蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三專題10.4分式方程的應(yīng)用【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題10.4分式方程的應(yīng)用【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 2【題型3銷售問題】 3【題型4數(shù)字問題】 4【題型5圖形問題】 5【題型6和差倍分問題】 6【題型7比值問題】 7【題型8航行問題】 8【題型9素材問題】 9【題型10方案問題】 13【題型1行程問題】【例1】（2023上·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)的鐵路旅客列車，按不同的運(yùn)行速度、運(yùn)行范圍、設(shè)備配置、作業(yè)特征等，分為不同的級(jí)別，列車的級(jí)別由車次開頭的字母來表示（部分是純數(shù)字）．如G字頭，表示高速動(dòng)車組旅客列車；D字頭，表示動(dòng)車組旅客列車；C字頭，表示城際旅客列車；K字頭，表示快速旅客列車，等等．呂梁站至太原南站約180km，隨著交通的發(fā)展呂梁站至太原南站已開通了多次列車，其中“C150”次列車與“K1334”次列車相比，時(shí)速加快，并安全性更好．已知“C150”次列車的平均速度是速度是“K1334”次列車的43倍，并“C150”次列車從呂梁站至太原南站所用時(shí)間比“K1334”次列車少用30分鐘（兩列車中途停留時(shí)間均除外）．求“C150”次列車和“K1334”次列車從呂梁站至太原南站的平均速度分別是多少．【變式1-1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）八年級(jí)（1）班組織同學(xué)乘大巴車前往“韶山紅色教育基地”開展愛國(guó)教育活動(dòng)，基地離學(xué)校有120公里，隊(duì)伍8:00從學(xué)校出發(fā)，劉老師因有事情，推遲了半個(gè)小時(shí)從學(xué)校自駕小車以大巴1.5倍的速度追趕，追上大巴后繼續(xù)前行，結(jié)果比隊(duì)伍提前10分鐘到達(dá)基地，問：(1)大巴與小車的平均速度各是多少？(2)劉老師追上大巴的地點(diǎn)到基地的路程有多遠(yuǎn)？【變式1-2】（2023·福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，小剛家、王老師家、學(xué)校在同一條路上，小剛家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為0.5千米.由于小剛的父母戰(zhàn)斗在抗震救災(zāi)第一線，為了使他能按時(shí)到校，王老師每天騎自行車送小剛上學(xué).已知王老師騎自行車的速度是步行的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？【變式1-3】（2023上·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）某日，河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)的青年志愿者協(xié)會(huì)舉辦了以“低碳生活，綠色出行”為主題的志愿活動(dòng)．為響應(yīng)“低碳生活，綠色出行”的號(hào)召，趙琦每天騎自行車或步行上學(xué)，已知趙琦家距離學(xué)校4千米，趙琦騎自行車的速度是步行速度的2.5倍（騎自行車和步行均是勻速），騎自行車上學(xué)比步行上學(xué)早到0.6小時(shí)．(1)求趙琦步行上學(xué)的速度．(2)若趙琦某次上學(xué)步行了0.5千米后發(fā)現(xiàn)沒有帶數(shù)學(xué)作業(yè)，于是他原速原路返回家拿數(shù)學(xué)作業(yè)，然后騎自行車去上學(xué)，他到家后開門、拿數(shù)學(xué)作業(yè)、取自行車等共用0.15小時(shí)，為了不遲到，趙琦以高于平時(shí)騎自行車的速度勻速向?qū)W校行駛．若趙琦從步行出門到最后到學(xué)校共用了0.6小時(shí)，求趙琦這次騎自行車的速度．【題型2工程問題】【例2】（2023上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某校利用暑假進(jìn)行田徑場(chǎng)的改造維修，項(xiàng)目承包單位派遣一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場(chǎng)施工，計(jì)劃用30天時(shí)間完成整個(gè)工程．當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動(dòng)要在該田徑場(chǎng)舉行，要求比原計(jì)劃提前8天完成整個(gè)工程，于是承包單位派遣二號(hào)與一號(hào)施工隊(duì)共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個(gè)工程．（1）若二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？（2）若此項(xiàng)工程一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？【變式2-1】（2023下·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考期末）重慶育才成功學(xué)校食堂有10個(gè)供應(yīng)飯菜的窗口，第1到5號(hào)窗口的每一位工作人員的打飯速度是相同的，第6到10號(hào)窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱?，它的每一位工作人員的打飯速度是第1到5號(hào)窗口的每一位工作人員速度的18．小主人委員會(huì)同學(xué)在執(zhí)勤時(shí)發(fā)現(xiàn)：第1到5號(hào)窗口分別都有相同數(shù)量的同學(xué)在排隊(duì)，第6、7、8號(hào)窗口分別都有1號(hào)窗口數(shù)量的16的同學(xué)在排隊(duì)，第9、10號(hào)窗口分別都有1號(hào)窗口數(shù)量的110同學(xué)在排隊(duì)，從此時(shí)開始計(jì)時(shí)，第1到5號(hào)窗口在10分鐘后結(jié)束排隊(duì)，第6、7、8號(hào)窗口在18分鐘以后結(jié)束排隊(duì)，第9、10號(hào)窗口在15分鐘以后結(jié)束排隊(duì)．后來小主人委員會(huì)的同學(xué)從伙食團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)處了解到：第1到5號(hào)窗口全部安排給了甲組工作人員負(fù)責(zé)打飯，第6到10號(hào)窗口全部安排給了乙組工作人員負(fù)責(zé)打飯，其中乙組工作人員的35在6、7、8三個(gè)窗口打飯，另外的【變式2-2】（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)東臺(tái)市三倉(cāng)鎮(zhèn)中學(xué)?？计谥校┠骋豁?xiàng)工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款1.5萬元，乙工程隊(duì)工程款1.1萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，可有三種施工方案：（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成；（2）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用5天；（3）若甲、乙兩隊(duì)合作4天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)也正好如期完成．據(jù)上述條件解決下列問題：①規(guī)定期限是多少天？寫出解答過程；③在不耽誤工期的情況下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?【變式2-3】（2023下·重慶南岸·八年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┲貞c市某垃圾填埋場(chǎng)生態(tài)修復(fù)工程全面竣工驗(yàn)收，全國(guó)最大垃圾填埋場(chǎng)搖身變?yōu)榄h(huán)境優(yōu)美、空氣宜人的生態(tài)綠地，實(shí)現(xiàn)了城市土地的循環(huán)再利用．修復(fù)之初，一期工程共有7500噸垃圾要運(yùn)走，計(jì)劃由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)運(yùn)走垃圾．已知甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)走的垃圾比乙平均每天運(yùn)走的垃圾多23，這樣甲運(yùn)走4500(1)求原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)垃圾多少噸？(2)實(shí)際施工時(shí)，甲平均每天運(yùn)走的垃圾比原計(jì)劃增加了5a噸，乙平均每天運(yùn)走的垃圾比原計(jì)劃增加了a150【題型3銷售問題】【例3】（2023下·山東泰安·八年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┠硞€(gè)體經(jīng)營(yíng)戶了解到有一種盒裝商品能暢銷市場(chǎng)，就用4萬元購(gòu)進(jìn)這種商品，面市后果然供不應(yīng)求，他又用8.8萬元購(gòu)進(jìn)了第二批這種商品，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但每盒單價(jià)漲了4元，他在銷售這種盒裝商品時(shí)每盒定價(jià)都是56元，最后剩下的150盒按八折銷售，很快售完．(1)該盒裝商品兩次的單價(jià)分別是多少元？(2)在這兩筆生意中，這位個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶共贏利多少元？【變式3-1】（2023下·河南南陽(yáng)·八年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）《非機(jī)動(dòng)車管理辦法》規(guī)定：電動(dòng)自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)該戴安全頭盔．某商店用1600元購(gòu)進(jìn)一批電動(dòng)車頭盔，銷售發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，于是，又用5400元再購(gòu)進(jìn)一批頭盔，第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍，但單價(jià)比第一批貴10元．第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)多少元?【變式3-2】（2023上·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）昭通蘋果和天麻美味可口，小明在昆明某超市購(gòu)買1市斤昭通蘋果和2市斤小草壩天麻需要支付105元，購(gòu)買3市斤昭通蘋果和5市斤小草壩天麻需要265元．(1)1市斤昭通蘋果和1市斤小草壩天麻的單價(jià)分別是多少元？(2)昆明到昭通的距離大約600km【變式3-3】（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）成都大運(yùn)會(huì)期間，吉祥物“蓉寶”的周邊商品的銷量不斷上升．一家網(wǎng)店的店主統(tǒng)計(jì)了前兩周的“蓉寶”單肩包的銷售情況，發(fā)現(xiàn)第一周A型單肩包的銷量是100個(gè)，B型單肩包銷量是120個(gè)，總利潤(rùn)是2800元；第二周A型單肩包的銷量是180個(gè)，B型單肩包的銷量是200個(gè)，總利潤(rùn)是4800元．(1)請(qǐng)問1個(gè)A型單肩包、1個(gè)B型單肩包的利潤(rùn)分別是多少元？(2)店主在第三周調(diào)整了價(jià)格，A型單肩包每個(gè)漲價(jià)a元，B型單肩包每個(gè)降價(jià)a元，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的這周A、B兩種型號(hào)單肩包的銷量一樣，并且A型單肩包的總利潤(rùn)達(dá)2400元，B型單肩包的總利潤(rùn)達(dá)2600元．求出a的值．【題型4數(shù)字問題】【例4】（2023上·貴州銅仁·八年級(jí)校考期中）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是47，原來得兩位數(shù)是【變式4-1】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分子加1，分子則比分母少2；如果分母加1，則分?jǐn)?shù)值等于12，原分?jǐn)?shù)是【變式4-2】（2023·福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末）有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8，余數(shù)是2，求這個(gè)兩位數(shù)．【變式4-3】（2023上·山東濰坊·八年級(jí)校聯(lián)考期末）一個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為47，則這個(gè)二位數(shù)是【題型5圖形問題】【例5】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖1，在一張長(zhǎng)方形紙片的四個(gè)角分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形，可折疊成如圖2的一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體紙盒．圖1

圖2(1)若圖1中原長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)20cm，寬16cm，被剪掉的正方形邊長(zhǎng)為acm，折疊得到的無蓋長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)、寬、高之和為24(2)現(xiàn)有60張同樣規(guī)格的長(zhǎng)方形紙片，可制作成60個(gè)無蓋長(zhǎng)方體紙盒，剪下來的正方形恰好全部制作成正方體（每個(gè)正方體需要6個(gè)正方形），現(xiàn)把20名同學(xué)分為甲、乙兩組，甲組制作無蓋長(zhǎng)方體紙盒，乙組制作正方體，若甲組平均每人制作的無蓋長(zhǎng)方體紙盒個(gè)數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個(gè)數(shù)的一半，求甲組有多少名同學(xué)？【變式5-1】（2023下·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)校考階段練習(xí)）一根水管因使用日久，內(nèi)壁均勻地形成一層厚2mm的附著物，而導(dǎo)致流通截面面積減少至原來的916，這根水管原來的內(nèi)壁直徑是（

A．8mm B．9mm C．16mm D．18mm【變式5-2】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)階段練習(xí)）為抗擊新冠疫情，義烏市某企業(yè)承接了一批口罩所需包裝盒的制作業(yè)務(wù)，該企業(yè)進(jìn)行了前期的試生產(chǎn)，如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等）加工成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長(zhǎng)方形紙箱，（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）（1）該企業(yè)原計(jì)劃用若干天加工紙箱300個(gè)，后來由于提升工作效率，實(shí)際加工時(shí)每天加工速度為原計(jì)劃的1.5倍，這樣提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計(jì)劃多加工15個(gè)，問原計(jì)劃每天加工包裝盒多少個(gè)；（2）若該企業(yè)購(gòu)進(jìn)正方形紙板550張，長(zhǎng)方形紙板1200張．問豎式紙盒，橫式紙盒各加工多少個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完；（3）該企業(yè)某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板100張，長(zhǎng)方形紙板a張，全部加工成上述兩種紙盒，且150<a<168，試求在這一天加工兩種紙盒時(shí)a的所有可能值．（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）【變式5-3】（2023·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a米a>1的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a?1米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg(1)①“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為__________kg/m2“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為___________kgm2（以上結(jié)果均用含③由圖可知，_____________（填“1號(hào)”或“2號(hào)”）小麥的單位面積產(chǎn)量高；(2)若高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量的多40a?12kg/m(3)某農(nóng)戶試種“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產(chǎn)量與實(shí)驗(yàn)田一致，“豐收1號(hào)”小麥種植面積為n平方米（n為整數(shù)），“豐收2號(hào)”小麥種植面積比“豐收1號(hào)”少55平方米．若兩種小麥種植后，收獲的產(chǎn)量相同，當(dāng)a<8且a為整數(shù)時(shí)，符合條件的n的值為___________（直接寫出結(jié)果）．【題型6和差倍分問題】【例6】（2023上·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米．用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的35(1)求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米；(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求最多建多少個(gè)A類攤位．【變式6-1】（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)校考期中）學(xué)校要舉行跳繩比賽，同學(xué)們都積極練習(xí)．甲同學(xué)跳120個(gè)所用的時(shí)間，乙同學(xué)可以跳180個(gè)；又已知甲每分鐘比乙少跳20個(gè)，求每人每分鐘各跳多少個(gè)？【變式6-2】（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？计谥校┠硨W(xué)校決定購(gòu)買A，B兩種的亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念徽章作為“校園讀書節(jié)”活動(dòng)獎(jiǎng)品，已知A種比B種每件多20元，預(yù)算資金為1600元．(1)其中700元購(gòu)買A種徽章，其余資金購(gòu)買B種徽章，且購(gòu)買B種的數(shù)量是A種的3倍．求A，B兩種徽章的單價(jià)．(2)購(gòu)買當(dāng)日，正逢“十一”大促銷，所有商品均按原價(jià)八折銷售，學(xué)校調(diào)整了購(gòu)買方案：在不超過預(yù)算資金的前提下，準(zhǔn)備購(gòu)買A，B兩種徽章共120件；問最多購(gòu)買A種徽章的多少件？【變式6-3】（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在甲、乙兩公司全體員工捐款活動(dòng)中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：甲公司員工：我們公司的人數(shù)比你們公司少20人乙公司員工：我們公司的人均捐款數(shù)是你們公司的76(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買A、B兩種物資，A種物資每箱15000元，B種物資每箱12000元．若購(gòu)買B種物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來．（注：A、B兩種物資均需購(gòu)買，并按整箱配送．）【題型7比值問題】【例7】（2023上·重慶江北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“鞏固脫貧成果，長(zhǎng)興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)”，大力發(fā)展高山生態(tài)經(jīng)濟(jì)林是一重大舉措．某村委會(huì)決定在紅光、紅旗、紅錦三個(gè)村民小組種植高山脆李和晚熟香桃兩種果樹，初步預(yù)算這三個(gè)村民小組各需兩種果樹之和的比為4∶5∶6，其中需要高山脆李樹的棵數(shù)分別為4千棵，3千棵和7千棵，并且紅光、紅旗兩個(gè)村民小組所需晚熟香桃樹之比為2∶3．在購(gòu)買這兩種果樹時(shí)，高山脆李樹的價(jià)格比預(yù)算低了10%，晚熟香桃樹的價(jià)格高了20%，晚熟香桃樹購(gòu)買數(shù)量減少了12.5%【變式7-1】（2023上·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)的美無處不在．?dāng)?shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長(zhǎng)度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長(zhǎng)度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧．例如，三根弦長(zhǎng)度之比是15：12：10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲do，mi，so，研究15，12，10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：112?115=110?112．我們稱15，12，10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù)．現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x【變式7-2】（2023上·重慶·八年級(jí)重慶一中?？计谀┡D味食品是川渝人民的最愛，去年12月份，某銷售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為3:5:3，臘腸、臘舌、臘肉的單價(jià)之比為3:3:2．今年1月份，該銷售商將臘腸單價(jià)上調(diào)20%，臘舌、臘肉的單價(jià)不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計(jì)今年1月份的營(yíng)業(yè)額將會(huì)增加，其中臘肉增加的營(yíng)業(yè)額占總增加營(yíng)業(yè)額的14，今年1月份臘肉的營(yíng)業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營(yíng)業(yè)額的730．若臘舌今年1月份增加的營(yíng)業(yè)額與今年1月份總營(yíng)業(yè)額之比為1:5【變式7-3】（2023上·重慶大足·八年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著期末考試來臨，李勇同學(xué)原計(jì)劃延時(shí)服務(wù)期間復(fù)習(xí)語文、數(shù)學(xué)、英語的時(shí)間為2:4:4，班主任李老師提醒要學(xué)科均衡，補(bǔ)短板．他便將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)間的20%分給了語文和英語，調(diào)整后語文和英語的復(fù)習(xí)時(shí)間之比為3:5．李勇同學(xué)非?？炭?，實(shí)際復(fù)習(xí)時(shí)還擠出部分休息時(shí)間分給了三個(gè)學(xué)科，其中20%分給了語文，余下的80%分別分給數(shù)學(xué)和英語，這樣語文的總復(fù)習(xí)時(shí)間與三科總復(fù)習(xí)時(shí)間比為1:4．若李勇同學(xué)最終希望使數(shù)學(xué)與英語總復(fù)習(xí)時(shí)間比為5:6【題型8航行問題】【例8】（2023上·天津和平·八年級(jí)天津市匯文中學(xué)?？计谀┮粭l船往返于甲，乙兩港之間，由甲至乙是順?biāo)旭偅梢抑良资悄嫠旭?，已知船在靜水中的速度為8km/h，平時(shí)逆水航行與順?biāo)叫兴玫臅r(shí)間比為2:1，某天恰逢暴雨，水流速度是原來的2倍，這條船往返共用了9h．則甲，乙兩港之間的距離為（A．160km3 B．15km C．25【變式8-1】（2023·浙江杭州·八年級(jí)期末）一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行108km所用時(shí)間是以最大航速逆流航行60km所用時(shí)間的1.2倍，則江水的流速為多少km/h？【變式8-2】（2023上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一小船由A港順流而下到B港需6h，由B港逆流而上到A港需8h．某天早晨6點(diǎn)，該船由A港出發(fā)駛向B港，到達(dá)B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)船上一救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回，1(1)該船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時(shí)？(2)救生圈是何時(shí)掉入水中的？【變式8-3】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期末）圖書管理員小張要騎車從學(xué)校到教育局，一出校門，遇到了王老師，王老師說：“今天有風(fēng)，而且去時(shí)逆風(fēng)，要吃虧了”，小張回答說：“去時(shí)逆風(fēng)，回來時(shí)順風(fēng)，和無風(fēng)往返一趟所用時(shí)間相同”．（順風(fēng)速度＝無風(fēng)時(shí)騎車速度＋風(fēng)速，逆風(fēng)速度＝無風(fēng)時(shí)騎車速度－風(fēng)速）（1）如果學(xué)校到教育局的路程是15km，無風(fēng)時(shí)小張騎自行車的速度是20km/h，他逆風(fēng)去教育局所用時(shí)間是順風(fēng)回學(xué)校所用時(shí)間的53（2）如果設(shè)從學(xué)校到教育局的路程為s千米，無風(fēng)時(shí)騎車速度為v千米/時(shí)，風(fēng)速為a千米/時(shí)（v＞a），那么有風(fēng)往返一趟的時(shí)間無風(fēng)往返一趟的時(shí)間（填“＞”、“＜”或“＝”），試說明理由．【題型9素材問題】【例9】（2023下·浙江溫州·八年級(jí)蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).奶茶銷售方案制定問題素材1當(dāng)下年輕人喜歡喝奶茶，在入夏之際某知名奶茶品牌店推出兩款爆款水果茶“滿杯楊梅”和“芝士楊梅”．每杯“芝士楊梅”的售價(jià)比“滿杯楊梅”貴2元，購(gòu)買1杯“芝士楊梅”和2杯“滿杯楊梅”共需53元．素材2兩款奶茶配料表如下：芝士楊梅配料芝士100mL茉莉清茶400mL楊梅肉多肉

滿杯楊梅配料茉莉清茶500mL楊梅肉多肉

素材35月27日當(dāng)天銷售“芝士楊梅”共獲利潤(rùn)400元，“滿杯楊梅”獲利潤(rùn)480元，其中每杯“芝士楊梅”的利潤(rùn)是每杯“滿杯楊梅”的54素材4由于芝士保質(zhì)期將至，為了去庫(kù)存，5月28日決定對(duì)“芝士楊梅”每杯降價(jià)4元促銷，并要求當(dāng)天芝士消耗量不少于6000mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”．問題解決任務(wù)1確定奶茶的售價(jià)每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的售價(jià)是多少？任務(wù)2確定奶茶的成本每杯“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”的成本是多少？（每杯利潤(rùn)=每杯售價(jià)?任務(wù)3擬定最優(yōu)方案為了使5月28日這兩種奶茶獲利最大，需制做“芝士楊梅”和“滿杯楊梅”共多少杯？【變式9-1】（2023下·浙江湖州·八年級(jí)?？计谀└鶕?jù)素材，完成活動(dòng)任務(wù)：素材一為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加學(xué)校勞動(dòng)，養(yǎng)成勞動(dòng)習(xí)慣，培養(yǎng)勞動(dòng)品質(zhì)某校“方志實(shí)踐”勞動(dòng)基地打算用如圖所示的圍欄搭建一塊蔬菜基地．已知圍欄的橫杠長(zhǎng)為15dm，豎杠長(zhǎng)為8dm一副圍欄由2個(gè)橫杠，5個(gè)豎杠制作而成

素材二項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組到市場(chǎng)了解到：現(xiàn)木材市場(chǎng)的這種規(guī)格的圍欄材料每根長(zhǎng)為40dm，價(jià)格為50元/根．為了深度參與學(xué)校蔬菜基地的建立，項(xiàng)目化小組打算自己購(gòu)買材料，制作搭建蔬菜基地的圍欄同時(shí)為了圍欄的牢固性，用料不能是拼接而成．解決問題任務(wù)要求解決辦法任務(wù)一一根40dm長(zhǎng)的圍欄材料有哪些裁剪方法呢？（余料作廢）．方法①：當(dāng)只裁剪8dm長(zhǎng)的豎杠時(shí)，最多可裁剪_______________根；方法③：當(dāng)先裁剪下1根15dm長(zhǎng)的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長(zhǎng)的豎杠_______________根；方法③：當(dāng)先裁剪下2根15dm長(zhǎng)的橫杠時(shí)，余下部分最多能裁剪8dm長(zhǎng)的豎杠________________根：任務(wù)二基地負(fù)責(zé)老師告訴項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組：搭建蔬菜基地需要用到的圍欄長(zhǎng)為75dm（即需要制作5副圍欄，需要的用料為：25個(gè)豎杠，10個(gè)橫杠），請(qǐng)完成裁剪并計(jì)算費(fèi)用．項(xiàng)目化小組打算用“任務(wù)一”中的方法③和方法③完成裁剪任務(wù)．請(qǐng)計(jì)算：分別用“任務(wù)一”中的方法③和方法③各裁剪多少根40dm長(zhǎng)的圍欄材料，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的用料？并求出購(gòu)買圍欄材料的費(fèi)用．任務(wù)三某安裝技術(shù)人員告訴項(xiàng)目化小組同學(xué)：我們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)可以安裝m根豎杠或（7－m）根橫杠．現(xiàn)需知道技術(shù)人員的安裝效率．任務(wù)二中的5副圍欄安裝完畢時(shí)，項(xiàng)目化小組發(fā)現(xiàn)技術(shù)人員安裝豎杠所需的時(shí)間與安裝橫杠所需的時(shí)間相同，則m＝_______________．【變式9-2】（2023下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)獎(jiǎng)品購(gòu)買及兌換方案？素材1某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價(jià)是筆記本的2倍，用120元購(gòu)買筆記本的數(shù)量比用160元購(gòu)買鋼筆的數(shù)量多8件．素材2某學(xué)?；ㄙM(fèi)400元購(gòu)買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎(jiǎng)品頒發(fā)給“優(yōu)秀學(xué)生”，購(gòu)買鋼筆和筆記本的數(shù)量之比為3:2．素材3學(xué)校花費(fèi)400元后，文具店贈(zèng)送m張(1<m<10)兌換券（如右）用于商品兌換．兌換后，筆記本與鋼筆數(shù)量相同．

問題解決任務(wù)1探求商品單價(jià)請(qǐng)運(yùn)用適當(dāng)方法，求出鋼筆與筆記本的單價(jià)．任務(wù)2探究購(gòu)買方案探究購(gòu)買鋼筆和筆記本的數(shù)量．任務(wù)3確定兌換方式運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，確定兌換方式．【變式9-3】（2023下·浙江溫州·八年級(jí)階段練習(xí)）根據(jù)素材，完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)雪花模型材料采購(gòu)方案？素材一學(xué)校組織同學(xué)參與甲、乙兩款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到長(zhǎng)、短兩種管子材料．某同學(xué)用6根長(zhǎng)管子、48根短管子制作了1個(gè)甲雪花模型與1個(gè)乙雪花模型，已知制作一個(gè)甲、乙款雪花模型需要的長(zhǎng)、短管子數(shù)分別為1∶7與1∶9．素材二某商店的店內(nèi)廣告牌如右圖所示．5月，學(xué)校花費(fèi)320元向該商店購(gòu)得的長(zhǎng)管子數(shù)量比花200元購(gòu)得的短管子數(shù)量少80根．

素材三6月，學(xué)校有活動(dòng)經(jīng)費(fèi)1280元，欲向該商店采購(gòu)長(zhǎng)、短管子各若干根全部用來制作甲、乙雪花模型（材料沒有剩余），且采購(gòu)經(jīng)費(fèi)恰好用完．問題解決任務(wù)一分析雪花模型結(jié)構(gòu)求制作一個(gè)甲、乙款雪花模型分別需要長(zhǎng)、短管子多少根？任務(wù)二確定采購(gòu)費(fèi)用試求a的值并求出假如6月只制作一個(gè)甲款雪花模型的材料采購(gòu)費(fèi)．任務(wù)三擬定采購(gòu)方案求出所有滿足條件的采購(gòu)方案，并指出哪種方案得到的雪花總數(shù)最多．【題型10方案問題】【例10】（2023上·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）永州市萬達(dá)廣場(chǎng)籌建之初的一項(xiàng)挖土工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，每施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款2.4萬元，付乙工程隊(duì)工程款1.8萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，可有三種施工方案：(方案一)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好按規(guī)定工期完成；(方案二)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定工期多用6天；(方案三)若由甲、乙兩隊(duì)合作做5天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好按規(guī)定工期完工．(1)請(qǐng)你求出完成這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間；(2)如果你是工程領(lǐng)導(dǎo)小組的組長(zhǎng)，為了節(jié)省工程款，同時(shí)又能如期完工，你將選擇哪一種方案?說明理由．【變式10-1】（2023上·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）某開發(fā)公司生產(chǎn)的1920件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知乙廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品比甲廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品多用20天，而乙廠每天加工的數(shù)量是甲廠每天加工數(shù)量的23(1)甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少個(gè)新產(chǎn)品？(2)公司制定產(chǎn)品加工方案如下∶可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成；在加工過程中，公司派一名工程師到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天20元的午餐補(bǔ)助費(fèi)．請(qǐng)你幫助公司選擇一種既省時(shí)又省錢的加工方案，并說明理由．【變式10-2】（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在甲、乙兩公司全體員工捐款活動(dòng)中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：甲公司員工：我們公司的人數(shù)比你們公司少20人乙公司員工：我們公司的人均捐款數(shù)是你們公司的76(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買A、B兩種物資，A種物資每箱15000元，B種物資每箱12000元．若購(gòu)買B種物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來．（注：A、B兩種物資均需購(gòu)買，并按整箱配送．）【變式10-3】（2023上·廣西南寧·八年級(jí)廣西大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校榱素S富校園文化生活，某校八年級(jí)計(jì)劃舉辦一場(chǎng)年級(jí)籃球賽．該校計(jì)劃為籃球賽購(gòu)置若干個(gè)籃球，經(jīng)過與某體育用品經(jīng)銷商溝通，A型號(hào)籃球的單價(jià)比B型號(hào)的籃球單價(jià)多40元，且用1200元購(gòu)買A型號(hào)籃球個(gè)數(shù)與用600元購(gòu)買B型號(hào)籃球的個(gè)數(shù)相等．(1)求A型號(hào)籃球和B型號(hào)籃球的單價(jià)分別是多少元？(2)該體育用品店給出了兩種讓利活動(dòng)，購(gòu)買時(shí)只能選擇其中一種方案．方案一：所有商品打9折銷售；方案二：買3個(gè)A型號(hào)籃球，免費(fèi)贈(zèng)送1個(gè)B型號(hào)籃球（不足3個(gè)不贈(zèng)送）．若該校需要購(gòu)買15個(gè)A型號(hào)籃球和xx≥5個(gè)B專題10.4分式方程的應(yīng)用【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 4【題型3銷售問題】 8【題型4數(shù)字問題】 11【題型5圖形問題】 13【題型6和差倍分問題】 19【題型7比值問題】 22【題型8航行問題】 27【題型9素材問題】 30【題型10方案問題】 39【題型1行程問題】【例1】（2023上·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)的鐵路旅客列車，按不同的運(yùn)行速度、運(yùn)行范圍、設(shè)備配置、作業(yè)特征等，分為不同的級(jí)別，列車的級(jí)別由車次開頭的字母來表示（部分是純數(shù)字）．如G字頭，表示高速動(dòng)車組旅客列車；D字頭，表示動(dòng)車組旅客列車；C字頭，表示城際旅客列車；K字頭，表示快速旅客列車，等等．呂梁站至太原南站約180km，隨著交通的發(fā)展呂梁站至太原南站已開通了多次列車，其中“C150”次列車與“K1334”次列車相比，時(shí)速加快，并安全性更好．已知“C150”次列車的平均速度是速度是“K1334”次列車的43倍，并“C150”次列車從呂梁站至太原南站所用時(shí)間比“K1334”次列車少用30分鐘（兩列車中途停留時(shí)間均除外）．求“C150”次列車和“K【答案】“C150”次列車和“K133”次列車從呂梁站至太原南站的平均速度分別為90km/h，120【分析】設(shè)“K1334”次列車的平均速度是xkm/h，則“C150”次列車的平均速度為4【詳解】解：設(shè)“K1334”次列車的平均速度是xkm/h，則“C150”次列車的平均速度為由題意，得1804整理，得160x方程兩邊乘2x，得270+x=360，解得，x=90，經(jīng)檢驗(yàn)x=90是原方程的解，43答：“C150”次列車和“K133”次列車從呂梁站至太原南站的平均速度分別為90km/h，120【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出分式方程，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）八年級(jí)（1）班組織同學(xué)乘大巴車前往“韶山紅色教育基地”開展愛國(guó)教育活動(dòng)，基地離學(xué)校有120公里，隊(duì)伍8:00從學(xué)校出發(fā)，劉老師因有事情，推遲了半個(gè)小時(shí)從學(xué)校自駕小車以大巴1.5倍的速度追趕，追上大巴后繼續(xù)前行，結(jié)果比隊(duì)伍提前10分鐘到達(dá)基地，問：(1)大巴與小車的平均速度各是多少？(2)劉老師追上大巴的地點(diǎn)到基地的路程有多遠(yuǎn)？【答案】(1)大巴的平均速度為60公里/時(shí)，則小車的平均速度為90公里/時(shí)(2)劉老師追上大巴的地點(diǎn)到基地的路程有30公里【分析】（1）根據(jù)“大巴車行駛?cè)趟钑r(shí)間=小車行駛?cè)趟钑r(shí)間+小車晚出發(fā)的時(shí)間+小車早到的時(shí)間”列分式方程求解可得；（2）根據(jù)“從學(xué)校到相遇點(diǎn)小車行駛所用時(shí)間+小車晚出發(fā)時(shí)間=大巴車從學(xué)校到相遇點(diǎn)所用時(shí)間”列方程求解可得．【詳解】（1）解：設(shè)大巴的平均速度為x公里/時(shí)，則小車的平均速度為1.5x公里/時(shí)，根據(jù)題意，得：120x解得：x=60，經(jīng)檢驗(yàn)：x=60是原方程的解，∴1.5x=90（公里/時(shí)），答：大巴的平均速度為60公里/時(shí)，則小車的平均速度為90公里/時(shí)；（2）解：設(shè)劉老師趕上大巴的地點(diǎn)到基地的路程有y公里，根據(jù)題意得：12解得：y=30，答：劉老師追上大巴的地點(diǎn)到基地的路程有30公里．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目中蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并依據(jù)相等關(guān)系列出方程．【變式1-2】（2023·福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，小剛家、王老師家、學(xué)校在同一條路上，小剛家到王老師家的路程為3千米，王老師家到學(xué)校的路程為0.5千米.由于小剛的父母戰(zhàn)斗在抗震救災(zāi)第一線，為了使他能按時(shí)到校，王老師每天騎自行車送小剛上學(xué).已知王老師騎自行車的速度是步行的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？【答案】王老師的步行速度是5?km/h【分析】王老師接小剛上學(xué)走的路程÷騎車的速度-平時(shí)上班走的路程÷步行的速度=2060【詳解】設(shè)王老師的步行速度是x?km/h由題意可得：3+3+0.53x?0.5經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的根，∴3x=15答：王老師的步行速度是5?km/h【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程解應(yīng)用題.重點(diǎn)在于準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系，需注意①王老師騎自行車接小剛所走路程是（3+3+0.5）千米；③注意單位要統(tǒng)一.【變式1-3】（2023上·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）某日，河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)的青年志愿者協(xié)會(huì)舉辦了以“低碳生活，綠色出行”為主題的志愿活動(dòng)．為響應(yīng)“低碳生活，綠色出行”的號(hào)召，趙琦每天騎自行車或步行上學(xué)，已知趙琦家距離學(xué)校4千米，趙琦騎自行車的速度是步行速度的2.5倍（騎自行車和步行均是勻速），騎自行車上學(xué)比步行上學(xué)早到0.6小時(shí)．(1)求趙琦步行上學(xué)的速度．(2)若趙琦某次上學(xué)步行了0.5千米后發(fā)現(xiàn)沒有帶數(shù)學(xué)作業(yè)，于是他原速原路返回家拿數(shù)學(xué)作業(yè)，然后騎自行車去上學(xué)，他到家后開門、拿數(shù)學(xué)作業(yè)、取自行車等共用0.15小時(shí)，為了不遲到，趙琦以高于平時(shí)騎自行車的速度勻速向?qū)W校行駛．若趙琦從步行出門到最后到學(xué)校共用了0.6小時(shí)，求趙琦這次騎自行車的速度．【答案】(1)4千米/時(shí)(2)20千米/時(shí)【分析】（1）設(shè)趙琦步行上學(xué)的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)“趙琦家距離學(xué)校4千米，趙琦騎自行車的速度是步行速度的2.5倍（騎自行車和步行均是勻速），騎自行車上學(xué)比步行上學(xué)早到0.6小時(shí)”列出分式方程，解方程檢驗(yàn)后可得答案；（2）設(shè)趙琦這次騎自行車的速度為y千米/時(shí)，根據(jù)從步行出門到最后到學(xué)校共用了0.6小時(shí)列出分式方程，解方程檢驗(yàn)后可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)趙琦步行上學(xué)的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，得：4x解得x=4，經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解，且符合題意，答：趙琦步行上學(xué)的速度為4千米/時(shí)；（2）解：設(shè)趙琦這次騎自行車的速度為y千米/時(shí)，根據(jù)題意，得：2×0.5解得y=20，經(jīng)檢驗(yàn)，y=20是原方程的解，且符合題意，答：趙琦這次騎自行車的速度為20千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找出合適的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【題型2工程問題】【例2】（2023上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某校利用暑假進(jìn)行田徑場(chǎng)的改造維修，項(xiàng)目承包單位派遣一號(hào)施工隊(duì)進(jìn)場(chǎng)施工，計(jì)劃用30天時(shí)間完成整個(gè)工程．當(dāng)一號(hào)施工隊(duì)工作10天后，承包單位接到通知，有一大型活動(dòng)要在該田徑場(chǎng)舉行，要求比原計(jì)劃提前8天完成整個(gè)工程，于是承包單位派遣二號(hào)與一號(hào)施工隊(duì)共同完成剩余工程，結(jié)果按通知要求如期完成整個(gè)工程．（1）若二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？（2）若此項(xiàng)工程一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要多少天？【答案】（1）若由二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工期需要45天；（2）若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要18天【分析】（1）設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，根據(jù)題意得，兩隊(duì)一起施工和一號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工30天的總工作量相同；兩隊(duì)一起施工時(shí)，一號(hào)施工隊(duì)工作30?8天，二號(hào)施工隊(duì)工作30?8?10天，通過列方程并求解，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)題意，工程一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工和一號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工30天的總工作量相同，通過列方程并求解，即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工需要x天，根據(jù)題意得：30?830解得：x=45，經(jīng)檢驗(yàn)，x=45是原分式方程的解∴若由二號(hào)施工隊(duì)單獨(dú)施工，完成整個(gè)工期需要45天；（2）一號(hào)、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工需要的天數(shù)為x天根據(jù)題意得：1∴x=18∴若由一、二號(hào)施工隊(duì)同時(shí)進(jìn)場(chǎng)施工，完成整個(gè)工程需要18天．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程、一元一次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2-1】（2023下·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┲貞c育才成功學(xué)校食堂有10個(gè)供應(yīng)飯菜的窗口，第1到5號(hào)窗口的每一位工作人員的打飯速度是相同的，第6到10號(hào)窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱冢拿恳晃还ぷ魅藛T的打飯速度是第1到5號(hào)窗口的每一位工作人員速度的18．小主人委員會(huì)同學(xué)在執(zhí)勤時(shí)發(fā)現(xiàn)：第1到5號(hào)窗口分別都有相同數(shù)量的同學(xué)在排隊(duì)，第6、7、8號(hào)窗口分別都有1號(hào)窗口數(shù)量的16的同學(xué)在排隊(duì)，第9、10號(hào)窗口分別都有1號(hào)窗口數(shù)量的110同學(xué)在排隊(duì)，從此時(shí)開始計(jì)時(shí)，第1到5號(hào)窗口在10分鐘后結(jié)束排隊(duì)，第6、7、8號(hào)窗口在18分鐘以后結(jié)束排隊(duì)，第9、10號(hào)窗口在15分鐘以后結(jié)束排隊(duì)．后來小主人委員會(huì)的同學(xué)從伙食團(tuán)團(tuán)長(zhǎng)處了解到：第1到5號(hào)窗口全部安排給了甲組工作人員負(fù)責(zé)打飯，第6到10號(hào)窗口全部安排給了乙組工作人員負(fù)責(zé)打飯，其中乙組工作人員的35在6、7、8三個(gè)窗口打飯，另外的【答案】5：4．【分析】設(shè)1到5號(hào)窗口每分鐘來排隊(duì)吃飯的同學(xué)為x人，甲組有a名工作人員負(fù)責(zé)打飯，乙組有b名工作人員負(fù)責(zé)打飯，根據(jù)“第6到10號(hào)窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱?，它的每一位工作人員的打飯速度是第1到5號(hào)窗口的每一位工作人員速度的18【詳解】解：設(shè)1到5號(hào)窗口每分鐘來排隊(duì)吃飯的同學(xué)為x人，則6到8號(hào)窗口每分鐘來排隊(duì)吃飯的同學(xué)為16x人，9、10號(hào)窗口每分鐘來排隊(duì)吃飯的同學(xué)為110x人，設(shè)甲組有10x×5a∴ab故答案為：5:4．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)分式應(yīng)用題，關(guān)鍵是弄清題目中各個(gè)數(shù)量關(guān)系，特別是等量關(guān)系：第6到10號(hào)窗口是炒菜炒飯?zhí)厣翱?，它的每一位工作人員的打飯速度是第1到5號(hào)窗口的每一位工作人員速度的18【變式2-2】（2023下·江蘇鹽城·八年級(jí)東臺(tái)市三倉(cāng)鎮(zhèn)中學(xué)?？计谥校┠骋豁?xiàng)工程，在工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，施工一天，需付甲工程隊(duì)工程款1.5萬元，乙工程隊(duì)工程款1.1萬元，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測(cè)算，可有三種施工方案：（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成；（2）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用5天；（3）若甲、乙兩隊(duì)合作4天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)也正好如期完成．據(jù)上述條件解決下列問題：①規(guī)定期限是多少天？寫出解答過程；③在不耽誤工期的情況下，你覺得哪一種施工方案最節(jié)省工程款?【答案】規(guī)定期限20天；方案（3）最節(jié)省【分析】設(shè)這項(xiàng)工程的工期是x天，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程剛好如期完成，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要比規(guī)定日期多用5天，若甲、乙兩隊(duì)合做4天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做也正好如期完成以及工作量=工作時(shí)間×工作效率可列方程求解．再看費(fèi)用情況：方案（1）、（3）不耽誤工期，符合要求，可以求費(fèi)用，方案（2）顯然不符合要求．【詳解】解：設(shè)規(guī)定期限x天完成，則有：4x解得x=20．

經(jīng)檢驗(yàn)得出x=20是原方程的解；答：規(guī)定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（萬元）方案（2）：25×1.1=27.5（萬元），

方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（萬元）．所以在不耽誤工期的前提下，選第三種施工方案最節(jié)省工程款．所以方案（3）最節(jié)?。c(diǎn)睛：本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系③列出方程③解出分式方程④檢驗(yàn)⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗(yàn)．【變式2-3】（2023下·重慶南岸·八年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校校考期中）重慶市某垃圾填埋場(chǎng)生態(tài)修復(fù)工程全面竣工驗(yàn)收，全國(guó)最大垃圾填埋場(chǎng)搖身變?yōu)榄h(huán)境優(yōu)美、空氣宜人的生態(tài)綠地，實(shí)現(xiàn)了城市土地的循環(huán)再利用．修復(fù)之初，一期工程共有7500噸垃圾要運(yùn)走，計(jì)劃由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)運(yùn)走垃圾．已知甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)走的垃圾比乙平均每天運(yùn)走的垃圾多23，這樣甲運(yùn)走4500(1)求原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)垃圾多少噸？(2)實(shí)際施工時(shí)，甲平均每天運(yùn)走的垃圾比原計(jì)劃增加了5a噸，乙平均每天運(yùn)走的垃圾比原計(jì)劃增加了a150【答案】(1)原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)垃圾250噸(2)甲工程隊(duì)的運(yùn)輸費(fèi)用為210000元【分析】（1）原計(jì)劃乙平均每天運(yùn)垃圾x噸，則原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)垃圾1+23x（2）由題意：實(shí)際施工時(shí)，甲平均每天運(yùn)走的垃圾比原計(jì)劃增加了5a噸，乙平均每天運(yùn)走的垃圾比原計(jì)劃增加了a150，甲、乙合作7天后，甲臨時(shí)有其他任務(wù)；剩下的垃圾由乙再單獨(dú)工作2【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃乙平均每天運(yùn)垃圾x噸，則甲平均每天運(yùn)垃圾1+2根據(jù)題意得：45001+解得x=150，經(jīng)檢驗(yàn)x=150是原方程的解且符合題意，則53答：原計(jì)劃甲平均每天運(yùn)垃圾250噸．（2）解：根據(jù)題意得：250+5a×7+150×解得a=100，則250+5×100×7×40=210000答：甲工程隊(duì)的運(yùn)輸費(fèi)用為210000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；③找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．【題型3銷售問題】【例3】（2023下·山東泰安·八年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┠硞€(gè)體經(jīng)營(yíng)戶了解到有一種盒裝商品能暢銷市場(chǎng)，就用4萬元購(gòu)進(jìn)這種商品，面市后果然供不應(yīng)求，他又用8.8萬元購(gòu)進(jìn)了第二批這種商品，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)量的2倍，但每盒單價(jià)漲了4元，他在銷售這種盒裝商品時(shí)每盒定價(jià)都是56元，最后剩下的150盒按八折銷售，很快售完．(1)該盒裝商品兩次的單價(jià)分別是多少元？(2)在這兩筆生意中，這位個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶共贏利多少元？【答案】(1)40元和44元．(2)38320元【分析】（1）設(shè)第一批進(jìn)貨的單價(jià)為x元，則第二批進(jìn)貨的單價(jià)為(x+4)元，根據(jù)第二批進(jìn)貨是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，列方程求出x的值即可．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，求出盈利即可．【詳解】（1）解：設(shè)第一批進(jìn)貨的單價(jià)為x元，則第二批進(jìn)貨的單價(jià)為(x+4)元，依題意有40000x解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)x=40是原分式方程的解，且符合題意，x+4=44，第二次進(jìn)貨的單價(jià)為44元，所以，該盒裝商品兩次的單價(jià)分別是40元和44元．（2）解：由（1）可知，第一次進(jìn)貨1000件，第二次進(jìn)貨的單價(jià)為44元，第二次進(jìn)貨2000件，總盈利為：(56?40)×1000+(56?44)×(2000?150)+150×(56×0.8?44)=16000+22200+120=38320（元)．答：這位個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶共贏利38320元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．【變式3-1】（2023下·河南南陽(yáng)·八年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《非機(jī)動(dòng)車管理辦法》規(guī)定：電動(dòng)自行車駕駛?cè)撕统俗藛T應(yīng)該戴安全頭盔．某商店用1600元購(gòu)進(jìn)一批電動(dòng)車頭盔，銷售發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，于是，又用5400元再購(gòu)進(jìn)一批頭盔，第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍，但單價(jià)比第一批貴10元．第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)多少元?【答案】80【分析】設(shè)第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)x元，則第二批進(jìn)價(jià)為x+10元，再根據(jù)等量關(guān)系“第二批頭盔的數(shù)量是第一批的3倍”列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)x元，則第二批進(jìn)價(jià)為x+10元，根據(jù)題意可得：1600x×3=5400經(jīng)檢驗(yàn)，x=80是分式方程1600x答：第一批頭盔進(jìn)貨單價(jià)80元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意、正確列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023上·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）昭通蘋果和天麻美味可口，小明在昆明某超市購(gòu)買1市斤昭通蘋果和2市斤小草壩天麻需要支付105元，購(gòu)買3市斤昭通蘋果和5市斤小草壩天麻需要265元．(1)1市斤昭通蘋果和1市斤小草壩天麻的單價(jià)分別是多少元？(2)昆明到昭通的距離大約600km【答案】(1)一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價(jià)分別是5元和50元(2)原來一市斤蘋果進(jìn)貨單價(jià)為4元【分析】（1）設(shè)一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價(jià)分別是x元和y元，根據(jù)購(gòu)買1市斤昭通蘋果和2市斤小草壩天麻需要支付105元，購(gòu)買3市斤昭通蘋果和5市斤小草壩天麻需要265元，列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)問原來一市斤蘋果進(jìn)貨單價(jià)為a元，則現(xiàn)在的進(jìn)貨單價(jià)為a+1元，根據(jù)以前花240元進(jìn)購(gòu)的蘋果現(xiàn)在要花300元，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：設(shè)一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價(jià)分別是x元和y元，列方程組：x+2y=1053x+5y=165，解方程組得：x=5y=50∴一市斤昭通蘋果和一市斤小草壩天麻的單價(jià)分別是5元和50元．（2）解：設(shè)問原來一市斤蘋果進(jìn)貨單價(jià)為a元，則現(xiàn)在的進(jìn)貨單價(jià)為a+1元，由題可得：240a∴解得：a=4經(jīng)檢驗(yàn)，a=4是原方程的解，且符合題意，∴原來一市斤蘋果進(jìn)貨單價(jià)為4元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，準(zhǔn)確計(jì)算．【變式3-3】（2023上·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）成都大運(yùn)會(huì)期間，吉祥物“蓉寶”的周邊商品的銷量不斷上升．一家網(wǎng)店的店主統(tǒng)計(jì)了前兩周的“蓉寶”單肩包的銷售情況，發(fā)現(xiàn)第一周A型單肩包的銷量是100個(gè)，B型單肩包銷量是120個(gè)，總利潤(rùn)是2800元；第二周A型單肩包的銷量是180個(gè)，B型單肩包的銷量是200個(gè)，總利潤(rùn)是4800元．(1)請(qǐng)問1個(gè)A型單肩包、1個(gè)B型單肩包的利潤(rùn)分別是多少元？(2)店主在第三周調(diào)整了價(jià)格，A型單肩包每個(gè)漲價(jià)a元，B型單肩包每個(gè)降價(jià)a元，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，調(diào)整后的這周A、B兩種型號(hào)單肩包的銷量一樣，并且A型單肩包的總利潤(rùn)達(dá)2400元，B型單肩包的總利潤(rùn)達(dá)2600元．求出a的值．【答案】(1)1個(gè)A型單肩包的利潤(rùn)是10元，1個(gè)B型單肩包的利潤(rùn)是15元(2)a=2【分析】（1）設(shè)1個(gè)A型單肩包的利潤(rùn)是x元，1個(gè)B型單肩包的利潤(rùn)是y元，根據(jù)題中第一周和第二周的銷量情況和總利潤(rùn)，列二元一次方程即可解答；（2）根據(jù)兩種單肩包的銷量一樣，列分式方程，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)1個(gè)A型單肩包的利潤(rùn)是x元，1個(gè)B型單肩包的利潤(rùn)是y元，由題意可得100x+120y=2800180x+200y=4800解得x=10y=15∴1個(gè)A型單肩包的利潤(rùn)是10元，1個(gè)B型單肩包的利潤(rùn)是15元；（2）解：根據(jù)題意可得：240010+a解得a=2，經(jīng)檢驗(yàn)，a=2是原方程的解，且符合題意，∴a=2．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程．【題型4數(shù)字問題】【例4】（2023上·貴州銅仁·八年級(jí)校考期中）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是6，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)之比是47，原來得兩位數(shù)是【答案】63【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x，，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后檢驗(yàn)并作答．【詳解】解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)為x，則可列方程：10x+66×10+x整理得66x＝198，解得x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原方程的解，則60+x＝63，故答案為：63．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系③列出方程③解出分式方程④檢驗(yàn)⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗(yàn)．【變式4-1】（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分子加1，分子則比分母少2；如果分母加1，則分?jǐn)?shù)值等于12，原分?jǐn)?shù)是【答案】4【分析】由分子加1，分子則比分母少2可知，原來分子比分母少1+2=3，如果設(shè)原來的分子是x，則分母是x+3，又由分母加1，則分?jǐn)?shù)值等于【詳解】解：設(shè)原分?jǐn)?shù)的分子是x，則分母是x+1+2，由題意列出方程x所以xx+4所以2x=x+4，解得：x=4，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；所以4+1+2=7；因此這個(gè)分?jǐn)?shù)是47故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列方程解答比較簡(jiǎn)便．【變式4-2】（2023·福建省泉州第一中學(xué)八年級(jí)期末）有一個(gè)兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，這個(gè)兩位數(shù)被個(gè)位數(shù)字除時(shí)，商是8，余數(shù)是2，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】34【分析】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+1，兩位數(shù)是10x+x+1，利用兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，檢驗(yàn)后求出兩位數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個(gè)位上的數(shù)字為x+1，則：10x+(x+1)?2x+1解方程得：x=3，經(jīng)檢驗(yàn)：x=3是原方程的根，所以個(gè)位上的數(shù)字為：x+1＝3＋1＝4，所以這個(gè)兩位數(shù)是：3×10＋4＝34．答：這個(gè)兩位數(shù)是34．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字問題分式方程應(yīng)用題，掌握分式方程解應(yīng)用題的步驟與解法，關(guān)鍵是抓住兩位數(shù)減2除以個(gè)位數(shù)字，商是8列出方程．【變式4-3】（2023上·山東濰坊·八年級(jí)校聯(lián)考期末）一個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是12，如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為47，則這個(gè)二位數(shù)是【答案】84【分析】設(shè)這個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)“如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置并把所得到的新的二位數(shù)作為分子，把原來的二位數(shù)作為分母，所得的分?jǐn)?shù)約分為47”，即可得出關(guān)于x【詳解】設(shè)這個(gè)二位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個(gè)位數(shù)字為（12﹣x），根據(jù)題意得：1012?x+x10x+解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是所列分式方程的解，且符合題意，∴12﹣x＝4．故答案為84．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【題型5圖形問題】【例5】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖1，在一張長(zhǎng)方形紙片的四個(gè)角分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形，可折疊成如圖2的一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體紙盒．圖1

圖2(1)若圖1中原長(zhǎng)方形紙片長(zhǎng)20cm，寬16cm，被剪掉的正方形邊長(zhǎng)為acm，折疊得到的無蓋長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)、寬、高之和為24(2)現(xiàn)有60張同樣規(guī)格的長(zhǎng)方形紙片，可制作成60個(gè)無蓋長(zhǎng)方體紙盒，剪下來的正方形恰好全部制作成正方體（每個(gè)正方體需要6個(gè)正方形），現(xiàn)把20名同學(xué)分為甲、乙兩組，甲組制作無蓋長(zhǎng)方體紙盒，乙組制作正方體，若甲組平均每人制作的無蓋長(zhǎng)方體紙盒個(gè)數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個(gè)數(shù)的一半，求甲組有多少名同學(xué)？【答案】(1)4(2)15名【分析】（1）根據(jù)“折疊得到的無蓋長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)、寬、高之和為24cm（2）設(shè)甲組有x名同學(xué)，則乙組有20?x名同學(xué)，根據(jù)“甲組平均每人制作的無蓋長(zhǎng)方體紙盒個(gè)數(shù)是乙組平均每人制作的正方體個(gè)數(shù)的一半”，列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：20?2a解得：a=4答：a的值為4．（2）解：設(shè)甲組有x名同學(xué)，則乙組有20?x名同學(xué)，根據(jù)題意得：60x解得：x=15經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解且符合題意．答：甲組有15名同學(xué)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023下·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一根水管因使用日久，內(nèi)壁均勻地形成一層厚2mm的附著物，而導(dǎo)致流通截面面積減少至原來的916，這根水管原來的內(nèi)壁直徑是（

A．8mm B．9mm C．16mm D．18mm【答案】B【分析】設(shè)這根水管原來的內(nèi)壁半徑是xmm，然后根據(jù)內(nèi)壁均勻地形成一層厚2mm的附著物，而導(dǎo)致流通截面面積減少至原來的916【詳解】解：設(shè)這根水管原來的內(nèi)壁半徑是xmm，由題意得πx?2∴x?2x=3解得x=8，經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解，∴這根水管原來的內(nèi)壁直徑是16mm故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出方程．【變式5-2】（2023下·浙江杭州·八年級(jí)階段練習(xí)）為抗擊新冠疫情，義烏市某企業(yè)承接了一批口罩所需包裝盒的制作業(yè)務(wù)，該企業(yè)進(jìn)行了前期的試生產(chǎn)，如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板（長(zhǎng)方形的寬與正方形的邊長(zhǎng)相等）加工成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長(zhǎng)方形紙箱，（加工時(shí)接縫材料不計(jì)）（1）該企業(yè)原計(jì)劃用若干天加工紙箱300個(gè)，后來由于提升工作效率，實(shí)際加工時(shí)每天加工速度為原計(jì)劃的1.5倍，這樣提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計(jì)劃多加工15個(gè)，問原計(jì)劃每天加工包裝盒多少個(gè)；（2）若該企業(yè)購(gòu)進(jìn)正方形紙板550張，長(zhǎng)方形紙板1200張．問豎式紙盒，橫式紙盒各加工多少個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完；（3）該企業(yè)某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板100張，長(zhǎng)方形紙板a張，全部加工成上述兩種紙盒，且150<a<168，試求在這一天加工兩種紙盒時(shí)a的所有可能值．（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）【答案】（1）30個(gè)；（2）豎式紙盒加工150個(gè)，橫式紙盒加工200個(gè)；（3）155、160和165．【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天加工禮盒x個(gè)，則實(shí)際加工時(shí)每天加工禮盒1.5x個(gè)，根據(jù)“提前3天超額完成了任務(wù)，且總共比原計(jì)劃多加工15個(gè)”即可得出關(guān)于x的分式方程，解方程即可得出x值；（2）設(shè)豎式紙盒加工m個(gè)，橫式紙盒加工n個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完．根據(jù)“豎式紙盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形和1個(gè)正方形紙板，橫式紙盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)正方形紙板”即可得出關(guān)于m、n的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（3）設(shè)該天橫式紙盒加工t個(gè)，則豎式紙盒加工（100-2t）個(gè)，根據(jù)“豎式紙盒需要4個(gè)長(zhǎng)方形和1個(gè)正方形紙板，橫式紙盒需要3個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)正方形紙板”即可得出a與t之間的關(guān)系式，再結(jié)合a的取值范圍即可求出t的取值范圍，根據(jù)t為正整數(shù)，即可得出t的值，從而即可得出a的所有可能值．【詳解】解：（1）設(shè)原計(jì)劃每天加工禮盒x個(gè)，則實(shí)際加工時(shí)每天加工禮盒1.5x個(gè)，根據(jù)題意得：300x解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)：x=30為分式方程的解．答：原計(jì)劃每天加工禮盒30個(gè)．（2）設(shè)豎式紙盒加工m個(gè)，橫式紙盒加工n個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完．由已知得：4m+3n=1200m+2n=550，解得：m=150答：豎式紙盒加工150個(gè)，橫式紙盒加工200個(gè)，恰好能將購(gòu)進(jìn)的紙板全部用完．（3）設(shè)該天橫式紙盒加工t個(gè)，則豎式紙盒加工（100-2t）個(gè)，由題意得：a=3t+4×（100-2t）=-5t+400，∵150＜a＜168，∴150＜-5t+400＜168，解得：4625＜t∵t為整數(shù)，∴t=47、48、49，∴a=165、160、155．答：在這一天加工兩種紙盒時(shí)a的所有可能值為155、160和165．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程、二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的分式方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于m、n的二元一次方程組；（3）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出a關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組或函數(shù)關(guān)系式）是關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a米a>1的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a?1米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了500kg(1)①“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為__________kg/m2“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為___________kgm2（以上結(jié)果均用含③由圖可知，_____________（填“1號(hào)”或“2號(hào)”）小麥的單位面積產(chǎn)量高；(2)若高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量的多40a?12kg/m(3)某農(nóng)戶試種“豐收1號(hào)”、“豐收2號(hào)”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產(chǎn)量與實(shí)驗(yàn)田一致，“豐收1號(hào)”小麥種植面積為n平方米（n為整數(shù)），“豐收2號(hào)”小麥種植面積比“豐收1號(hào)”少55平方米．若兩種小麥種植后，收獲的產(chǎn)量相同，當(dāng)a<8且a為整數(shù)時(shí)，符合條件的n的值為___________（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)①500a2?1；500a?1(2)24(3)110，165，220【分析】（1）①用“總產(chǎn)量÷面積”列式求得單位面積的產(chǎn)量；③根據(jù)a>1，并利用不等式的性質(zhì)作出比較；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得a的值；（3）根據(jù)題意列出方程，并結(jié)合a<8，列不等式求解．【詳解】（1）解：①由題意，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田的面積為a2∴“豐收1號(hào)”單位面積產(chǎn)量為500a由題意，“豐收2號(hào)”單位面積為a?12∴“豐收2號(hào)”單位面積產(chǎn)量為500a?1故答案為：500a2?1③∵a>1，∴a2?1=a+1∴a+1>a?1，∴a2∴500a即“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量高．故答案為：2號(hào)．（2）根據(jù)題意，得：500a?1解得：a=24，經(jīng)檢驗(yàn)：a=24是原方程的解且符合題意．∴a的值是24．（3）根據(jù)題意，得：500na整理，可得：a=2n?55∴n=55當(dāng)a<8時(shí)，2n?5555解得：n<495又∵n為正整數(shù)，且滿足n=55當(dāng)a=3時(shí)，n=55×4當(dāng)a=5時(shí)，n=55×6當(dāng)a=7時(shí)，n=55×8∴符合條件的n的值為110，165，220．故答案為：110，165，220．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用．理解分式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【題型6和差倍分問題】【例6】（2023上·四川廣元·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米．用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的35(1)求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米；(2)該社區(qū)擬建A，B兩類攤位共90個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍．求最多建多少個(gè)A類攤位．【答案】(1)每個(gè)A類攤位占地面積為5平方米，每個(gè)B類攤位占地面積為3平方米(2)最多建22個(gè)A類攤位【分析】（1）設(shè)每個(gè)A類攤位占地面積為x平方米，則每個(gè)B類攤位占地面積為x?2平方米，由題意：用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的35（2）設(shè)A類攤位的數(shù)量為m個(gè)，則B類攤位的數(shù)量為90?m個(gè)，由題意：建造B類攤位的數(shù)量不少于A類攤位數(shù)量的3倍，列出一元一次不等式，然后解不等式即可．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)A類攤位占地面積為x平方米，則每個(gè)B類攤位占地面積為x?2平方米，依題意，得：60x解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原分式方程的解，且符合題意，則x?2=5?2=3．答：每個(gè)A類攤位占地面積為5平方米，每個(gè)B類攤位占地面積為3平方米．（2）設(shè)A類攤位的數(shù)量為m個(gè)，則B類攤位的數(shù)量為90?m個(gè)，依題意，得：90?m≥3m，解得：m≤22.5，因?yàn)閙取整數(shù)，所以m的最大值為22．答：最多建22個(gè)A類攤位．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程：（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式6-1】（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州屏東中學(xué)?？计谥校W(xué)校要舉行跳繩比賽，同學(xué)們都積極練習(xí)．甲同學(xué)跳120個(gè)所用的時(shí)間，乙同學(xué)可以跳180個(gè)；又已知甲每分鐘比乙少跳20個(gè)，求每人每分鐘各跳多少個(gè)？【答案】甲每分鐘跳40個(gè)，乙每分鐘跳60個(gè)．【分析】設(shè)甲每分鐘跳x個(gè)，則乙每分鐘跳x+20個(gè)，然后根據(jù)“甲同學(xué)跳120個(gè)所用的時(shí)間，乙同學(xué)可以跳180個(gè)”列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲每分鐘跳x個(gè)，則乙每分鐘跳x+20個(gè)，由題意可得：120x=180經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是分式方程的解所以，甲每分鐘跳40個(gè)，乙每分鐘跳40+20=60個(gè)．答：甲每分鐘跳40個(gè)，乙每分鐘跳60個(gè)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，審清題意、找到等量關(guān)系、列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？计谥校┠硨W(xué)校決定購(gòu)買A，B兩種的亞運(yùn)會(huì)紀(jì)念徽章作為“校園讀書節(jié)”活動(dòng)獎(jiǎng)品，已知A種比B種每件多20元，預(yù)算資金為1600元．(1)其中700元購(gòu)買A種徽章，其余資金購(gòu)買B種徽章，且購(gòu)買B種的數(shù)量是A種的3倍．求A，B兩種徽章的單價(jià)．(2)購(gòu)買當(dāng)日，正逢“十一”大促銷，所有商品均按原價(jià)八折銷售，學(xué)校調(diào)整了購(gòu)買方案：在不超過預(yù)算資金的前提下，準(zhǔn)備購(gòu)買A，B兩種徽章共120件；問最多購(gòu)買A種徽章的多少件？【答案】(1)A種徽章的單價(jià)為60元，B種徽章的單價(jià)為15元(2)10件【分析】本題考查分式方程，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，（1）設(shè)B種徽章的單價(jià)為x元，則A種徽章的單價(jià)為x+20元，根據(jù)題意列出分式方程求解，最后要檢驗(yàn)；（2）設(shè)購(gòu)買A種徽章m件，則購(gòu)買B種徽章120?m件，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可；正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）設(shè)B種徽章的單價(jià)為x元，則A種徽章的單價(jià)為x+20元，依題意得：1600?700x解得：x=15，經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，且符合題意，∴x+20=15+20=60．答：A種徽章的單價(jià)為60元，B種徽章的單價(jià)為15元．（2）設(shè)購(gòu)買A種徽章m件，則購(gòu)買B種徽章120?m件，依題意得：60×0.8m+15×0.8120?m解得：m≤10，∴m的最大值為10．答：最多購(gòu)買A種徽章10件．【變式6-3】（2023上·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在甲、乙兩公司全體員工捐款活動(dòng)中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話：甲公司員工：我們公司的人數(shù)比你們公司少20人乙公司員工：我們公司的人均捐款數(shù)是你們公司的76(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買A、B兩種物資，A種物資每箱15000元，B種物資每箱12000元．若購(gòu)買B種物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來．（注：A、B兩種物資均需購(gòu)買，并按整箱配送．）【答案】(1)甲公司有100人，乙公司有120人(2)購(gòu)買方案有2種：一種A物資買8箱，B物資買10箱．另一種是A物資買4箱，B物資買15箱【分析】（1）設(shè)甲公司有x人，則乙公司有(x+20)人，根據(jù)“乙公司的人均捐款數(shù)是甲公司的76（2）設(shè)購(gòu)買A種物資x箱，購(gòu)買B種物資y箱，且y≥10，x，y都是正整數(shù)．根據(jù)“恰好將捐款用完”再建立方程，利用方程的正整數(shù)解即可解決問題．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有x人，則乙公司有(x+20)人，根據(jù)題意得100000解得：x=100檢驗(yàn)：把x=100代入6x(x+20)=6×100×(100+20)≠0故x=100是所列方程的解．則x+20=100+20=120（人）答：甲公司有100人，乙公司有120人．（2）設(shè)購(gòu)買A種物資x箱，購(gòu)買B種物資y箱，且y≥10，x，y都是正整數(shù)．根據(jù)題意得15000x+12000y=100000+140000∴5x=80?4y∴x=16?4當(dāng)y=10時(shí)，x=16?45當(dāng)y=15時(shí)，x=16?45當(dāng)y=20時(shí)，x=16?45綜上所述，購(gòu)買方案有2種：一種A物資買8箱，B物資買10箱．另一種是A物資買4箱，B物資買15箱．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的整數(shù)解問題的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【題型7比值問題】【例7】（2023上·重慶江北·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“鞏固脫貧成果，長(zhǎng)興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)”，大力發(fā)展高山生態(tài)經(jīng)濟(jì)林是一重大舉措．某村委會(huì)決定在紅光、紅旗、紅錦三個(gè)村民小組種植高山脆李和晚熟香桃兩種果樹，初步預(yù)算這三個(gè)村民小組各需兩種果樹之和的比為4∶5∶6，其中需要高山脆李樹的棵數(shù)分別為4千棵，3千棵和7千棵，并且紅光、紅旗兩個(gè)村民小組所需晚熟香桃樹之比為2∶3．在購(gòu)買這兩種果樹時(shí)，高山脆李樹的價(jià)格比預(yù)算低了10%，晚熟香桃樹的價(jià)格高了20%，晚熟香桃樹購(gòu)買數(shù)量減少了12.5%【答案】3【分析】設(shè)紅光村需要晚熟香桃樹為2x棵，紅旗村需要晚熟香桃樹為3x棵，紅錦村需要晚熟香桃樹y棵，根據(jù)三個(gè)村民小組各需兩種果樹之和的比為4∶5∶6列出方程求出x=4000，y=11000，從而求出三個(gè)村民小組種植兩種果樹的情況；設(shè)高山脆李的預(yù)算價(jià)格為a元，晚熟香桃樹的預(yù)算幾個(gè)為b元，分別表示出預(yù)算總費(fèi)用，實(shí)際兩種果樹的費(fèi)用和實(shí)際兩種果樹的總費(fèi)用，再根據(jù)預(yù)算總費(fèi)用和實(shí)際總費(fèi)用相等求出ab【詳解】解：設(shè)紅光村需要晚熟香桃樹為2x棵，紅旗村需要晚熟香桃樹為3x棵，紅錦村需要晚熟香桃樹y棵∴2x+40003x+3000解得x=4000，經(jīng)檢驗(yàn)，x=4000是原方程的解，∴紅光村需要晚熟香桃樹為8000棵，紅旗村需要晚熟香桃樹為12000棵，∴8000+4000y+7000解得y=11000，經(jīng)檢驗(yàn)，y=11000是原方程的解，∴紅錦村需要晚熟香桃樹11000棵；設(shè)高山脆李的預(yù)算價(jià)格為a元，晚熟香桃樹的預(yù)算幾個(gè)為b元，∴預(yù)算總費(fèi)用為8000+12000+11000=31000b+14000a，實(shí)際購(gòu)買晚熟香桃樹的費(fèi)用為8000+12000+11000=32550b，實(shí)際購(gòu)買高山脆李的費(fèi)用為4000+3000+7000實(shí)際總費(fèi)用為32550b+12600a，∴31000b+14000a=32550b+12600a，∴31b=28a，即ab∴實(shí)際購(gòu)買高山脆李樹的總費(fèi)用與實(shí)際購(gòu)買晚熟香桃樹的總費(fèi)用之比為12600a32550b故答案為：37【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023上·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）數(shù)學(xué)的美無處不在．?dāng)?shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長(zhǎng)度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長(zhǎng)度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧．例如，三根弦長(zhǎng)度之比是15：12：10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲do，mi，so，研究15，12，10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：112?115=110?112．我們稱15，12，10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù)．現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x【答案】15【分析】由調(diào)和數(shù)的定義列分式方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)調(diào)和數(shù)的定義可得：15?1經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是分式方程的解．故答案為：15【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)調(diào)和數(shù)的定義列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023上·重慶·八年級(jí)重慶一中?？计谀┡D味食品是川渝人民的最愛，去年12月份，某銷售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為3:5:3，臘腸、臘舌、臘肉的單價(jià)之比為3:3:2．今年1月份，該銷售商將臘腸單價(jià)上調(diào)20%，臘舌、臘肉的單價(jià)不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計(jì)今年1月份的營(yíng)業(yè)額將會(huì)增加，其中臘肉增加的營(yíng)業(yè)額占總增加營(yíng)業(yè)額的14，今年1月份臘肉的營(yíng)業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營(yíng)業(yè)額的730．若臘舌今年1月份增加的營(yíng)業(yè)額與今年1月份總營(yíng)業(yè)額之比為1:5【答案】20：21【分析】設(shè)去年12月份臘腸的單價(jià)為3x，則去年12月份臘舌，臘肉的單價(jià)分別為3x，2x，今年1月份臘腸的單價(jià)為3.6x，去年12月份臘腸的銷售數(shù)量為3y，則臘舌，臘肉的銷售數(shù)量分別為5y、3y，1月份臘肉增加的營(yíng)業(yè)額為z，則總增加營(yíng)業(yè)額為4z；先求出去年12月份的銷售額為30xy，1月份臘肉的銷售額為6xy+z，從而得到今年1月份的總銷售額為30xy+4z，再由今年1月份臘肉的營(yíng)業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營(yíng)業(yè)額的730，推出z=15xy，即可求出今年1月份的總銷售額為90xy，臘肉的銷售額21xy，則臘腸今年1月份的營(yíng)業(yè)額為90xy?33xy?21xy=36xy，設(shè)今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量分別為a和b，可以得到3.6ax=36xy【詳解】解：設(shè)去年12月份臘腸的單價(jià)為3x，則去年12月份臘舌，臘肉的單價(jià)分別為3x，2x，今年1月份臘腸的單價(jià)為3.6x，去年12月份臘腸的銷售數(shù)量為3y，則臘舌，臘肉的銷售數(shù)量分別為5y、3y，1月份臘肉增加的營(yíng)業(yè)額為z，則總增加營(yíng)業(yè)額為4z，∴去年12月份的銷售