復合材料結構動力學分析技術教程

復合材料結構動力學分析技術教程1強度計算基礎1.1復合材料力學特性復合材料因其獨特的力學性能，在航空航天、汽車、建筑等多個領域得到廣泛應用。它們由兩種或更多種不同性質的材料組成，通過微觀結構設計，可以實現(xiàn)比單一材料更優(yōu)的性能。復合材料的力學特性主要包括以下幾個方面：各向異性：復合材料的力學性能在不同方向上可能不同，這取決于纖維的排列方向。高比強度和比剛度：復合材料具有較高的強度和剛度，同時保持較低的密度，使得其比強度和比剛度遠超傳統(tǒng)材料。損傷容限：復合材料在損傷后仍能保持一定的承載能力，這得益于其內部的多相結構。熱穩(wěn)定性：許多復合材料具有良好的熱穩(wěn)定性，能夠在高溫環(huán)境下保持性能。1.1.1示例：復合材料的彈性模量計算假設我們有以下復合材料的參數(shù)：纖維體積分數(shù)：V纖維彈性模量：Ef=基體彈性模量：Em=復合材料的彈性模量EcE#復合材料彈性模量計算示例

V_f=0.6#纖維體積分數(shù)

E_f=150#纖維彈性模量(GPa)

E_m=3#基體彈性模量(GPa)

#計算復合材料的彈性模量

E_c=V_f*E_f+(1-V_f)*E_m

print(f"復合材料的彈性模量為:{E_c}GPa")1.2強度計算方法概述強度計算是結構分析中的關鍵步驟，用于評估結構在各種載荷下的承載能力。對于復合材料結構，強度計算方法通常包括：最大應力理論：基于材料的最大應力來判斷結構的破壞。最大應變理論：基于材料的最大應變來判斷結構的破壞。Tsai-Wu失效理論：考慮了復合材料的各向異性，通過一個失效準則來預測復合材料的破壞。Hashin失效理論：更詳細地考慮了復合材料中纖維和基體的破壞機制。1.2.1示例：Tsai-Wu失效理論的應用Tsai-Wu失效理論是復合材料強度計算中常用的一種方法，其失效準則為：σ其中，σ1和σ2是正應力，τ12是剪應力，f11、f22假設我們有以下復合材料的失效參數(shù)：ffff以及結構上的應力分布：σ1=σ2=τ12=我們可以使用Tsai-Wu失效理論來判斷結構是否安全。#Tsai-Wu失效理論應用示例

f_11=10#失效參數(shù)f11

f_22=5#失效參數(shù)f22

f_12=2#失效參數(shù)f12

f_66=1#失效參數(shù)f66

sigma_1=3#正應力sigma1(MPa)

sigma_2=2#正應力sigma2(MPa)

tau_12=1#剪應力tau12(MPa)

#計算Tsai-Wu失效準則

tsai_wu=(sigma_1**2/f_11)+(sigma_2**2/f_22)-(sigma_1*sigma_2/f_12)+(tau_12**2/f_66)

print(f"Tsai-Wu失效準則的值為:{tsai_wu}")

#判斷結構是否安全

iftsai_wu<=1:

print("結構安全")

else:

print("結構不安全")通過以上示例，我們可以看到復合材料力學特性的計算和Tsai-Wu失效理論在強度計算中的應用，這為復合材料結構的設計和分析提供了理論基礎。2結構動力學原理2.1動力學基本方程在結構動力學分析中，動力學基本方程是描述結構在動力載荷作用下運動狀態(tài)的關鍵。對于一個線性、時不變的系統(tǒng)，動力學基本方程通常表示為：M其中：-M是質量矩陣，表示結構的質量分布。-C是阻尼矩陣，反映結構的阻尼效應。-K是剛度矩陣，描述結構的彈性性質。-u和u分別是位移的二階和一階導數(shù)，即加速度和速度。-u是位移向量。-Ft2.1.1示例代碼假設我們有一個簡單的單自由度系統(tǒng)，質量M=1?kg，剛度K=10?N/m，阻尼importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義動力學方程

defdynamics(t,y):

u,v=y#位移和速度

du_dt=v#位移的一階導數(shù)

dv_dt=-0.5*v-10*u+np.sin(t)#速度的一階導數(shù)

return[du_dt,dv_dt]

#初始條件

y0=[0,0]#初始位移和速度

#時間范圍

t_span=(0,10)

#求解

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#繪制結果

plt.figure()

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label='位移')

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label='速度')

plt.legend()

plt.xlabel('時間(s)')

plt.ylabel('響應')

plt.title('單自由度系統(tǒng)動力響應')

plt.grid(True)

plt.show()2.2振動理論與模態(tài)分析模態(tài)分析是結構動力學中的一個重要工具，用于確定結構的固有頻率、模態(tài)形狀和阻尼比。模態(tài)分析基于結構的振動理論，通過求解特征值問題來實現(xiàn)：K其中：-ω是固有頻率。-?是模態(tài)形狀。2.2.1示例代碼考慮一個由兩個質量塊和三個彈簧組成的系統(tǒng)，我們可以通過求解特征值問題來找到系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)形狀。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

#定義質量矩陣和剛度矩陣

M=np.array([[1,0],[0,1]])#質量矩陣

K=np.array([[10,-5],[-5,10]])#剛度矩陣

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=eig(K,M)

#計算固有頻率

omega=np.sqrt(eigenvalues)

#輸出結果

print("固有頻率:",omega)

print("模態(tài)形狀:")

foriinrange(len(eigenvalues)):

print(eigenvectors[:,i])這個例子中，我們使用了scipy.linalg.eig函數(shù)來求解特征值和特征向量，從而得到系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)形狀。通過調整質量矩陣和剛度矩陣的值，可以分析不同結構的振動特性。2.3結合復合材料的特殊性質復合材料結構的動力學分析需要考慮復合材料的各向異性、層間效應和非線性特性。在進行模態(tài)分析時，這些特性會影響質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的構建，從而影響最終的固有頻率和模態(tài)形狀。2.3.1示例代碼對于一個由不同層復合材料組成的板，我們可以使用層疊理論來構建剛度矩陣。假設我們有兩層復合材料，每層的厚度、密度、彈性模量和泊松比都不同，我們可以使用以下代碼來構建剛度矩陣：importnumpyasnp

#定義每層的材料屬性

layer1={'thickness':0.1,'density':1500,'E1':120e9,'E2':10e9,'G12':5e9,'nu12':0.3}

layer2={'thickness':0.2,'density':1600,'E1':130e9,'E2':12e9,'G12':6e9,'nu12':0.25}

#計算每層的剛度矩陣

defstiffness_matrix(layer):

t=layer['thickness']

rho=layer['density']

E1=layer['E1']

E2=layer['E2']

G12=layer['G12']

nu12=layer['nu12']

#計算A、B、D矩陣

A=np.array([[E1,E1*nu12,0],[E1*nu12,E2,0],[0,0,G12]])*t

B=np.array([[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]])*t**2/2

D=np.array([[E1,E1*nu12,0],[E1*nu12,E2,0],[0,0,G12]])*t**3/12

returnA,B,D

#構建整個板的剛度矩陣

A1,B1,D1=stiffness_matrix(layer1)

A2,B2,D2=stiffness_matrix(layer2)

#假設板的長度和寬度分別為1m和0.5m

length=1

width=0.5

#構建整個板的剛度矩陣

K=np.zeros((4,4))

K[:2,:2]=A1+A2

K[:2,2:]=B1+B2

K[2:,:2]=B1+B2

K[2:,2:]=D1+D2

#質量矩陣

M=np.array([[layer1['density']*layer1['thickness']*length*width,0],[0,layer2['density']*layer2['thickness']*length*width]])

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=eig(K,M)

#計算固有頻率

omega=np.sqrt(eigenvalues)

#輸出結果

print("固有頻率:",omega)

print("模態(tài)形狀:")

foriinrange(len(eigenvalues)):

print(eigenvectors[:,i])在這個例子中，我們首先定義了每層復合材料的屬性，然后使用層疊理論計算了每層的剛度矩陣。最后，我們構建了整個板的剛度矩陣，并求解了特征值問題，得到固有頻率和模態(tài)形狀。這展示了如何在復合材料結構的動力學分析中考慮材料的特殊性質。3復合材料結構的振動分析3.1理論基礎復合材料結構的振動分析是研究復合材料在動態(tài)載荷作用下響應的關鍵領域。它涉及到材料的彈性、阻尼特性以及結構的幾何和邊界條件。振動分析可以分為固有頻率和模態(tài)分析，以及在特定載荷下的響應分析。3.1.1固有頻率和模態(tài)分析固有頻率和模態(tài)分析是確定結構在無外力作用下自由振動的特性。對于復合材料結構，由于其各向異性，模態(tài)分析更為復雜，需要考慮材料在不同方向上的剛度差異。3.1.2響應分析響應分析則是在已知外力作用下，計算結構的動態(tài)響應，如位移、速度和加速度。這在設計復合材料結構時至關重要，以確保結構在預期的動態(tài)載荷下能夠安全運行。3.2數(shù)值方法數(shù)值方法，如有限元分析（FEA），是進行復合材料結構振動分析的常用工具。它將結構離散為多個小的單元，每個單元的物理特性（如剛度和質量）可以通過材料屬性和幾何形狀來確定。3.2.1有限元分析示例以下是一個使用Python和scipy庫進行簡單振動分析的示例。假設我們有一個簡單的復合材料梁，長度為1米，兩端固定，材料屬性已知。importnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

fromscipy.sparseimportdiags

#材料和結構參數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：帕斯卡

rho=7800#密度，單位：千克/立方米

I=1e-6#慣性矩，單位：米^4

L=1#梁的長度，單位：米

n_elements=100#離散化單元數(shù)量

#計算單元剛度和質量矩陣

k=(E*I)/(L/n_elements)**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

m=rho*(L/n_elements)*np.array([[156,22*L,54,-13*L],

[22*L,4*L**2,13*L,-3*L**2],

[54,13*L,156,-22*L],

[-13*L,-3*L**2,-22*L,4*L**2]])

#構建全局剛度和質量矩陣

K=diags([k[0,0],k[0,1],k[0,2],k[0,3]]*n_elements,[0,1,2,3],shape=(4*n_elements,4*n_elements)).toarray()

M=diags([m[0,0],m[0,1],m[0,2],m[0,3]]*n_elements,[0,1,2,3],shape=(4*n_elements,4*n_elements)).toarray()

#應用邊界條件

K[:2,:]=0

K[:,:2]=0

K[-2:,:]=0

K[:,-2:]=0

M[:2,:]=0

M[:,:2]=0

M[-2:,:]=0

M[:,-2:]=0

#求解固有頻率和模態(tài)

w,v=eig(K,M)

#打印前三個固有頻率

print("前三個固有頻率（單位：赫茲）:")

print(np.sqrt(w[:3])/(2*np.pi))3.2.2解釋在這個示例中，我們首先定義了復合材料梁的基本物理參數(shù)，包括彈性模量、密度、慣性矩和長度。然后，我們構建了單元的剛度和質量矩陣，并通過scipy.sparse.diags函數(shù)將這些矩陣擴展到整個梁的長度，形成全局剛度和質量矩陣。應用了兩端固定的邊界條件后，我們使用scipy.linalg.eig函數(shù)求解固有頻率和模態(tài)。最后，我們打印出前三個固有頻率。3.3沖擊載荷下的響應分析沖擊載荷下的響應分析關注的是結構在突然的、短暫的載荷作用下的動態(tài)行為。這在復合材料結構中尤為重要，因為它們可能用于航空航天、汽車和體育器材等應用，這些應用中結構可能會遭受沖擊。3.3.1數(shù)值模擬沖擊響應分析通常通過數(shù)值模擬來完成，其中最常用的是有限元分析。在沖擊載荷下，結構的響應可能包括塑性變形、裂紋形成和能量吸收。3.3.2示例：沖擊載荷響應分析以下是一個使用Python和egrate.solve_ivp進行沖擊載荷響應分析的簡化示例。假設我們有一個復合材料梁，受到一個短暫的沖擊載荷。importnumpyasnp

fromegrateimportsolve_ivp

#定義沖擊載荷函數(shù)

defimpact_force(t):

if0.05<=t<=0.1:

return10000#沖擊載荷，單位：牛頓

else:

return0

#定義梁的運動方程

defbeam_equation(t,y,y_dot):

#這里簡化為一個點質量模型

returny_dot,-impact_force(t)

#初始條件

y0=[0,0]#初始位移和速度

#時間范圍

t_span=(0,0.5)

#求解微分方程

sol=solve_ivp(beam_equation,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,0.5,1000))

#打印結果

print("時間（秒）,位移（米）,速度（米/秒）")

fort,y,y_dotinzip(sol.t,sol.y[0],sol.y[1]):

print(f"{t:.3f},{y:.6f},{y_dot:.6f}")3.3.3解釋在這個示例中，我們定義了一個沖擊載荷函數(shù)impact_force，它在特定的時間段內產生一個恒定的力。然后，我們定義了梁的運動方程beam_equation，簡化為一個點質量模型，只考慮了沖擊載荷對位移和速度的影響。使用egrate.solve_ivp函數(shù)求解微分方程，得到梁在沖擊載荷作用下的動態(tài)響應。最后，我們打印出時間、位移和速度的數(shù)值結果。以上示例和解釋提供了復合材料結構動力學分析的基本框架，包括振動分析和沖擊響應分析。通過這些方法，工程師可以評估復合材料結構在動態(tài)載荷下的性能，從而優(yōu)化設計和確保結構的安全性。4數(shù)值模擬與軟件應用4.1有限元方法介紹有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值分析技術，廣泛應用于工程結構的強度計算和動力學分析中。它將復雜的結構分解為許多小的、簡單的部分，即“有限元”，然后對每個部分進行分析，最后將結果組合起來得到整個結構的性能。這種方法特別適用于復合材料結構的動力學分析，因為復合材料的各向異性特性使得傳統(tǒng)的解析方法難以應用。4.1.1基本步驟結構離散化：將結構劃分為有限數(shù)量的單元，每個單元用節(jié)點來表示。選擇位移函數(shù)：在每個單元內，用多項式或其他函數(shù)來近似位移。建立單元方程：基于彈性力學原理，建立每個單元的平衡方程。組裝整體方程：將所有單元方程組合成一個整體的方程組。施加邊界條件：根據(jù)實際問題，施加位移或力的邊界條件。求解方程組：使用數(shù)值方法求解整體方程組，得到結構的響應。后處理：分析和可視化求解結果，如應力、應變、位移等。4.1.2示例：使用Python進行簡單梁的有限元分析importnumpyasnp

#定義材料屬性和截面屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

I=1e-4#截面慣性矩，單位：m^4

L=1.0#梁的長度，單位：m

F=-1000#應用力，單位：N

#定義節(jié)點和單元

nodes=np.array([[0,0],[L,0]])#節(jié)點坐標

elements=np.array([[0,1]])#單元節(jié)點編號

#定義剛度矩陣

defstiffness_matrix(E,I,L):

k=np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L*L,-6*L,2*L*L],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L*L,-6*L,4*L*L]])*E*I/(L**3)

returnk

#組裝整體剛度矩陣

K=np.zeros((4,4))

foreleminelements:

k=stiffness_matrix(E,I,L)

K[2*elem[0]:2*elem[0]+2,2*elem[0]:2*elem[0]+2]+=k[:2,:2]

K[2*elem[0]:2*elem[0]+2,2*elem[1]:2*elem[1]+2]+=k[:2,2:]

K[2*elem[1]:2*elem[1]+2,2*elem[0]:2*elem[0]+2]+=k[2:,:2]

K[2*elem[1]:2*elem[1]+2,2*elem[1]:2*elem[1]+2]+=k[2:,2:]

#施加邊界條件

K[[0,2],:]=0

K[:,[0,2]]=0

K[0,0]=K[2,2]=1e12

#定義載荷向量

F=np.array([0,F,0,0])

#求解位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#計算反力

R=K.dot(U)-F

#輸出結果

print("位移向量：",U)

print("反力向量：",R)4.2使用ANSYS進行動力學分析ANSYS是一款功能強大的工程仿真軟件，廣泛用于結構、流體、電磁、熱學等領域的分析。在復合材料結構的動力學分析中，ANSYS提供了豐富的工具和模塊，如ANSYSMechanicalAPDL，用于模擬結構的動力學響應。4.2.1動力學分析類型模態(tài)分析：確定結構的固有頻率和模態(tài)形狀。諧響應分析：分析結構在正弦載荷下的響應。瞬態(tài)動力學分析：模擬結構在時間域內的動力學響應，適用于非周期性載荷。譜分析：分析結構在隨機載荷下的響應，如地震或風載荷。4.2.2示例：使用ANSYS進行模態(tài)分析以下步驟概述了如何在ANSYS中進行模態(tài)分析：創(chuàng)建模型：導入復合材料結構的幾何模型。定義材料屬性：輸入復合材料的彈性模量、泊松比等屬性。網(wǎng)格劃分：對結構進行網(wǎng)格劃分，生成有限元模型。施加邊界條件：定義結構的約束，如固定端或鉸接端。執(zhí)行模態(tài)分析：設置模態(tài)分析的參數(shù)，如求解的模態(tài)數(shù)量。后處理：查看模態(tài)頻率和模態(tài)形狀，分析結構的動力學特性。4.2.3ANSYSAPDL腳本示例*DIM,matprop,array,1,3

matprop(1)=200e9#彈性模量

matprop(2)=0.3#泊松比

matprop(3)=1.5e3#密度

*DO,i,1,3

MP,EX,1,matprop(i)

MP,PRXY,1,matprop(i+1)

MP,DENS,1,matprop(i+2)

*ENDO

ET,1,SOLID186

BLOCK,0,1,0,1,0,1

TYPE,1

MATERIAL,1

ESIZE,0.1

VOLUMETRIC,1

MESH,V1

*DO,i,1,2

D,i,UX,0

D,i,UY,0

D,i,UZ,0

*ENDO

ANTYPE,MODAL

MODAL,10

SOLVE

*POST1

PRNSOL,EIGV此腳本定義了材料屬性，創(chuàng)建了一個實體模型，施加了邊界條件，并執(zhí)行了模態(tài)分析，最后輸出了模態(tài)頻率。4.2.4結論有限元方法和ANSYS軟件為復合材料結構的動力學分析提供了強大的工具。通過這些技術，工程師可以準確預測結構在各種載荷條件下的行為，從而優(yōu)化設計，確保結構的安全性和可靠性。5實驗驗證與數(shù)據(jù)處理5.1實驗設計與執(zhí)行在復合材料結構的動力學分析中，實驗設計與執(zhí)行是驗證理論模型和仿真結果的關鍵步驟。這一過程包括確定實驗參數(shù)、選擇合適的測試方法、設置實驗環(huán)境以及執(zhí)行實驗獲取數(shù)據(jù)。5.1.1實驗參數(shù)確定實驗參數(shù)的選擇應基于復合材料的特性、結構的幾何形狀以及預期的載荷條件。例如，對于層壓復合材料，需要考慮層數(shù)、層向、材料屬性（如彈性模量、泊松比）和厚度等參數(shù)。5.1.2測試方法選擇常用的測試方法包括：-模態(tài)分析：用于確定結構的固有頻率和模態(tài)形狀。-沖擊測試：模擬結構在動態(tài)載荷下的響應。-振動測試：評估結構在不同頻率下的振動特性。5.1.3實驗環(huán)境設置實驗環(huán)境應盡可能模擬實際工作條件，包括溫度、濕度和載荷類型等。例如，如果復合材料結構將用于航空航天領域，實驗應在真空或模擬高空環(huán)境的條件下進行。5.1.4實驗數(shù)據(jù)獲取使用高精度的傳感器和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄實驗過程中的關鍵數(shù)據(jù)，如位移、加速度和應力等。5.2數(shù)據(jù)分析與結果驗證數(shù)據(jù)分析與結果驗證是將實驗數(shù)據(jù)與理論預測或仿真結果進行比較，以評估模型的準確性和預測能力。5.2.1數(shù)據(jù)預處理數(shù)據(jù)預處理包括：-噪聲過濾：使用數(shù)字信號處理技術去除數(shù)據(jù)中的噪聲。-數(shù)據(jù)校準：確保傳感器數(shù)據(jù)的準確性和一致性。示例代碼：使用Python進行噪聲過濾importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromscipy.signalimportbutter,lfilter

#生成模擬數(shù)據(jù)

data=np.random.normal(0,0.1,1000)+np.sin(2*np.pi*1.2*np.arange(1000)/1000)

#定義Butterworth濾波器

defbutter_lowpass(cutoff,fs,order=5):

nyq=0.5*fs

normal_cutoff=cutoff/nyq

b,a=butter(order,normal_cutoff,btype='low',analog=False)

returnb,a

defbutter_lowpass_filter(data,cutoff,fs,order=5):

b,a=butter_lowpass(cutoff,fs,order=order)

y=lfilter(b,a,data)

returny

#參數(shù)設置

order=6

fs=30.0#samplerate,Hz

cutoff=3.667#desiredcutofffrequencyofthefilter,Hz

#應用濾波器

y=butter_lowpass_filter(data,cutoff,fs,order)

#繪制結果

plt.plot(data,'b-',label='data')

plt.plot(y,'g-',linewidth=2,label='filtereddata')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()5.2.2結果比較將處理后的實驗數(shù)據(jù)與理論預測或仿真結果進行對比，分析差異，識別模型的不足之處。5.2.3結果驗證通過統(tǒng)計分析方法（如均方根誤差、相關系數(shù)）評估實驗數(shù)據(jù)與預測結果的一致性。示例代碼：使用Python計算均方根誤差importnumpyasnp

#假設的實驗數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)

experimental_data=np.array([1.0,2.0,3.0,4.0,5.0])

simulation_data=np.array([1.1,1.9,3.1,3.9,4.9])

#計算均方根誤差

defrmse(predictions,targets):

returnnp.sqrt(((predictions-targets)**2).mean())

#應用函數(shù)

error=rmse(simulation_data,experimental_data)

print(f"均方根誤差:{error}")通過上述步驟，可以確保復合材料結構動力學分析的準確性和可靠性，為結構設計和優(yōu)化提供有力支持。6案例研究與應用6.1航空航天復合材料結構分析6.1.1引言在航空航天領域，復合材料因其輕質、高強度和高剛度的特性而被廣泛使用。動力學分析是評估復合材料結構在動態(tài)載荷下性能的關鍵步驟，它涉及到結構的振動、穩(wěn)定性以及疲勞壽命的預測。6.1.2動力學分析方法有限元分析(FEA)有限元分析是復合材料動力學分析中最常用的方法。它將結構分解為許多小的、簡單的單元，然后在每個單元上應用力學原理，通過數(shù)值方法求解整個結構的動力學響應。模態(tài)分析模態(tài)分析用于確定結構的固有頻率和模態(tài)形狀。這對于避免共振和優(yōu)化結構設計至關重要。諧響應分析諧響應分析用于評估結構在周期性載荷下的響應，如飛機在飛行過程中遇到的氣動載荷。譜分析譜分析，如功率譜密度分析，用于評估結構在隨機載荷下的響應，如飛行器在大氣湍流中的振動。6.1.3示例：有限元分析假設我們正在分析一個由碳纖維增強塑料(CFRP)制成的飛機機翼。我們將使用Python中的FEniCS庫來執(zhí)行有限元分析。#導入必要的庫

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(8,8)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=2)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-10))

T=Constant((1,0))

a=inner(grad(u),grad(v))*dx

L=dot(f,v)*dx+dot(T,v)*ds

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#可視化結果

plot(u)

plt.show()在這個例子中，