人教版高中數(shù)學(xué)選修部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(理科)

高二數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)

第一章常用邏輯用語(yǔ)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語(yǔ)句.

假命題：判斷為假的語(yǔ)句.

2、“若0,則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,

則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆

命題.

若原命題為“若p,則它的逆命題為“若q,則p”.

4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定

和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱

為原命題的否命題.

若原命題為“若p,則“"，則它的否命題為“若力，則r”.

5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定

和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另

一個(gè)稱為原命題的逆否命題.

若原命題為“若p,則4"，則它的否命題為''若r，則力”.

6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真

真假假?1(.

假真真真

假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

⑴兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

7、若pnq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件.

若poq,則p是q的充要條件（充分必要條件）.

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作〃△外

當(dāng)〃、（7都是真命題時(shí)，〃八47是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命

題時(shí)，是假命題.

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題〃和命題“聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到一個(gè)新命題，記作“V小

當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pvq是真命題；當(dāng)〃、q兩個(gè)命

題都是假命題時(shí)，pvq是假命題.

對(duì)一個(gè)命題〃全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作..

若p是真命題，則力必是假命題；若p是假命題，則力必是真命題.

9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“V”表

示.

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題.

全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立"，記作“VxeM,p(x)”.

短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“三”表示.

含有存在量詞的命題稱為特稱命題.

特稱命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立"，記作“HXGM,p(x)”.

10、全稱命題p：VxeM,p(x),它的否定力：3xeM,?(x).全稱命題

的否定是特稱命題.

第二章圓錐曲線與方程

11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)6，尸2的距離之和等于常數(shù)(大于I耳尼|)的點(diǎn)的軌跡

稱為橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距.

12、橢圓的幾何「性質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

r

小

圖形

1

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程聲+3=3">。)

范圍-a<x<a^-h<y<h-b<x<bSL-a<y<a

A,(-a,O)>A2(6f,0)A"。,-a)、A2(O,6t)

頂點(diǎn)

B2(O^)(-瓦0)、B2(/7,O)

軸長(zhǎng)短軸的長(zhǎng)=2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)=2a

焦點(diǎn)耳(-c,0)、鳥(c,0)耳(0,—c)、6(0,c)

焦距忻閭=2c6=?2-Z?2)

對(duì)稱性關(guān)于X軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱

6=2=J1

離心率

a\a

V=±

準(zhǔn)線方程-f

13、設(shè)M是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M到K對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為4,點(diǎn)M到K對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線

的距離為則粵

14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳，戶2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|石石|)的

點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線

的焦距.

15、雙曲線的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

圖形

TfV-?

/T\

22

Y22

標(biāo)準(zhǔn)方程V

范圍x<-a^x>ayy￡Ry<—a^y>a,XG7?

頂點(diǎn)A［（-a,O）、A2（6f,0）Aj（0,-a）>A2（0,a）

軸長(zhǎng)虛軸的長(zhǎng)=功實(shí)軸的長(zhǎng)=2?

焦點(diǎn)耳(—c,0)、1(c,0)耳（0,—c）、6（O,c）

焦距恒閭=2C（C2=/+〃）

對(duì)稱性關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

離心率

a2a1

準(zhǔn)線方程x=±—y=±-

C

,b,a

漸近線方程y=±-xy=±—x

ab

16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線.

17、設(shè)M是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)M到耳對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為&,點(diǎn)M到K對(duì)應(yīng)準(zhǔn)

線的距離為%,則幽l==

44

18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)戶和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線.定

點(diǎn)尸稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線/稱為拋物線的準(zhǔn)線.

19、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于A、B兩點(diǎn)的線段AB,稱為

拋物線的“通徑”，即網(wǎng)=2p.

20、焦半徑公式：

若點(diǎn)p(x0,yo)在拋物線y2=2“x(〃>())上，焦點(diǎn)為尸，則|PF|=Xo+5；

若點(diǎn)PG。,%)在拋物線V=-2px(p>0)上，焦點(diǎn)為F,則仔刊=-毛+個(gè)

若點(diǎn)P(Xo，%)在拋物線V=2刀(〃>0)上，焦點(diǎn)為尸，則|PF|=%+5；

若點(diǎn)PQo，%）在拋物線d=—2刀（p>0）上，焦點(diǎn)為F,則|PF|=—

21、拋物線的幾何性質(zhì)：

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx1=-2py

標(biāo)準(zhǔn)方程

(p>°)(p>°)(p>0)(A>0)

圖形J啾

jp]

頂點(diǎn)(0,0)

對(duì)稱軸x軸y軸

焦點(diǎn)9。)FT。L戶（。?。〧S3L

準(zhǔn)線方程x=——x_p.T

________2_________2

離心率e=i

范圍x>0x<0>0y<0

第三章空間向量與立體幾何

22、空間向量的概念：

（1）在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量.

（2）向量可用一條有向線段來(lái)表示.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小稱為向量的模（或長(zhǎng)度），記作|AB].

（4）模（或長(zhǎng)度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.

（5）與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作.

（6）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

23、空間向量的加法和減法：

⑴求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則.即：在空間

以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、匕為鄰邊作平行四邊形OACB,則以0起

點(diǎn)的對(duì)角線0C就是。與b的和，這種求向量和的

方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.B

(2)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵

循三角形法則.即：在空間任取一點(diǎn)0,作/

,。S、

0A-a,OB—h,則BA-a—b.

24、實(shí)數(shù)2與空間向量a的乘積4a是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)2>0

時(shí)，4a與。方向相同；當(dāng);1<0時(shí)，4a與。方向相反；當(dāng);1=0時(shí)，Xa為零向量,

記為0.而的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的風(fēng)倍.

25、設(shè)X,〃為實(shí)數(shù)，a,。是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)

合律.

分配律：A^a+h^-Aa+Ab；結(jié)合律：=(〃/)..

26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線

向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線.

27、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,〃僅。0),a//b的充要條

件是存在實(shí)數(shù)4,使。=勸.

28、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量.

29、向量共面定理:空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,

)，使AP=xAB+yAC；或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有OP=OA+xAB+)，相；或

若四點(diǎn)P,A,B,C共面，則OP=K)A+yOB+zOC(x+y+z=l).

30、已知兩個(gè)非零向量a和。，在空間任取一點(diǎn)0,作a,OB=。，則4?

稱為向量a，8的夾角，記作也涉〉.兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：〈a,b〉?O,句.

31、對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b,若〈a,力=5,則向量a,匕互相垂直，記作a，方.

32＞已知兩個(gè)非零向量。和。,則同|4b〉稱為。，b的數(shù)量積，記作。.即

。人=《間,也〉.零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

33＞a-b等于。的長(zhǎng)度同與〃在。的方向上的投影Wcos〈a,b〉的乘積.

34＞若a,。為非零向量，￡為單位向量，則有⑴e?a=a?e=|《cos〈a,e〉；

同與引司向）

2

（2）aLb<^>a-b=0；（3）a-h=<Q.Q=同\a\=\ja'a；

一同忖（a與反向）

笳；⑸I。?。卜同I陽(yáng)

⑷cos〈〃,?！?/p>

35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：⑴a/="a；（2）（/1〃）/=/1（42）=人（勸/

⑶（Q+〃）,C=Q.C+Z?.c.

36、若i,j,%是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，則對(duì)空間任一向量p,存在有序

實(shí)數(shù)組{x,y,z},使得p=xi+力+zk,稱xi,yj,z%為向量p在i,j,k±

的分量.

37、空間向量基本定理：若三個(gè)向量a,b,c不共面，則對(duì)空間任一向量p,

存在實(shí)數(shù)組{x,y,z},p=xa+yh+zc.

38、若三個(gè)向量a,b,c不共面，則所有空間向量組成的集合是

=xa+yb+zc,x,y,z&.這個(gè)集合可看作是由向量a,b,c生成的，

{a,Ac}稱為空間的一個(gè)基底，a,b,c稱為基向量.空間任意三個(gè)不共面的向

量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

39、設(shè)“，4為有公共起點(diǎn)0的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝?/p>

正交基底），以4，4,63的公共起點(diǎn)0為原點(diǎn)，分別以耳，4,63的方向?yàn)閤

軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則對(duì)于空間任意一個(gè)向量p,

一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，得到向量0P=〃.存在有序?qū)?/p>

數(shù)組{x,y,z},使得p=xej+ye2+263.把x,y,z稱作向量p在單位正交基底

6,%,名下的坐標(biāo)，記作〃=（乂，2）.此時(shí)，向量P的坐標(biāo)是點(diǎn)P在空間直角

坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)（x,y,z）.

40、設(shè)a=（%，M，Z］）,b=（x2,y2,z2）,則⑴a+Z?=（石+程%+%，4+z2）?

（2）。一〃=（玉一孫y—必，4-22）?

（3）Aa=,/ly,/lZ］）.

（4）a-b=%%2+y%+平2?

（5）若。、b為非零向量，則。_LZ?oa-b=0oxix2+y［y2+ziz2=0.

⑹若。w0,貝IQ〃boa=勸ox】=Ax2,yl=Ay2,zt=Az2?

（7）\a\=\Ja-a=Jx；+y：+z；.

玉々+%%+展

⑻0=葡=春22

+y；+z；?&；+￡+

dAB

（9）A（%,y,zJ,B=（肛必，Z2），則AR=||=&2石|）%（y廠九七』一？）?

41、在空間中，取一定點(diǎn)0作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P的位置可以用向量

0P來(lái)表示.向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量.

42、空間中任意一條直線/的位置可以由/上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定?點(diǎn)

A是直線/上一點(diǎn)，向量a表示直線/的方向向量，則對(duì)于直線/上的任意一點(diǎn)P,

有AP=S,這樣點(diǎn)A和向量。不僅可以確定直線/的位置，還可以具體表示出直

線/上的任意一點(diǎn).

43、空間中平面a的位置可以由a內(nèi)的兩條相交直線來(lái)確定.設(shè)這兩條相交直線

相交于點(diǎn)0,它們的方向向量分別為a,b.P為平面a上任意一點(diǎn)，存在有序

實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）,使得OP=xa+yb,這樣點(diǎn)0與向量a,b就確定了平面a的位置.

44、直線/垂直a,取直線/的方向向量a,則向量a稱為平面a的法向量.

45、若空間不重合兩條直線a,8的方向向量分別為a,b,則a〃匕oa//bo

a=AZ＞（4eR）,a_L〃oa_L6=0.

46、若直線a的方向向量為a,平面a的法向量為〃，月,則a/aoMa

oa_L〃oa-〃=0,a_LaoaJ_aoa〃〃oa=/l〃.

47、若空間不重合的兩個(gè)平面a,夕的法向量分別為a,b,則a〃夕bo

a=Ab9a_L力?》=().

48、設(shè)異面直線。，〃的夾角為e,方向向量為。，b,其夾角為0,則有

\a-b

COS0-1Icos691=--；—,

49、設(shè)直線/的方向向量為/，平面a的法向量為〃，/與a所成的角為6,/與〃

的夾角為°，則有sin<9=|cos同?~.

l\\n\

50、設(shè)々，的是二面角a-心尸的兩個(gè)面a，夕的法向量，則向量〃1，密的夾

角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小.若二面角a-/-月的平面角為。，

則|cose|=...

阿|〃2

51、點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量AB的模,B|計(jì)算.

52、在直線/上找一點(diǎn)P,過(guò)定點(diǎn)A且垂直于直線/的向量為〃，則定點(diǎn)A到直線

,?||?|PA-n|

/的距禺為d=IPAkosVPA,〃〉卜.

53、點(diǎn)P是平面。外一點(diǎn)，A是平面a內(nèi)的一定點(diǎn)，〃為平面。的一個(gè)法向量，

?I.?|PA-/?|

則點(diǎn)P到平面a的距離為d=PAcos<PA,〃〉=.

1111|川

數(shù)學(xué)選修2-2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、導(dǎo)數(shù)

1.函數(shù)的平均變化率為包="=/（止d=出上常二貼）

AxAxx2-x{Ax

注1：其中Ax是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動(dòng)的堊均速度。

2、導(dǎo)函數(shù)的概念：函數(shù)y=/（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率是

］汕電=1即/0.。+斕-/（工。），則稱函數(shù)），=/（x）在點(diǎn)x。處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫

做y=f(X)在X。處的導(dǎo)數(shù)，記作/,(x0)或，即

/(x°)=lim包=lim/(、。+8一/&。).

Ar-^OAVAv->0Ax

3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的

斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景(1)切線的斜率；(2)瞬時(shí)速度；(3)邊際成本。

5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式

函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分

y=cy'=0—

rxn+[

[xndx=-----

y=x"￡N*)y'=nxn~]J〃+l

y=ax(〃>O,aw1)y'=axIna\axdx=—

JIna

y=exy'=exJeWx=e'

y=log.%

y'=^——

xlnci

(Q>0,Qwl,x〉0)

f1,1

y=\nxy'--1—ar=lnx

XJX

y=sinxy'=cosxJcosxdx-sinx

y=cosxy'=-sinxJsinx6tx=-cosx

6、常見的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式:若“X),g(x)均可導(dǎo)(可積)，則有:

和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算[/(x)±^(x)]=f(x)±g(x)

[/(x),g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g'(x)

積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

特別地：[加切?。。)

W+0)

商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

特別地：「一

[g(x)」g-(x)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(其中

微積分基本定理

產(chǎn)(力=〃力)

f[fSx)+f(x)]cbc=\f^dx+\f(x)dx

Ja2JaJa2

和差的積分運(yùn)算

日『4(外公=〃「/(%)公(人為常數(shù))

特別地：JaJa

積分的區(qū)間可加性ff(x)dx=ff(x)dx+f/(%)公(其中”<c<b)

JaJaJc

6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:①求函數(shù)/U)的導(dǎo)數(shù)f(x)②令尸(幻>0,解不等

式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令/'(x)<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)

間；［注］：求單調(diào)區(qū)間之前一定要先看原函數(shù)的定義域。

7.求可導(dǎo)函數(shù)凡r)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域。(2)求函數(shù)./(X)的導(dǎo)數(shù)

f\x)(3)求方程/")=0的根(4)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)

間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查尸(處在方程根左右的值的符號(hào)，如果

左正右負(fù)，那么?x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么/U)在這個(gè)根

處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么人x)在這個(gè)根處無(wú)極值

8.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟:求/(x)在以力］上的最大值與最小值的步驟如

下：⑴求在㈤上的極值；⑵將/(x)的各極值與/(a)"⑸比較，其中最

大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。［注］:實(shí)際問(wèn)題的開區(qū)間唯一極值點(diǎn)

就是所求的最值點(diǎn)；

9.求曲邊梯形的思想和步驟:份畫近似代替If麗->|取極限(“以直代

曲”的思想)

10.定積分的性質(zhì)

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：

性質(zhì)1Jidx-b-a

性質(zhì)5若7(x)20,xe[a,b],則//(X)公20

Ja

①推廣：土力(x)±±ffnM]dx=￡f1(x)dx±￡f2(x)dx±

②推廣：ff(x)dx=f'f(x)dx+['f{x}dx++[f(x)dx

JaJaJqJck

11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也

可能取負(fù)值，還可能是0.

（1）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于X軸上方時(shí)，定

積分的值取正值,且等于x軸上方的圖形面積;

（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定

積分的值取負(fù)值,且等于x軸上方圖形面積的相

反數(shù);

（3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于

位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為

Q,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的

面積.

12.物理中常用的微積分知識(shí)（1）位移的導(dǎo)數(shù)為速

度，速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

推理與證明知識(shí)點(diǎn)

13.歸納推理的定義：從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的

結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。

歸納推理是由部分到雌，由個(gè)別到一段的推理。

14.歸納推理的思維過(guò)程

*砧加囪—實(shí)驗(yàn)、觀察―------->概括、推廣一

猜測(cè)一般性結(jié)論

15.歸納推理的特點(diǎn)：①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論

是尚屬未知的一般現(xiàn)象。②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真

實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。③歸納

推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起

點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題。

16.類比推理的定義：根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，

推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由

特卷到特殊的推理。

17.類比推理的思維過(guò)程

觀察、比較聯(lián)想、類推推測(cè)新的結(jié)論

18.演繹推理的定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義'公

理'定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程。演繹推理是由一艘到

特然的推理。

19.演繹推理的主要形式：三段論

20.“三段論”可以表示為：①大前題：M是P②小前提：S是M③結(jié)論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個(gè)一般性的原理；②是小前提，它指出了一個(gè)

特殊對(duì)象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。

21.直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理'定理，直接

推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件,

直至推出要證的結(jié)論。

23.分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者

一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A,只要證B,

8應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。

24反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否

定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。

25.反證法的一般步驟(1)假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)

從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；(3)從矛盾判定假設(shè)理理，即所求證

命題正確。

26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”

原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞反義詞

至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對(duì)所有的X都成立存在X使不成立

至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意X不成立存在X使成立

至少有n個(gè)至多有n-1個(gè)p或q—且一q

至多有n個(gè)至少有n+1個(gè)p且q或—iC/

27.反證法的思維方法西舉則反

28.歸繆矛盾(1)與已知條件矛盾:(2)與已有公理、定理、定義矛盾;(3)

目相矛盾.

29.數(shù)學(xué)歸納法(只能證明與正擎《有關(guān)的數(shù)學(xué)命題)的步驟(1)證明：當(dāng)n取

第一個(gè)值%(%eN,)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(攵GN*,且時(shí)命題成立，

證明當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立.由(1),(2)可知，命題對(duì)于從〃o開始的所有正整數(shù)〃

都正確.［注］：常用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明。

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)

30.復(fù)數(shù)的概念：形如叫◎的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，“叫實(shí)部，〃叫

虛部,數(shù)集C={a+C|a,beR}叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定：可且9=劣強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相

等。

實(shí)數(shù)S=o)

31.數(shù)集的關(guān)系：復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(“。0)

虛數(shù)SwO)

純虛數(shù)(4=0)

32.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。

33.復(fù)平面：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+〃，都可以由一個(gè)有序

實(shí)數(shù)對(duì)(。力)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(duì)(。力)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)對(duì)

應(yīng)，因此復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)建立了

直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)王面，X軸叫做實(shí)軸,V軸叫做虛軸。實(shí)軸

上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。

34.求復(fù)數(shù)的模(絕對(duì)值)與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量方的模r叫做復(fù)數(shù)2=。+次的模

(也叫絕對(duì)值)記作忖/a+M。由模的定義可知：\z\=\a+b^=yla2+b2

35.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義①?gòu)?fù)數(shù)的加、減法法則：4=a+從與z?=c+山，

則Z]土Z2=4土c+S土d)i。注：復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按回量的加、減法來(lái)進(jìn)

行。

②復(fù)數(shù)的乘法法則：(a+bi)(c+di)=(ac-。d)+(ad+bc)i。

③復(fù)數(shù)的除法法則：絲￥=胃辿二半==當(dāng)+”半，?其中c-力叫做實(shí)數(shù)化

c+di(c+dt)(c-di)c+d-c+d

因子

36洪輾復(fù)數(shù)：兩復(fù)數(shù)a+打?與a-萬(wàn)互為共拆復(fù)數(shù)，當(dāng)府()時(shí)，它們叫做共拆虛數(shù)。

常見的運(yùn)算規(guī)律

(l)|z|=|z|;(2)z+z-2a,z-z-2Z?z;

(3)Z-Z=|Z|2=|Z|2=a2+b2;(4)z=z;(5)z=5=zeR

,iJ.;i_;

(7)(1±z)*=±z;(8)-；=z,-；=-i,

1-f1+i

-1+V3z

(9)設(shè)。=i的立方虛根，則1+<y+(y2=0,3*"=。,=萬(wàn)ty""'=1

高中數(shù)學(xué)選修2-3知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章計(jì)數(shù)原理

知識(shí)點(diǎn):

1、分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有Mi種不同的方法，在第二類

辦法中有M?種不同的方法，……，在第N類辦法中有MN種不同的方法，那么完成這件事情共有

Mi+M2+...+MN種不同的方法。

2、分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成N個(gè)步驟，做第一步有ml種不同的方法，做第二步

有M?不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有N=MIM2...MN種不同的方法。

3、排列：從"個(gè)不同的元素中任取"十脛”)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從“個(gè)不同元素中取出

m個(gè)元素的一個(gè)排列

n!

n

4、排列數(shù):A'-n(n-1)…(〃一+1)=(m<n,n,m&N)

(n-m)!

5、組合：從〃個(gè)不同的元素中任取用EW7?)個(gè)元素并成一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出w個(gè)元素的一個(gè)

組合。

6、組合數(shù)：0嗔組=〃("D…(”…nl

"M加ml(n-in)!

Cw=C〃，

7、二項(xiàng)式定理:

8、二項(xiàng)式通項(xiàng)公

第二章隨機(jī)變量及其分布

知識(shí)點(diǎn)：

1、隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而

變化，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y等或希臘字母，、n等表示。

2、離散型隨機(jī)變量：在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次

序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

3、離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為"X2,......Xi,……,x?

X取每一個(gè)值Xi(i=l,2，……)的概率P(&=x。=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列

XXiX2???Xi???Xn

ppiP2???Pi???Pn

4、分布列性質(zhì)①pi>0,i=1,2,???；②pi+pi+—+pn=1.

5、二點(diǎn)分布：如果隨機(jī)變量X的分布列為：

X10

ppq

其中0<p<l,q=l-p,則稱離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)p的二點(diǎn)分布

6、超幾何分布：一般地，設(shè)總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n(n近N)件，這n

件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，

「k「〃一A

則它取值為時(shí)的概率為尸，⑼，

k(X=k)=~cT依=0,1,2,

其中m=min{,且"WN,MWN,n,M,NeN

1條件概率：對(duì)任意事件A和事件B,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率.

記作P(B|A),讀作A發(fā)生的條件下B的概率

2公式：

3相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互

獨(dú)立事件。P(AB)=P(A)P(B)

4n次獨(dú)立重復(fù)事件：在同等條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)

11、二項(xiàng)分布：設(shè)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件A發(fā)生的次數(shù)，A發(fā)生次數(shù)&是一個(gè)隨機(jī)變量.如果

在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，事件A不發(fā)生的概率為q=l-p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中

P(&=k)=C,,pq(其中k=Q1……R,q=1.p)

于是可得隨機(jī)變量4的概率分布如下：

01???k???n

kn-k

P???Qpq???Qpq

這樣的隨機(jī)變量&服從二項(xiàng)分布，記作自?B(n,p),其中n,p為參數(shù)

12、數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量&的概率分布為

X1X2???Xi???

pP1P2???Pi???

則稱E4=xlpl+x2p2+-+xnpn+-為&的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱為期望.是離散

型隨機(jī)變量。

13、方差:D(4)=(X|-E4)2-Pl+(X2-E4)2?P2+……+(Xn-E4)2?P“叫隨機(jī)變量&的均方差，簡(jiǎn)稱方差。

14、集中分布的期望與方差一覽：

期望方差

兩點(diǎn)分布E€=pDC=pq,q=l-p

二項(xiàng)分布，€?B(n,p)E€=npDg=qEC=npq,(q=l-p)

15、正態(tài)分布：若概率密度曲線就是或近似地是函數(shù)

1

y(x)=——j_=_e2b,%w(—oo,+oo)

的圖像，其中解析式中的實(shí)數(shù)〃、b(b>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

則其分布叫正態(tài)分布t己作：N(〃,cr),f(x)的圖象稱為正態(tài)曲線。

16、基本性質(zhì)：

①曲線在x軸的上方，與x軸不相交.

②曲線關(guān)于直線x=〃對(duì)稱，且在x=〃時(shí)位于最高點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)X<4,曲線上升；當(dāng)時(shí)*>",曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以x軸為漸近

線，向它無(wú)限靠近.

④當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由°■確定.C越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；b越小，曲線

越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

⑤當(dāng)。相同時(shí).正態(tài)分布曲線的位置由期望值U來(lái)決定.

⑥正態(tài)曲線下的總面積等于1.

17、30"原則：

從上表看到，正態(tài)總體在(〃-2G〃+2b)以外取值的概率只有4.6%,在(〃-3b,〃+3b)以外

取值的概率只有0.3%由于這些概率很小,通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說(shuō)，通常認(rèn)為這些情況

在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的.

第三章統(tǒng)計(jì)案例

知識(shí)點(diǎn)：

1、獨(dú)立性檢驗(yàn)

假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的值域分另為｛X1,X2｝和｛yi,y2｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為:

yiV2總計(jì)

Xiaba+b

X2cdc+d

總計(jì)a+cb+da+b+c+d

若要推斷的論述為Hi：“X與Y有關(guān)系”，可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)變量是否有關(guān)系，并且能較精

確地給出這種判斷的可靠程度。具體的做法是，由表中的數(shù)據(jù)算出隨機(jī)變量K"2的值(即K的平方)K2

=n(ad-be)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d為樣本容量，K?的值越大，說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成

立的可能性越大。

K2<3.841時(shí)，X與Y無(wú)關(guān)；K2>3.841時(shí)，X與Y有95%可能性有關(guān)；K2>6.635時(shí)X與Y有99%可能

性有關(guān)

2、回歸分析

1、回歸直線方程y=a+bx

X孫一:初尸刃

其中ba-y-bx

夕」（82）Zu-x）2

n

2、i?檢驗(yàn)性質(zhì)：(DIr|Wl,Ir|并且越接近于1,線性相關(guān)程度越強(qiáng)，

Ir|越接近于0,線性相關(guān)程度越弱；(2)Ir|>ro.05,表明有95%的把握認(rèn)

為x與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系；Ir|Wro.o5,我們沒有理由拒絕原來(lái)的假設(shè),

這是尋找回歸直線方程毫無(wú)意義！

高中數(shù)學(xué)選修4--5知識(shí)點(diǎn)

1、不等式的基本性質(zhì)

①（對(duì)稱性）a>b<^>b>a

②（傳遞性）a>b.b>c^>a>c

③（可加性）a>ba+c>h+c

（同向可加性）a>b,c>d=>a+c>b+d

（異向可減性）a>b,c<d=>a—c>b—d

④（可積性）a>b,c>Q=>ac>be

a>b>c<。=ac<be

⑤（同向正數(shù)可乘性）a>b>0,c>d>0=>ac>bd

（異向正數(shù)可除性）a>b>QO<c<d=*

⑥（平方法則）a>b>0=>an>bn（nGA^,_0.n>1）

⑦（開方法則）a>b>0=>折>痣（〃eN,且〃>1）

⑧（倒數(shù)法則）6Z>/?>0=>—<—;?</?<0=>—>—

abab

2、幾個(gè)重要不等式

a

①。？+/7222aZ;（a,beR）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)）.變形公式：ab《；’.

②（基本不等式）^^>4ab（a,Z?eR+）,（當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取到等號(hào)）.

變形公式：a+拓ab<-——.

用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大）,要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.

③（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）"上;匯29赤（〃、鼠ceR+）（當(dāng)且僅當(dāng)。=人=。時(shí)

取到等號(hào)）.

④。2+人2+。2beR）

（當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c時(shí)取到等號(hào)）.

⑤/+b，+c3>3abe（a>0,Z?>0,c>0）

（當(dāng)且僅當(dāng)。=6=。時(shí)取到等號(hào)）.

bQ

⑥若Q〃>0,則一+—22（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab

若0,貝+—2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab

bb+m,a+na.八八、

⑦一v------<1<-------<—,（其中m>0,n>0）

aa+mb+nb

規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.

2

⑧當(dāng)>a0x<一〃典:>〃；

|x|<tz<=>X2<6Z2<=>—6Z<X<a.

⑨絕對(duì)值三角不等式同一同<卜±q<問(wèn)+網(wǎng).

3、幾個(gè)著名不等式

（1b

①平均不等式：~~r<y[ab<.--,（a,be/T,當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)取"="號(hào)）.

a'+/?-12V2

（即調(diào)和平均（幾何平均（算術(shù)平均4平方平均）.

變形公式：

22i2

a+b\,a+b2

ab<Ia+

22

②塞平均不等式：

Qj+...+?！▇N—（%+%+…+?！ǎ?.

n"

③二維形式的三角不等式：

收+y：+收+%2>J（內(nèi)一龍2）2+（%一月）2（內(nèi),yt,x2,y2eR）.

④二維形式的柯西不等式：

（a2+。2）（，+42）>（ac+M）2（a,b,c,de/?）.當(dāng)且僅當(dāng)加=歷時(shí)，等號(hào)成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

（%2+4，+?2）Sj+42+b；）2+（1力）+613b3）2.

⑥一般形式的柯西不等式：

（?！?+…+a/）（bj+b；+…+）2（6?|/?|+外包+…+a〃b〃）一,

⑦向量形式的柯西不等式：

設(shè)a,4是兩個(gè)向量，則卜?尸卜忖阿，當(dāng)且僅當(dāng)僅是零向量，或存在實(shí)數(shù)Z,使a=k/?時(shí)，等

號(hào)成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設(shè)q<a2<...<an,bxK打<…《勿為兩組實(shí)數(shù).。，。2-.,?！笆恰?打...,包的任一排列，則

哂+3"_]+A+a2c2+...+ancn<afy+a2b2+…+a,/“.（反序和W亂序和《順

序和），當(dāng)且僅當(dāng)q