與相似有關(guān)的證明計(jì)算-中考數(shù)學(xué)解答題專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

專題06-與相似有關(guān)的證明計(jì)算（原卷版）

1.（2022?浙江紹興?一模）如圖，四邊形是平行四邊形，DELBC于點(diǎn)E,CFL48交A8的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)F.

（1）求證：XCBFsADCE；（2）若點(diǎn)E恰為BC中點(diǎn)，且AB=6,BF=4,求A。的長(zhǎng).

2.（2022?湖北?前川三中一模）如圖，點(diǎn)。，E在BC上，且2〃A8,FE〃AC,求證：ABCFDE

3.（2021.湖北黃岡?中考真題）如圖，在aMC和,DEC中，Z4=ZD,ZBCE=ZACD.

(1)求證：AAfiCAD￡C；(2)若S械：$DEC=4：9,BC=6,求EC的長(zhǎng).

4.（2021?廣西玉林?中考真題）如圖，在3ABe中，。在AC上，DEHBC,DF//AB.

1s°DFC

（1）求證：MFCs二砥。；（2）若CO=wAC,求消叵的值.【答案】（1）見詳解：（2）

S

3°AED4

5.（2021?江蘇南通?中考真題）如圖，利用標(biāo)桿OE測(cè)量樓高，點(diǎn)A,。,B在同一直線上，DELAC,BC1AC,

垂足分別為￡,C.若測(cè)得A￡=lm,DE=1.5m,C￡=5m,樓高8c是多少？

6.(2022.廣東.深圳市龍崗區(qū)金稻田學(xué)校一模)如圖，在A48C中，AOJ_BC于點(diǎn)。，E為BD上一點(diǎn),過

點(diǎn)E作EFLBC交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作/GLEF分別交A。，AC于點(diǎn)N,G,過點(diǎn)、G作GH〃EF交BC

于點(diǎn)H.

(1)求證：&AFGsXABC；

(2)若A￡>=3,BC=9,設(shè)E/的長(zhǎng)度為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求y

的最大值.

7.(2022.甘肅平?jīng)?一模)如圖，在四邊形A8CO中，NADC=/B=90。，過點(diǎn)。作。鈣于點(diǎn)E,若

DE=BE.

⑴求證：DA^DC；(2)連接AC交OE于點(diǎn)尸，若4M>E=3O。，AD=2,求。尸的長(zhǎng).

8.(2022?福建?一模)如圖，四邊形ABC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)E,AC=AD,ZBAD=ZBCD=90°,過點(diǎn)

8,點(diǎn)。分別作8MLAC,DNA.AC,垂足分別為點(diǎn)M、N.

D

B

(1)求證：①NBAC=NBDC；②AM=CN；(2)若MV=24W,BD=4根,求四邊形ABC。的面積.

9.（2022?廣西崇左?一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在，Q4B和08中，OA^OB,OC=OD,

ZAOB=ZDOC=50°,連接AC,8。交于點(diǎn)尸，且AC交OB于點(diǎn)E

AT

①黑的值為_____;②NAM的度數(shù)為______；

BD

（2）類比探究：如圖2,在。4B和OCD中，/4OB=NCOD=90。，NOBA=NODC=30°,連接8E>,

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,且AC交。8于點(diǎn)￡請(qǐng)計(jì)算A器C的值及ZAPB的度數(shù)；

（3）拓展延伸：如圖3,在（2）的條件下，將。8繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,3。所在直線交于點(diǎn)P,

若OC=1,0A=y[5,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合時(shí)8。的長(zhǎng).

圖1圖2圖3

10.(2022?江蘇?一模)如圖，在直角梯形ABCD中，ZA=90°；AD//BC,BC=BD=5cm,CO=Mcm.點(diǎn)

尸由8出發(fā)沿8。方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，線段EF由。C出發(fā)沿ZM方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為

lcm/s,交BO于。，連接PE.若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)(04).解答下列問題：

(1)A￡＞的長(zhǎng)為：

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，PE//AB1

(3)設(shè)APE。的面積為y(cm2),求y與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)連接尸尸，在上述運(yùn)動(dòng)過程中，試判斷PE、PF的大小關(guān)系并說明理由.

11.(2022??一模)如圖，在四邊形中，ZB=ZBCD=90°,ACA.AD,點(diǎn)、E,F分別在邊A￡),CD

上，且E尸〃AC,AC+EF=36.當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)E沿EP方向勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)。恰好從點(diǎn)C沿C4方

(1)求證：AFEDs^ABC.(2)求匕的值.

(3)若5c=12,連結(jié)PQ.

①當(dāng)EP=^AE時(shí)，求P。的長(zhǎng).

②當(dāng)PQ所在直線平行于四邊形4BCD的某一邊時(shí)，求所有滿足條件的x的值.(直接寫出答案即可)

12.(2022.安徽滁州?一模)點(diǎn)尸在NA8C的平分線8。上，連接D4,DC,ZDAF=^C.

⑴如圖1,點(diǎn)A,D,C在同一條直線上，E在BC上，且=

①求證：ZBAD=ZBED；

②若ABrBFBD，求證：ADFsCDE；

3

（2）如圖2,點(diǎn)A,D,C不在同一條直線上，NBDC=2ZADB,若AD=3近,BD=2AB,BF=-,求

DC的長(zhǎng).

13.（2022.湖北?通山縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在△然（:中，8D是"BC的角平分線，且N4BC=2NC.

(1)求證：&ABCS/\ADB.(2)已知AB=5,40=4,求

14.（2022.福建?福州三牧中學(xué)一模）如圖，在菱形ABCO中，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，延長(zhǎng)BE交AO于點(diǎn)凡

P

B

小卡、正EFFA

⑴求證：商=就

(2)已知點(diǎn)P在邊CD上，請(qǐng)以CP為邊，用尺規(guī)作一個(gè)△CPQ與△AEF相似，并使得點(diǎn)Q在AC上.(只

需作出一個(gè)ACP。，保留作圖痕跡，不寫作法)

15.(2021?四川阿壩?中考真題)如圖,町ABC中，Z4cB=90。,將..ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到。EC,

點(diǎn)。落在線段AB上，連接BE.

(1)求證：0c平分NADE；

(2)試判斷BE與A8的位置關(guān)系，并說明理由:

(3)若BE=BD,求tanNABC的值.

16.(2021?浙江嘉興?中考真題)小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一

個(gè)矩形ABC。繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<□《90。)，得到矩形

［探究1］如圖1，當(dāng)。=90。時(shí)，點(diǎn)C'恰好在￡)8延長(zhǎng)線上.若45=1,求BC的長(zhǎng).

［探究2］如圖2,連結(jié)47,過點(diǎn)。作。M〃AC交BO于點(diǎn)M.線段。M與DM相等嗎？請(qǐng)說明理由.

［探究3］在探究2的條件下,射線。3分別交AC'于點(diǎn)P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明.

17.（2021?四川涼山?中考真題）如圖，在四邊形ABC。中，ZADC=ZB=90°,過點(diǎn)。作。ELAB于E,

若DE=BE.

（1）求證：DA=DC；

（2）連接AC交DE于點(diǎn)尸，若4?！辏?30。,4）=6,求。尸的長(zhǎng).

18.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，E為OC邊的中點(diǎn)，連接AE,若AE的延

長(zhǎng)線和8C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.

（1）求證：BC=CF；

（2）連接AC和隨相交于點(diǎn)為G,若.GEC的面積為2,求平行四邊形A8CO的面積.

19.（2021?北京?中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC,NR4C=a，例為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在MC上，以

點(diǎn)A為中心，將線段4）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接

（1）比較與NC4D的大?。挥玫仁奖硎揪€段M3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）過點(diǎn)用作AB的垂線，交。E于點(diǎn)N,用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，AC與50交于點(diǎn)O,OA=OD,ZABO=NDCO,E為8c延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF//CD,交3。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

D

（1）求證ZMO儂△DOC；

(2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的長(zhǎng).

21.（2021.吉林長(zhǎng)春?中考真題）如圖，在菱形4BCD中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,AC=4,BO=8,

（1）求AM的長(zhǎng).（2）tanNA仍O(shè)的值為

22.（2021?山西?中考真題）閱讀與思考，請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

圖算法

圖算法也叫諾模圖，是根據(jù)幾何原理，將某一已知函數(shù)關(guān)系式中的各變量，分別編成有刻度的直線（或曲

線），并把它們按一定的規(guī)律排列在一起的一種圖形，可以用來解函數(shù)式中的未知量.比如想知道10攝氏

9

F=-C+32

度相當(dāng)于多少華氏度，我們可根據(jù)攝氏溫度與華氏溫度之間的關(guān)系：5得出，當(dāng)C=10時(shí)，

尸=50.但是如果你的溫度計(jì)上有華氏溫標(biāo)刻度，就可以從溫度計(jì)上直接讀出答案，這種利用特制的線條

進(jìn)行計(jì)算的方法就是圖算法.

再看一個(gè)例子：設(shè)有兩只電阻，分別為5千歐和千歐，問并聯(lián)后的電阻值是多少？

我們可以利用公式R&《求得R的值，也可以設(shè)計(jì)一種圖算法直接得出結(jié)果：我們先來畫出一個(gè)120°

的角，再畫一條角平分線，在角的兩邊及角平分線上用同樣的單位長(zhǎng)度進(jìn)行刻度，這樣就制好了一張算

圖.我們只要把角的兩邊刻著和5的兩點(diǎn)連成一條直線，這條直線與角平分線的交點(diǎn)的刻度值就是并聯(lián)后

的電阻值.

圖算法得出的數(shù)據(jù)大多是近似值，但在大多數(shù)情況下是夠用的，那些需要用同一類公式進(jìn)行計(jì)算的測(cè)量制

圖人員，往往更能體會(huì)到它的優(yōu)越性.

任務(wù)：

(1)請(qǐng)根據(jù)以上材料簡(jiǎn)要說明圖算法的優(yōu)越性；

(2)請(qǐng)用以下兩種方法驗(yàn)證第二個(gè)例子中圖算法的正確性：

不111

①用公式方=彳+丁計(jì)算：當(dāng)片=7.5,%=5時(shí)，R的值為多少；

②如圖，在aAOB中，ZAOB=120°,OC是AO8的角平分線，OA=1.5,OB=5,用你所學(xué)的幾何知識(shí)

求線段OC的長(zhǎng).

B

23.(2021?黑龍江綏化?中考真題)如圖所示，四邊形ABC。為正方形，在二EC4中，

/￡：?！?90。,==?！?跳的延長(zhǎng)線與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)。、B、”在同一條直線上.

⑴求證：。比⑵當(dāng)器」時(shí)，求零的值;

(3)當(dāng)，8=3,HG=4時(shí)，求sinNCEE的值.

24.(2021?四川雅安?中考真題)如圖，△04。為等腰直角三角形，延長(zhǎng)。4至點(diǎn)8使03=8,其對(duì)角線

AC,BD交于點(diǎn)、E.

⑴求證：^OAF^DAB；(2)求前的值.

25.（2021?貴州安順?中考真題）（1）閱讀理解：我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古

代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后

人稱之為“趙爽弦圖根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；

（2）問題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形A8E的中心。，

作FGLHP,將它分成4份.所分成的四部分和以8C為邊的正方形恰好能拼成以A8為邊的正方形.若

AC=12,BC=5,求EF的值；

（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向

外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設(shè)大正方形N的邊長(zhǎng)為定值〃，小正方形

4反。,。的邊長(zhǎng)分別為4力,0,”.已知Nl=N2=N3=a,當(dāng)角。（0。＜。＜90。）變化時(shí)，探究b與c的關(guān)系

式，并寫出該關(guān)系式及解答過程（6與c的關(guān)系式用含〃的式子表示）.

26.（2021.遼寧朝陽?中考真題）一數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在G處放置一個(gè)

小平面鏡，當(dāng)一位同學(xué)站在尸點(diǎn)時(shí)，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)測(cè)得FG=3m,

這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D,在。處安置一高度為1m的測(cè)角儀CD,此時(shí)測(cè)得樹頂A的

仰角為30。，已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF=，點(diǎn)8,D,G,F在同一水平直線上，且AB,CD,

所均垂直于8F,求這棵古樹AB的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）

27.（2021?山東德州?中考真題）如圖，點(diǎn)E,尸分別在正方形ABCD的邊A3,4）上，且點(diǎn)G,

“分別在邊A8,BC上,且FGJLE"，垂足為尸.

(1)求證：FG=EH-

3

⑵若正方形邊長(zhǎng)為5,=tanZAGF=-）求即的長(zhǎng)度.

28.（2022.湖北武漢.一模）【問題背景】（1）如圖1,在一ABC中，ZABC=90°,BHLAHH,求證：

AAHBsgHC；

AD4RF

【變式遷移】（2）如圖2,已知/ABC=NO=90。，￡為8。上一點(diǎn)，且AE=AB,若黑=2,求冬的

BC5CD

值；

【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3,四邊形A8C￡＞中，/ZMB=-4BC=90。，AB=BC,E為邊CD上一點(diǎn)，且AE=AB,

np

BELCD,直接寫出考的值.

圖3

29.(2022?安徽?安慶市教育教學(xué)研究室一模)如圖①，在菱形A8CD中，/84。=60。，點(diǎn)E在邊上,

點(diǎn)尸在8力的延長(zhǎng)線上，BE=DF,EF與相交于點(diǎn)G,連接CE,CF.

(1)求證：CE=CF；(2)求證：4DFGS/\DCF；

(3)如圖②，連接CG,若48=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求CG長(zhǎng).

30.(2022.河南許昌?一模)問題背景

折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國(guó)，6世

紀(jì)時(shí)傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展

出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波

大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理.

芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：

第一步：如圖1,將正方形紙片ABC。對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，點(diǎn)3與點(diǎn)C重合.再將正方形ABCQ

展開，得到折痕EE

第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，邊BC翻折至的位置，得到折痕

BE與AB交于點(diǎn)P.

則點(diǎn)P為AB的三等分點(diǎn)，即AP:尸8=2:1.

問題解決

如圖1,若正方形ABC。的邊長(zhǎng)是2.

(1)CM的長(zhǎng)為；

(2)請(qǐng)通過計(jì)算AP的長(zhǎng)度，說明點(diǎn)尸是A3的三等分點(diǎn).

類比探究

(3)將長(zhǎng)方形紙片488(48>8。)按問題背景中的操作過程進(jìn)行折疊，如圖2,若折出的點(diǎn)尸也為AB的

AR

三等分點(diǎn),請(qǐng)直接寫出旅的值?

31.(2022?陜西榆林?一模)問題提出

BC上,BE=2EC,連接莊并

延長(zhǎng)交0c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng)；

問題解決

(2)如圖②，某生態(tài)農(nóng)莊有一塊形狀為平行四邊形ABCD的土地，其中筋=4km,BC=6km,ZB=60°.管

理者想規(guī)劃出一個(gè)形狀為口所的區(qū)域建成親子采摘中心，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)E是旬的中點(diǎn)，點(diǎn)P、M

分別在3C、上，PMLAB.設(shè)的長(zhǎng)為x(km),的面積為)'(km?).

①求》與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②為容納更多的游客，要求AEMP的面積盡可能的大，請(qǐng)求出EMP面積的最大值，并求出此時(shí)3P的長(zhǎng).

32.（2022?山東?濟(jì)南市天橋區(qū)源口實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖（1）ABC和.OEC都是等腰直角三角形，

其中NACB=NDCE=90。，BC=AC,EC=DC,點(diǎn)E在ABC內(nèi)部，直線與BE交于點(diǎn)F,線段AF、BF、

C尸之間存在怎么樣的數(shù)量關(guān)系？

圖3

（1）先將問題特殊化如圖2,當(dāng)點(diǎn)廠重合時(shí)，直接寫出線段A尸、BF、CT之間的數(shù)量關(guān)系式:

⑵再探究一般情況如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡?、尸不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

（3）如圖3,若ABC和.OEC都是含30。的直角三角形，若乙4cB=/Z）CE=90。，/8AC=/￡DC=30。，點(diǎn)E

在，ABC內(nèi)部，直線AD、BE交于點(diǎn)F,直接寫出一個(gè)等式，表示線段4尸、BF、C尸之間的數(shù)量關(guān)系.

33.（2022?安徽馬鞍山?一模）在矩形ABC。中，43=12,P是邊A8上一點(diǎn)，把P3C沿直線PC折疊,

頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BELCG,垂足為E且在40上，BE交PC于點(diǎn)、F.

G

GG

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若點(diǎn)E是4。的中點(diǎn)，求證：AAEB沿公DEC；

CF

（2汝U圖2,當(dāng)4）=25,且AE<￡>￡時(shí)，求f的值；

（3）如圖3,當(dāng)8￡即=84時(shí)，求BP的值.

34.（2022?安徽黃山?一模）在RSABC中，/C=90。，AC=40cm,BC=30cm.現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),

沿線段AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向點(diǎn)8方向運(yùn)動(dòng).如果點(diǎn)P的速度是8cm/s,

點(diǎn)Q的速度是4cm/s,它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí),就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.求:

（1）當(dāng)，=3時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是多少？

（2）若△CPQ的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.

（3）當(dāng)，為多少時(shí)，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

35.（2022?云南昆明?一模）矩形A8C。中，AC、BD交于點(diǎn)O,=（%為常數(shù)）.作NEV=90。，

OE、OF分別與A8、BC邊相交于點(diǎn)E、F,連接E/"

OF

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,若々=1，猜想：有

OF

(2)類比探究：如圖2,探究線段0E,。F之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)拓展運(yùn)用：如圖3,在(2)的條件下，若FO=FC,k=亞,0D=2娓,求E尸的長(zhǎng).

36.(2022?廣東?佛山市南海區(qū)南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模)如圖，己知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)G是AB邊上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CG,過點(diǎn)G作GC的垂線交AO于點(diǎn)E,以GE為斜邊作等腰及EFG.

(1)若AG=2,則AE=.

(2)在點(diǎn)G從點(diǎn)A到點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)過程中，AAEG的外接圈的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到A3邊的距離的最

大值.

(3)連結(jié)EC、AF.當(dāng)△EGCsaGBC時(shí)，求AF長(zhǎng)度.

37.(2022.貴州遵義?一模)已知:ABC與，DEC為直角三角形,ZACB=NOCE=90。.

E

DAD

圖1

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，若/。43=/儀>6=45。時(shí)，點(diǎn)。是線段48上一動(dòng)點(diǎn)，連接8E.則卡=______,

BE

ZDBE=°；

An

(2)【類比探究】如圖2,若/。5=/。。匹=60。，點(diǎn)。是線段48上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE.請(qǐng)判斷右的值

BE

及NDBE的度數(shù),并說明理由；

(3)【拓展延伸】如圖3,在(2)的條件下，將點(diǎn)。改為直線A8上一動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變，取線段OE的

中點(diǎn)M,連接BM、CM,若AC=2石，則當(dāng)C8M是直角三角形時(shí)，請(qǐng)求線段8E的長(zhǎng).

38.(2022?遼寧撫順?二模)已知AABC中，AB=AC,ZBAC^a(a<90°),C￡>_LAB于點(diǎn)￡>,點(diǎn)E是4c邊

上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，于點(diǎn)尸，EF與CO交于點(diǎn)G.

A()A

圖1圖2圖3

(1)當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，如圖1,若a=45。，猜想CF與EG的數(shù)量關(guān)系.

(2)當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)不重合時(shí)，

①若a=45。，如圖2,第(1)題中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理

由；

②若a*5。，如圖3,請(qǐng)直接寫出C名F的值(用含有a的三角函數(shù)表示).

39.(2022?黑龍江?一模)如圖，AABC與△￡)￡下都是等腰直角三角形，AC=BC,DE=DF.邊AB,EF的

中點(diǎn)重合于點(diǎn)O,連接BF,CD.

⑴如圖①，當(dāng)FE_LAB時(shí)，易證BF=C￡>(不需證明)；

(2)當(dāng)尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時(shí)，猜想8尸與C。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)當(dāng)△A3C與均為等邊三角形時(shí)，其他條件不變，如圖③，猜想與C。之間的數(shù)量關(guān)系，直接

寫出你的猜想，不需證明.

40.(2022山東濟(jì)南?一模)

DE

(1)如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)￡,F分別是AB,上的兩點(diǎn)，連接。E,CF,DEA.CF,則會(huì)的值

Cr

為;

(2)如圖2,在矩形A8CQ中，AD=5,8=3,點(diǎn)E是A。上的一點(diǎn)，連接CE,BD,且貝!的

BD

值為;

圖2

(3)如圖3,在四邊形ABCO中，/4=/B=90。，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接。E,過點(diǎn)C作OE的垂線交EO

nrAn

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證：冬=餐；

圖3

(4)如圖4,在R/ZABQ中，N7M￡>=90。，AB=3,AD=9,將』AB。沿80翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處得』CBQ,

點(diǎn)、E,尸分別在邊AB,A。上，連接。E,CF,DE1CF.請(qǐng)MJ分是定值嗎?若是，直接寫出這個(gè)定值,

Ck

若不是，請(qǐng)說明理由.

Ac

A

圖4

41.(2022?湖北?前川三中一模)

??；

B

ABAEC

圖1圖2圖3

⑴問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,AABC和△CQE均為等邊三角形，直線AO和直線8E交于點(diǎn)F.填空：

①/4F8的度數(shù)是；

②線段AO,BE之間的數(shù)量關(guān)系為一；

Q)類比探究

如圖2,△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,直線AD和

直線3E交于點(diǎn)凡請(qǐng)判斷/A網(wǎng)的度數(shù)及線段4Q,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,在△ABC中，ZACB=90°,NA=30。，A8=5,點(diǎn)/)在AB邊上，OE_LAC于點(diǎn)E,AE=3,

將^AOE繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫出直線DE經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)BD的長(zhǎng)為.

42.(2022.江蘇蘇州.一模)如圖，矩形A8C。中，AB=a,BC=b,點(diǎn)仞，N分別在邊A8,CO上，點(diǎn)E,F

分別在邊8C,AO上，MN,EF交于點(diǎn)、P,記k=MN:EF.

(1)若。山的值為g.

①當(dāng)MN_LEF時(shí)，則k的值為；②求k的最小值.

(2)若上的值為3,MP=EF=3PE.

①連接ME,NF,證明：ME//NF,

②若/MPE=60。，當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)時(shí)，求a力的值.

43.(2022.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè))問題探究

⑴如圖1,在RJABC中，/BAC=90。，點(diǎn)E在AB上，過E作EZ),8c于。，連接CE,F為CE中點(diǎn).連

接A凡DF.直接寫出A尸，。尸的數(shù)量關(guān)系；

(2)在(1)的條件下，將Rt^BOE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度.如圖2,證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展

(3)如圖3,已知等邊ABOE和等腰ZVIBC,其中AB=AC,ZBAC=120°.連接CE,F為CE的中點(diǎn)，連接

AF,DF,AF,有怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出結(jié)論并證明.

44.(2021.安徽?中考真題)如圖1,在四邊形ABCD中，NABC=/BCD,點(diǎn)E在邊8c上，且A￡〃C￡>,

作CF//AD交線段4E于點(diǎn)F,連接

(1)求證：Z\ABF^A￡AD；

(2)如圖2,若A3=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的長(zhǎng)；

BE

(3)如圖3,若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過AO的中點(diǎn)M,求工的值.

45.(2021?浙江寧波?中考真題)【證明體驗(yàn)】

(1)如圖1,AO為&ABC的角平分線，ZA￡)C=60°,點(diǎn)E在A3上，AE=AC.求證：DE平分NAQB.

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為A3上一點(diǎn)，連結(jié)FC交AQ于點(diǎn)G.若FB=FC,DG=2,CD=3,

求3。的長(zhǎng).

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCO中,對(duì)角線AC平分N8A￡>,NBC4=2N〃C4,點(diǎn)E在AC上，ZEDC=ZABC.若

BC=5,CD=2>/5,AD=2AE,求AC的長(zhǎng).

46.(2021?上海?中考真題)如圖，在梯形438中，AO〃3czABC=90。,AO=8,0是對(duì)角線AC的中

點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8。并延長(zhǎng)交邊CZ)或邊40于E.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊C￡>上時(shí)，①求證：DACs：OBC；②若BE_LCZ),求r的值;

BC

(2)若DE=2,OE=3,求8的長(zhǎng).

47.(2021?四川樂山?中考真題)在等腰,45C中，43=AC,點(diǎn)。是5c邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合),

連結(jié)AO.

A

(1)如圖1,若NC=60°,點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,結(jié)AE,DE,則；

(2)若NC=60°,將線段AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連結(jié)8E.

①在圖2中補(bǔ)全圖形；

②探究CO與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,若A黑R=黑AD=3且NADE=NC,試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BCDE

48.(2021?四川眉山?中考真題)如圖，在等腰直角三角形A6C中，ZACB=90°,AC=BC=2小,邊長(zhǎng)

為2的正方形DEFG的對(duì)角線交點(diǎn)與點(diǎn)C重合，連接A。，BE.

(1)求證：YACD^/BCE；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在..ABC內(nèi)部，且加心=90。時(shí)，設(shè)AC與。G相交于點(diǎn)M,求AM的長(zhǎng)；

(3)將正方形。EFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點(diǎn)A、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

50.（2021?山西?中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在ABCD

中，BEA.AD,垂足為E,尸為C￡＞的中點(diǎn)，連接EF,BF,試猜想E尸與8尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將A88沿著斯（尸為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②,

點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',連接。C'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將cA88沿過點(diǎn)8的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,使

43_1_8于點(diǎn)//,折痕交于點(diǎn)"，連接交CD于點(diǎn)、N.該小組提出一個(gè)問題：若此A8CD的

面積為20,邊長(zhǎng)AB=5,8C=26，求圖中陰影部分（四邊形處/NM）的面積.請(qǐng)你思考此問題，直接

寫出結(jié)果.

圖①圖②圖③

50.(2021?江蘇宿遷?中考真題)已知正方形ABC。與正方形AEFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

CP

(1)如圖①，連接BG、CF,求￡的值；

(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE,分別取CF、8E的中點(diǎn)M、N,連接MN、試探究:

與8E的關(guān)系，并說明理由；

⑶連接BE、BF,分別取8E、BF的中點(diǎn)N、Q,連接QMAE=6,請(qǐng)直接寫出線段QN掃過的面積.

51.(2021?四川廣元?中考真題)如圖1,在ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。是A3邊上一點(diǎn)(含

端點(diǎn)A、B),過點(diǎn)8作8E垂直于射線CD,垂足為E,點(diǎn)尸在射線CO上，且EF=BE,連接反、BF.

圖1圖2

(1)求證：一ABFsCBE；

(2)如圖2,連接AE,點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE,E尸的中點(diǎn)，連接PM、MN、PN.求NPMN

的度數(shù)及愛的直

(3)在(2)的條件下，若BC=6,直接寫出_PMN面積的最大值.

52.(2021?四川資陽?中考真題)已知，在ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC.

(1)如圖1,已知點(diǎn)。在5c邊上，ZDAE=90°,AD=AE,連結(jié)CE.試探究60與CE的關(guān)系；

(2)如圖2,已知點(diǎn)。在BC下方，^DAE=90°,AD=AE,連結(jié)CE.若48=2而，CE=2,

AD交BC于點(diǎn)、F,求AF的長(zhǎng)；

(3)如圖3,已知點(diǎn)。在8c下方，連結(jié)40、BD、CD.若NC8E)=30。，ZBAD>\50,AB2=6,

AD2=4+y/3,求sinNBC。的值.

53.(2021?四川南充?中考真題)如圖，點(diǎn)E在正方形ABC。邊AO上，點(diǎn)F是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)

A重合）.。尸交AC于點(diǎn)G,GHLAD于點(diǎn)、H,AB=1,￡>E=1.

(1)求tanNACE.

(2)設(shè)A/^=x,GH=y,試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式(寫出x的取值范圍).

(3)當(dāng)NA￡>F=NACE時(shí)，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由.

54.(2021?湖北鄂州?中考真題)如圖，在「ABC。中，點(diǎn)E、尸分別在邊A￡>、8c上，且NABE=NCOF.

E

D

G

(1)探究四邊形8紅尸的形狀，并說明理由;

AG2

(2)連接AC,分別交的、DF于點(diǎn)、G、H,連接3。交AC于點(diǎn)。.若"二二彳，AE=4,求5c的長(zhǎng).

C/O3

55.(2021.河南.中考真題)下面是某數(shù)學(xué)興趣小探究用不同方法作一角的平分線的討論片段.請(qǐng)仔細(xì)閱讀,

并完成相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖1,(1)分別在射線OA,08上截取OC=O〃，OE=OF(點(diǎn)C,E不重合)；(2)分別作線

段CE,。尸的垂直平分線L%,交點(diǎn)為尸，垂足分別為點(diǎn)G,"；(3)作射線°P,射線°P即為

的平分線.簡(jiǎn)述理由如下：

由作圖，ZPGO=ZPHO=90°,OG=OH,OP=OP,所以Rl△PGO絲Rt,則NPOG=NPO〃，

即射線0P是408的平分線.

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2.(1)分別在射線。A,OB

上截取"=8,OE=OF(點(diǎn)C,E不重合)；(2)連接。E,CF,交點(diǎn)為P；(3)作射線°匕射線

即為NAO3的平分線.

任務(wù)：

（1）小明得出RtZ\PGOgRtZ\P〃O的依據(jù)是.（填序號(hào)）

①SSS；②&4S；③A4S；④ASA；⑤）HL.

（2）小軍作圖得到的射線OP是NAO3的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；

（3）如圖3,已知NAOB=60。，點(diǎn)E,F分別在射線。4,OB上，且OE=O尸=6+1.點(diǎn)C,。分別

為射線Q4,03上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=8,連接￡>E,CF,交點(diǎn)為尸，當(dāng)NCPE=30。時(shí)，直接寫出線段0c

的長(zhǎng).

56.（2021?海南?中考真題）如圖1,在正方形A8CD中，點(diǎn)E是邊8c上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)3、C重合,

點(diǎn)廠是84的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=CE.

DC

圖2

（1）求證：DCE冬DAF；

（2）如圖2,連接律，交A/）于點(diǎn)K,過點(diǎn)。作垂足為H,延長(zhǎng)DH交所于點(diǎn)G,連接HB.HC.

①求證：HD=HB；

②若DK?HC=無，求HE的長(zhǎng).

57.（2021?福建?中考真題）如圖，已知線段MN=a,AA_LAK,垂足為

a

R,WN

（1）求作四邊形ABC。，使得點(diǎn)B,。分別在射線AK,AR上，且AB=BC=a,ZABC=60°,CD//AB；

（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設(shè)P,Q分別為（1）中四邊形ABCZ）的邊AB,8的中點(diǎn)，求證：直線相交于同一點(diǎn).

58.（2021?廣東?中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形A8CO中，點(diǎn)E為4＞的中點(diǎn).連接8E,將△ABE沿

8E折疊得到「心￡3尸交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

I)

59.(2021?江西?中考真題)課本再現(xiàn)

(1)在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，小明只撕下三角形紙片的一個(gè)角拼成圖1即可證明，其中與乙4相等

的角是,

圖2

類比遷移

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，ZA3C與-ADC互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對(duì)互余的角可類比

(1)中思路進(jìn)行拼合：先作NCDF=ZABC,再過點(diǎn)C作CE_L￡>F于點(diǎn)E,連接AE,發(fā)現(xiàn)AZ),DE,AE

之間的數(shù)量關(guān)系是

方法運(yùn)用

圖3圖4

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，連接AC,Nfi4c=90。，點(diǎn)。是△AC。兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接Q4,

ZOAC=ZABC.

①求證：ZABC+ZA￡)C=90°：

AR

②連接8D,如圖4,已知AZ)=m,DC=n,—=2,求的長(zhǎng)(用含加，〃的式子表示).

60.(2021.吉林長(zhǎng)春?中考真題)如圖，在.ABC中，ZC=9O°,AB=5,BC=3,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn).動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，

連結(jié)PZ).作點(diǎn)4關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)4,連結(jié)W。、A'A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)線段A。的長(zhǎng)為.

(2)用含r的代數(shù)式表示線段8P的長(zhǎng).

(3)當(dāng)點(diǎn)4在..ABC內(nèi)部時(shí)，求f的取值范圍.

(4)當(dāng)NA4。與DB相等時(shí)，直接寫出，的值.

61.(2021.貴州銅仁?中考真題)如圖，在A4BC中，ZACB=90°,BC=6框cm,AC=12cm.點(diǎn)P是C4

邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)?從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2cm的速度沿C4方向勻速運(yùn)動(dòng)，以CP為邊作等邊ACPQ(點(diǎn)8、

點(diǎn)在AC同側(cè))，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AABC與Ab。重疊部分的面積為S.

(1)當(dāng)點(diǎn)。落在AA8C內(nèi)部時(shí)，求此時(shí)AABC與ACPQ重疊部分的面積S(用含x的代數(shù)式表示，不要求

寫x的取值范圍)；

（2）當(dāng)點(diǎn)。落在A8上時(shí)，求此時(shí)AABC與ACP。重疊部分的面積S的值：

（3）當(dāng)點(diǎn)。落在AABC外部時(shí)，求此時(shí)AA8C與ACPQ重疊部分的面積S（用含x的代數(shù)式表示）.

62.（2021.湖北武漢?中考真題）問題提出如圖（1）,在；4?。和_。￡右中，NACB=/￡>CE=90。，BC^AC,

EC=QC,點(diǎn)6在_4及7內(nèi)部，直線AD與8E交于點(diǎn)F,線段越，BF,CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)￡）,產(chǎn)重合時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示反，BF,CF

之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)。，F(xiàn)不重合時(shí)，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展如圖（3）,在.ABC和DEC中，ZACB=NDCE=90°,BC=kAC,EC=kDC（人是常數(shù)），

點(diǎn)E在2ABe內(nèi)部，直線4）與8E交于點(diǎn)尸，直接寫出一個(gè)等式，表示線段AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)

系.

63.（202