2023年新高考數(shù)學大一輪復(fù)習24 立體幾何解答題歸納總結(jié)（原卷版）

專題24立體幾何解答題最全歸納總結(jié)

【題型歸納目錄】

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

題型二：立體幾何存在性問題

題型三：立體幾何折疊問題

題型四：立體幾何作圖問題

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

題型六：兩角相等(構(gòu)造全等)的立體幾何問題

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

題型八：空間中的點不好求

題型九：創(chuàng)新定義

【典例例題】

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

例1.如圖，P為圓錐的頂點，0為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB=4,母線P”=2&,M是P3

的中點，四邊形OBC”為正方形.

//--------------(

(1)設(shè)平面PQHc平面PBC=/,證明：/〃BC；

(2)設(shè)。為?！ǖ闹悬c，N是線段CD」.的一個點，當MN與平面用8所成角最大時，求MN的長.

例2.如圖所示，圓錐的底面半徑為4,側(cè)面積為16而，線段A8為圓錐底面。O的直徑，C在線段A8

上，且BC=3C4,點。是以3C為直徑的圓上一動點；

(1)當C0=CO時，證明：平面P4￡)_L平面POO

(2)當三棱錐P-BC。的體積最大時，求二面角4-叨-A的余弦值.

例3.如圖，圓錐尸。的母線長為迷，..A5C是。。的內(nèi)接三角形，平面秒1C_L平面P8C.BC=26,

ZABC=600.

(1)證明：PA1PC；

(2)設(shè)點。滿足0。=40尸，其中義?0,1),且二面角0—Q5—C的大小為60。，求4的值.

例4.如圖，。為圓錐的頂點，。為圓錐底面的圓心，力8為底面直徑，C為底面圓周上一點，DA=AC=BC=2t

四邊形OOAE為矩形，點尸在BC上，且。尸〃平面E4C.

(1)請判斷點尸的位置并說明理由；

(2)平面“?。將多面體08cAE分成兩部分，求體積較大部分幾何體的體積.

例5.如圖，在直角PO4中，POLOA,PO=2OA,將一尸。4繞邊PO旋轉(zhuǎn)到，PO8的位置，使NAOB=90。,

得到圓錐的一部分，點C為AB的中點.

p

A

(1)求證：PC1AB；

(2)設(shè)直線PC與平面以B所成的角為。，求sin。.

例6.如圖，四邊形A5CO為圓柱。。2的軸截面，樣是該圓柱的一條母線，EF二五EA，G是A。的中點.

(1)證明：4尸JL平面EBG；

(2)若BE=6EA,求二面角E-BG-a的正弦值.

例7.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A4co(及其內(nèi)部)以A8力所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。

得到的，G是0”的中點.

(1)設(shè)P是CE上的一點，且求證3P_L8E；

(2)當AB=3,4)=2時，求二面角E-AG-C的大小.

例8.如圖，四邊形A3CD是一個半圓柱的軸截面，E,尸分別是弧OC48上的一點，EF〃AD,點H為

線段40的中點，且48=4。=4,/科3=30。，點6為線段。￡：上一動點.

（1）試確定點G的位置，使￡心〃平面CPH,并給予證明;

（2）求二面角。一族-E的大小.

例9.坐落于武漢市江漢區(qū)的漢口東正教堂是中國南方唯一的拜占庭式建筑，象征著中西文化的有機融合.拜

占庭是筑創(chuàng)造了將穹頂支承于獨立方柱上的結(jié)構(gòu)方法和與之相呼應(yīng)的集中式建筑形制，其主體部分由一圓

柱與其上方一半球所構(gòu)成，如圖所示.其中。是下底面圓心，A8.C是。。上三點，A.B.G是上底面對應(yīng)

的三點.且AO,C共線，ACA.OB,GE=EC,BF=〈FB,人石與。尸所成角的余弦值為^.

365

（1）若"至"平面A"的距離為竽’求。的半徑.

（2）在（1）的條件下，已知P為半球面上的動點，且AP=2ji6,求尸點軌跡在球面上圍成的面積.

例10.如圖，A3CD為圓柱0。的軸截面，火是圓柱上異于ARBC的母線.

(1)證明：BE上平面DEF：

⑵若AB=BC=?,當三棱錐所的體積最大時，求二面角B-OF-E的正弦值.

例11.如圖，。，。分別是圓臺上、下底的圓心，A8為圓。的直徑，以08為直徑在底面內(nèi)作圓E,。為

圓。的直徑A8所對弧的中點，連接BC交圓E于點O,A4,BB「CC\為圓臺的母線，AB=2AiBl=S.

(1)證明；G。//平面088.；

(2)若二面角為求0Q與平面ACQ所成角的正弦值.

例12.某市在濱海文化中心有濱?？萍拣^，其建筑有鮮明的后工業(yè)風格，如圖所示，截取其中一部分抽象

出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體ABC。-A,4GA中，AB=4,AD=AA]=2,圓臺下底圓心。為A8

的中點，直徑為2,圓與直線A5交于E,F,圓臺上底的圓心。|在AM上，直徑為1.

(1)求與平面4七。所成角的正弦值;

(2)圓臺上底圓周上是否存在一點尸使得。，AG，若存在，求點尸到直線4河的距離，若不存在則說明

理由.

題型二：立體幾何存在性問題

例13.如圖，三棱錐尸-ABC中，Z4_L平面ABC,PA=[,AB=l,AC=2,ZfiAC=60°.

(1)求三棱錐4-P8C的體積：

(2)在線段PC上是否存在一點使得8MJ.AC?若存在，求笑的值,若不存在，請說明理由.

例14.已知四棱錐P-ABC3中，底面A8CO是矩形，且AB4D是正三角形，C￡>J_平面H4。,

E、尸、G、。分別是PC、PD、BC、AO的中點.

(1)求平面EFG與平面A8CD所成的銳二面角的大??；

(2)線段附上是否存在點使得直線GM與平面EFG所成角的大小為2,若存在，求出寥的值；若

6PA

不存在，說明理由.

例15.已知三棱柱ABC—AgG中，ZACB=90°,AC=AA,=4,BC=2.

B

(1)求證：平面AACGJ■平面ABC；

(2)若幺人。工60。，在線段AC上是否存在一點P,使二面角B-。的平面角的余弦值為也？若存在,

4

確定點P的位置：若不存在，說明理由.

例16.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，平面ABC。，AD//BC,AD±CD,且AD=C￡>,BC=2CD,

(1)證明：AB±PC；

(2)在線段戶。上是否存在一點M,使得二面角M-AC-O的余弦值為姮，若存在，求與PC所成

17

角的余弦值；若不存在，請說明理由.

例17.如圖，是邊長為6的正三角形，點E,F,N分別在邊人8,AC,BC上，AE=AF=BN=4,

M為8C邊的中點，交七戶于點0,沿即將三角形4E/折到。石尸的位置，使OM=厲.

(1)證明：平面。所_1平面跳小C；

DP

(2)試探究在線段。例上是否存在點尸，使二面角P-EN-8的大小為60。？若存在，求出r的值；若

rM

不存在，請說明理由.

例18.圖1是直角梯形ABC。，ABUCD,ZD=90,AB=2,DC=3,AD=6,CE=2ED,以BE為

折痕將二BCE折起，使點C到達G的位置，且4。二指，如圖2.

(1)求證：平面B￡E_L平面A8E￡＞；

(2)在棱0G上是否存在點尸，使得G到平面尸BE的距離為理？若存在，求出二面角夕-跳;一A的大小;

2

若不存在，說明理由.

例19.如圖所示，在四棱柱A3cO-AIBCIA中，側(cè)棱4A_L底面A8CQ,A8_LAC,AB=\,AC=AA]=2,

AD=CD=45，E為棱AAi上的點，且

(1)求證：BE_L平面AC8：

(2)求二面角Di-AC-Bi的余弦值；

(3)在棱上是否存在點F,使得直線。尸〃平面ACBi?若存在，求4尸的長；若不存在，請說明理由.

例20.如圖，在五面體48a中，已知ACLBC,ED//AC,且AC=BC=2ED=2,DC=DB=6

(1)求證：平面ABE_L與平面ABC；

(2)線段BC上是否存在一點尸，使得平面4環(huán)與平面ABE夾角余弦值的絕對值等于旭，若存在，求竺

的值；若不存在，說明理由.

題型三：立體幾何折疊問題

例21.如圖1,在邊上為4的菱形ABCD中，/DAB=60。，點M,N分別是邊8C,CO的中點，ACc8。=Q,

ACcMN=G.沿MN將△CMZV翻折到的位置，連接RA,PB,PD，得到如圖2所示的五棱錐

P-ABMND.

(1)在翻折過程中是否總有平面平面尸AG?證明你的結(jié)論；

(2)當四棱錐P-MVD8體積最大時，求直線尸8和平面所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，在線段叢上是否存在一點。，使得二面角。-MN-P余弦值的絕對值為??若

10

存在，試確定點。的位置；若不存在，請說明理由.

例22.如圖，在等腰直角三角形尸AO中，ZA=90；AD=8,43=3,B、C分別是以、叨上的點，且

ADHBC,歷、N分別為BP、。。的中點，現(xiàn)將沿BC折起，得到四棱錐尸-458,連接MV.

(1)證明：MV〃平面幺。：

(2)在翻折的過程中，當叢=4時，求二面角8-PC-。的余弦值.

例23.如圖1,在平面四邊形PDC8中，PDNBC,BALPD,PA=AB=BC=2,AD=\.將沿

84翻折到ASAB的位置，使得平面S481平面48cO,如圖2所示.

圖1圖2

(1)設(shè)平面SOC與平面SA8的交線為/,求證：BCXZ；

(2)點Q在線段SC上(點。不與端點重合)，平面。8。與平面8co夾角的余弦值為直，求線段僅2的

6

長.

例24.如圖，在平面五邊形R48CZ)中，APAO為正三角形，AD//BC,/948=90。且AD=A8=28C=2.將

“4。沿AZ)翻折成如圖所示的四棱錐「一/WS,使得FC=近.F,。分別為A",CE的中點.

(1)求證：FQ平面P4。；

DEI

(2)若言=不，求平面EFC與平面PAD夾角的余弦值.

1L.j乙

例25.如圖，在平行四邊形43C。中，A8=3,AD=2,NA=60。，E,尸分別為線段A3,CO上的點，且

BE=2AE,DF=FC,現(xiàn)將△AOE沿?！瓿壑?人乃石的位置，連接.

(1)若點G為線段A3上一點，且AG=3G8,求證：FG〃平面AOE；

(2)當三棱錐C-A力七的體積達到最大國，求二面角8-AC-。的正弦值.

例26.如圖1,四邊形A8C。是邊長為2的正方形，四邊形心燈是等腰梯形，AB=BE=；EF,現(xiàn)將正方

形A8c。沿A8翻折，使CD勺C'Q'重合，得到如圖2所示的幾何體，其中DE=4.

(2)求二面角。-A￡—C的余弦值.

例27.如圖，在梯形A8CO中，AD//BC,AI3=BC=2,AD=4f現(xiàn)將所在平面沿對角線AC翻折，使

點8翻折至點E,且成直二面角E-AC-。.

(1)證明：平面EDCJ?平面E4C；

(2)若直線0E與平面E4C所成角的余弦值為求二面角￡>-叢-。的余弦值.

例28.如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,OE是△ABC的中位線，沿。石將△A。七進行翻折，使得△4CE

是等邊三角形(如圖2),記AB的中點為F.

圖1圖2

(1)證明：DF_L平面4BC.

(2)若AE=2,二面角O-ACE為？，求直線48與平面ACO所成角的正弦值.

6

題型四：立體幾何作圖問題

例29.已知四棱錐P-A8CO中，底面4BCO為正方形，0為其中心，點E為側(cè)棱PO的中點.

（1）作出過0、尸兩點且與AE平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出

簡要作圖過程）；記該截面與棱。。的交點為M,求出比值博（直接寫出答案）；

MC

（2）若四棱錐的側(cè)棱與底面邊長均相等，求AK與平面P8C所成角的正弦值.

例30.如圖，已知底面為平行四邊形的匹棱錐P-ABCZ）中，平面MNGH與直線總和直線4c平行，點E

為PO的中點，點尸在C。上，且￡）產(chǎn):FC=1:2.

（1）求證：四邊形MVGH是平行四邊形；

（2）求作過EF作四棱錐尸-ABC。的截面，使心與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）.截面的定義:

用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形.

例31.如圖，在棱長為2的正方體48co-A媯中，E為棱4G的中點，F(xiàn),G分別是棱Cg,BC上

的動點（不與頂點重合）.

（1）作出平面AOG與平面CB禺G的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面AOG//平面。/尸，則

EF//A.D.

（2）若G為棱8。的中點，是否存在尸，使平面J■平面DG尸，若存在，求出|b|的所有可能值；若

不存在，請說明理由.

例32.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A8CA中，E為棱的中點，F(xiàn),G分別是棱CG,BC上的

動點：不與頂點重合）.

（1）作出平面AOG與平面C8瓦C的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面ADG〃平面。流尸，則

EFHA.D.

（2）若產(chǎn)，G均為其所在棱的中點，求點G到平面。也尸的距離.

例33.如圖多面體八改力）中，面為等邊三角形，四邊形4BC。為正方形，EF//BC,

且所=瓶=3,4,G分別為CE,8的中點.

(1)求二面角的余弦值;

Ap

(2)作平面"/G與平面A8CO的交線，記該交線與直線AB交點為P,寫出二大的值(不需要說明理由,

AB

保留作圖痕跡).

例34.如圖，已知多面體E4BCZ)/的底面ABC。是邊長為2的正方形，石4一底面A6CO,FDHEA,且

FD=-EA=\.

2

(1)求多面體E48CZ)戶的體積；

(2)記線段8c的中點為K,在平面ABCD內(nèi)過點K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但

不要求證明.

例35.四棱錐尸-A8CO中，底面A8CO是邊長為2的菱形，/〃8=甘.ACF￡>=0,且PO_L平面ABC。,

尸0=石，點EG分別是線段上的中點，E在R4上.且PA=3PE.

(I)求證：BD"平面EFG；

(II)求直線A8與平面EFG的成角的正弦值；

(III)請畫出平面EPG與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.

p

題型五：立體幾何建系繁瑣問題

例36.如圖，已知三棱柱ABC-A嗎G的底面是正三角形，側(cè)面8儲qc是矩形，M,N分別為，?C;

的中點，P為AM上一點.過和尸的平面交于E,交AC于F.

(1)證明；AAJiMN,且平面_L平面；

(2)設(shè)O為的中心.若AO//平面尸，且AO=A8,求直線B產(chǎn)與平面A/MN所成角

的正弦值.

B

例37.如圖，在錐體P-ABCZ)中，A3CD是邊長為1的菱形，且=6Cf,PA=PD=及,PB=2,

E,r分別是BC,PC的中點

(1)證明：AO_L平面?！戤a(chǎn)

(2)求二面角P-AO—8的余弦值.

例38.如圖，器。是半徑為〃的半圓，AC為直徑，點E為4。的中點，點B和點C為線段AO的三等分

點，平面AEC外一點尸滿足=產(chǎn)。=6,EF=叔.

(1)證明：EB±FD；

(2)已知點。，R為線段FE,/必上的點，F(xiàn)Q=-|FE,FR=/B,求平面8。與平面RQ。所成二

面角的正弦值.

例39.《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右.它

是一本綜合性的歷史著作，是當時世界.上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完

整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉端”，己知在三棱錐尸-ABC中，PAL

平面.

(1)從三棱錐ABC中選擇合適的兩條棱填空：_8C__L，則三棱錐P-ABC為“鱉嚅”；

(2)如圖，已知垂足為0,AE±PC,垂足為E,ZABC=90°.

(7)證明：平面AOE_L平面尸AC；

(力')設(shè)平面AOE與平面A8c的交線為/,若P4=2>/J,AC=2,求二面角E—/—C的大小.

例40.已知四面體ABC。，AD=CD,ZADB=NCDB=12QP,且平面ABOJ_平面BCD.

(I)求證：13D±AC;

(II)求直線CA與平面44。所成角的大小.

例41.已知四面體ABC。，NAO5=NCO5=120°,且平面45。J_平面BCD.

(1)若人。=8,求證：BDA.AC；

(II)求二面角8—CD—A的正切值.

題型六：兩角相等(構(gòu)造全等)的立體幾何問題

例42.如圖，在三棱錐A-B8中，AA5c是等邊三角形，NBAD=NBCD=90。，點P是

4C的中點，連接BQ,DP

(1)證明：平面48_1_平面瓦)P；

(2)若BD=n,cosZBPD=-—,求三棱錐A-BCD的體積.

3

例43.如圖，在三棱錐A-88中，A鉆。是等邊三角形，/班。=N8CD=90。，點?是

AC的中點，連接BP,DP.

(1)證明：平面ACO_L平面加中；

⑵若BD=灰,且二面角4-皿—C為120。，求直線AD與平面3co所成角的正弦值.

例44.如圖，四棱錐尸中，底面"CD為邊長是2的正方形，E,G分別是CZ)、AF的中點，AF=4,

NME=NR4E,且二面角產(chǎn)一AE—8的大小為90。.

(1)求證：AElBGt

(2)求二面角B-AF-E的余弦值.

例45.如圖，四棱錐E-ABCD中，四邊形A8CD是邊長為2的菱形，ZDAE=ZBAE=45°,NZMB=60。.

(I)證明：平面ADE_L平面ABE；

(II)當直線比與平面3所成的角為30°時，求平面"Z?與平面所成銳二面角的余弦值.

B

例46.如圖，在四面體ABCD中，已知/45。=/。匝＞=60°,AB=BC=2,

(1)求證：AC±BD；

(2)若平面平面C8O,且8。=2,求二面角C-AO-B的余弦值.

9

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

例47.如圖：長為3的線段PQ與邊長為2的正方形AAC￡＞垂直相交于其中心O(PO＞OQ).

(1)若二面角P-AA-Q的正切值為-3,試確定O在線段PQ的位置；

(2)在(1)的前提下，以尸，A,B,C,D,。為頂點的幾何體PA5CDQ是否存在內(nèi)切球？若存在,

試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由.

例48.在四棱錐尸-ABC。中，E為棱4)的中點，QE_L平面ABC。，ADf/BC,NA0C=9O。，ED=BC=2,

EB=3,/為棱PC的中點.

(I)求證：E4//平面龐戶；

(II)若二面角廠-應(yīng):-C為60。，求直線心與平面所成角的正切值.

例49.三棱柱A6C—A4G中，AB±AC,=AC=2,側(cè)面8。。內(nèi)為矩形，=,二面角

4-BC-A的正切值為:.

(I)求側(cè)棱例的長；

(II)側(cè)棱CG上是否存在點。，使得直線4)與平面ABC所成角的正切值為手，若存在，判斷點的位

置并訐明：若不存在，說明理由.

例50.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形A8CD內(nèi)接于圓O,AC是圓O的一條直徑，B4_L平面

ABCD,PA=AC=2,E是PC的中點，ZDAC=ZAOB

(1)求證：BE//平面PAD；

(2)若二面角尸-8-A的正切值為2,求直線必與平面尸CD所成角的正弦值.

例51.如圖所示，R4_L平面A8OACAB為等邊三角形，PA=AB,ACLCD,M為AC中點.

(I)證明：平面PCD；

(II)若P￡＞與平面處C所成角的正切值為逅，求二面角C-9-M的正切值.

2

p

題型人：空間中的點不好求

例52.如圖，直線4Q_L平面a,直線4Q_L平行四邊形ABCZ),四棱錐尸-ABCZ)的頂點P在平面a上，

AB=幣,AD=也,ADA.DB,AC(]BD=O,OPHAQ,AQ=2,M,N分別是4。與8的中點.

(1)求證：MN"平面QBC：

(2)求二面角A/CBQ的余弦值.

例53.如圖，四棱錐S-A88中，AB//CD,8C_LC￡>,側(cè)面SAB為等邊三角形.AB=BC=2,CD=SD=\.

(1)證明：SD_L平面SAB

(2)求A8與平面SBC所成角的正弦值.

例54.如圖，四棱錐S-AB8中，底面ABCD為矩形，S0_L底面ABCD,AD=42,DC=SD=2,點M

在側(cè)棱SC上，ZABA^=60°.

(I)證明：M是側(cè)棱SC的中點；

(II)求二面角的余弦值.

例55.如圖，在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面皿>_1_底面ABCD,底面ABC。為直角梯形，其中AB//CD,

ZCZM=90°,CD=2AB=2,A￡>=3,PA=?,PD=2近,點E在棱上且他=1,點、F為楂PD

的中點.

在棱AD上且AE=1,點尸位棱尸。的中點.

(1)證明：平面BE尸JL平面PEC；

(2)求二面角A—8尸—C的余弦值的大小.

例56.如圖，在四棱錐A—中，四邊形瓦C8為梯形，EFI/BC,且防=±BC,AABC是邊長為2

4

的正三角形，頂點尸在AC上的射影為點G,且FG=6,CF=—,BF=-.

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(1)證明：平面尺；B_L平面ABC；

(2)求二面角七一4?一尸的余弦值.

例57.三棱柱A8C-A4G的底面ABC是等邊三角形，BC的中點為O,底面被。，⑨與底面ABC

所成的角為(，點。在棱至上，且從。=等，AB=2.

(1)求證：0。_1_平面8片。1。；

(2)求二面角的平面角的余弦值?

AlCi

Bi

例58.如圖，將矩形鉆8沿45：折成二面角,其中E為。。的中點，已知45+2,

BC=1.BD、=CD[,尸]為AB的中點.

（1）求證：CF〃平面AOjE；

（2）求AF與平面8.E所成角的正弦值.

題型九：創(chuàng)新定義

例59.蜂房