專題提優(yōu)突破六　概率與統(tǒng)計(jì)

專題提優(yōu)突破六概率與統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)解答題的考查內(nèi)容包括:概率的運(yùn)算、隨機(jī)變量分布列、均值與方差、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)、概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題等.通過(guò)對(duì)近幾年高考試題分析,在高考解答題中,概率與回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)、隨機(jī)變量及其分布列相結(jié)合的綜合問(wèn)題既是考查的熱點(diǎn)又是重點(diǎn),通常設(shè)計(jì)成包含概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差、統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別與應(yīng)用等知識(shí)的綜合題,以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體,考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和基本方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.近幾年,試題位置后移,也凸顯了對(duì)考查要求的提高和對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的重視.考查方法:樹(shù)形圖、數(shù)表分析、統(tǒng)計(jì)方法、正難則反、整體代換、反證法、分類、歸納、特殊化.考查思想:用樣本估計(jì)總體、隨機(jī)的思想、算法思想、正難則反、數(shù)學(xué)建模、劃歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合、直觀化策略思想,突出考查數(shù)據(jù)分析能力、計(jì)算能力.解題模式:問(wèn)題的提出→模型的建立→數(shù)據(jù)的整理和分析→統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的應(yīng)用.解題中要注意:特殊元素和特殊位置優(yōu)先、抽樣的等可能、二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別.統(tǒng)計(jì)概率中的新定義問(wèn)題新定義問(wèn)題是近年高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn),新定義問(wèn)題是指給學(xué)生一個(gè)從未接觸過(guò)的新背景、新規(guī)定,要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上分析解決問(wèn)題,側(cè)重考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).解決新定義問(wèn)題要過(guò)“心里關(guān)”、“審題關(guān)”、“應(yīng)用關(guān)”.新定義問(wèn)題主要考查以下兩種類型:①定義新運(yùn)算,定義一種新的運(yùn)算規(guī)則,其通?？疾閷W(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng);②定義新概念,定義一種新的數(shù)學(xué)名詞,其通?？疾閷W(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).新概念可能定義一種新數(shù)、新數(shù)組、新方程、新點(diǎn)、新坐標(biāo)系、新函數(shù)等.典例1籃球誕生美國(guó)馬薩諸塞州的春田學(xué)院.1891年,春田學(xué)院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士(JamesNaismith)為了對(duì)付冬季寒冷的氣溫,讓學(xué)生們能夠在室內(nèi)有限的空間里繼續(xù)進(jìn)行有趣的傳球訓(xùn)練.現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在某次傳球的訓(xùn)練中,球從甲開(kāi)始,等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人,如此不停地傳下去,假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲手里的概率為pn,第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn,顯然p1=1,q1=0.(1)求p3+2q3的值;(2)比較p8,q8的大小.訓(xùn)練1中國(guó)大力推進(jìn)生物多樣性保護(hù)和恢復(fù),完善政策法規(guī),改善生態(tài)環(huán)境質(zhì)量,劃定生態(tài)保護(hù)紅線,建立國(guó)家公園體系,實(shí)施長(zhǎng)江十年禁漁,不斷加大監(jiān)管和執(zhí)法力度,積極履行國(guó)際公約義務(wù),全社會(huì)生物多樣性保護(hù)意識(shí)不斷增強(qiáng),參與度不斷提升,生物多樣性下降勢(shì)頭得到基本控制,生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性明顯增強(qiáng).某興趣小組在開(kāi)展昆蟲(chóng)研究時(shí),設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn):在一個(gè)不透明的密封盒子中裝有蝴蝶、蜜蜂等多種昆蟲(chóng)共2n(n≥4,n∈N)只.現(xiàn)在盒子上開(kāi)一小孔,每次只能飛出一只昆蟲(chóng),且任意一只昆蟲(chóng)都等可能地飛出.(1)若盒子中共有8只昆蟲(chóng),從中任意飛出2只昆蟲(chóng)時(shí),飛出的恰好有1只是蜜蜂的概率為47①求蜜蜂的只數(shù);②從盒子中任意飛出3只昆蟲(chóng),記飛出蜜蜂的只數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望E(X).(2)若盒子中的昆蟲(chóng)有一半是蝴蝶時(shí),求“從盒子中任意飛出2只昆蟲(chóng),至少有1只蝴蝶飛出”的概率最大值.與遞推數(shù)列有關(guān)的概率問(wèn)題縱觀近幾年的高考真題和模擬題,含數(shù)列模型的概率試題是命題者青睞的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題,其背景新穎,視角獨(dú)特,應(yīng)用性較強(qiáng),以中檔題為主.含數(shù)列模型的概率問(wèn)題主要考查兩類題型:①題干給出數(shù)列的遞推關(guān)系或者問(wèn)題中證明數(shù)列為等差或者等比數(shù)列,需要通過(guò)構(gòu)造數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式,把概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題,借助數(shù)列求和、基本不等式求最值或者證明不等式;②題干沒(méi)有給出數(shù)列的遞推關(guān)系,需要利用全概率公式、正態(tài)分布或者概率之間的關(guān)系獲得數(shù)列的遞推關(guān)系式,然后通過(guò)配湊構(gòu)造等比數(shù)列,求出概率中的期望值,進(jìn)而做出最佳的決策.典例2(2023·江蘇鹽城中學(xué)校考三模)在我國(guó)射擊也是一項(xiàng)歷史悠久的運(yùn)動(dòng).某射擊運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者甲來(lái)到靶場(chǎng)練習(xí).(1)已知用于射擊打靶的某型號(hào)槍支彈夾中一共有k(k∈N*)發(fā)子彈,甲每次打靶的命中率均為12(2)若某種型號(hào)的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈,現(xiàn)有一槍支其中有m(m≥1)發(fā)為實(shí)彈,其余均為空包彈,現(xiàn)規(guī)定:每次射擊后,都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈,假設(shè)每次射擊相互獨(dú)立且均隨機(jī),在進(jìn)行n(n∈N)次射擊后,記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為Xn,①當(dāng)k∈N*時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出數(shù)學(xué)期望E(Xn)與E(Xn1)的關(guān)系;②求出E(Xn)關(guān)于n的表達(dá)式.訓(xùn)練2綠色已成為當(dāng)今世界主題,綠色動(dòng)力已成為時(shí)代的驅(qū)動(dòng)力,綠色能源是未來(lái)新能源行業(yè)的主導(dǎo).某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流,最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2),經(jīng)計(jì)算第(1)問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值.①現(xiàn)從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200km到350km之間的概率;②從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中隨機(jī)抽取10輛,設(shè)這10輛汽車中單次最大續(xù)航里程恰好在200km到350km之間的數(shù)量為Y,求E(Y).(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng),客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”,則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開(kāi)始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動(dòng)一次,若擲出正面,遙控車向前移動(dòng)一格(從k到k+1),若擲出反面,遙控車向前移動(dòng)兩格(從k到k+2),直到遙控車移到第49格(勝利大本營(yíng))或第50格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第n格的概率為Pn(n=1,2,…,50),其中P0=1,試說(shuō)明{PnPn1參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概率問(wèn)題新高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的考查更加關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,函數(shù)模型下的概率問(wèn)題備受關(guān)注,而概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)和導(dǎo)數(shù)進(jìn)行綜合更是高考的熱點(diǎn),此類問(wèn)題往往運(yùn)用函數(shù)思想,借助函數(shù)的單調(diào)性,求解概率最大(最小)或均值最大(最小),再根據(jù)題目要求進(jìn)行決策.考題往往有兩種類型:①將與概率有關(guān)的問(wèn)題(尤其是最值問(wèn)題)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決;②以決策判斷的開(kāi)放性問(wèn)題來(lái)巧妙設(shè)置,從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行科學(xué)創(chuàng)新與判斷,為決策或判斷提供理論支持.典例3我國(guó)某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)一款芯片進(jìn)行試產(chǎn),設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p(0<p<1),且各個(gè)芯片的生產(chǎn)互不影響.(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序,且互不影響,其次品率依次為p1=133,p2=1①求p;②現(xiàn)對(duì)該款試產(chǎn)的芯片進(jìn)行自動(dòng)智能檢測(cè),自動(dòng)智能檢測(cè)為次品(注:合格品不會(huì)被誤檢成次品)的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰,然后再進(jìn)行人工抽檢.已知自動(dòng)智能檢測(cè)顯示該款芯片的合格率為96%,求人工抽檢時(shí),抽檢的一個(gè)芯片是合格品的概率.視p為概率,記從試產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取n個(gè)恰含m(n>m)個(gè)次品的概率為f(p),求證:f(p)在p=mn訓(xùn)練3學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題活動(dòng),一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”,另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng),僅首局比賽可獲得積分,獲勝得2分,失敗得1分;一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng),僅前兩局比賽可獲得積分,首局獲勝得3分,次局獲勝得