廣東省五校（朝汕實(shí)驗(yàn)、高州中學(xué)、石門、湛江一中等）2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆新高三開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若，，則（）A． B．C． D．2．“”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以為（）A． B．C． D．4．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．0 C．5 D．105．若，，則的最小值為（）A．2 B．4 C．16 D．646．函數(shù)的部分圖象如圖所示，若直線與圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和，則（）A． B．C． D．7．若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A．76 B．38 C．19 D．08．若為函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B． C． D．2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A．的實(shí)部為2 B．的虛部是C． D．在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸的左、右端點(diǎn)分別為，，虛軸的上、下端點(diǎn)分別為，，斜率為的直線經(jīng)過(guò)且與的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（）A． B．四邊形的周長(zhǎng)小于24C． D．的面積為11．已知正三棱臺(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)及高分別為，，2，則正三棱臺(tái)的（）A．斜高為 B．體積為C．側(cè)棱與底面所成的角為 D．外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知質(zhì)點(diǎn)，從點(diǎn)處分別以，的速度同時(shí)在圓上作逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，若經(jīng)過(guò)，，第一次相遇，則______．13．已知，，若，則______．14．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為1，則的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）設(shè)公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．16．（本小題滿分15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空調(diào)銷售商發(fā)現(xiàn)：“每月銷售量（單位：臺(tái)）”與“當(dāng)年的月份”線性相關(guān)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)得下表：月份123456銷量122133415263（1）根據(jù)往年的統(tǒng)計(jì)得，當(dāng)年的月份與銷量滿足回歸方程．請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售多少臺(tái)？（2）該銷售商從當(dāng)年的前6個(gè)月中隨機(jī)選取3個(gè)月，記為銷量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．（本小題滿分15分）如圖，三棱柱中，為底面的重心，，，且，．（1）求證：平面；（2）若底面，且三棱柱的各棱長(zhǎng)相等，求平面與平面夾角的余弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，，，求的取值范圍．19．（本小題滿分17分）我們把各邊與橢圓的對(duì)稱軸垂直或平行的的內(nèi)接四邊形叫做的內(nèi)接矩形．如圖，已知四邊形是的一個(gè)邊長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方形，，分別與軸交于，，且，為的兩個(gè)焦點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是四邊形內(nèi)部的100個(gè)不同的點(diǎn)，線段，與軸分別交于，，記，其中，證明：，中至少有一個(gè)小于．2025屆新高三開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一、選擇題1．D【解析】依題意，，，所以．故選D．2．A【解析】點(diǎn)在圓內(nèi)，所以“”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的充分不必要條件．故選A．3．A【解析】函數(shù)中，，所以排除D；因?yàn)?，，都為奇函?shù)，為偶函數(shù)，所以，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以排除B；當(dāng)時(shí)，，同時(shí)單調(diào)遞增，且同時(shí)非負(fù)，所以在時(shí)也單調(diào)遞增，所以排除C．故選A．4．B【解析】展開(kāi)式中的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．故選B．5．C【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為16．故選C．6．C【解析】由圖像得，的周期為，所以，因?yàn)?，且，所以或，因?yàn)?在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，所以．故選C．7．A【解析】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，又，，所以，，所以，所以，所以，，所以．故選A．8．B【解析】在上單調(diào)遞增，切線的斜率也單調(diào)遞增，設(shè)，在圖象在處的切線斜率為，所以取得最小值即（*），令，則單調(diào)遞增，取檢驗(yàn)得，滿足（*），所以取得最小值為．故選B．二、選擇題9．AC【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，所以，，所以的?shí)部為2，所以A正確；的虛部是，所以B錯(cuò)誤；，所以C正確；，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以D錯(cuò)誤．故選AC．10．ABD【解析】的實(shí)半軸，虛半軸，半焦距，漸近線方程為，所以A．，所以A正確；四邊形的周長(zhǎng)為，所以B正確；作出與其漸近線，直接由圖形得，，所以C錯(cuò)誤；D．不妨設(shè)位于的右支，則，所以①，因?yàn)椋?，所以②，所以得，，所以三角形的面積為，所以D正確．故選ABD．11．AC【解析】如圖，在正三棱臺(tái)中，設(shè)，分別為上下底面的中心，，分別為，的中點(diǎn)，因?yàn)樯系酌娴倪呴L(zhǎng)，下底面的邊長(zhǎng)分別為，，所以，，，，又，所以，所以A正確；體積為，所以B錯(cuò)誤；側(cè)棱與底面所成的角為，在直角梯形中，由，，計(jì)算得，所以C正確；由已知得，外接球的球心在直線上，設(shè)，由得，，解得，所以外接球的表面積為，所以D錯(cuò)誤．故選AC．三、填空題12．【解析】由已知得，經(jīng)過(guò)，，第一次相遇，此時(shí)比多走一圈，所以，所以．故答案為．13．【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，，則，，故．故答案為．14．【解析】不妨設(shè)，，直線的方程為，與聯(lián)立消去得，，此時(shí)必須，所以，因?yàn)橹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以，所以，所以，所以，又為拋物線的焦點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以．故答案為．四、解答題15．解：（1）設(shè)的公比為，，，，，，．（2），，（或），．16．解：（1），，又回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測(cè)當(dāng)年7月份該品牌的空調(diào)可以銷售72臺(tái)．（2）因?yàn)椋凿N量不低于前6個(gè)月的月平均銷量的月份數(shù)為4，5，6，所以，，，，，所以的分布列為：0123．17．解：（1）連接并延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．因?yàn)闉榈酌娴闹匦?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）取的中點(diǎn)為，連接．因?yàn)榈酌?，且三棱柱的各棱長(zhǎng)均相等，所以直線，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為6，則，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．18．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，，即在區(qū)間上成立．則，令，，