2023-2024學年八年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（滬教版）第十六章 二次根式（7個知識歸納+13類題型突破）（原卷版）

第十六章二次根式（7個知識歸納+13類題型突破）1.掌握二次根式的概念和有無意義的條件；2.掌握二次根式的性質；3.掌握二次根式的化簡與計算；知識點1．二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號；判斷一個式子是二次根式，需要滿足以下條件：（1）根指數(shù)必須是2；（2）被開方數(shù)為非負數(shù).知識點2.二次根式有無意義的條件：

（1）如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．

（2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．知識點3.二次根式的性質：（1），（雙重非負性）．（2）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．應用：在實數(shù)范圍內分解因式：（3）（4）=·（a≥0，b≥0）（5）=（a≥0，b>0）知識點4.二次根式的化簡：（1）二次根式化簡的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，所得結果為最簡二次根式或整式．（2）最簡二次根式的條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．知識點5.二次根式的運算：（1）二次根式的乘法·＝．（a≥0，b≥0）文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的積的算術平方根.推廣：（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）文字語言：二次根式與二次根式相乘，等于各個被開數(shù)的商的算術平方根.二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．

二次根式的加減步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．

②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．

③合并被開方數(shù)相同的二次根式．

知識點6.二次根式的混合運算：（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．①與實數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．

②在運算中每個根式可以看做是一個單項式，多個不同類的二次根式的和可以看作多項式．

（2）二次根式的運算結果要化為最簡二次根式或整式．

（3）在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．知識點7.二次根式的應用：把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學知識之間的聯(lián)系，感受所學知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．二次根式的應用主要是在解決實際問題的過程中用到有關二次根式的概念、性質和運算的方法．題型一求二次根式的參數(shù)1．（2023秋·全國·八年級專題練習）若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是（

）A．2 B．14 C．7 D．562．（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┮阎猲是一個正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（

）A．0 B．4 C．5 D．203．（2023春·湖北咸寧·八年級咸寧市溫泉中學校聯(lián)考期中）若二次根式，的值是整數(shù)，則下列n的取值符合條件的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．（2023秋·九年級課時練習）已知：是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．202．（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知是正整數(shù)，則實數(shù)n的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州市河南岸中學校考開學考試）已知為正整數(shù)，且也為正整數(shù)，則的最小值為．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）若是整數(shù)，則整數(shù)n的所有可能的值為．5．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）已知n是一個正整數(shù)，是整數(shù)，求n的最小值．題型二二次根式有意義的條件4．（2023春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）若二次根式有意義，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2023春·安徽合肥·八年級校考期中）若二次根式有意義，則的取值范圍為（

）A．且 B． C． D．且6．（2023秋·全國·八年級專題練習）若式子在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．且鞏固訓練1．（2023春·河北邢臺·八年級統(tǒng)考開學考試）若式子有意義，則m的值可以是（）A．5 B．3 C．1 D．2（2023春·甘肅定西·八年級?？茧A段練習）函數(shù)的自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．且3．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學?？奸_學考試）若在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．3．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習）函數(shù)中，自變量的取值范圍是___________．5．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┫然啠偾笾狄阎?1)求的值；(2)求的平方根．題型三利用二次根式的性質化簡7．（2023春·上海楊浦·九年級統(tǒng)考階段練習）下列正確的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·湖南永州·八年級?？奸_學考試）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知，則化簡的結果為()A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023春·內蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．2．（2023春·江西宜春·八年級?？茧A段練習）若，則等于（）A．1 B．5 C． D．3．（2023春·湖北恩施·八年級校聯(lián)考期中）若，化簡：．4．（2023秋·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期末）當時，化簡．5．（2023春·安徽宣城·八年級校考期中）已知，化簡代數(shù)式．題型四復合二次根式的化簡10．（2023春·河北邯鄲·八年級校考階段練習）下面的推導中開始出錯的步驟是（

）因為，①，②所以.③所以.④A．① B．② C．③ D．④11．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）下列各式中，與化簡所得結果相同的是（

）A． B． C． D．12．（2023春·廣西欽州·八年級?？茧A段練習）化簡二次根式的正確結果是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）對式子作恒等變形，使根號外不含字母，正確的結果是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇無錫·八年級宜興市樹人中學?？茧A段練習）把(2-x)的根號外的（2-x）適當變形后移入根號內，得（

）A． B． C． D．3．（2023春·天津寶坻·八年級校考階段練習）當時，化簡：．4（2023·上海·八年級假期作業(yè)）把中根號外因式適當變形后移至根號內得．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）觀察下面的運算，完成計算：

(1)(2)．題型五化為最簡二次根式13．（2023春·湖北咸寧·八年級校考階段練習）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．14．（2023春·湖南衡陽·八年級校聯(lián)考期中）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．15．（2023春·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）關于的敘述正確的是（

）A．在數(shù)軸上不存在表示的點 B．與最接近的整數(shù)是3C． D．是有理數(shù)鞏固訓練1．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡后為.

4．（2023春·遼寧朝陽·八年級校考期中）把二次根式化成最簡二次根式，則．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．題型六已知最簡二次根式求參數(shù)16．（2023春·山東泰安·八年級?？茧A段練習）若是最簡二次根式，則m，n的值為（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，017．（2023春·河北邢臺·八年級?？茧A段練習）若最簡二次根式與（a為有理數(shù)）可以合并，則m的值為（

）A．2021 B． C．2025 D．18．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谥校┤糇詈喍胃脚c可以合并，則的值為（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·全國·八年級專題練習）若最簡二次根式與能夠合并，則a的值是（）A． B．0 C．1 D．22．（2023春·浙江·八年級專題練習）已知最簡二次根式與二次根式可以合并成項，則整數(shù)，的值分別為（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023春·重慶渝北·八年級重慶市暨華中學校?？计谥校┤糇詈喍胃脚c可以合并，則．4．（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）如果最簡二次根式和是可以合并的二次根式，則．5．（2023春·全國·八年級專題練習）已知最簡二次根式與是同類二次根式，求的值．題型七同類二次根式19．（2023秋·安徽合肥·九年級?？奸_學考試）下列各數(shù)中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．20．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級?？计谥校┫铝懈交喅勺詈喍胃胶?，能與合并的是（）A． B． C． D．21．（2023春·河南駐馬店·八年級校考階段練習）若可以合并為一項，則可以是(

)A．9 B．18 C．27 D．54鞏固訓練1．（2023春·山東泰安·八年級?？茧A段練習）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）若最簡二次根式與是同類二次根式，則（

）A． B．1 C．3 D．3．（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）如果與最簡二次根式可以合并成一個二次根式，則．4．（2023春·湖北黃岡·八年級校考階段練習）若最簡二次根式與可以合并，則a的值為．5．（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）是否存在實數(shù)，使最簡二次根式與是同類二次根式？若存在，求出的?；若不存在，請說明理由．題型八二次根式的混合運算22．（2023春·安徽馬鞍山·八年級?？计谀┮阎?，則的值為（

）A． B． C．14 D．23．（2023春·福建三明·九年級?？计谥校┯嬎愕慕Y果是（

）A． B． C． D．24．（2023秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校?？奸_學考試）若在兩個相鄰整數(shù)之間，則這兩個整數(shù)是（）A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8鞏固訓練1．（2023春·湖北咸寧·八年級?？茧A段練習）計算(1)(2)(3)2．（2023·陜西西安·西安市第六中學?？寄M預測）計算：(1)(2)(3)(4)3．（2023春·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）計算：(1)．(2)．4．（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？奸_學考試）計算：(1)；(2)．5．（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學校考開學考試）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．題型九分母有理化25．（2023春·四川南充·八年級?？计谥校┫铝懈魇街校c的積為有理數(shù)的是（

）A． B． C． D．26．（2023春·浙江湖州·八年級統(tǒng)考階段練習）已知，，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．27．（2023春·安徽亳州·八年級?？计谥校┮阎?，則的值為（

）A．3 B． C． D．6鞏固訓練1（2023春·山東聊城·八年級校聯(lián)考期末）下列各式中，不正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江大慶·七年級校聯(lián)考開學考試）如果，，那么（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建泉州·九年級校考開學考試）計算的結果是．4．（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）化簡：（的自然數(shù)）的結果為．5．（2023春·內蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)．題型十已知字母的值，化簡求值28．（2023春·云南臨滄·八年級校聯(lián)考期末）若，則的值是（

）A．1 B．5 C． D．29．（2023春·河北邢臺·八年級校考階段練習）當時，代數(shù)式的結果為（

）A． B． C．12 D．30．（2023春·安徽蕪湖·八年級?？茧A段練習）設，則代數(shù)式的值為（

）A．6 B．5 C． D．鞏固訓練1．（2023秋·全國·八年級專題練習）若，則代數(shù)式的值為

(

)A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知，，則代數(shù)式的值為（

）A．7 B．14 C． D．3．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若，則代數(shù)式的值是．4．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習）當，時，．5．（2023春·江西南昌·八年級校聯(lián)考期中）若，，求：(1)；(2)．題型十一已知條件式，化簡求值31．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，則的值為（

）A． B．4 C． D．32．（2023春·全國·八年級期末）已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．33．（2023春·云南臨滄·八年級統(tǒng)考期中）已知，，則的值為（

）A． B． C．4 D．鞏固訓練1．（2023春·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）已知，則代數(shù)式的值為（）A．2 B．6 C．4 D．2．（2023春·八年級課時練習）已知，則的值等于（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．（2023春·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期末）若為的小數(shù)部分，則的值為．4．（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習）已知，則．5．（2023春·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）（1）若，求；（2）若，求的值．題型十二比較二次根式的大小34．（2023秋·全國·八年級專題練習）若，則的值可以是（

）A． B． C． D．35．（2023春·湖南益陽·七年級校聯(lián)考期末）2、、15三個數(shù)的大小關系是（

）A．2＜15＜ B．＜15＜2C．2＜＜15 D．＜2＜1536．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，則a，b，c的關系是（

）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．a(chǎn)＜b＜c鞏固訓練1．（2023春·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習）的結果應在（

）A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）比較的大小，正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）比較大小：；．（填“”“”或“”）4．（2023秋·全國·八年級專題練習）比較大?。海?．（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）已知，．(1)比較a，b的大小，并寫出比較過程；(2)求代數(shù)式的值．題型十一二次根式的應用37．（2023春·河南周口·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形ABCD中無重疊放入面積分別為27和12的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為（

）

A． B．6 C． D．438．（2023春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，從一