人教版高中數(shù)學必修二《第八章 立體幾何初步》單元導學案及答案

人教版高中數(shù)學必修二《第八章立體幾何初步》單元導學案

(8.1基本立體圖形》導學案

第1課時棱柱、棱錐、棱臺

【學習目標】

1.記住棱柱、棱錐、棱臺的定義及結構特征

2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系

3.能用棱柱、棱錐、棱臺的定義及結構特征解答一些簡單的有關問題

【自主學習】

知識點1空間幾何體

1.空間幾何體的定義

空間中的物體都占據著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小,

而不考慮其他因素，

那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.

2.空間幾何體的分類

(1)多面體：由若干個壬面的M圍成的幾何體叫做多面體.

圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；

兩個面的公共邊叫做多面體的棱；

棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.

(2)旋轉體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定置線旋轉所形成的曲面

叫做旋轉面,

封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做雌體，這條定直線叫做旋轉體的軸.

知識點2棱柱的結構特征

1.有兩個面互相壬立，其余各面都是四邊蜃，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相壬

紅，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

在棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是金笠的多邊形；

其余各面叫做棱柱的側面,它們都是平行四邊形；

相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；

側面與底面的公共頂點叫做棱柱的項點.

2.一般地，我們把側棱垂直于底面的棱柱叫做更棱柱,

側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱拄，

底面是正多邊形的直楂柱叫做正楂柱,

底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體.

知識點3棱錐的結構特征

有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角喪，

由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.這個多邊形面叫做楂錐的底面;

有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的蛔；

相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側接；

各側面的公共頂點叫做楂錐的頂點.底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直

于底面的棱錐叫做正校筵.

知識點4棱臺的結構特征

用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱

臺?

在棱臺中，原棱錐的底面和截面分別叫做樓臺的1面和上底面.

【合作探究】

探究一棱柱的結構特征

【例1】下列關于棱柱的說法：

(1)所有的面都是平行四邊形；

(2)每一個面都不會是三角形；

(3)兩底面平行，并且各側棱也平行；

(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確說法的序號是.

【答案】⑶⑷

［分析］根據棱柱的結構特征進行判斷.

［解析］(1)錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；

(2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形；

(3)正確，由棱柱的定義易知；

(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱.

所以說法正確的序號是(3)(4).

歸納總結：棱柱的結構特征：(1)有兩個面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩

個四邊形的公共邊都互相平行.求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿

足其他特征

【練習1】如圖，已知長方體ABCD-ABCD.

、、

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是,

是幾棱柱？如果不是，請說明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因為以長方體相對的兩個面作為底面，則底面都是四

邊形，其余各面都是矩形，矩形當然是平行四邊形，并且?guī)缀误w的四條側棱互相平行.

(2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEBLCFG,其中△BEB】和△CFG是底面.

械面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA「DCFDi,其中四邊形ABEA1和四邊形

DCF?是底面.

探究二棱錐、棱臺的結構特征

【例2】(1)下列關于棱錐、棱臺的說法：

①棱臺的側面一定不會是平行四邊形；

②棱錐的側面只能是三角形；

③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.

其中正確說法的序號是—_____.

⑵如圖，在三棱臺6V%中,截去三棱錐H?力比；則剩余部分是()

\\

/mi-----

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺

【答案】(D①②③(2)B

［分析］根據棱錐、棱臺的結構特征進行判斷.

［解析］

(1)①正確，棱臺的側面都是梯形.

②正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形.

③正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐.

④錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

(2)由題圖知，在三棱臺A，B，C'-ABC中，截去三棱錐A'-ABC,剩下的部分如圖所

示，故剩余部分是四棱錐A'?BB'C'C.故選笈

歸納總結：判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法

(1)舉反例法：

結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.

(2)直接法:

棱錐棱臺

定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面

看側棱相交于一點延長后相交于一點

【練習2］下列特征不是棱臺必須具有的是()

A.兩底面平行

B.側面都是梯形

C.側棱長都相等

D.側棱延長后相交于一點

【答案】C

解析：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺，A,B,D正

確，選c.

<8.1基本立體圖形》導學案

第2課時圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體

【學習目標】

L記住圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及它們的結構特征

2,能用圓柱、圓錐、圓臺的定義及結構特征解答一些相關問題

3.了解組合體的概念

【自主學習】

知識點1圓柱

1.以矩形的一邊所在直線為旋轉軸,其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做

圓柱.

2.旋轉軸叫做圓柱的軸：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的

邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的

母線.

3.棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體.

知識點2圓錐

1.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成

的旋轉體叫做圓錐.

2.按筵與圓維統(tǒng)稱為錐體.

知識點3圓臺

1.用燈于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

2.棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.

知識點4球

生圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉

體叫做球體,簡稱球.半圓的圓心叫做球的典；

連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑;連接球面上兩點并且經過球心的線段

叫做球的直徑.

知識點5簡單組合體的結構特征

1.定義：由簡里岫住組合而成的幾何體稱為簡單組合體.

2.簡單組合體構成的兩種基本形式

簡單卅J由簡單幾何體血而成；

I由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

【合作探究】

探究一旋轉體的結構特征

［例1］下列命題正確的是.

①以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐；

②圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的直線：

③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；

④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成

的幾何體是圓錐；

⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內；

⑥球的半徑是球面上任意一點和球心的連線段；

⑦球面上任意三點可能在一條直線上；

⑧用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.

【答案】???

［分析］準確理解旋轉體的定義，在此基礎上掌握各旋轉體的性質，才能更好地把握它

們的結構特征，以作出準確的判斷.

［解析］①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉一周才可以得到圓錐，故①錯誤；②圓

柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的線段,且這條線段與軸平行,故②錯誤;

③它們的底面為圓面，故③錯誤；④正確：作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四點,

則這四點就在球面上，故⑤錯誤；根據球的半徑定義可知⑥正確；球面上任意三點一定不共

線，故⑦錯誤；用一個平面去截球，一定截得一個圓面，故⑧正確.

歸納總結：簡單旋轉體判斷問題的解題策略,（1）準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成

過程及其特征性質是解決此類概念問題的關鍵.，（2）解題時要注意兩個明確：，①明確由哪個

平面圖形旋轉而成；，②明確旋轉軸是哪條直線

【練習1］下列命題：

①任意平面截圓柱，截面都是圓面；

②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；

③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線，

其中正確的是（）

A.①0B.②?C.①③D.②

【答案】D

解析：過圓柱兩母線的截面為矩形，有時斜的截面為橢圓，故①錯誤；圓臺的母線不是

上底面和下底面上任意兩點的連線，③錯誤；由圓錐母線的定義知②正確，故選D.

探究二圓柱、圓錐、圓臺的計算問題

【例2】已知一個圓臺的母線長為12。制兩底面的面積分別為4"和25開c/,

求：

(1)圓臺的高；

(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.

［分析］在解答有關臺體的問題時，一般要把臺體還原成錐體，這就是常應用的“還臺

為錐”的思想，不僅在作圖時應用，而且在計算時也常應用此思想尋求元素間的關系，以便

解決問題.

［解］(1)設圓臺的軸截面為等腰梯形ABCD(如圖所示).

由題意可得上底的一半UA=2cm,下底的一半0B=5cm,腰長AB=12cm,所以圓臺

的高AM=^/122-(5-2)2=3^15(cm).

(2)如圖，延長BA,00.,CD,交于點S,設截得此圓臺的圓錐的母線長為1cm,

1—122

則由△SAOIS^SBO,得一：—=-,

15

解得1=20.

故截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.

歸納總結：旋轉體中有關底面半徑、母線、高的計算，可利用軸截面求解，即將立體問

題平面化.對于圓臺的軸截面，可將兩腰延長相交后在三角形中求解.這是解答圓臺問題常用

的方法

【練習2】如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下

底面的面積之比為116,截去的圓錐的母線長是3cm,求圓臺0'。的母線長.

解：設圓臺的母線長為1cm,由截得圓臺上、下底面面積之比為116,可設截得圓臺

的上、下底面的半徑分別為r、4r.過軸SO作截面,

如圖所示.則△5()'A'^ASOA,SA'=3cm.

.SA'_0'A，.3_r_1

,*"sF=OA*?，m=4r=4，

解得1=9.

即圓臺的母線長為9cm.

探究三球的截面問題

【例3］已知半徑為10的球的兩個平行截面的周長分別是12不和16八求這兩個截面

間的距離.

［分析］畫出球的截面圖，球心與截面圓心連線垂直于截面所在的平面，構造直角三角

形解決.對于球的兩個平行截面要注意討論它們在球心同側還是異側，否則容易漏解.

［解］設球的大圓為圓0,C,D兩點為兩截面圓的圓心，AB為經過C,0,D三點的直

徑且兩截面圓的半徑分別是6和8.

當兩截面在球心同側時，如圖（D,此時CD=0C-0D=46距菽一軻匚而=8-6=

2.

當兩截面在球心兩側時，如圖（2）,此時CD=OC+OD=dOE2—EC?+d（）F—DF'=8+6=

14.

故兩截面間的距離為2或14.

歸納總結：利用球的截面，將立體問題轉化為平面問題是解決球的有關問題的關鍵

【練習3］一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為樂則球的直徑為2啦.

解析：設球心到平面的距離為d,截面圓的半徑為r,則不r=才，.?.r=i,

設球的半徑為R,則口=后彳=/，故球的直徑為2班.

探究四簡單組合體的結構特征

【例4】（1）如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請說明該物體是由哪些幾何體構成的.

(2)指出圖②中三個幾何體的主要結構特征.

［分析］由多面體和旋轉體的結構特征進行判斷.

［解］(1)題圖①中的幾何體可以看作是一個長方體割去一個四棱柱所得的幾何體，也

可以看成是一個長方體與兩個四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示).

割去―一1/V補上兩個

四棱柱四棱柱

(2)(4)中的幾何體由一個三棱柱挖去一個圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內切于三

棱柱.

(而中的幾何體由一個圓錐挖去一個四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內接于圓

錐.

(6)中的幾何體由一個球挖去一個三棱錐后剩余部分組合而成.其中三棱錐內接于球.

歸納總結:會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，我們應注意觀察周圍的物體,

然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力

【練習4】如圖，繞虛線旋轉一周后形成的旋轉體是由哪些簡單幾何體組成的？

解：如圖所示，由一個圓錐0G,一個圓柱02」及一個圓臺0舊3中挖去圓錐0。2組成的.

探究五與球有關的“切”與“接”問題

【例5】已知正方體的校長為a,分別求出它的內切球及與各棱都相切的球的半徑.

［分析］解決此題的關鍵是找準軸截面，建立半徑與棱氏的關系.

［解］(1)正方體的內切球與各面的切點為正方體各面的中心，故作出經過正方體相對

兩面的中心且與棱平行的截面，則球的?個大圓是其正方形截面的內切圓，如圖⑴所示，

設球的半徑為Ri,易得

(2)與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點是正方體各枝的中點，故應作出經

過正方體一組平行棱中點的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖(2)所示，

設球的半徑為易求得球的半徑R尸蟲a.

歸納總結：組合體問題應分清各部分之間是如何組合起米的，以便轉化為平面圖形進行

計算.正方體的內切球直徑等于正方體的楂長；外接球直徑等于其體對角線的長；球與正方

體各棱都相切，則球的直徑等于正方體面對角線的長

【練習5】正三棱錐內有一個內切球，經過棱錐的一條側棱和高作截面，正確的圖形是

()

【答案】C

解析：正三棱錐的內切球與各個面的切點為正三棱錐各面的中心，所以過??條側棱和高

的截面必過該校所對面的高線，故C正確.

《8.2立體圖形的直觀圖》導學案

【學習目標】

1.掌握斜二測畫法的步驟

2.會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖

【自主學習】

知識點1斜二測畫法的步驟

1.畫軸：在已知圖形中取互相垂直的A?軸和y軸，兩軸相交于點0.畫直觀圖時，把它

們畫成對應的/軸與/軸，兩軸相交于點療，且使N/°/=45°（或135°）,它

們確定的平面表示水平面.

2.畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于?軸或.

軸的線段.

3.取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變,平行于p軸

的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.

知識點2空間幾何體直觀圖的畫法

1.畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個二軸.

2.畫平面：平面xOy表示水平平面,平面yOz和xOz表示豎直平面.

3.取長度：已知圖形中平行于z軸（或在z軸上）的線段，在其直觀圖中平行性和長度

都不變.

4.成圖處理：成圖后，去掉鋪助線，將被遮擋的部分改為虛線.

【合作探究】

探究一水平放置的平面圖形直觀圖的畫法

【例1】如圖所示，梯形ABCD中，AB//CD,AB=4cm,CD=2err.ZDAB=30°,AD=

3cm,試畫出它的直觀圖.

DC

AB

［分析］以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系.只需確定四個頂點

A,B,C,D在直觀圖中的相應點即可.

［解］畫法步驟：

（1）如圖甲所示，在梯形彼O?中，以邊力8所在的直線為x軸，點力為原點，建立平面

直角坐標系彳勿如圖乙所示，畫出對應的/軸，y'軸，使Nx'O'y'=45°.

⑵在圖甲中，過〃點作廢'J_x軸，垂足為￡在犬軸上取/B'=AB=4cm,A'F

3、/5I13

=AE=^-^2.598(cm)；過點少作爐Df〃/軸，使fD'=-ED=-X-=Q.75(cm),

再過點〃'作〃C〃/軸，且使〃C=DC=2cm.

(3)連接4D,BY,并擦去V軸與/軸及其他一些輔助線，如圖丙所示，則

四邊形HB'CD'就是所求作的直觀圖.

歸納總結：在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼凳顷P鍵，

一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，便于畫點；原圖中的共線點在直觀圖中

仍是共線點；原圖中的共點線，在直觀圖中仍是共點線；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是

平行線.本題中，關鍵在于點〃的位置的確定，這里我們采用作垂線的方法，先找到垂足￡

的對應點少,再去確定〃的位置

【練習1］畫邊長為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖.

解：⑴如圖①所示，以砥邊所在直線為x軸，以比邊上的高線力。所在直線為y軸，

再畫對應的/軸與/軸，兩軸相交于點。‘，使Nx'0/=45°,如圖②所示.

A,

B'/O'C

②

(2)在/軸上截取。B'=0'C=0.5cm,在/軸上截取f=2A0=Acm,

連接4、片C1,則B'C即為正三角形力阿的直觀圖.

(3)擦去/、y'軸得直觀圖8'C,如圖③所示.

探究二畫空間幾何體的直觀圖

【例2】用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體力收辦"B'CI)'

的直觀圖.

［分析］利用畫軸、畫底面、畫側棱、成圖進行作圖.

［解］(1)畫軸.如圖①所示，畫*軸、y軸、z軸，三軸相交于點0,使//0=45°,

Nx0z=9O°.

(2)畫底面.以點。為中心，在x軸上取線段極：使加V=4cm；在y軸上取線段PQ,

使PQ=5cm,分別過點M和點N作y軸的平行線，過點P和Q作/軸的平行線，設它們的

交點分別為力、B、C、1),四邊形仍少就是長方體的底面總比。

(3)畫側棱.過力、B、C、〃各點分別作z軸的平行線，并在這些立行線上分別截取2cm

長的線段加'、劭'、s、如「

(4)成圖.順次連接H、夕、6"、〃'，并加以整理(擦掉輔助線，將被遮擋的線改

為虛線)，就得到長方體的直觀圖(如圖②).

歸納總結：

(1)畫空間幾何體的直觀圖，可先畫出底面的平面圖形，然后畫出豎軸.此外，坐標系

的建立要充分利用圖形的對稱性，以便方便、準確的確定頂點；

(2)對于一些常見幾何體(如柱、錐、臺、球)的直觀圖，應該記住它們的大致形狀，以

便可以又快又準的畫出

【練習2]?個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是?個圓錐，并且圓錐的底面與圓

柱的上底面重合，圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的

直觀圖.

圖2

解：(1)畫軸，如圖1所示，畫＞軸、y軸、z軸，三軸相交于點0,使/也0=45°,

Nx0z=9O°.

(2)畫圓柱