專項突破11　數(shù)學(xué)思想在線段和角的計算中的應(yīng)用

第六章?幾何圖形初步專項突破?數(shù)學(xué)思想在線段和角的計算中的應(yīng)用題型1分類討論思想在線段和角的計算中的應(yīng)用1.[2024成都期末]點O為數(shù)軸的原點，點A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A表示的數(shù)為5，線段AB的長為線段OA長的1.2倍.點C在數(shù)軸上，M為線段OC的中點.(1)點B表示的數(shù)為－1；(2)若線段BM的長為4.5，則線段AC的長為2或16；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(3)若線段AC的長為x，求線段BM的長(用含x的式子表示).解：(3)①當(dāng)點C在點A的右側(cè)(或重合)時，如圖①，①HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8則點C表示的數(shù)為5＋x.因為M為線段OC的中點，?+?所以點M表示的數(shù)為.??+??+?所以BM＝－(－1)＝.??HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8②當(dāng)點C在點A的左側(cè)時，點C表示的數(shù)為5－x，???所以點M表示的數(shù)為.?????)若點M在點B的右側(cè)(或重合)，如圖②，則BM＝???－(－1)＝.?②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8????ⅱ)若點M在點B的左側(cè)，如圖③，則BM＝－1－???＝.?③HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"82.[2024懷化模擬]如圖，已知點O在直線AB上，作射線OC，點D在平面內(nèi)，∠BOD與∠AOC互余.(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，則∠BOD＝50°?；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若∠AOC＝(0°＜≤45°)，ON平分∠COD，補(bǔ)全圖形，求出∠AON的值(用含的式子表示).解：(2)因為∠BOD與∠AOC互余，所以∠BOD＋∠AOC＝90°.當(dāng)點D在∠BOC內(nèi)，0°＜≤45°時，補(bǔ)全圖形如圖①.則易知∠COD＝90°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8因為ON平分∠COD，所以∠CON＝45°.所以∠AON＝＋45°.①②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8當(dāng)點D在∠BOC外，0°＜≤45°時，補(bǔ)全圖形如圖②.易知∠BOD＝90°－.因為∠AOB＝180°，所以∠AOD＝180°－(90°－)＝90°＋.所以∠COD＝90°＋2.因為ON平分∠COD，所以∠CON＝45°＋.所以∠AON＝∠CON－∠AOC＝45°.綜上所述，∠AON的值為45°或＋45°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8題型2方程思想在線段和角的計算中的應(yīng)用3.[2024北京朝陽區(qū)期末]如圖，點C把線段MN分成兩部分，其比為MC∶CN＝5∶4，點P是MN的中點，PC＝2cm，求MN的長.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：因為MC∶CN＝5∶4，所以設(shè)MC＝5xcm，則CN＝4xcm.所以MN＝MC＋CN＝5x＋4x＝9x(cm).因為點P是MN的中點，??所以PN＝MN＝x(cm).??因為PC＝PN－CN，?所以x－4x＝2，解得x＝4.?所以MN＝9×4＝36(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"84.如圖，已知AB為一條直線，O是AB上一點，OC平分∠?AOD，OE在∠BOD內(nèi)，∠DOE＝∠BOD，∠COE?＝75°.求∠EOB的度數(shù).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：設(shè)∠AOD的度數(shù)為x°，則∠BOD＝(180－x)°.因為OC平分∠AOD，∠DOE＝?∠BOD，????所以∠COD＝∠AOD＝°，∠DOE＝(180－???x)°.又因為∠COE＝∠COD＋∠DOE＝75°，?180??所以＋2＝75，解得x＝90.3所以∠BOD＝90°.所以∠DOE＝30°.所以∠EOB＝∠BOD－∠DOE＝60°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8題型3整體思想在線段和角的計算中的應(yīng)用5.如圖，點C是線段AB上的一點，點M是線段AC的中點，點N是線段BC的中點.(1)如果AB＝10cm，AM＝3cm，求CN的長；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：(1)因為M是AC的中點，所以AC＝2AM.因為AM＝3cm，所以AC＝2×3＝6(cm).因為AB＝10cm，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm).又因為N是BC的中點，11所以CN＝BC＝×4＝2(cm).22HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)如果MN＝6cm，求AB的長.解：(2)因為M是AC的中點，所以MC＝AC.???因為N是BC的中點，所以CN＝CB.?111所以MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝(AC＋CB)＝22212AB.又因為MN＝6cm，所以AB＝2×6＝12(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"86.[2024蘇州二模]已知，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.(1)如圖，若C為∠AOB內(nèi)一點，探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系；?解：(1)∠MON＝∠AOB.?HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若C為∠AOB外一點，且C不在OA，OB的反向延長線上，請你畫出圖形，并探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8?解：(2)當(dāng)C在如圖①所示的位置時，∠MON＝∠AOB.??當(dāng)C在如圖②所示的位置時，∠MON＝∠AOB.??當(dāng)C在如圖③所示的位置時，∠MON＝180°－∠AOB.?①③②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8題型4特殊到一般思想在線段和角的計算中的應(yīng)用7.[2024濟(jì)寧期末]探究題：如圖，已知線段AB＝12cm，點C為AB上的一個動點，點D，E分別是AC和BC的中點.(1)若點C恰好是AB的中點，則DE＝6cm；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若AC＝4cm，求DE的長；解：(2)因為AB＝12cm，AC＝4cm，所以BC＝8cm.因為點D，E分別是AC和BC的中點，??所以CD＝AC＝2cm，CE＝BC＝4cm.所以DE＝??CD＋CE＝6cm.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)AC＝acm，請說明不論a取何值(a不超過12cm)，DE的長不變.解：(3)因為AC＝acm，所以BC＝AB－AC＝(12－a)cm.因為點D，E分別是AC和BC的中點，1?112??所以CD＝AC＝cm，CE＝BC＝cm.2222所以DE＝CD＋CE＝6cm.所以不論a取何值(a不超過12cm)，DE的長不變.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"88.劉星對幾何中的角平分線興趣濃厚，請你和他一起探究下面的問題.已知∠AOB＝100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的平分線.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(1)如圖①，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度數(shù)；解：(1)因為∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°.因為射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的平分線，HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"81所以∠EOC＝∠AOC＝15°，∠FOC＝212∠BOC＝35°.所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝15°＋35°＝50°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)如圖②，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，求∠EOF的度數(shù)；解：(2)因為射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的平分線，??所以∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC.???所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝(∠AOC＋???∠BOC)＝∠AOB＝×100°＝50°.??HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\