工程力學(xué)-第十六章

第十六章彎曲CONTNET01對(duì)稱(chēng)彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖03剪力圖和彎矩圖02梁的剪力和彎矩04彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系05純彎曲正應(yīng)力07梁的彎曲變形及剛度條件06正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用08梁的合理設(shè)計(jì)01對(duì)稱(chēng)彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖16.1.1對(duì)稱(chēng)彎曲的概念在工程中常遇到這樣一類(lèi)構(gòu)件，它們所承受的外力都垂直于桿件的軸線，如圖的火車(chē)輪軸和圖所示的橋式起重機(jī)大梁等，在這些外力作用下，桿件的軸線將由直線變?yōu)榍€，這種變形稱(chēng)為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件稱(chēng)為梁。16.1.1對(duì)稱(chēng)彎曲的概念工程中最常見(jiàn)的梁，其軸線是直線，橫截面一般都有1根或2根對(duì)稱(chēng)軸，如圖所示。16.1.1對(duì)稱(chēng)彎曲的概念由橫截面的縱向?qū)ΨQ(chēng)軸和梁的軸線組成的平面，稱(chēng)為縱向?qū)ΨQ(chēng)面，如圖所示。如果梁上的外力全部作用在這個(gè)對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，那么梁變形后，其軸線也將變成這個(gè)對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的一條平面曲線，這種彎曲稱(chēng)為平面彎曲。16.1.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖1．支座的簡(jiǎn)化根據(jù)支承情況的不同，一般可將梁簡(jiǎn)化為如下三種形式。（1）簡(jiǎn)支梁如果梁的兩端支座中，一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座，則稱(chēng)這種梁為簡(jiǎn)支梁，如圖16-2所示中的橋式起重機(jī)大梁和圖所示。（2）外伸梁梁的支座和簡(jiǎn)支梁的相同，只是梁的一端或兩端伸出在支座之外，這種梁稱(chēng)為外伸梁，如圖16-1中的火車(chē)輪軸和圖所示。（3）懸臂梁一端固定、另一端自由的梁，稱(chēng)為懸臂梁，如圖所示。16.1.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖2．載荷的簡(jiǎn)化作用在梁上的載荷可簡(jiǎn)化為如下三種形式。（1）集中載荷通過(guò)微小面積，作用在梁上的力，可近似地簡(jiǎn)化為作用在一點(diǎn)上的集中力，如圖所示中的力F。（2）集中力偶通過(guò)微小梁段，作用在梁上的力偶，可看作為一個(gè)集中力偶，如圖所示中的力偶矩M。（3）分布載荷沿著梁的軸線方向在一定長(zhǎng)度上連續(xù)分布的、垂直于梁軸的力系。如果這種力系是均勻分布的，則稱(chēng)為均布載荷，其大小用載荷集度q表示。其單位為N/m或kN/m。02梁的剪力和彎矩3.1.2力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢和主矩16.1.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖1．支座的簡(jiǎn)化為了使上述兩種算法得到的同一截面上的剪力和彎矩，不僅數(shù)值相等，而且符號(hào)也一致，現(xiàn)規(guī)定如下：凡使所取的梁具有作順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)，如圖所示；凡使梁產(chǎn)生凸向下彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)，如圖所示。換言之，由外力確定內(nèi)力的符號(hào)，可概括為“左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正”16.1.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖例16-1如圖所示的懸臂梁作用有均布載荷q。試求截面D-D上的剪力和彎矩。03剪力圖和彎矩圖16.3剪力圖和彎矩圖例16-2如圖所示的懸臂梁作用有均布載荷q。試作該梁的剪力圖和彎矩圖。16.3剪力圖和彎矩圖16.3剪力圖和彎矩圖例16-3如圖所示起重機(jī)大梁的跨度為l，自重力可看成均布載荷q。試作該梁的剪力圖和彎矩圖。16.3剪力圖和彎矩圖04彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系16.4彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系16.4彎矩、剪力與載荷集度間的關(guān)系表明了同一截面處M(x)，F(xiàn)Q(x)和q(x)三者之間的微分關(guān)系。05純彎曲正應(yīng)力16.5純彎曲正應(yīng)力如圖所示簡(jiǎn)支梁AB，梁中間段的彎矩為常數(shù)、剪力為零，這種截面內(nèi)只有彎矩而無(wú)剪力的彎曲，稱(chēng)為純彎曲。如果梁的截面上既有彎矩又有剪力，則這種彎曲稱(chēng)為橫力彎曲。如圖所示兩端梁段的彎曲即為橫力彎曲。16.5.1實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)要確定純彎曲時(shí)梁的橫截面上的正應(yīng)力，需要進(jìn)行純彎曲實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)前，在梁的側(cè)面畫(huà)上一些垂直于軸線的橫向線，以及平行于軸線的縱向線，如圖所示。加載使梁發(fā)生純彎曲變形，通過(guò)梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)可觀察到：（1）縱向線彎曲成圓弧，其間距不變。靠近梁頂部凹面的縱向線縮短，靠近梁底部凸面的縱向線伸長(zhǎng)。（2）橫向線仍為直線，且與縱向線正交，橫向線間相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)微小的角度。16.5.1實(shí)驗(yàn)觀察與假設(shè)對(duì)上述實(shí)驗(yàn)的觀察結(jié)果，進(jìn)行分析、判斷和推理，可以作出如下假設(shè)：變形前為平面的橫截面在變形后仍保持為平面，并且仍垂直于變形后的軸線，只是繞截面內(nèi)的某一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。這一假設(shè)稱(chēng)為彎曲變形的平面假設(shè)。如果設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)層縱向纖維組成的，彎曲變形后，靠近頂面的纖維縮短，靠近底面的纖維伸長(zhǎng)。由于變形的連續(xù)性，由縮短層過(guò)渡到伸長(zhǎng)層時(shí)，中間必有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，這個(gè)長(zhǎng)度不變的過(guò)渡層，稱(chēng)為中性層，如圖所示。中性層與橫截面的交線，稱(chēng)為中性軸，它與橫截面的對(duì)稱(chēng)軸垂直；且可證明，它通過(guò)橫截面的形心。梁彎曲時(shí)，橫截面就是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。16.5.2純彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律由平面假設(shè)可知，矩形截面梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)力分布有如下特點(diǎn)：（1）中性軸上的線應(yīng)變?yōu)榱?，所以其正?yīng)力亦為零。（2）距中性軸距離相等的各點(diǎn)，其線應(yīng)變相等。根據(jù)胡克定律，它們的正應(yīng)力也相等。（3）在圖所示的受力情況下，中性軸上部的各點(diǎn)正應(yīng)力為負(fù)值，中性軸下部的各點(diǎn)正應(yīng)力為正值。（4）正應(yīng)力沿y軸呈線性分布，如圖所示，其中，K為待定常數(shù)。最大正應(yīng)力（絕對(duì)值）在距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣處。16.5.3純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式16.5.3純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式常見(jiàn)截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)：截面形狀慣性矩抗彎截面系數(shù)16.5.3純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式常見(jiàn)截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)：截面形狀慣性矩抗彎截面系數(shù)16.5.3純彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式常見(jiàn)截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)：截面形狀慣性矩抗彎截面系數(shù)16.5.4彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介1．矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力不是均勻分布的，對(duì)于矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力，假設(shè)其分布特點(diǎn)為：（1）橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向和剪力FQ的方向一致。（2）切應(yīng)力的大小與距中性軸z的距離y有關(guān)，與截面寬度b無(wú)關(guān)。當(dāng)矩形截面梁橫截面的高度h大于寬度b時(shí)，上述假設(shè)基本符合實(shí)際情況。據(jù)此可以推導(dǎo)出矩形截面梁橫截面距中性軸y處的切應(yīng)力為16.5.4彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介16.5.4彎曲切應(yīng)力簡(jiǎn)介2．橫截面上的最大切應(yīng)力公式06正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用16.6正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用16.6正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用16.6正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用16.6正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用16.6正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用16.6正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用07梁的彎曲變形及剛度條件16.7.1撓度和轉(zhuǎn)角如圖所示，設(shè)懸臂梁AB在其自由端B處，有一個(gè)集中力F作用。彎曲變形前，梁的軸線AB為一條直線；變形后，軸線在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)變成一條連續(xù)而又光滑的曲線AB1，此曲線稱(chēng)為梁的撓曲線。16.7.1撓度和轉(zhuǎn)角選取直角坐標(biāo)系，令x軸與梁變形前的軸線重合，y軸垂直向上，則xy平面就是梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面，于是梁的撓曲線可表示為

梁的撓曲線方程當(dāng)梁在xy平面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí)，梁的各橫截面都將在該平面內(nèi)發(fā)生線位移和角位移?，F(xiàn)在考察距左端為x處的任一截面，該截面的形心C既有垂直方向的位移，又有水平方向的位移。但在小變形的條件下，水平方向的位移很小，可以忽略不計(jì)。可以認(rèn)為，截面的形心C只在垂直方向有線位移CC1，這個(gè)線位移就稱(chēng)為該截面的撓度，用y表示。16.7.1撓度和轉(zhuǎn)角梁在彎曲時(shí)，橫截面將繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生角位移，此角位移稱(chēng)為該橫截面的轉(zhuǎn)角，用θ表示。過(guò)C1點(diǎn)作一條切線，切線的傾角就等于橫截面的轉(zhuǎn)角，由于轉(zhuǎn)角θ很小，因此有轉(zhuǎn)角方程。它表明，撓曲線上任意一點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。16.7.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分16.7.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分例16-7試求圖所示懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。16.7.2梁的撓曲線近似微分方程及其積分16.7.3用疊加法求彎曲變形疊加法的基本思想是：在材料服從胡克定律和小變形條件下，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁上載荷呈線性關(guān)系。因此，當(dāng)梁上同時(shí)作用若干個(gè)不同載荷時(shí)，可以先分別求出各個(gè)載荷單獨(dú)作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角，然后求它們的代數(shù)和，得到這些載荷共同作用時(shí)梁的撓度和轉(zhuǎn)角。16.7.3用疊加法求彎曲變形梁的簡(jiǎn)圖撓曲線方程端截面轉(zhuǎn)角最大撓度16.7.3用疊加法求彎曲變形梁的簡(jiǎn)圖撓曲線方程端截面轉(zhuǎn)角最大撓度16.7.3用疊加法求彎曲變形梁的簡(jiǎn)圖撓曲線方程端截面轉(zhuǎn)角最大撓度16.7.3用疊加法求彎曲變形梁的簡(jiǎn)圖撓曲線方程端截面轉(zhuǎn)角最大撓度16.7.3用疊加法求彎曲變形梁的簡(jiǎn)圖撓曲線方程端截面轉(zhuǎn)角最大撓度16.7.3用疊加法求彎曲變形例16-8如圖所示，彎曲剛度為EI的簡(jiǎn)支梁AB受載荷作用。試求該梁跨中點(diǎn)C的撓度yC和支座A，B處橫截面的轉(zhuǎn)角θA和θB。16.7.4梁的剛度條件在工程設(shè)計(jì)中，通常先按強(qiáng)度條件選擇梁的截面尺寸，然后再對(duì)梁進(jìn)行剛度校核。校核梁剛度的目的，就是要控制梁的變形，使梁的最大撓度或最大轉(zhuǎn)角必須在規(guī)定的許可范圍之內(nèi)。梁的剛度條件為08梁的合理設(shè)計(jì)16.8梁的合理設(shè)計(jì)16.8.1合理配置梁的支承和載荷16.8.1合理配置梁的支承和載荷16.8.2合理選取截面形狀16.8.3合理設(shè)計(jì)梁的外形根據(jù)梁內(nèi)彎矩的變化情況，將梁設(shè)計(jì)成變截面梁，在彎矩較大處采用大截面，在彎矩較小處采用小截面，使各截面的強(qiáng)度相等，這種梁稱(chēng)為等強(qiáng)度梁，如圖所示。此