2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式（習(xí)題精練）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一、單選題1．（2324高一上·安徽·期末）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不含參的一元二次不等式的解法計算即可求解.【詳解】原不等式可化為，解集為.故選：C.2．（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，直接求解不等式即可.【詳解】由，得，解不等式，得，所以不等式的解集是.故選：A3．（2223高一上·全國·單元測試）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價（單位：元/件）與月銷售量（單位：件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本（單位：元）.若每月獲得的利潤（單位：元）不少于元，則該廠的月銷售量的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立利潤函數(shù)，列出不等式，可得答案.【詳解】由題意，得，，令，得，，，.故選：D.4．（2324高一上·湖北孝感·期中）“不等式在R上恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，然后逐項判斷即可.【詳解】解：∵“不等式在R上恒成立”，顯然不滿足題意，∴，解得，對于A，是充要條件，故A錯誤；對于B，因為推不出，故B錯誤；對于C，因為，反之不能推出，故C正確；對于D，因為推不出，故D錯誤．故選：C．5．（2324高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意有恒成立，則，解不等式即可.【詳解】已知命題“，使”是假命題，則，都有，得，解得.故選：D6．（2324高一上·全國·課后作業(yè)）已知命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知全稱命題為假命題，可知其否定為真命題，即“”是真命題，結(jié)合判別式即可求解.【詳解】命題“”是假命題，等價于“”是真命題，即判別式，解得：或，則實數(shù)的取值范圍為：.故選：B.7．（2324高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知一元二次不等式的解集為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得.【詳解】由一元二次不等式的解集為，得是方程的兩個不等實根，并且，于是，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4.故選：D8．（2324高一上·遼寧·期末）若關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于x的不等式的解集是，利用韋達(dá)定理可得，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求解.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以的兩根是或2，由韋達(dá)定理可得：，所以可轉(zhuǎn)化為，解得或.所以原不等式的解集為，故選：B.9．（2223高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性可得答案.【詳解】函數(shù)的圖像的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：C10．（2324高一上·貴州銅仁·期末）當(dāng)時，不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對二項式系數(shù)進(jìn)行分類，結(jié)合二次函數(shù)定義的性質(zhì)，列出關(guān)系式求解.【詳解】當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，滿足不等式恒成立；當(dāng)時，令，則在上恒成立，函數(shù)的圖像拋物線對稱軸為，時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，解得；時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有，解得.綜上可知，的取值范圍是.故選：D.【點睛】方法點睛：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容，分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.二、多選題11．（2324高一上·江西撫州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)為常數(shù))的對稱軸為，其圖象如圖所示，則下列選項正確的有（

）

A．B．C．D．關(guān)于的不等式的解為或【答案】BCD【分析】由圖知，，設(shè)的兩根分別為，由得，可判斷AC選項；由，可判斷B選項；利用可解D選項中不等式.【詳解】由圖知，當(dāng)時，，設(shè)的兩根分別為，兩根均大于0，則，，所以，故A錯誤；由，（因為故取不到等號），所以，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；對D：等價于：，等價于：，（)等價于：，等價于：，其解為或.故D正確.故選：BCD12．（2324高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先解不等式，再根據(jù)解集包含的整數(shù)的個數(shù)列式解不等式即可.【詳解】因為，所以，因為，且解集中的整數(shù)恰有3個，所以，因為，所以，從而，即，因為，所以.故選：.13．（2324高一上·安徽阜陽·期中）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．D．的最小值為【答案】AB【分析】利用二次不等式解與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以是方程的兩根，且，故A正確；所以，解得，所以，即，則，解得，所以不等式的解集為，故B正確；而，故C錯誤；因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，與矛盾，所以取不到最小值，故D錯誤.故選：AB.14．（2324高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利于根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解.【詳解】由關(guān)于的不等式的解集是，其中，所以，且是方程的兩根，所以，，所以，，故正確；又因為，故錯誤；作出和的圖象，則為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，由圖象可知，故正確；故選：.15．（2324高一上·浙江·期末）設(shè)正實數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為2 B．的最大值為C．有最大值2 D．的最大值為【答案】AC【分析】對于A，根據(jù)“1”的妙用，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值，即可判定；對于B，條件化為，根據(jù)“1”的妙用，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值，即可判定；對于C，平方后，利用基本不等式即可；對于D，根據(jù)條件消去，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定.【詳解】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為2，A正確；對于B，因為，所以，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故最小值為，則B錯誤；對于C，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故有最大值2，則C正確；對于D，因為，則，所以，當(dāng)時，有最大值，不符合題意，故D錯誤，故選：AC.三、填空題16．（2324高一上·甘肅·期末）不等式的解集為【答案】【分析】利用中，去掉絕對值，再進(jìn)行換元轉(zhuǎn)化為一元二次不等式,解出不等式即可.【詳解】結(jié)合題意：要使有意義，需滿足，所以，可化簡為整理：令則所以解得：又，所以兩邊同時平方得：故解集為.故答案為：.17．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）解關(guān)于的不等式．（只需結(jié)果，不需過程）可因式分解為．當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合一元二次不等式的解法，合理分類討論，即可求解.【詳解】由題意得：方程可分解為，若時，不等式即為，解得，不等式的解集為；若時，令，解得或，當(dāng)時，即時，由，解得，此時解集為；當(dāng)時，即時，由，解得，此時解集為；當(dāng)時，即或時，由，解得，此時解集為；故答案為：；；；；；；；；；；.18．（2324高一上·陜西寶雞·期中）已知函數(shù)，若不等式的解集是，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出實數(shù)的值．【詳解】，即，解集是，所以，且是方程的兩個實數(shù)根，于是由韋達(dá)定理可得，解得不符合題意，舍去）．故答案為：．19．（2324高一上·上?！て谥校┮阎獙崝?shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列順序是.【答案】【分析】不等式可化為，設(shè)，，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合法即可求出結(jié)果．【詳解】不等式可化為，設(shè)，，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示，

由圖像可知，，故答案為：20．（2324高一上·云南迪慶·期末）已知二次函數(shù)，若對任意，若且不等式恒成立，則的最小值為．【答案】8【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)，結(jié)合換元法、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為不等式恒成立，所以，可得，因為，所以由，設(shè)，因為，所以，則有當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)得到，進(jìn)而利用換元法、基本不等式進(jìn)行求解.四、解答題21．（2324高一上·湖南常德·階段練習(xí)）解下列一元二次不等式(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）求出的根可得答案；（2）求出的根可得答案；（3）求出的根可得答案；（4）根據(jù)分式不等式的解法可得答案.【詳解】（1）令可得或，所以的解集為；（2）令可得或，所以的解集為或；（3）由得，令可得，所以解集為；（4）由得，所以的解集為.22．（2324高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）某學(xué)校為創(chuàng)建高品質(zhì)特色高中，準(zhǔn)備對校園內(nèi)現(xiàn)有一處墻角進(jìn)行規(guī)劃.如圖，墻角線OA和OB互相垂直，學(xué)校欲建一條直線型走廊AB，其中AB的兩個端點分別在這兩墻角線上.

(1)若欲建一條長為10米的走廊，當(dāng)長度為多少時，的面積最大？(2)為了使圍成區(qū)域更加美觀并合理利用土地，準(zhǔn)備在圍成區(qū)域內(nèi)建造一個矩形花圍，要求點在上，點在上，且過點，其中米，米，要使圍成區(qū)域的面積大于18平方米，則的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)長度為米(2)的長的范圍是（單位：米）【分析】（1）設(shè)長度為米，求出，可得的面積的表達(dá)式，然后由基本不等式求解即可；（2）設(shè)的長為米，由，得，求得，得的面積的表達(dá)式，由題意列不等式，求解即可．【詳解】（1）由題意，設(shè)長度為米，，∵，∴，∴的面積為，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)長度為米時,的面積最大，最大值為平方米.（2）設(shè)的長為米，則為米，其中，∵為矩形，，∴，∴，則，故，整理得，又，則或，故的長的范圍是（單位：米）．23．（2223高一上·天津·期末）已知函數(shù)(1)若的解集為，求實數(shù)的值；(2)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)；(3)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，得到和3為方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到恒成立，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；（3）分，，，四種情況討論結(jié)合二次不等式解法可得.【詳解】（1）因為的解集為，所以且和3為方程的兩根，所以，解得；（2）對恒成立，①當(dāng)時，，符合題意；②當(dāng)時，，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是；（3）由，得，即，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，或，當(dāng)時，，解得，或，綜上：當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為，或當(dāng)時，原不等式的解集為，或24．（2324高一上·湖南湘西·期末）已知函數(shù)．(1)若，且，，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡不等式，根據(jù)一元二次不等式恒成立，利用判別式求解；（2）由一元二次不等式的解集求出，再由均值不等式求最小值即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，即恒成立，所以，解得，即的取值范圍為.（2）由可得，因為不等式的解集為，所以由根與系數(shù)關(guān)系可得，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即所求函數(shù)的最小值為.25．（2324高一上·廣東河源·階段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在（1）的條件下，求的最小值；(3)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)4(3)答案見解析【分析】（1）分和討論，當(dāng)時，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)開口方向和判別式列不等式組即可求解；（2）變形為，利用基本不等式求解可得；（3