斜角為，，所以.故選：D4.在等比數(shù)列中，，，則公比q的值為（）A.1 B. C.1或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】討論、，由已知結合等比數(shù)列前n項和公式求公比q.【詳解】由題設，當時，符合題設；當時，，∴，則，可得或（舍），綜上，或.故選：D.5.已知等差數(shù)列滿足，若數(shù)列的前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出等差數(shù)列的通項公式，然后由裂項相消法求和即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得則所以則故選：A6.已知圓與直線，則圓上到直線的距離為1的點的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】由得，則圓的圓心為，半徑，由，則圓心到直線的距離，∵，∴在圓上到直線距離為1的點有兩個.故選：B.7.等軸雙曲線的焦距為（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】由解得或，所以，則，，所以焦距.故選：C8.已知點與不重合的點A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得兩點的坐標滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當時，弦長最小，當過點時，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】設點，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因為兩圓過，所以和，所以兩點的坐標滿足圓，因為點與不重合的點A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當弦長最小時，，因為，半徑為2，所以弦長的最小值為，當過點時，弦長最長為4，因為，所以當弦長最小時，的最大值為，當弦長最大時，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.設等差數(shù)列的前項和為，且，則下列結論正確的是（）A.最小 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及前項和公式可得，即可得出數(shù)列單調(diào)性，進而判斷選項BCD的正確性，再由數(shù)列各項的符號即可得前1011項的和最小，得出正確結果.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式可得可得，即選項BC正確；因此等差數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞增數(shù)列；，即選項D正確；由可知，該數(shù)列前1011項全部為負，所以前1011項的和最小，即最小，所以A錯誤；故選：BCD10.下列說法正確的是（）A.若G是四面體OABC的底面三角形ABC的重心，則B.在四面體OABC中，若，則A，B，C，G四點共面C.已知平行六面體的棱長均為1，且，則對角線的長為D.若向量，則稱（m，n，k）為在基底下的坐標．已知向量在單位正交基底下的坐標為（1，2，3），則在基底下的坐標為【答案】ACD【解析】【分析】A令，，，，由G是底面三角形ABC的重心，利用向量的坐標表示即可判斷；B根據(jù)空間向量共面的結論即可判斷；C由，應用向量的運算律求的模即可；D用基底及對應坐標表示出向量即可判斷.【詳解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，∴，，，，，∴成立，正確；B：由，而，故A，B，C，G四點不共面，錯誤；C：如下圖，，∴，又且棱長為1，∴，則，正確；D：在基底下坐標為，則，故在基底下坐標為（1，2，3），正確.故選：ACD.11.已知曲線，分別為C的左、右焦點，點P在C上，且是直角三角形，下列判斷正確的是（）A.曲線C的焦距為B.若滿足條件的點P有且只有4個，則m的取值范圍是且C.若滿足條件的點P有且只有6個，則D.若滿足條件的點P有且只有8個，則m的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】依次對所給選項利用數(shù)形結合的思想進行判斷即可.【詳解】A.當C表示橢圓時，因為，所以C的焦點在x軸上，且，所以，即，所以焦距為；當C表示雙曲線時，因為，即，所以C的焦點在x軸上，所以，即，所以焦距為；故A正確；B.若滿足條件的點P有且只有4個，則C表示橢圓，如圖1，以為直徑的圓O與C沒有公共點，所以，即，所以m的取值范圍是，故B錯誤；C.若滿足條件的點P有且只有6個，則C表示橢圓，如圖2，以為直徑的圓O與C有2個公共點，所以，即，所以m的取值范圍是，故C正確；D.若滿足條件的點P有且只有8個，則當C表示橢圓時，如圖3，以為直徑的圓O與C有4個公共點，所以，即，所以m的取值范圍是；當C表示雙曲線時，如圖4，以為直徑的圓O與C恒有8個公共點，所以，綜上m的取值范圍是或；故D錯誤.故選：AC12.兩千多年前，古希臘大數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，其截口曲線是圓錐曲線（如圖）．已知圓錐軸截面的頂角為2θ，一個不過圓錐頂點的平面與圓錐的軸的夾角為α．當時，截口曲線為橢圓；當時，截口曲線為拋物線；當時，截口曲線為雙曲線．在長方體中，，，點P在平面ABCD內(nèi)，下列說法正確的是（）A.若點P到直線的距離與點P到平面的距離相等，則點P的軌跡為拋物線B.若點P到直線的距離與點P到的距離之和等于4，則點P的軌跡為橢圓C.若，則點P的軌跡為拋物線D.若，則點P的軌跡為雙曲線【答案】BD【解析】【分析】A、B將距離轉化到平面ABCD內(nèi)P到定點、定直線的距離，結合圓錐曲線的定義判斷正誤；C、D確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角，并比較被截圓錐軸截面頂角一半的大小關系，結合題設判斷P的軌跡.【詳解】A：如下圖，P到直線的距離與P到平面的距離相等，又P在平面ABCD內(nèi)，∴在平面內(nèi)，P到的距離與P到直線的距離相等，又，∴在直線上，故P的軌跡為直線，錯誤；B：P到直線的距離與P到的距離之和等于4，同A知：平面內(nèi)，P到直線的距離與P到的距離之和等于4，而，∴P的軌跡為橢圓，正確；C：如下示意圖，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：與面所成角的平面角為，∴時，相當于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，則，即，故P的軌跡為橢圓，錯誤；D：同C分析：時，相當于以為軸，軸截面的頂角為的圓錐被面所截形成的曲線，而，即，故P的軌跡為雙曲線，正確.故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：將空間點線、點面距離轉化為平面點點、點線距離判斷軌跡，由題設及給定的條件確定被截圓錐的軸與截面ABCD的夾角、被截圓錐軸截面頂角大小，進而確定軌跡形狀.三?填空題：本大題共4小題，律小題5分，共20分.13.已知△的三個頂點分別是點A（4，0），，，則△的外接圓的方程為______．【答案】【解析】【分析】令外接圓圓心，而中點為、中點為，由求x、y，進而求半徑，即可寫出△的外接圓的方程.【詳解】令△的外接圓圓心，又A（4，0），，∴中點為，則，則，中點，則，則，∴圓心，又外接圓的半徑，∴△的外接圓的方程為.故答案為：.14.已知數(shù)列的前項和為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】當時，求解，當當時，求出然后求解.【詳解】當時，，當時，①②減②得：所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以故答案：15.如圖，已知圓的半徑為定長是圓所在平面內(nèi)一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點.當點在圓上運動時：（1）當點A在圓內(nèi)且不與點重合時，點的軌跡是__________（從圓?橢圓?拋物線中選擇一個填寫）；（2）當__________（從>，=，<中選擇一個填寫）時，點的軌跡是雙曲線的一支．【答案】①.橢圓②.>【解析】【分析】根據(jù)圓錐曲線的定義判斷求解．【詳解】當點A在圓內(nèi)且不與點重合時，，因此點軌跡是以為焦點，長軸長為半徑的橢圓，當點A在圓上時，點到圓心重合，當點A在圓外時，，此時點軌跡是以為焦點，實軸長為半徑的雙曲線的一支．故答案為：橢圓；．16.雙曲線的左、右焦點分別為，．過作其中一條漸近線的垂線，交雙曲線的右支于點P，若，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】由題設，不妨令，過作，則，結合勾股定理、等腰直角三角形求，再由雙曲線定義求參數(shù)間的數(shù)量關系，進而求離心率.【詳解】如下圖，垂直一條漸近線，則，過作，故，又，∴，，又在△中，故，，由雙曲線定義知：，則，∴.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知拋物線的焦點為F，點在C上．（1）求p的值及F的坐標；（2）過F且斜率為的直線l與C交于A，B兩點（A在第一象限），求．【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）將M坐標代入方程即可；（2）聯(lián)立直線l與拋物線方程得到A、B的橫坐標，再利用焦半徑公式求出即可.【小問1詳解】將代入，得，解得，所以【小問2詳解】由（1）得拋物線方程為，直線l的方程為，聯(lián)立消y得，解得或，因為A在第一象限，所以，所以，，所以18.已知圓C的圓心在直線上，且與x軸相交于點M（2，0）和N（4，0）．（1）求圓C的標準方程；（2）若過點的直線l與圓C交于A，B兩點，且，試問符合要求的直線有幾條？并求出相應直線l的方程．【答案】（1）;（2）有2條，分別為、?！窘馕觥俊痉治觥浚?）由題設易知圓心在直線上，聯(lián)立求圓心坐標，進而求半徑，即可得圓的方程.（2）判斷的位置，討論直線l斜率，結合圓的方程，應用韋達定理、弦長公式求參數(shù)，即可判斷直線的條數(shù)及對應方程.【小問1詳解】由題設，中點為，則圓心在直線上，聯(lián)立，可得圓心為，∴圓的半徑為，綜上，圓C的標準方程：.【小問2詳解】∵，∴在圓外，當直線l斜率不存在時，直線方程為，則，，顯然符合題設；當直線l斜率存在時，設為，聯(lián)立圓C可得：，若，，則，，∴，可得：.∴此時，直線l：，即.綜上，符合條件的直線有2條，分別為、.19.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，側面底面ABCD，，．（1）若PB的中點為E，求證：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成的角為60°，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PC的中點F，連接EF，DF，推導出四邊形ADFE是平行四邊形，，由此能證明平面PCD；（2）△為等邊三角形，是中點，作，以為原點，、、為x、y、z軸建空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【小問1詳解】如圖，取PC的中點F，連接EF，DF，，F(xiàn)分別為PB，PC的中點，，，且，且，四邊形ADFE是平行四邊形，，平面PCD，平面PCD，平面PCD．【小問2詳解】若是中點，作，由底面ABCD為直角梯形且，，，由側面底面ABCD，面面，面，∴在面ABCD的投影在直線上，又PB與底面ABCD所成的角為60°，∴PB與底面ABCD所成角的平面角，則△為等邊三角形.∴以為原點，、、為x、y、z軸建空間直角坐標系，如下圖示：∴、、、，則，，，設平面BDP的法向量，則，取，得，設平面PCD的法向量，則，取，得，設平面PCD與平面PBD的夾角為，則，平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列通項公式；（2）設，，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對已知等式兩邊取倒數(shù)，再利用等比數(shù)列的定義證明，進而求得通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可求解.【小問1詳解】由，兩邊取倒數(shù)得，即，即故數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以，，即所以數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）知，，①②兩式相減得：21.已知雙曲線的實軸長為2，且雙曲線上任一點到它的兩條漸近線的距離之積為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知過點的直線與雙曲線交于兩點.（i）當時，能否是線段的中點？若能，求出的方程；若不能，說明理由；（ii）若點不是線段的中點，寫出所滿足的關系式（不要求證明）【答案】（1）（2）（i）不能，理由見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由題意可知，利用任一點到它的兩條漸近線的距離之積為可計算出，得出雙曲線的標準方程；（2）（i）假設是線段的中點，利用點差法可求出直線方程，再根據(jù)直線和雙曲線的位置關系得出矛盾即可判斷出結論；（ii）根據(jù)（i）中的證明可假設點是線段的中點求出所滿足的關系式，即可得出結論.【小問1詳解】由雙曲線實軸長為2可得，即；則雙曲線的兩條漸近線為；設，則滿足，到兩條漸近線的距離之積為，聯(lián)立①②得，解得所以雙曲線的標準方程為【小問2詳解】（i）由題意可知，假設是線段的中點，設直線與雙曲線的兩點，則滿足，兩式相減整理得；由是線段的中點可得，即所以直線的方程為，即；聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，此方程，此時直線與雙曲線無交點，