專(zhuān)項(xiàng)突破11　數(shù)學(xué)思想在線段和角的計(jì)算中的應(yīng)用

第六章?幾何圖形初步專(zhuān)項(xiàng)突破?數(shù)學(xué)思想在線段和角的計(jì)算中的應(yīng)用題型1分類(lèi)討論思想在線段和角的計(jì)算中的應(yīng)用1.[2024成都期末]點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A表示的數(shù)為5，線段AB的長(zhǎng)為線段OA長(zhǎng)的1.2倍.點(diǎn)C在數(shù)軸上，M為線段OC的中點(diǎn).(1)點(diǎn)B表示的數(shù)為－1；(2)若線段BM的長(zhǎng)為4.5，則線段AC的長(zhǎng)為2或16；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(3)若線段AC的長(zhǎng)為x，求線段BM的長(zhǎng)(用含x的式子表示).解：(3)①當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)(或重合)時(shí)，如圖①，①HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8則點(diǎn)C表示的數(shù)為5＋x.因?yàn)镸為線段OC的中點(diǎn)，?+?所以點(diǎn)M表示的數(shù)為.??+??+?所以BM＝－(－1)＝.??HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)為5－x，???所以點(diǎn)M表示的數(shù)為.?????)若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)(或重合)，如圖②，則BM＝???－(－1)＝.?②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8????ⅱ)若點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖③，則BM＝－1－???＝.?③HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"82.[2024懷化模擬]如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，作射線OC，點(diǎn)D在平面內(nèi)，∠BOD與∠AOC互余.(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，則∠BOD＝50°?；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若∠AOC＝(0°＜≤45°)，ON平分∠COD，補(bǔ)全圖形，求出∠AON的值(用含的式子表示).解：(2)因?yàn)椤螧OD與∠AOC互余，所以∠BOD＋∠AOC＝90°.當(dāng)點(diǎn)D在∠BOC內(nèi)，0°＜≤45°時(shí)，補(bǔ)全圖形如圖①.則易知∠COD＝90°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8因?yàn)镺N平分∠COD，所以∠CON＝45°.所以∠AON＝＋45°.①②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8當(dāng)點(diǎn)D在∠BOC外，0°＜≤45°時(shí)，補(bǔ)全圖形如圖②.易知∠BOD＝90°－.因?yàn)椤螦OB＝180°，所以∠AOD＝180°－(90°－)＝90°＋.所以∠COD＝90°＋2.因?yàn)镺N平分∠COD，所以∠CON＝45°＋.所以∠AON＝∠CON－∠AOC＝45°.綜上所述，∠AON的值為45°或＋45°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8題型2方程思想在線段和角的計(jì)算中的應(yīng)用3.[2024北京朝陽(yáng)區(qū)期末]如圖，點(diǎn)C把線段MN分成兩部分，其比為MC∶CN＝5∶4，點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，PC＝2cm，求MN的長(zhǎng).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：因?yàn)镸C∶CN＝5∶4，所以設(shè)MC＝5xcm，則CN＝4xcm.所以MN＝MC＋CN＝5x＋4x＝9x(cm).因?yàn)辄c(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，??所以PN＝MN＝x(cm).??因?yàn)镻C＝PN－CN，?所以x－4x＝2，解得x＝4.?所以MN＝9×4＝36(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"84.如圖，已知AB為一條直線，O是AB上一點(diǎn)，OC平分∠?AOD，OE在∠BOD內(nèi)，∠DOE＝∠BOD，∠COE?＝75°.求∠EOB的度數(shù).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：設(shè)∠AOD的度數(shù)為x°，則∠BOD＝(180－x)°.因?yàn)镺C平分∠AOD，∠DOE＝?∠BOD，????所以∠COD＝∠AOD＝°，∠DOE＝(180－???x)°.又因?yàn)椤螩OE＝∠COD＋∠DOE＝75°，?180??所以＋2＝75，解得x＝90.3所以∠BOD＝90°.所以∠DOE＝30°.所以∠EOB＝∠BOD－∠DOE＝60°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8題型3整體思想在線段和角的計(jì)算中的應(yīng)用5.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn).(1)如果AB＝10cm，AM＝3cm，求CN的長(zhǎng)；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：(1)因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以AC＝2AM.因?yàn)锳M＝3cm，所以AC＝2×3＝6(cm).因?yàn)锳B＝10cm，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm).又因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，11所以CN＝BC＝×4＝2(cm).22HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)如果MN＝6cm，求AB的長(zhǎng).解：(2)因?yàn)镸是AC的中點(diǎn)，所以MC＝AC.???因?yàn)镹是BC的中點(diǎn)，所以CN＝CB.?111所以MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝(AC＋CB)＝22212AB.又因?yàn)镸N＝6cm，所以AB＝2×6＝12(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"86.[2024蘇州二模]已知，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.(1)如圖，若C為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系；?解：(1)∠MON＝∠AOB.?HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若C為∠AOB外一點(diǎn)，且C不在OA，OB的反向延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8?解：(2)當(dāng)C在如圖①所示的位置時(shí)，∠MON＝∠AOB.??當(dāng)C在如圖②所示的位置時(shí)，∠MON＝∠AOB.??當(dāng)C在如圖③所示的位置時(shí)，∠MON＝180°－∠AOB.?①③②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8題型4特殊到一般思想在線段和角的計(jì)算中的應(yīng)用7.[2024濟(jì)寧期末]探究題：如圖，已知線段AB＝12cm，點(diǎn)C為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn).(1)若點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)，則DE＝6cm；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若AC＝4cm，求DE的長(zhǎng)；解：(2)因?yàn)锳B＝12cm，AC＝4cm，所以BC＝8cm.因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，??所以CD＝AC＝2cm，CE＝BC＝4cm.所以DE＝??CD＋CE＝6cm.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)AC＝acm，請(qǐng)說(shuō)明不論a取何值(a不超過(guò)12cm)，DE的長(zhǎng)不變.解：(3)因?yàn)锳C＝acm，所以BC＝AB－AC＝(12－a)cm.因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，1?112??所以CD＝AC＝cm，CE＝BC＝cm.2222所以DE＝CD＋CE＝6cm.所以不論a取何值(a不超過(guò)12cm)，DE的長(zhǎng)不變.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"88.劉星對(duì)幾何中的角平分線興趣濃厚，請(qǐng)你和他一起探究下面的問(wèn)題.已知∠AOB＝100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的平分線.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(1)如圖①，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度數(shù)；解：(1)因?yàn)椤螦OB＝100°，∠AOC＝30°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°.因?yàn)樯渚€OE，OF分別是∠AOC和∠COB的平分線，HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"81所以∠EOC＝∠AOC＝15°，∠FOC＝212∠BOC＝35°.所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝15°＋35°＝50°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)如圖②，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，求∠EOF的度數(shù)；解：(2)因?yàn)樯渚€OE，OF分別是∠AOC和∠COB的平分線，??所以∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC.???所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝(∠AOC＋???∠BOC)＝∠AOB＝×100°＝50°.??HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\