2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細(xì)分S13圓錐曲線解答題12

2024年全國一卷新高考題型細(xì)分S13——圓錐曲線大題12試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計(jì)202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時(shí)候，答案也會(huì)被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號(hào)可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個(gè)人經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——大題》題目主要按長短順序排版，具體有：短，中，長，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。涉后導(dǎo)數(shù)（短）：（2024年浙J35金華義烏三模）18．已知四點(diǎn)在拋物線上，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線與直線相交，交點(diǎn)在軸上.

(1)求證：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；（18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得，可得結(jié)論；（2）設(shè)，可得，進(jìn)而可得，求得，可得，進(jìn)而可得，法一：利用導(dǎo)數(shù)可求的最小值.法二：利用基本不等式可求的最小值.【詳解】（1）設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為.由得，所以；18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得，可得結(jié)論；（2）設(shè)，可得，進(jìn)而可得，求得，可得，進(jìn)而可得，法一：利用導(dǎo)數(shù)可求的最小值.法二：利用基本不等式可求的最小值.【詳解】（1）設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為.由得，所以；由得，所以.所以，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是點(diǎn)、點(diǎn)的縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)，故是的中點(diǎn).（2）設(shè)，因?yàn)橹本€與直線相交，交點(diǎn)在軸上，所以，從而，.直線的方程是，所以，即.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，.法一：記，考察函數(shù)，.因?yàn)?，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故的最小值是，即的最小值是.法二：，時(shí)取到等號(hào)，即的最小值是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與拋物線綜合應(yīng)用中的與三角形面積有關(guān)的最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；②利用或其他限制條件求得變量的取值范圍；③利用變量表示出所求三角形的面積；④通過換元法將所求內(nèi)容轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.（2024年浙J30嘉興二模）18．已知雙曲線的虛軸長為4，漸近線方程為.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（18．(1)；(2)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求出即可；（2）設(shè)直線，直曲聯(lián)立，把坐標(biāo)結(jié)合韋達(dá)定理用表示出來，利用由三點(diǎn)共線和解得，然后由弦長公式和點(diǎn)到直線的距離表示出四邊形的面積，令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到最值.【詳解】（1）由題意可知，又浙近線方程為，所以，易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得，且，由三點(diǎn)共線得①，由得，即②，由①②解得.由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，18．(1)；(2)【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求出即可；（2）設(shè)直線，直曲聯(lián)立，把坐標(biāo)結(jié)合韋達(dá)定理用表示出來，利用由三點(diǎn)共線和解得，然后由弦長公式和點(diǎn)到直線的距離表示出四邊形的面積，令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到最值.【詳解】（1）由題意可知，又浙近線方程為，所以，易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得，且，由三點(diǎn)共線得①，由得，即②，由①②解得.由可知，四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線等圓錐曲線內(nèi)四邊形面積時(shí)常用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式表示，求面積的最值時(shí)常構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析.（2024年魯J36濟(jì)南名校聯(lián)盟）18．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與拋物線W：相切于點(diǎn)P，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí)，求；（18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求，代入即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知：點(diǎn)為的重心，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式求其最大值.【詳解】（1）由可得，設(shè)，可知直線l的斜率，可知切線方程為，即，聯(lián)立方程，消去18．(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求，代入即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知：點(diǎn)為的重心，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式求其最大值.【詳解】（1）由可得，設(shè)，可知直線l的斜率，可知切線方程為，即，聯(lián)立方程，消去y得，可知，解得，設(shè)，則，則若P的坐標(biāo)為，即，所以.（2）因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，由題意可知：點(diǎn)為的重心，且，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法

（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）．（2024年鄂J11四月模擬）16.已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點(diǎn)為，的左頂點(diǎn)為，，

（1）證明：；（【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率相等可得，然后求出直線和的斜率，利用斜率即可得證；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程求出的坐標(biāo)，從而可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，的離心率，當(dāng)時(shí)，的離心率；當(dāng)時(shí)，的離心率，當(dāng)時(shí)，的離心率；【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率相等可得，然后求出直線和的斜率，利用斜率即可得證；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程求出的坐標(biāo)，從而可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，的離心率，當(dāng)時(shí)，的離心率；當(dāng)時(shí)，的離心率，當(dāng)時(shí)，的離心率；因?yàn)椋曰?，得，又，所以，且；由題意知，，即，則，，它們的斜率之積為，因此.【小問2詳解】由（1）問知，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，聯(lián)立與的方程，將y消去得：，解得，，又在曲線上，則，，因此的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，即，所以，記，?dāng)最大時(shí)，也最大；可知，令得，解得，又，則，令得，因此在處取得最大值，且最大值為，因此最大值為.（2024年湘J32長沙雅禮一測）15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，過作的切線，交于點(diǎn)，且與軸分別交于點(diǎn).

（1）求證：；（【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求得直線的表達(dá)式，得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理得出；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，可求出的最小值.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，即的方程為：，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)，由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)，聯(lián)立得，所以.由，得，所以【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求得直線的表達(dá)式，得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理得出；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，可求出的最小值.【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，即的方程為：，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)，由題意可知直線的斜率一定存在，設(shè)，聯(lián)立得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，且，所以.由，得，即.所以.故.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，結(jié)合（1）知，即因?yàn)?，所?同理可得，所以.又，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即直線斜率為0時(shí)，取最小值；（2024年湘J01長郡一模）18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）.

（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可求，再利用在拋物線上可求的坐標(biāo)；（2）分別聯(lián)立直線方程與拋物線的方程、直線的方程與拋物線的方程后可得關(guān)于軸對(duì)稱，再利用等積法可求內(nèi)切圓半徑，結(jié)合單調(diào)性可求其范圍.【小問1詳解】由題意知，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)都在拋物線上，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系可求，再利用在拋物線上可求的坐標(biāo)；（2）分別聯(lián)立直線方程與拋物線的方程、直線的方程與拋物線的方程后可得關(guān)于軸對(duì)稱，再利用等積法可求內(nèi)切圓半徑，結(jié)合單調(diào)性可求其范圍.【小問1詳解】由題意知，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)都在拋物線上，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【小問2詳解】由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，則，設(shè)，直線與軸交于點(diǎn)，聯(lián)立，得，由，得，，所以，而，所以直線的斜率存在，所以直線的方程為，與聯(lián)立得，，化簡得，解得或，因?yàn)橹本€的斜率存在，所以，所以軸.所以，的周長為，所以，所以.令，則，因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞減，則上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中范圍計(jì)算通常有下面的幾種方法：（1）構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用基本不等式求范圍；（2）構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求范圍；（3）結(jié)合目標(biāo)圖形的幾何特征計(jì)算范圍；（4）構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求范圍.（2024年浙J04溫州一適）21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)處的切線為.

（1）求的方程（用，表示）；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相切利用導(dǎo)數(shù)或判別式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出方程；（2）由為鈍角，所以，將向量坐標(biāo)化得關(guān)于坐標(biāo)的不等式，再利用韋達(dá)定理消元代入不等關(guān)系化簡求解范圍【小問1詳解】解法1：拋物線：即，則，則在處切線的斜率為，所以，：，即.解法2：（1）設(shè)切線方程為【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相切利用導(dǎo)數(shù)或判別式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出方程；（2）由為鈍角，所以，將向量坐標(biāo)化得關(guān)于坐標(biāo)的不等式，再利用韋達(dá)定理消元代入不等關(guān)系化簡求解范圍【小問1詳解】解法1：拋物線：即，則，則在處切線的斜率為，所以，：，即.解法2：（1）設(shè)切線方程為，與拋物線：聯(lián)立得，，（*）因?yàn)橹本€與拋物線相切，故方程（*）的判別式即，解得，所以，：，即.【小問2詳解】易知，.設(shè)直線：，.代入拋物線方程得，故，，因?yàn)闉殁g角，所以，即，即，（*）因?yàn)?，不等式?）即，解得，所以.涉后導(dǎo)數(shù)（中）：（2024年冀J19張家口一模）18.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為．

（1）求橢圓的方程；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，根據(jù)，利用韋達(dá)定理可求，從而得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)，利用韋達(dá)定理可得，由兩平行直線間的距離公式，并利用導(dǎo)數(shù)求最值.【小問1詳解】設(shè)由題意，可知，則橢圓，聯(lián)立方程組，得，顯然，且，因?yàn)?，即，化簡得所以解得，所以橢圓【小問2詳解】由直線【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，根據(jù)，利用韋達(dá)定理可求，從而得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)，利用韋達(dá)定理可得，由兩平行直線間的距離公式，并利用導(dǎo)數(shù)求最值.【小問1詳解】設(shè)由題意，可知，則橢圓，聯(lián)立方程組，得，顯然，且，因?yàn)?，即，化簡得所以解得，所以橢圓【小問2詳解】由直線，設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，得，則得①且，又因?yàn)?，即，化簡得，則，化簡得，因?yàn)?，所以，結(jié)合①可知，與之間距離，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.（2024年蘇J05常州調(diào)研）18.已知拋物線：，焦點(diǎn)為，過作軸的垂線，點(diǎn)在軸下方，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，，分別交軸于，兩點(diǎn)，，分別交于，兩點(diǎn)．

（1）若，與拋物線相切于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）證明：的外接圓過定點(diǎn)；（【答案】18.19.證明見解析20.【解析】【分析】（1）由已知可得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，給函數(shù)求導(dǎo)可得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示切線方程，聯(lián)立方程即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)過的兩條切線分別與拋物線切于，，寫出直線，的方程，聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)外接圓方程，求出圓心，整理變形即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由已知設(shè)，坐標(biāo)，表示和到的距離，然后表示,設(shè)，，，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【小問1詳解】∵，與拋物線相切于，兩點(diǎn)，設(shè)【答案】18.19.證明見解析20.【解析】【分析】（1）由已知可得，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，給函數(shù)求導(dǎo)可得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示切線方程，聯(lián)立方程即可得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)過的兩條切線分別與拋物線切于，，寫出直線，的方程，聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)外接圓方程，求出圓心，整理變形即可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）由已知設(shè)，坐標(biāo)，表示和到的距離，然后表示,設(shè)，，，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【小問1詳解】∵，與拋物線相切于，兩點(diǎn)，設(shè)在左側(cè)，則，，由得，所以，所以的斜率為，的斜率為，此時(shí)方程：，即．方程：，即，聯(lián)立得；小問2詳解】設(shè)過的兩條切線分別與拋物線切于，，由（1）知直線的斜率為，所以直線方程為，即，直線的斜率為，直線方程為，即，所以且，，設(shè)外接圓的圓心為，則在的垂直平分線上，而的中點(diǎn)為，所以，設(shè)外接圓方程為：過，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，令即，所以的外接圓過定點(diǎn)；【小問3詳解】：，所以，，所以，到距離為，所以，設(shè)，，，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以，令，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，所以面積的最小值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率，表示切線方程，聯(lián)立方程可表示點(diǎn)的坐標(biāo)；通過設(shè)，，，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，把三角形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最小值.（2024年湘J07株洲一檢）21.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)為拋物線（）上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N為x軸正半軸（不含原點(diǎn)）上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，直線PM、PN與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B.

（1）求直線AB的斜率；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件分析得到，由此得到的結(jié)果，再根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式以及拋物線方程化簡可得結(jié)果；（2）設(shè)出方程，聯(lián)立與拋物線方程得到縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，然后表示出和到直線【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件分析得到，由此得到的結(jié)果，再根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式以及拋物線方程化簡可得結(jié)果；（2）設(shè)出方程，聯(lián)立與拋物線方程得到縱坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，然后表示出和到直線的距離，最后利用導(dǎo)數(shù)求解出面積的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，所以，不妨設(shè)在的左邊，過作垂直于軸交于點(diǎn)，如下圖，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，顯然不與關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)重合，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，即直線的斜率為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立可得，所以，且，所以，若與重合，此時(shí)，由上可知，又，且到直線的距離，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，所以的面積取值范圍是，即為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法：（1）利用弦長以及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合底高，表示出三角形的面積；（2）根據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為或；（3）借助三角形內(nèi)切圓的半徑，將三角形面積表示為（為內(nèi)切圓半徑）.（2024年湘J03長沙一中）18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知列出關(guān)于方程組，求解即可得出答案；（2）假設(shè)存在.設(shè)，有.由雙曲線方程求得，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出直線的斜率為，結(jié)合斜率的定義以及已知構(gòu)造方程組，得出及其斜率，進(jìn)而設(shè)出的方程為，，.聯(lián)立直線的方程，求出坐標(biāo)，表示出.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，再根據(jù)假設(shè)，化簡運(yùn)算，求解即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線，即【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知列出關(guān)于方程組，求解即可得出答案；（2）假設(shè)存在.設(shè)，有.由雙曲線方程求得，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出直線的斜率為，結(jié)合斜率的定義以及已知構(gòu)造方程組，得出及其斜率，進(jìn)而設(shè)出的方程為，，.聯(lián)立直線的方程，求出坐標(biāo)，表示出.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，再根據(jù)假設(shè)，化簡運(yùn)算，求解即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到其中一條漸近線，即的距離.則由已知可得，解得，所以，雙曲線的方程為.【小問2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.由題意知點(diǎn)在第一象限，其坐標(biāo)為，則①.因?yàn)殡p曲線的右支，所以，由可得，，求導(dǎo)可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，直線的斜率為.又直線經(jīng)過點(diǎn)以及點(diǎn)，所以，所以有②.由①②可解得，，，點(diǎn)，，所以，直線的方程為，即，直線的斜率為.設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立可得，即，，所以，.聯(lián)立可得，，恒成立.由韋達(dá)定理可得，.因?yàn)槎荚谥本€上，所以，所以，，所以，，所以，.因，所以，假設(shè)成立.所以，存在實(shí)數(shù)，使得，且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由雙曲線方程求得，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出直線的斜率為，結(jié)合斜率的定義以及已知構(gòu)造方程組，得出點(diǎn)的坐標(biāo)以及切線的斜率.（2024年浙J06金麗衢一聯(lián)）21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，的角平分線分別交軸、軸于點(diǎn)．

（1）若，求；

（2）求證：為定值；（【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式化簡即可.（2）根據(jù)角平分線定理知得，由即可求出為定值（3）表示出的面積，利用導(dǎo)函數(shù)求出面積表達(dá)式的單調(diào)性，即可求出面積取到最大值時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).【小問1詳解】由已知得，則【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式化簡即可.（2）根據(jù)角平分線定理知得，由即可求出為定值（3）表示出的面積，利用導(dǎo)函數(shù)求出面積表達(dá)式的單調(diào)性，即可求出面積取到最大值時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).【小問1詳解】由已知得，則．所以當(dāng)時(shí)，；【小問2詳解】設(shè)，在中，是的角平分線，所以，由（1）知，同理，即，解得，所以，過作軸于．所以．【小問3詳解】記面積的面積為，由（1）可得，，其中，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，最大．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)求解面積表達(dá)式的最值，注意函數(shù)的定義域.（2024年