北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列1.5直角三角形的邊角關(guān)系章末八大題型總結(jié)(培優(yōu)篇)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題1.5直角三角形的邊角關(guān)系章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】 1【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】 2【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計算與應(yīng)用】 3【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】 3【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】 5【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】 5【題型7解雙直角三角形】 6【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】 7【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】【例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，AB=BC=AD，AD⊥BC于點E，AC⊥CD，則sin∠B=．

【變式1-1】（2023秋·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，cosA=35【變式1-2】（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點D作DE⊥CD交BC于點E，若tanA=43，BE=7，則

【變式1-3】（2023·山西太原·太原五中校考一模）如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】【例2】（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角(∠O)為60°，點A，B，C，D都在格點上，且線段AB，CD相交于點P，則tan∠BPD的值是(

A．13 B．12 C．33【變式2-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC=

【變式2-2】（2023秋·上海·九年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC'B'，使點B'落在射線AC

【變式2-3】（2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(α+β)=（

A．277 B．77 C．2【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計算與應(yīng)用】【例3】（2023春·山東泰安·九年級校考期末）在△ABC中，若cosA=22，tanB=3，則這個三角形一定是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【變式3-1】（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）計算：2【變式3-2】（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）計算：(1)12(2)sin45°?【變式3-3】（2023秋·甘肅嘉峪關(guān)·九年級?？计谀┰凇鰽BC中，2cosA?1+3?【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】【例4】（2023·江蘇·九年級江陰市祝塘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長度為5的動線段AB分別與坐標(biāo)系橫軸、縱軸的正半軸交于點A、點B，點O和點C關(guān)于AB對稱，連接CA、CB，過點C作x軸的垂線段CD，交x軸于點D(1)移動點A，發(fā)現(xiàn)在某一時刻，△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，求這一時刻點C的坐標(biāo)；(2)移動點A，當(dāng)tan∠OAB=【變式4-1】（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊直角三角形紙板如圖放置，直角頂點與原點O重合，頂點A、B恰好分別落在函數(shù)y=?1x(x<0)，y=4x

A．13 B．64 C．25【變式4-2】（2023春·江蘇連云港·九年級專題練習(xí)）如圖，點O為坐標(biāo)系原點，點A為y軸正半軸上一點，點B為第一象限內(nèi)一點，OA=AB，∠OAB=90°，將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角度數(shù)至△OA'B'，此時反比例函數(shù)y=kxk>0剛好經(jīng)過【變式4-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學(xué)校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)系的原點，直線y=kx?152交x軸于點A，交y軸于點B，（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點P，連接OP，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點D，連接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求點D的坐標(biāo)．【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】【例5】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知sin30°=a+1a，則一元二次方程xA．有兩個相同的實數(shù)根 B．有兩個不同的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【變式5-1】（2023秋·山東東營·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+tanα【變式5-2】（2023·北京朝陽·九年級專題練習(xí)）α為銳角，且關(guān)于x的一元二次方程x2－22sinα·xA．30° B．45° C．30°或150° D．60°【變式5-3】（2023春·九年級單元測試）若cosα是關(guān)于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個根，則銳角α＝．【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】【例6】（2023秋·廣東河源·九年級校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=83，【變式6-1】（2023秋·甘肅張掖·九年級校考期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（1）已知a＝6，b＝23，解這個直角三角形（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解這個直角三角形（3）已知sinA＝12，c【變式6-2】（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，∠A?∠B=30°，【變式6-3】（2023秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+c=30，∠A?∠B=30°．解這個直角三角形．【題型7解雙直角三角形】【例7】（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2，tanB=12，點D是BC

(1)求點A到BD的距離；(2)求sinA【變式7-1】（2023秋·安徽蚌埠·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD．若tanA=12，【變式7-2】（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°,AB=2．連接AC,AC⊥CD．若sin∠ACB=13

【變式7-3】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，已知D為等腰Rt△ABC的腰AB上一點，CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接BE，CE，M為BE的中點，則當(dāng)tan∠EDA=12

【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】【例8】（2023秋·湖南衡陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E在AB上，AE=5，P是AD上一點，將矩形沿PE折疊，點A落在點A'處．連接AC，與PE相交于點F，設(shè)AP=x

(1)AC=________；(2)若點A在∠BAC的平分線上，求FC的長；(3)求點A'，D距離的最小值，并求此時tan【變式8-1】（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED．

(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)連接AE，若CD=6cm，AD=①求sin∠EAD②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP，一動點Q從點O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點P，再以53cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動到點A，到達(dá)點A后停止運(yùn)動．設(shè)點專題1.5直角三角形的邊角關(guān)系章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】 1【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】 5【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計算與應(yīng)用】 9【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】 11【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】 18【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】 19【題型7解雙直角三角形】 22【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】 27【題型1利用設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】【例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考期末）如圖，AB=BC=AD，AD⊥BC于點E，AC⊥CD，則sin∠B=

【答案】4【分析】設(shè)AB=BC=AD=1，AE=x，則DE=1?x，根據(jù)已知條件得出∠DAC=∠DCE，根據(jù)真切的定義得出EC2=AE?DE=x1?x，進(jìn)而在【詳解】解：設(shè)AB=BC=AD=1，AE=x，則DE=1?x∵AD⊥BC，AC⊥CD，∴∠D+∠DAC=90°,∠D+∠DCE=90°，∴∠DAC=∠DCE，∴tan∠DAC=∴ECAE∴EC∴BE=1?EC=1?x在Rt△ABE中，A∴12整理得，5x解得：x=0或x=4∴sin故答案為：45【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023秋·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，cosA=35【答案】20【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=BC=CD=AD，結(jié)合cosA=AEAD=35，設(shè)【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴cosA=設(shè)AE=3k，則AD=5k，∴BE=5k?3k=2k=2，∴k=1，∴AD=5，∴菱形的周長=4AD=4×5=20，故答案為：20．【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟記銳角的余弦的定義，并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點D作DE⊥CD交BC于點E，若tanA=43，BE=7，則

【答案】15【分析】由∠ACB=90°，tanA=43，可設(shè)AC=3x，BC=4x，由勾股定理得到AB=5x，由直角角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到【詳解】解：∵∠ACB=90°，tan∴設(shè)AC=3x，∴AB=A∵D是AB的中點，∴CD=BD=AD=1∴∠DCB=∠DBC，又DE⊥CD，∴∠A=∠DEC，∴tanA=∴DE=15∴CE=C∵BE=7，∴4x?25解得x=8，∴DE=15故答案為：15．【點睛】本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)，直角三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC內(nèi)．若四邊形CDFE是邊長為1的正方形，則sin∠FBA=【答案】10【分析】連接AF，過點F作FG⊥AB于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=2，BE=3，根據(jù)勾股定理得到FG=1，BF=10，【詳解】解：連接AF，過點F作FG⊥AB于G，∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，∴CD=CE=DF=EF=1，∵AC=3，∴AD=2，∴AB=A設(shè)BG=x，∴AG=5?x,∵FG∴5?5?x2=10?x∴FG=B∴sin∠FBA=故答案為：1010【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】【例2】（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角(∠O)為60°，點A，B，C，D都在格點上，且線段AB，CD相交于點P，則tan∠BPD的值是(

A．13 B．12 C．33【答案】D【分析】如圖取格點E，連接EC、DE．設(shè)小菱形的邊長為1．首先證明∠APC=∠ECD，再證明∠CDE=90°，根據(jù)tan∠APC=【詳解】解：如圖取格點E，連接EC、DE．設(shè)小菱形的邊長為1．∵AC=BE,AC∴四邊形ACEB是平行四邊形，∴EC∥AB，∴∠APC=∠ECD，依題意∠O=60°，則△OCD是等邊三角形，則∠CDO=60°，∠EDB=30°，∴∠CDE=90°，∵CD=2，DB=BE=1，

如圖所示，過點B作BF⊥DE，∵DB=BE=1，∴∠BDF=12×60°=30°∴DF=D又∵DF=FE∴DE=DF+FE=3∴tan∠BPD=故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式2-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC=

【答案】2【分析】取AB的中點D，連接AC,CD，先根據(jù)勾股定理可得AC=BC=10,CD=5【詳解】解：如圖，取AB的中點D，連接AC,CD，

∵AC=1∴AC=BC，又∵點D是AB的中點，∴CD⊥AB，∴sin故答案為：22【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｍ鈬Z大學(xué)附屬大境初級中學(xué)校考期中）如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC'B'，使點B'落在射線AC

【答案】5【分析】取網(wǎng)格點D點，連接BD，BB'，由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=10，CD=2，BD=22，即有C【詳解】解：如圖所示：取網(wǎng)格點D點，連接BD，BB

由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=10，CD=2，∴CD∴△CDB是直角三角形，則BD⊥B∴cos∠故答案為：55【點睛】本題考查了利用網(wǎng)格圖求解角的余弦函數(shù)值的知識，理解余弦的意義，作出合理的輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(α+β)=（

A．277 B．77 C．2【答案】D【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得出∠α=30°，同理可得出∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結(jié)合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=3a，利用勾股定理可得出【詳解】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠ABC=120°，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．設(shè)等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，DE=2×sin∴AD=A∴sinα+β故選：A【點睛】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的變化規(guī)律，構(gòu)造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計算與應(yīng)用】【例3】（2023春·山東泰安·九年級校考期末）在△ABC中，若cosA=22，tanB=3，則這個三角形一定是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【詳解】試題解析：∵cosA=22，tanB=3∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．故選A．【變式3-1】（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）計算：2【答案】0【分析】先計算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可．【詳解】解：原式=2×1=1+1?3+1=0．【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計算，熟知相關(guān)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·上海嘉定·模擬預(yù)測）計算：(1)12(2)sin45°?【答案】(1)3+2(2)2+【分析】（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘法，再算加法；（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】（1）解：原式=1=1==3+2（2）原式==1=1+1+=2+2【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，二次根式的混合運(yùn)算，掌握特殊角三角函數(shù)值以及二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計算法則是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023秋·甘肅嘉峪關(guān)·九年級?？计谀┰凇鰽BC中，2cosA?1+3?【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出2cosA?1=0，【詳解】∵2cos∴2cosA?1=0，即cosA=12∴∠A=60°，∠B=60∴∠C=60°，則△ABC一定是等邊三角形，故答案為:等邊三角形．【點睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合】【例4】（2023·江蘇·九年級江陰市祝塘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長度為5的動線段AB分別與坐標(biāo)系橫軸、縱軸的正半軸交于點A、點B，點O和點C關(guān)于AB對稱，連接CA、CB，過點C作x軸的垂線段CD，交x軸于點D(1)移動點A，發(fā)現(xiàn)在某一時刻，△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，求這一時刻點C的坐標(biāo)；(2)移動點A，當(dāng)tan∠OAB=【答案】(1)點C的坐標(biāo)為154,5【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得：AB是OC的垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)得：OB=BC，OA=AC，△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠ABO=∠CBD時，②當(dāng)∠ABO=∠BCD時，根據(jù)角的關(guān)系分別計算點C的坐標(biāo)即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)定義求OB=5，OA=25，利用面積法得OG和OC的長，根據(jù)等角的三角函數(shù)可知：OG=2BG，證明△BGO∽△CDO，列比例式可得結(jié)論．【詳解】(1)連接OC，交AB于G，∵點O和點C關(guān)于AB對稱，∴AB是OC的垂直平分線，∴OB=BC，OA=AC，∴∠ABO=∠ABC，∵∠AOB=∠BDC=9∴ΔAOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，存在兩種情況：①當(dāng)∠ABO=∠CBD時，∠ABO=∠ABC=∠CBD=6∴∠BAO=∠BCD=30°，∵AB=5，∴OB=BC=1∴OD=OB+BD=5∴C15②當(dāng)∠ABO=∠BCD時，∠ABO=∠ABC=∠BCD，∴AB//CD，∵CD⊥x軸，∴AB⊥x軸，此種情況不成立；綜上所述，ΔAOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，這一時刻點C的坐標(biāo)為154(2)∵tan設(shè)OB=x，則OA=2∴xx=5或?∴OB=5SΔAOB5?2OG=2∴OC=2OG=4，∵∠GOB=∠OAB，∴tan∴OG=1，∴OB=5∵∠GOB=∠DOC,∠BGO=∠CDO，∴ΔBGO∽ΔCDO，∴OG∴2∴OD=2CD，∴OD=8∴C8【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似時分不同情況解決問題．【變式4-1】（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊直角三角形紙板如圖放置，直角頂點與原點O重合，頂點A、B恰好分別落在函數(shù)y=?1x(x<0)，y=4x

A．13 B．64 C．25【答案】D【分析】點A，B落在函數(shù)y=?1x(x<0)，y=【詳解】解：過點A、B分別作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為D、E，

∵點A在反比例函數(shù)y=?1x(x<0)上，點B∴S△AOD=又∵∠AOB=90°∴∠AOD=∠OBE，∴△AOD∽△OBE，∴(OA∴OA設(shè)OA=m，則OB=2m，AB=m在Rt△AOB中，sin∠ABO=故選：D．【點睛】考查反比例函數(shù)的幾何意義、相似三角形的性質(zhì)，將面積比轉(zhuǎn)化為相似比，利用勾股定理可得直角邊與斜邊的比，求出sin∠ABO的值．【變式4-2】（2023春·江蘇連云港·九年級專題練習(xí)）如圖，點O為坐標(biāo)系原點，點A為y軸正半軸上一點，點B為第一象限內(nèi)一點，OA=AB，∠OAB=90°，將△OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角度數(shù)至△OA'B'，此時反比例函數(shù)y=kxk>0剛好經(jīng)過【答案】5【分析】如圖，過A'作A'H⊥OA于H，過B'作B'Q⊥A'H于Q，證明△A'OH≌△B'A'Q，設(shè)A'm,n【詳解】解：如圖，過A'作A'H⊥OA于H，過B'作∴∠OHA'=∠∴∠OA∴∠OA∵OA∴△A'OH≌△∴OH=A'Q=n∴B'∴OA'，OB'的中點坐標(biāo)為：∵反比例函數(shù)y=kxk>0剛好經(jīng)過O∴14∴mn解得：mn=?1+∴tan∠AO故答案為：5?1【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求解銳角的正切，熟練的建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)系的原點，直線y=kx?152交x軸于點A，交y軸于點B，（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點P，連接OP，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△AOP的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點D，連接AD，若S=15，∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求點D的坐標(biāo)．【答案】（1）y=34x?【分析】（1）先根據(jù)解析式求出點B坐標(biāo)，再用三角函數(shù)求出點A坐標(biāo)，代入解析式即可；（2）用t表示點P的縱坐標(biāo)，利用三角形面積公式列出函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)S=15求出點P坐標(biāo)，得出∠AOP+∠BPO=2∠ADO=90°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設(shè)點D坐標(biāo)為（a，2a），點E坐標(biāo)為（b，2b），根據(jù)勾股定理列出方程即可．【詳解】解：（1）當(dāng)x=0時，y=?152，點B的坐標(biāo)為（0，?152），∵tan∠OAB=∴OBOA=34，OA=10，A點坐標(biāo)為（10，0），代入y=kx?15直線AB的解析式為y=3（2）把點P的橫坐標(biāo)t代入y=34x?∵點P在線段AB上，∴S=12×10×(?（3）當(dāng)S=15時，15=?154t+752，解得，t=6點P的坐標(biāo)為（6，-3），∵點B的坐標(biāo)為（0，?15∴BP=62∴BP=OB，∴∠BOP=∠BPO，∠AOP+∠BPO=∠BOP+∠AOP=90°，∵∠AOP+∠BPO=2∠ADO，∴∠ADO=45°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設(shè)點D坐標(biāo)為（a，2a），點E坐標(biāo)為（b，2b），OE=OF2+EF∵AE2∴102?(5b)則點E坐標(biāo)為（2，4），AE=DE=42OD=25∵點D坐標(biāo)為（a，2a），∴a2+4a2=180D點坐標(biāo)為（6，12）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理列出方程．【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用】【例5】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知sin30°=a+1a，則一元二次方程xA．有兩個相同的實數(shù)根 B．有兩個不同的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【答案】A【分析】先利用sin30°=a+1a求出a【詳解】由sin30°=1a=?2則有x由Δ=所以方程無實根．故選C【點睛】本題考查特殊度數(shù)的三角函數(shù)值和一元二次方程的根的情況．熟練利用一元二次方程的根判別式Δ=b【變式5-1】（2023秋·山東東營·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+tanα【答案】45°【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，則tanα＝1，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求α的值．【詳解】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，所以tanα＝1，所以銳角α＝45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．【變式5-2】（2023·北京朝陽·九年級專題練習(xí)）α為銳角，且關(guān)于x的一元二次方程x2－22sinα·xA．30° B．45° C．30°或150° D．60°【答案】B【詳解】試題解析：關(guān)于x的一元二次方程x2－22sinα·x∴Δ=?2整理得：sinα=α為銳角，∴α=45故選B.【變式5-3】（2023春·九年級單元測試）若cosα是關(guān)于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個根，則銳角α＝．【答案】30°【分析】先求出方程的兩個根，再根據(jù)特殊角的函數(shù)值即可得出【詳解】∵2x2－33x＋3＝0∴Δ=b2?4ac=∴x=?b±b2∴x1=3，x2=3∵cosα是關(guān)于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個根，且cos30°=3∴α＝30°【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的計算，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.【題型6靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】【例6】（2023秋·廣東河源·九年級校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=83，【答案】見解析【分析】根據(jù)含有30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理解決此題．【詳解】解：如圖．在Rt△ABC中，∠C=90°，c=AB=83，∴∠B=180°?∠C?∠A=30°．∴AC=1∴BC=B【點睛】本題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·甘肅張掖·九年級?？计谥校┰凇鰽BC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（1）已知a＝6，b＝23，解這個直角三角形（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解這個直角三角形（3）已知sinA＝12，c【答案】（1）c=43；（2）a=b=3，c=32；（3）a=3【分析】（1）直角三角形中知兩邊，求第三邊，運(yùn)用勾股定理即可（2）∠B=45°，即a=b，a+b=6，即可知a=b=3．再運(yùn)用勾股定理即可（3）sinA=ac【詳解】解：依題意（1）在Rt△ABC中，∵a=6，b=23∴根據(jù)勾股定理a2+b∴c=43（2）∵∠B=45°，∴Rt∵a+b=6，∴a=b=3，∴根據(jù)勾股定理得，c=a∴c=32∴此三角形的三邊分別為：a=32，b=32，（3）∵在△ABC中，∠C=90°，∴sin∵c=6，∴a=1根據(jù)勾股定理得．b=c∴此三角形的三邊分別為：a=3，b=33，c=6【點睛】此題主要考查直角三角形勾股定理的運(yùn)用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟練運(yùn)用勾股定理．【變式6-2】（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，∠A?∠B=30°，【答案】D＝23、b＝2、c【分析】利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組求出∠A，∠B的值，再利用正切的定義得a=3b，解方程組求出a，【詳解】解：由題意知：∠A?∠B=30°∠A+∠B=90°解得：∠A=60°∠B=30°∵tanA=∴a=btan由a?b=23解得：a=23∵sinB=∴c=2b=4．【點睛】本題考查解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程組解決問題．【變式6-3】（2023秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+c=30，∠A?∠B=30°．解這個直角三角形．【答案】∠A=60°，∠B=30°，a=103，b=10，c=20【分析】根據(jù)∠C=90°可得∠A+∠B=90°，再結(jié)合∠A-∠B=30°可算出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算出三邊長即可．【詳解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A-∠B=30°，∴∠A=60°，∠B=30°，∵sin30°=bc=1∴b=12∵b+c=30，∴12解得c=20，則b=10，a=202?10【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．【題型7解雙直角三角形】【例7】（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2，tanB=12，點D是BC

(1)求點A到BD的距離；(2)求sinA【答案】(1)3(2)2【分析】（1）作AE⊥BD于點E，設(shè)AE=3x，由tanB=12可得BE=2AE=6x，由tan∠ACE=AECE=34可得CE=43AE=4x．由（2）作CF⊥AB于點F，由（1）可得BE=6，CE=4，由勾股定理得到AB=35，AC=5，由S△ABC=12BC?AE=1【詳解】（1）解：作AE⊥BD于點E，

設(shè)AE=3x，在Rt△ABE中，∠AEB=90°∵tanB=∴BE=2AE=6x，在Rt△ACE中，∠AEC=90°∵tan∠ACE=∴CE=4∵BC=BE?CE，∴2=6x?4x，∴x=1，∴AE=3；即點A到BD的距離為3；（2）作CF⊥AB于點F，

由（1）可得BE=2AE=6x=6，CE=4x=4，在Rt△ABE中，AB=在Rt△ACE中，AC=∵S△ABC∴12∴CF=2在Rt△ACF中，∠AFC=90°則sin∠BAC=【點睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023秋·安徽蚌埠·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD．若tanA=12，【答案】5【分析】過點D作DE⊥AB于點E．由tanA=BCAC=12，可求出AC=25，進(jìn)而由勾股定理可求出AB=5．再根據(jù)tanA=DEAE=12，tan∠ABD=DEBE=13，可設(shè)DE=x【詳解】如圖，過點D作DE⊥AB于點E．∵∠C=90°，∴tanA=BCAC解得：AC=25∴AB=A∵tanA=DEAE∴可設(shè)DE=x，則AE=2x，BE=3x．∵AE+BE=AB，∴2x+3x=5解得：x=1，∴DE=1，AE=2，∴AD=D∴CD=AC?AD=5故答案為：5．【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理等知識．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°,AB=2．連接AC,AC⊥CD．若sin∠ACB=13

【答案】8【分析】先在△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，然后在△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答；【詳解】解：∵∠B=90°,AB=2,sin∴AC=∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，tan∠DAC=∴CD=AC?tan【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵【變式7-3】（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，已知D為等腰Rt△ABC的腰AB上一點，CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接BE，CE，M為BE的中點，則當(dāng)tan∠EDA=12

【答案】1【分析】連接AE，過點E作EF⊥AB于點F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=ED，∠CDE=90°，推出∠EDA=∠ACD，則tan∠ACD=ADAC=ADAB=12【詳解】解：連接AE，過點E作EF⊥AB于點F，∵CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ED，∴CD=ED，∠CDE=90°，則∠CDA+∠EDA=90°，∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC=AB,∠BAC=90°，∴∠CDA+∠ACD=90°，∴∠EDA=∠ACD，∵tan∠EDA=∴tan∠ACD=∴點D為AB中點，∵M(jìn)為BE的中點，∴DM=1∵∠EDA=∠ACD，∠F=∠CAD，CD=ED，∴△ACD≌△FDE，∴EF=AD=1∴DF=AB，∴DF?AD=AB?AD，即AF=BD，則AF=1∵EF=12AB，∠F=∠BAC∴△ABC∽△FEA，∴AE=1∴DM=12AE=故答案為：14

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，相似三角性質(zhì)對應(yīng)邊成比例．【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應(yīng)用】【例8】（2023秋·湖南衡陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E在AB上，AE=5，P是AD上一點，將矩形沿PE折疊，點A落在點A'處．連接AC，與PE相交于點F，設(shè)AP=x

(1)AC=________；(2)若點A在∠BAC的平分線上，求FC的長；(3)求點A'，D距離的最小值，并求此時tan【答案】(1)AC=4(2)CF=4(3)tan【分析】（1）利用勾股定理求解即可．（2）證明AE=AF=5，可得結(jié)論．（3）利用勾股定理求出DE，根據(jù)DA【詳解】（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=8，BC=12，∴AC=A故答案為：AC=413（2）如圖1中，∵AA'平分

∴∠EAA由翻折可知，AA∴∠EAA'+∠AEF=90°∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，∴CF=AC?AF=413（3）如圖2中，連接DE，DA

在Rt△ADE中，∠EAD=90°，AE=5，AD=BC=12，∴DE=A∵EA=EA∴DA∴DA此時E，A'，D共線，設(shè)PA=PA'解得x=10∴tan∠APE=【點睛】本題考查了四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式8-1】（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED．

(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)連接AE，若CD=6cm，AD=①求sin∠EAD②若點P為線段AE上一動點（不與點A重合），連接OP，一動點Q從點O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點P，再以53cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動到點A，到達(dá)點A后停止運(yùn)動．設(shè)點Q沿上述路線運(yùn)動到點A所需要的時間為t，求【答案】(1)見解析(2)①sin∠EAD=35【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OD=OC，折疊的性質(zhì)可得DE=EC=OD=OC，即可求證；（2）①連接EO交CD于點M，作EH⊥AD交AD的延長線于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，DM=CM=12CD=3，OM=EM=12AD=43，通過證明四邊形EHDM是矩形，得出EH=3，DH=EM=43，則AH=AD+DH=4