數(shù)學(xué)分析反常積分

知識(shí)結(jié)構(gòu)我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間有限，并且積分區(qū)間是閉區(qū)間（閉區(qū)域）.下面研究積分區(qū)間無(wú)限,或積分區(qū)間不是閉區(qū)間的積分,我們稱這樣的積分為反常積分,所謂反常是指相對(duì)于黎曼積分的反常.對(duì)正常積分,我們主要研究它的計(jì)算問(wèn)題,而對(duì)反常積分,主要研究它的收斂問(wèn)題.一元函數(shù)的反常積分(1)一元函數(shù)反常積分的概念和定義我們知道黎曼積分要求積分區(qū)間是有限閉區(qū)間或有限閉區(qū)域，如果將積分區(qū)間換成無(wú)限區(qū)間或非閉區(qū)間（是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)）或，由此產(chǎn)生的積分我們稱為反常積分，反常積分是相對(duì)于黎曼積分所提出的，“反常”指將黎曼積分中的有限閉區(qū)間換成無(wú)限區(qū)間或非閉區(qū)間（是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),即函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)界）.定義1函數(shù)在無(wú)限區(qū)間連續(xù)，則定義，如果極限存在，我們稱反常積分收斂.定義2函數(shù)在非閉區(qū)間連續(xù)，而在點(diǎn)右鄰域內(nèi)無(wú)界（是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)）即函數(shù)在點(diǎn)無(wú)界，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.函數(shù)在點(diǎn)右鄰域內(nèi)無(wú)界的意思是：.注意:函數(shù)在點(diǎn)沒(méi)有定義,但函數(shù)在點(diǎn)右極限可以存在,這時(shí)不是被積函數(shù)的瑕點(diǎn).例如,函數(shù)在點(diǎn)處沒(méi)有定義,但,所以不是積分的瑕點(diǎn).不是反常積分.將積分看作推廣的黎曼積分.因?yàn)?如果被積函數(shù)在閉區(qū)間上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則積分為推廣的黎曼積分,它也是收斂的.定義3函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，都是函數(shù)的瑕點(diǎn)，則定義,如果極限和均存在，我們稱反常積分收斂.定義4函數(shù)在無(wú)限區(qū)間連續(xù)，是函數(shù)的瑕點(diǎn)，則定義,如果極限和均存在，我們稱反常積分收斂.=2\*GB3②積分區(qū)域無(wú)限且被積函數(shù)有瑕點(diǎn)（了解）.2、一元函數(shù)反常積分的性質(zhì)與收斂判別請(qǐng)同學(xué)們切記如下例子中的結(jié)論.例討論積分和的斂散性.解顯然和均發(fā)散.在區(qū)間上,當(dāng)時(shí),函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像下方,這時(shí)收斂(請(qǐng)同學(xué)給出證明).當(dāng)時(shí),函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像上方,這時(shí)發(fā)散(請(qǐng)同學(xué)給出證明).在區(qū)間上,當(dāng)時(shí),函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像上方,這時(shí)發(fā)散(請(qǐng)同學(xué)給出證明).當(dāng)時(shí),函數(shù),即前者的圖像在后者的圖像下方,這時(shí)收斂(請(qǐng)同學(xué)給出證明).結(jié)論:和(1)無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂性判別=1\*GB3①無(wú)窮積分的性質(zhì)(a)若與收斂,則也收斂,且.(b)若在任何有限閉區(qū)間上可積,,則與同斂態(tài)(同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散),并且.(c)若在任何有限閉區(qū)間上可積,且有收斂，則收斂，且.當(dāng)收斂時(shí),稱絕對(duì)收斂.我們稱收斂而不絕對(duì)收斂者為條件收斂.=2\*GB3②無(wú)窮積分的收斂判別(a)柯西收斂準(zhǔn)則對(duì)無(wú)窮積分的斂散性用以下準(zhǔn)則可以作出判斷.定理1(柯西收斂準(zhǔn)則)無(wú)窮積分收斂的充要條件是:對(duì),,,當(dāng)時(shí),有.無(wú)窮積分的柯西收斂準(zhǔn)則可由函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則得到.(b)比較法則定理2(比較法則)設(shè)定義在上的兩個(gè)函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足,,則當(dāng)收斂時(shí)必收斂;當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散.考慮當(dāng)收斂時(shí)必收斂是否正確?當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散是否正確?推論1設(shè)定義在上的兩個(gè)函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積,,且,則有=1\*GB3①當(dāng)時(shí),與同斂態(tài);=2\*GB3②當(dāng)時(shí),由收斂可推知也收斂;=3\*GB3③當(dāng)時(shí),由發(fā)散可推知也發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.推論2設(shè)是定義在()的函數(shù),且在任何有限區(qū)間上可積,則有:=1\*GB3①當(dāng),,且時(shí),收斂;=2\*GB3②當(dāng),,且時(shí),發(fā)散.利用結(jié)論可證上述結(jié)論.推論3設(shè)是定義在()的函數(shù),在任何有限區(qū)間上可積,且,則有:=1\*GB3①當(dāng)時(shí),收斂;=2\*GB3②當(dāng)時(shí),發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.(c)狄利克雷判別法定理3(狄利克雷判別法)若在上有界,在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于,則收斂(了解).(d)阿貝爾(Abel)判別法定理4(阿貝爾(Abel)判別法)若收斂，在上單調(diào)有界,則收斂(了解).(2)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別=1\*GB3①瑕積分的性質(zhì)(a)若與都以為瑕點(diǎn)，為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分與收斂時(shí),瑕積分必定收斂,且.(b)設(shè)函數(shù)以為瑕點(diǎn)，為任一常數(shù)，則瑕積分與同斂態(tài)(同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散),并且，其中為定積分.(c)設(shè)函數(shù)以為瑕點(diǎn)，若在的任一內(nèi)閉區(qū)間上可積,則當(dāng)收斂時(shí)，也必收斂，且.當(dāng)收斂時(shí),稱絕對(duì)收斂.我們稱收斂而不絕對(duì)收斂者為條件收斂.=2\*GB3②瑕積分的收斂判別(a)柯西收斂準(zhǔn)則對(duì)瑕積分的斂散性用以下準(zhǔn)則可以作出判斷.定理1(柯西收斂準(zhǔn)則)瑕積分（瑕點(diǎn)為）收斂的充要條件是:對(duì),,,當(dāng)時(shí),有.瑕積分的柯西收斂準(zhǔn)則可由函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則得到.(b)比較法則定理2(比較法則)設(shè)定義在上的兩個(gè)函數(shù)和，瑕點(diǎn)同為，和都在任何有限區(qū)間上可積,且滿足,,則當(dāng)收斂時(shí)必收斂;當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散.考慮當(dāng)收斂時(shí)必收斂是否正確?當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散是否正確?推論1又若,且,則有=1\*GB3①當(dāng)時(shí),與同斂態(tài);=2\*GB3②當(dāng)時(shí),由收斂可推知也收斂;=3\*GB3③當(dāng)時(shí),由發(fā)散可推知也發(fā)散.利用不等式，即可證上述結(jié)論.推論2設(shè)是定義在的函數(shù),瑕點(diǎn)為，且在任何有限區(qū)間上可積，則有:=1\*GB3①當(dāng),且時(shí),收斂;=2\*GB3②當(dāng),且時(shí),發(fā)散.利用結(jié)論可證上述結(jié)論.推論3設(shè)是定義在的函數(shù),瑕點(diǎn)為，且在任何有限區(qū)間上可積，且,則有:=1\*GB3①當(dāng)時(shí),收斂;=2\*GB3②當(dāng)時(shí),發(fā)散.2、多元函數(shù)的反常積分(1)積分區(qū)域無(wú)限且被積函數(shù)沒(méi)有瑕點(diǎn)=1\*GB3①函數(shù)在無(wú)限區(qū)域上的反常積分定義5函數(shù)在無(wú)限區(qū)域連續(xù)，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.=2\*GB3②函數(shù)在無(wú)限區(qū)域上的反常積分定義6函數(shù)在無(wú)限區(qū)域連續(xù)，則定義,如果極限存在，我們稱反常積分收斂.由于式中的積分上限中的與被積函數(shù)中的不同,所以經(jīng)常表示為.這種積分是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用求概率分布函數(shù)的積分,即,其中.=3\*GB3③函數(shù)在無(wú)限區(qū)域上的反常積分(請(qǐng)同學(xué)給出其定義).=4\*GB3④函數(shù)在無(wú)限區(qū)域上的反常積分(請(qǐng)同學(xué)給出其定義).=5\*GB3⑤函數(shù)在無(wú)限區(qū)域上的反常積分(請(qǐng)同學(xué)給出其定義).,函數(shù)是隨機(jī)變量的概率密度函數(shù),表示隨機(jī)變量的分布函數(shù),則概率,,,其中,分別稱為邊緣概率密度函數(shù),,分別稱為邊緣分布函數(shù).例如(考研2010年數(shù)學(xué)一)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為,,,求常數(shù)及條件概率密度.解:因?yàn)?所以作變量替換，，，即.則.所以,進(jìn)而.注:由余元公式得:.還可以用以下方法計(jì)算.余元公式的證明過(guò)程很繁雜,在此證明略.先計(jì)算,其中區(qū)域:.因?yàn)?.則,即.令,.則.令,.則.所以.因?yàn)?,所以,進(jìn)而.上面的積分給出了反常積分計(jì)算的一個(gè)重要方法:夾逼方法.同學(xué)們應(yīng)切記這種方法.(2)多元函數(shù)反常積分性質(zhì)與收斂性判別3、含參量的反常積分（考數(shù)學(xué)專業(yè)的同學(xué)需要掌握）(1)含參量反常積分的概念和定義(2)含參量反常積分性質(zhì)與收斂性判別二、解證題方法1、反常積分的計(jì)算反常積分的計(jì)算題在考研中很少出現(xiàn),如果出現(xiàn),一般用變量替換法求解.例1(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)2004年)求.解令,則.進(jìn)而.例2(南京大學(xué)2000年)求.解令,則,所以.例3(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)2004年)求.解作變量替換,則.例4(上海理工大學(xué)2003年)已知積分,計(jì)算.解.例5(蘭州大學(xué)2005年)求.解首先判斷積分反常性。因?yàn)樵谏嫌虚g斷點(diǎn)，并且，所以積分是反常積分。.(2)反常積分的收斂性判別例1(數(shù)學(xué)(一)2010年)設(shè)為正整數(shù)，則反常積分的收斂性A.僅與的取值有關(guān)；B.僅與的取值都有關(guān)；D.與的取值都無(wú)關(guān).解選D.理由如下：反常積分可能有兩個(gè)瑕點(diǎn).所以,其中.先討論積分的收斂性.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，不是的瑕點(diǎn)，進(jìn)而收斂.當(dāng)時(shí)，是的瑕點(diǎn),由于,,由瑕積分比較判別法知,收斂.再討論的收斂性.作變量替換,則.因?yàn)?，所以是積分的瑕點(diǎn)?？烧业綕M足的,使得,其中.由瑕積分的斂散性判定的比較法則知,收斂.綜上所述,反常積分的收斂性與的取值都無(wú)關(guān).例2(汕頭大學(xué)2003年)判斷無(wú)窮積分的斂散性,并證明你的結(jié)論.解因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),收斂,當(dāng)時(shí),發(fā)散.例3(中山大學(xué)2007年)判斷積