三角函數(shù)及解三角形專(zhuān)題九講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

人教A版數(shù)學(xué)三角函數(shù)及解三角形專(zhuān)題九知識(shí)點(diǎn)一正弦定理邊角互化的應(yīng)用,三角形面積公式及其應(yīng)用,求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍典例1、在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且請(qǐng)?jiān)冖?，②，③這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，將問(wèn)題（1）補(bǔ)充完整，然后解答問(wèn)題（1）已知______，計(jì)算的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的周長(zhǎng)的最大值.注：如選擇多種搭配方式分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.拓展練習(xí)：在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，的面積為，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且選條件：_____________．（1）求；（2）作，使得四邊形滿足，求的取值范圍．典例2、在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且______．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．（1）求角的大??；（2）若角的內(nèi)角平分線交于，且，求的最小值．

拓展練習(xí)：在①，②，請(qǐng)?jiān)谶@兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并完成解答.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)為的面積，滿足______________(填寫(xiě)序號(hào)即可)．（1）求角C的大小；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.典例3、在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足__________.（1）求角的大??；（2）若，角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)，求面積的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

拓展練習(xí)：在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別是，，，記的面積為S.已知_________.從①，②，③三個(gè)條件中選擇一個(gè)填在上面的橫線上，并解答下列問(wèn)題.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）求角A的大?。唬?）若邊長(zhǎng)，求的周長(zhǎng)的取值范圍.知識(shí)點(diǎn)二余弦定理解三角形,三角形面積公式及其應(yīng)用典例4、設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且有（1）求角的大?。唬?）從下列條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使唯一確定，并求的面積．條件①：邊上的高為；條件②：，；條件③：，．

拓展練習(xí)：在中，，，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，并求:（1）的值；（2）的面積.條件①：；條件②：；條件③：.典例5、已知a?b?c分別為的三個(gè)內(nèi)角A?B?C的對(duì)邊.現(xiàn)有如下四個(gè)條件：①；②；③；④.（1）對(duì)條件①化簡(jiǎn)，并判斷含有條件①的三角形的形狀；（2）從以上四個(gè)條件中任選幾個(gè)作為一個(gè)組合，請(qǐng)寫(xiě)出能構(gòu)成三角形的所有組合，并說(shuō)明理由；（3）從上述能構(gòu)成三角形的組合中任選一組，求出對(duì)應(yīng)三角形邊c的長(zhǎng)及三角形面積.

拓展練習(xí)：在①，，②，，③，這三個(gè)條件中選一個(gè)合適的補(bǔ)充在下面的橫線上，使得問(wèn)題可以解答，并寫(xiě)出完整的解答過(guò)程．問(wèn)題：在鈍角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知，．（1）求△ABC的面積；（2）求△ABC外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．典例6、在①，②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

拓展練習(xí)：已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.（1）求的值;（2）給出以下三個(gè)條件:條件①:;條件②:,;條件③:.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問(wèn)題:（i）求的值;（ii）求的角平分線的長(zhǎng).人教A版數(shù)學(xué)三角函數(shù)及解三角形專(zhuān)題九答案典例1、答案：（1）答案見(jiàn)解析（2）15解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即所以，即又，所以，而，故，若選①，②，則由余弦定理，得，解得所以的面積為若②選，③，則是等邊三角形，所以，所以的面積為若選①，③，則是等邊三角形，所以所以的面積為（2）由基本不等式，可得.由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的周長(zhǎng)的最大值為.拓展練習(xí)：：答案：（1）條件選擇見(jiàn)解析，；（2）.解：（1）若選①：由，根據(jù)正弦定理可得，即，即，可得，因?yàn)?，所以；選②：由，根據(jù)正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因?yàn)椋?，若選③：由，可得，即，可得，因?yàn)?，所以；?）設(shè)，則，在中，由正弦定理得，可得．在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，所以可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以的取值范圍是．拓展練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）若選條件①，由正弦定理得：，，，，則，又，.若選條件②，由得：，，則，又，.若選條件③，由得：，，即，又，，.（2），，即，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.拓展練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）若選①，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以若選②，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，，，，又?（2）由余弦定理得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)因此的周長(zhǎng)的最大值為.典例3、答案：（1）（2）解：（1）①由可得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即；，得（舍去）,.故.②由可得，即因?yàn)闉殇J角三角形，所以，且故.③由得化簡(jiǎn)可得；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即故.（2）已知,角與角的內(nèi)角平分線相交于點(diǎn),故,根據(jù)正弦定理;設(shè)即，；因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得；即故的面積取值范圍為：拓展練習(xí)：答案：（1）無(wú)論選擇①②③，；（2）解：（1）若選①，由正弦定理邊化角可得，因?yàn)椋?，所以，解得；若選②，由正弦定理邊化角可得，所以，所以，因?yàn)?，，所以，解得；若選③，由余弦定理可得，所以，所以，所以因?yàn)?，所以?）由（1）得，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，有最大值為4，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為典例4、答案：（1）（2）答案見(jiàn)解析.解：（1）由題，因.則，因A為三角形內(nèi)角，所以A.（2）若選擇①，設(shè)邊上的高為，則，得.因題目條件不足，故無(wú)法唯一確定.若選擇②，由正弦定理及（1），有.因，又題目條件不足，故無(wú)法判斷B為鈍角還是銳角，則無(wú)法唯一確定.若選擇③，由正弦定理，及，則.又由余弦定理及（1），有，得，.此時(shí)唯一確定，.綜上選擇③時(shí)，唯一確定，此時(shí)的面積為拓展練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）若選條件①，則，，，由正弦定理得：，得，因?yàn)椋?，而，所以在上有兩根，不唯?若選條件②，，，，由余弦定理得：，代入數(shù)據(jù)解得：或（舍）.若選條件③：，，，所以，由正弦定理得：，代入數(shù)據(jù)得：，所以，由余弦定理得：，代入數(shù)據(jù)得：，解得或（舍）綜上：.因?yàn)椋?，，所?典例5、答案：（1），鈍角三角形；（2）①③④和②③④；（3）答案見(jiàn)解析.解：（1）因?yàn)椋士傻?，即，由余弦定理可得，又，故可得，則含有條件①的三角形的形狀為鈍角三角形.條件①的化簡(jiǎn)結(jié)果為：；條件②：，由整形定理可得，即，又故可得，又，則；因?yàn)?，又，故可得，則條件①和條件②不能同時(shí)選擇.故能構(gòu)成三角形的所有組合為：①③④和②③④.（2）當(dāng)選擇①③④時(shí)，由余弦定理可得：，整理得：，解得（舍）或即，此時(shí)三角形的面積.當(dāng)選擇②③④時(shí)，由余弦定理可得，整理得：，解得或，此時(shí)三角形有兩解，當(dāng)時(shí)，三角形的面積；當(dāng)時(shí)，三角形的面積.綜上所述：選擇①③④時(shí)，，三角形的面積；選擇②③④，時(shí)，三角形的面積，時(shí)，三角形的面積.拓展練習(xí)：答案：（1）選①③不合題意，選②面積為（2）解：（1）若選①，則，，，可得，則△ABC為銳角三角形，不合題意；若選③，則，，，可得，則△ABC為銳角三角形，不合題意；若選②，因?yàn)?，所以，故△ABC的面積．（2）由（1）知選①③不合題意；若選②，設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得，所以．設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由，得．典例6、答案：（1）條件選擇見(jiàn)解析，（2）解：（1）選擇條件①，由及正弦定理，可得，即，

由余弦定理，得，因?yàn)?，所?選擇條件②，由及正弦定理，可得，即，即.在中，，所以，即，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所?若選條件③，，則，由，有，由，所以，因?yàn)椋?，所?（2）由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，若，由余弦定理得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以的面積為.拓展練習(xí)：答案：（1）（2）①③正確,（i）;（i