選擇性必修第二冊第五章 52

5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)

【學習目標】1.進一步運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)2了解復合函數(shù)的概念，掌

握復合函數(shù)的求導法則.

知識梳理-----------梳-理-教-材、夯-實--基-礎

知識點復合函數(shù)的導數(shù)

1.復合函數(shù)的概念

一般地，對于兩個函數(shù)＞=式")和"=8(》)，如果通過中間變量"，y可以表示成尤的函數(shù)，那

么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=Aa)和M=g(x)的復合函數(shù)，記作y=/jg(x)).

思考函數(shù)y=log2(x+l)是由哪些函數(shù)復合而成的？

答案函數(shù)y=log2(x+l)是由y=log2"及〃=x+l兩個函數(shù)復合而成的.

2.復合函數(shù)的求導法則

一般地，對于由函數(shù)＞=/(〃)和i/=g(x)復合而成的函數(shù)y=Ag(x)),它的導數(shù)與函數(shù)y=_A”)，u

=g(無)的導數(shù)間的關系為V-y'"即y對尤的導數(shù)等于y對a的導數(shù)與a對x的導數(shù)

的乘積.

-思考辨析判斷正誤

1.y=cos3尤由函數(shù)y=cos",〃=3尤復合而成.(V)

2.函數(shù)?r)=sin(2%)的導數(shù)為(x)=cos2x(X)

3.函數(shù)於)=e2ALi的導數(shù)為/7(x)=2e2xr.(V)

題型探究探究重點提升素養(yǎng)

---------------------------N--------

一、求復合函數(shù)的導數(shù)

例1求下列函數(shù)的導數(shù)：

(I?=(I—3X)4；

⑵尸出口2);

(3)y=log2(2x+l)；

(4)y=e3x+2.

解⑴令〃=1—3x,則＞=/="-4,

所以y〃=-4"一5,u'x=-3.

I?

所以x=y'u'u'%=12〃』

(2)令u=x1,貝Iy=cosu,

=r=

所以xyu'U'x-sin—2xsin(f).

(3)設y=log2",〃=2x+l,

m|22

則yj=yu'ux'=^=(2%+1)ln2-

(4)設〉=砂，u=3x+2,

則媼=(e)?(3x+2)，

=3eM=3e3x+2.

反思感悟(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟

(分號)~(選擇中間變量，寫出構成它的內(nèi)、外層函

|分別］導)~(分別求各層函數(shù)對相應變量的導數(shù)］

(相,)—(把上述求導的結果相乘)

［變量回代)~(把中間變量回代)

(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個

變量求導；③計算結果盡量簡潔.

跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)：

⑴尸

y/l—2x

(2)y=51og2(l—x)；

(3)y=sin(2x+§.

解(l)y=(l-2xp,

設y=u2,M=1—2x,

(_j_A

則<x=u5'(l-2x),

3

=(l-2xp.

(2)函數(shù)y=51og2(l—x)可看作函數(shù)y=51og2M和”=1一尤的復合函數(shù),

所以y'x=y'x=5(log2〃)'<1—幼

-55

Mln2-(x-l)ln2

、71

(3)y-■sinu9"=2x+g,

則yJ=(sinu)'3+§cosw-2=2cos

二、復合函數(shù)與導致的運算法則的綜合應用

例2求下列函數(shù)的導數(shù):

In3x

⑴y=

(3)y=xcos(2%+msin(2x+^

解(l)V(ln3x)z=聶＜(3?

(In3%ye%一(ln3x)(e%)，

??丁ey

11c

-In3x

x1—xln3x

：~~xex.

⑵y，=(x\jl+^y=x'yjl+x2+x(yj1H-x2)'

=衍+舟

(l+2^2X/l+x2

=x(—sin2x)cos2x=一呼sin4x,

-|sin4x-|cos4x4

=-]sin4x_2xcos4.r.

反思感悟(1)在對函數(shù)求導時，應仔細觀察及分析函數(shù)的結構特征，緊扣求導法則，聯(lián)系學

過的求導公式，對不易用求導法則求導的函數(shù)，可適當?shù)剡M行等價變形，以達到化異求同、

化繁為簡的目的.

(2)復合函數(shù)的求導熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復合過程，直接運用公

式，從外層開始由外及內(nèi)逐層求導.

跟蹤訓練2求下列函數(shù)的導數(shù)：

⑴尸sin]；

(2)y=sin3x+sinx3；

(3)y=xln(l+x).

l-cosjx

解(1)方法一2

(2、

./[cosQX1.2

..y=R=Tsin~^x.

l2-2J

士、土一/c?XX1

萬法-y=2singeos打

2.xx

=gsmgeosg

_1.2

一3sinQX.

(2)y'=(sin3x+sinx3)7

=(sin3x)/+(sinx3)z

=3sin2i:cosx+cosF3%2

=3sin2A：cosX+BJ^COSX3.

(3)y'=Nln(l+x)+x[ln(l+x)],

Y

=ln(l+x)+耳.

三、與切線有關的綜合問題

例3⑴曲線y=ln(2x—1)上的點到直線2x—y+3=0的最短距離是()

A.^5B.24C.3小D.0

答案A

解析設曲線y=ln(2x—1)在點(xo,刃)處的切線與直線2尤一y+3=0平行.

,__2_

?y一^?

,.>L"o=2尤o-]=2.

解得xo=l,

.??yo=ln(2—1)=0，即切點坐標為(1,0).

|2—0+3]

???切點(1,0)至ij直線2%—>+3=0的距離為1=

即曲線y=ln(2尤一1)上的點到直線2x—y+3=0的最短距離是小.

____3

(2)設式x)=ln(x+l)+ME+a無+b(a,b^R,a,b為常數(shù))，曲線>=/0)與直線y=那在(0,0)

點相切.求a,b的值.

解由曲線y=/(x)過(0,0)點,

可行In1+1+/?=0,故Z?=—1.

由7(x)=ln(x+l)+，x+1+QX+Z?,

得/

13

則，(0)=l+1+a=]+a,

即為曲線y=/(x)在點(0,0)處的切線的斜率.

33

由題意，得]+a=/,故a=0.

反思感悟(1)求切線的關鍵要素為切點，若切點已知便直接使用，切點未知則需先設再求.兩

直線平行與垂直關系與直線的斜率密切相關，進而成為解出切點橫坐標的關鍵條件.

(2)在考慮函數(shù)問題時首先要找到函數(shù)的定義域.在解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否

在定義域內(nèi).

]nx

跟蹤訓練3(1)已知函數(shù)啟)=一『(左為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線y

=危)在點(1,八1))處的切線與x軸平行，則左的值為.

答案1

,Inx+k

斛析由fix)——J,

,1—kx-jAnx

得/(無)=一左一，仲。，+8).

由于曲線y=/(x)在點(1,7(D)處的切線與X軸平行，

所以，(1)=0,因此左=1.

⑵設曲線y=e"*在點(0,1)處的切線與直線x+2y+l=0垂直，則a=.該切線與坐標軸圍

成的面積為.

1

答案2-

4

解析令則曲線y=e以在點(0,1)處的切線的斜率為/(0),

又切線與直線x+2y+l=0垂直，所以/(0)=2.

因為兀r)=e%

所以/(x)=(e")’=e"<Qx)'=〃e",

所以/(0)=〃e°=〃，故a=2.

由題意可知，切線方程為y—l=2x,即2x—y+l=0.

令x=0得y=l；令y=0得x=一/

.\S=2^2^1=不

隨堂演練基礎鞏固學以致用

1.(多選)函數(shù)y=(，-1)〃的復合過程正確的是()

2n1

A.u=x—lB.y=(u—l)fu=x

C.y=1n,l)nD.t=^—\,y=f

答案AD

2.函數(shù)y=(2020—8x)3的導數(shù)y，等于()

A.3(2020—8x)2B.—24x

C.-24(2020-8x)2D.24(2020—8媛

答案C

角星析y=3(2020—8%)2x(2020—8x)，

=3(2020-8x)2X(-8)=-24(2020-8x)2.

3.函數(shù)y=fcos2x的導數(shù)為()

A.y'=2xcos2x—j^sin2x

B.y'=2xcos2x_2x2sin2x

C.y'=fcos2x—2xsin2x

D.y'=2xcos2x+2fsin2x

答案B

角星析y'=(%2)'cos2X+X2(COS2X)'

=2xcos2x+f(—sin2x)-(2x)r

=2xcos2%—2/sin2x.

4.已知"r)=ln(3x—1),則/(1)=.

3

答案2

333

解析,:f(%)=31_]，:?f⑴=3_]=亍

5.曲線y=ln(2一%)在點(1,0)處的切線方程為.

答案x+y—l=0

一11

解析."===1?

1-1=占=—1，即切線的斜率是左=—1,

又切點坐標為(1,0).

??.y=ln(2—x)在點(1,0)處的切線方程為y=—(%—1),

即x+y—1=0.

-課堂小結

1.知識清單：

(1)復合函數(shù)的概念.

(2)復合函數(shù)的求導法則.

2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.

3.常見誤區(qū)：求復合函數(shù)的導數(shù)時不能正確分解函數(shù)；求導時不能分清是對哪個變量求導;

計算結果復雜化.

課時對點練注重雙基強化落實

-------------N------------

g基礎鞏固

1.(多選)下列函數(shù)是復合函數(shù)的是()

□1.(.71

A.y=-x^~~+lB.y=cos(x十W

C.產(chǎn)在D.y=(2x+3)4

答案BCD

解析A不是復合函數(shù)，B,C,D均是復合函數(shù)，

兀

其中8由〉=85心復合而成;

C由y==，〃=lnx復合而成;

D由y=,"=2x+3復合而成.

2.函數(shù)y=xln(2%+5)的導數(shù)為()

JQ2x

A.ln(2%+5)-B.ln(2x+5)+c

2^+52x十5

x

C.2xln(2x+5)D，2X+5

答案B

解析：y=xln(2x+5),

9Y

"-y'=ln(2x+5)+^py

3.函數(shù)yn/essx的導數(shù)為()

A.y'=3x2eC0SX+x3eC0SX

B.y'=3^2eC0SX-x3eC0Sxsinx

C.y'=3x2ecosjc-x3esinj:

D.=3x2eC0SX+x3eC0Sxsinx

答案B

cosx3cosxf

解析y=(7)/ecosx+x3(ecos^y=3?e+xe-(cosx)=3，eC°sx一丁ecos%sinx.

4.曲線y=xe%r在點(1,1)處切線的斜率等于()

A.2eB.eC.2D.1

答案C

解析??,,=*-1,；,yr=尸］+刀尸1,

??k=y'|x=i=e°+e°=2,故選C.

5.已知直線y=x+l與曲線y=ln(x+〃)相切，則。的值為()

A.1B.2C.-1D.-2

答案B

解析設切點坐標是(xo,%o+l),

依題意有jx°十0

、xo+1=ln(xo+。)，

由此得xo+1=0,xo=-1,〃=2.

6.函數(shù)y=sin2xcos3x的導數(shù)是.

答案y'=2cos2xcos3x—3sin2xsin3x

解析Vy=sin2xcos3x,

?.y'=(sin2x)'cos3x+sin2x(cos3x)z=2cos2xcos3x—3sin2xsin3x

7.已知函數(shù)/(%)的導函數(shù)為/(x),若的=f(^jsin3x+cos3x,則圖=.

答案3y/3

解析,:汽4=，(^jsin3x+cos3x,

:?f(x)=f(^)-3cos3x—3sin3x,

令X弋可得f0=fX3cos3sin1

=1)3X坐,

解得/母=34.

8.點P是/(x)=a+l)2上任意一點，則點P到直線y=x~l的最短距離是,此時點P

的坐標為.

答案嚕e，J

解析與直線y=x—1平行的yc%)=a+i)2的切線的切點到直線y=%—1的距離最短.

設切點為。o,yo),

則/(沏)=2ao+1)=1,/.xo=-yo=1.

即尸(一3,加直線y=x—1的距離最短.

」_一

,,21417^2

?"一加三+廠8-

9.求下列函數(shù)的導數(shù)：

(l)y=ln(ex+x2)；

(2)尸吁+3；

(3)y=sin4x+cos4x.

解(1)令"二F+^2,則y=lna

...1,1,e%+2x

?"，=y獷"x=T(e*1+20-?+2勸=酉不

(2)令〃=2x+3,則y=10",

：.y'x=y'x=10%ln10(2尤+3)'=2X102r+3ln10.

(3)*/y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2%)2—2sin2x-cos2尤=1-^sin22x=1—^(1—cos4x)

=4-^4COS41?

.\yf=—sin4x.

10.曲線yuesMx在點(0,1)處的切線與直線/平行，且與/的距離為W，求直線/的方程.

解：y=es叫

?*.y'=esin;vcosx,

**y'L=o=1-

J曲線y=esin%在點QI)處的切線方程為

y—1=x,即x-y+1=0.

又直線/與x—y+l=0平行，

故直線/可設為X—y+m=0.

由、］+(T)2得m——1或3.

???直線》的方程為％—y—1=0或％—y+3=0.

&綜合運用

11.曲線丁=屋2%+1在點(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為()

A.gB.^C.gD.1

答案A

解析依題意得<=e.2%.(—2)=—2e.2x,

L=o=-2e-2、°=—2.

所以曲線y=e~2x+l在點(0,2)處的切線方程是y—2=-2x,

即y=-2x+2.在坐標系中作出直線y=—2x+2,y=0與y=x的圖象，如圖所示.

2

-

3

因為直線y=-2x+2與y=x的交點坐標是

直線y=~2x+2與x軸的交點坐標是(1,0),

所以結合圖象可得，

1?1

這三條直線所圍成的三角形的面積為］義1><§=§.

4

12.(多選)已知點P在曲線>=亦■上，a為曲線在點尸處的切線的傾斜角，則a的取值可

以是()

?兀c兀-3兀-7兀

A.4B，2C.yD.y

答案CD

4

解析因為y=m，

=2=2j:=

所以<(e"+l)e+2e^+le.+l+2

因為e'>0,

所以^+《'2(當且僅當x=0時取等號)，

所以ye[-l,0),

所以tana￡[—1,0).

又因為a￡[0,7i),

所以季兀).

13.設函數(shù)危)=85(4]+夕)(0<夕<兀)，若(x)是奇函數(shù)，則夕=

答案I

解析,**/(x)=—y[3sin(y/3x+^)9

?，?fix)+f(x)=cos(小x+9)—