高考數(shù)學 試題匯編 第二節(jié)古典概型與幾何概型 文（含解析）

第二節(jié)古典概型與幾何概型古典概型考向聚焦對古典概型的考查,主要是等可能事件概率的求解,主要通過列舉法或結合互斥事件、對立事件等進行求解,有時與統(tǒng)計中的抽樣、頻率分布直方圖等綜合在一起考查.多以解答題的形式出現(xiàn),12分左右;有時也可能以小題的形式出現(xiàn),4~5分.為中、低檔試題備考指津求古典概型中事件A的概率的關鍵是求出基本事件總數(shù)n和事件A包含的基本事件數(shù)m,然后代入公式P(A)=mn1.(年安徽卷,文10,5分)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球、2個白球和3個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于()(A)15 (B)25 (C)3解析:若記紅球為A,白球為B1,B2,黑球為C1,C2,C3,則任取2個球的基本事件如下:AB1,AB2,AC1,AC2,AC3;B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B2C1,B2C2,B2C3,C1C2,C1C3答案:B.2.(年全國新課標卷,文6)有3個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()(A)13 (B)12 (C)2解析:甲、乙各自參加其中一個小組所有選法為9種,甲、乙參加同一個小組的選法有3種,所以其概率為39=1答案:A.3.(年浙江卷,文8)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是()(A)110 (B)310 (C)3解析:3個紅球記為a,b,c,2個白球記為1,2.則從袋中取3個球的所有可能情況是abc,ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共10個基本事件,則至少有一個白球的基本事件是ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12,共9個.∴至少有一個白球的概率為910答案:D.4.(年安徽卷,文9)從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點,則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于()(A)110 (B)18 (C)1解析:如圖,正六邊形ABCDEF,從6個頂點中隨機選擇4個頂點有ABCD,ABCE,ABCF,ABDE,ABDF,ABEF,ACDE,ACDF,ACEF,ADEF,BCDE,BCDF,BCEF,BDEF,CDEF,共15種選法,基本事件總數(shù)為15,其中四邊形是矩形的有ABDE,BCEF,ACDF3種,所以所求概率為P=315=1答案:D.5.(年北京卷,文3)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是()(A)45 (B)35 (C)2解析:從兩個集合中分別取一個數(shù)a,b,用坐標表示為(a,b),則(a,b)的取值有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)共15種,而b>a時有(1,2),(1,3),(2,3)3種結果,故所求概率是315=1答案:D.6.(年安徽卷,文10)甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是()(A)318 (B)418 (C)5解析:從正方形的四個頂點中任選兩點的連線有6條,四邊及對角線依次設為a、b、c、d、e、f,則甲、乙連線的結果有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(c,f),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,c),(f,d),(f,e),(f,f)共36種,其中甲、乙連線垂直的結果有(a,b),(a,d),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,a),(d,c),(e,f),(f,e)共10種,∴所求概率P=1036=5答案:C.這類試題解答的關鍵是把基本事件總數(shù)計算準確,把隨機事件包含的基本事件個數(shù)計算準確.7.(年浙江卷,文12,4分)從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中,隨機(等可能)取兩點,則該兩點間的距離為22的概率是.解析:本題主要考查了古典概型概率的求法.設五點為A,B,C,D,E,隨機取兩點有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)共10種情況,兩點間的距離是22的有4種,所以P=2答案:28.(年江蘇數(shù)學,6,5分)現(xiàn)有10個數(shù),它們能構成一個以1為首項,-3為公比的等比數(shù)列,若從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),則它小于8的概率是.

解析:本題考查等比數(shù)列的通項公式和等可能事件的概率.因為這10個數(shù)是1,-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(-3)7,(-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率等于610=3答案:39.(年遼寧卷,文13)三張卡片上分別寫上字母E,E,B,將三張卡片隨機地排成一行,恰好排成英文單詞BEE的概率為.

解析:將三張卡片隨機地排成一行,共有EEB,EBE,BEE三種排法,而排成BEE的情況只有一種,故所求概率為13答案:110.(年天津卷,文15,13分)某地區(qū)有小學21所,中學14所,大學7所,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查.(1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目;(2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析,①列出所有可能的抽取結果;②求抽取的2所學校均為小學的概率.解:(1)從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學校中,3所小學分別記為A1,A2,A3,2所中學分別記為A4,A5,大學記為A6,則抽取2所學校的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.②從6所學校中抽取的2所學校均為小學(記為事件B)的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3種.所以P(B)=315=1本小題考查分層抽樣方法、列舉法求隨機事件所含的基本事件數(shù),古典概型及其概率計算,難度較小.11.(年江西卷,文18,12分)如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點.(1)求這3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率;(2)求這3點與原點O共面的概率.解:從這6個點中隨機選取3個點的所有可能結果是:x軸上取2個點的有A1A2B1,A1A2B2,A1A2Cy軸上取2個點的有B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1Bz軸上取2個點的有C1C2A1,C1C2A2,C1C2B所選取的3個點在不同坐標軸上有A1B1C1,A1B1C2,A1B2C1,A1B2C2,A2B1C1,A2B1C2,A2B2C(1)選取的這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的所有可能結果有:A1B1C1,A2B2C2,共2種,因此,這3個點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率為P1=220(2)選取的這3個點與原點O共面的所有可能結果有:A1A2B1,A1A2B2,A1A2C1,A1A2C2,B1B2A1,B1B2A2,B1B2C1,B1B2C2,C1C2A1,C1C2A12.(年山東卷,文18,12分)袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標號分別為1,2,3;藍色卡片兩張,標號分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的頻率;(2)向袋中再放入一張標號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率.解:(1)從5張卡片中任取2張的所有可能情況有如下10種;紅1紅2,紅1紅3,紅1藍1,紅1藍2,紅2紅3,紅2藍1,紅2藍2,紅3藍1,紅3藍2,藍1藍2,其中兩張卡片的顏色不同,且標號之和小于4的有3種情況,故所求概率為P1=310(2)加入一張標號為0的綠色卡片后,從6張卡片中任取2張,除上面10種情況外,多出5種情況:紅1綠0,紅2綠0,紅3綠0,藍1綠0,藍2綠0,即共有15種情況,其中顏色不同且標號之和小于4的有8種情況,所以所求概率為P2=815本題考查利用列舉法計算隨機事件所包含的基本事件數(shù),以及古典概型的概率求法等基礎知識,考查學生運用概率知識求解簡單實際問題的能力,難度適中.13.(年江西卷,文16)某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別.公司準備了兩種不同的飲料共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為A飲料,另外2杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對,則評為優(yōu)秀;若3杯選對2杯,則評為良好;否則評為合格.假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率;(2)求此人被評為良好及以上的概率.解:將5杯飲料編號為:1,2,3,4,5,編號1,2,3表示A飲料,編號4、5表示B飲料,則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為:(1,2,3)、(1,2,4)、(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共有10種,令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件,E表示此人被評為良好的事件,F表示此人被評為良好及以上的事件,則(1)P(D)=110(2)P(E)=35,P(F)=P(D)+P(E)=714.(年天津卷,文15)編號分別為A1,A2,…,A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下:運動員編號A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運動員編號A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對應區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應的空格:區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,①用運動員編號列出所有可能的抽取結果;②求這2人得分之和大于50的概率.解:(1)466(2)①得分在[20,30)內(nèi)的運動員編號為A3,A4,A5,A10,A11,A13,從中隨機抽2人,所有可能抽取的結果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共15種.②設B=“得分在[20,30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,這兩人得分之和大于50”,則所有可能的結果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11所以P(B)=515=115.(年福建卷,文19)某日用品按行業(yè)質量標準分成五個等級,等級系數(shù)X依次為1,2,3,4,5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取20件,對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析,得到頻率分布表如下:X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中,等級系數(shù)為4的恰有3件,等級系數(shù)為5的恰有2件,求a,b,c的值;(2)在(1)的條件下,將等級系數(shù)為4的3件日用品記為x1,x2,x3,等級系數(shù)為5的2件日用品記為y1,y2.現(xiàn)從x1,x2,x3,y1,y2這5件日用品中任取兩件(假定每件日用品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結果,并求這兩件日用品的等級系數(shù)恰好相等的概率.解:(1)由頻率分布表知a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35,因為抽取的20件日用品中,等級系數(shù)為4的恰有3件,∴b=320等級系數(shù)為5的恰有2件,所以c=220則a=0.35-0.1-0.15=0.1,∴a=0.1,b=0.15,c=0.1.(2)從日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取兩件,所有可能的結果為{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}共10種情況,其等級系數(shù)相等的有4種情況,故所求的概率為P=410=216.(年福建卷,文18)設平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}.(1)請列出有序數(shù)組(m,n)的所有可能結果;(2)若“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率.解:(1)有序數(shù)組(m,n)的所有可能結果為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個.(2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0,即n=(m-1)2.由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個.又基本事件的總數(shù)為16,故所求的概率為P(A)=216=1本題新穎之處在于概率與平面向量的有機交匯.求解這類問題的關鍵是通過列舉(或畫圖)的方法,搞清楚基本事件的總數(shù)以及欲求概率的事件中所包含的基本事件數(shù),然后套用古典概型的概率計算公式求解.幾何概型考向聚焦幾何概型是高考一個新的熱點,并且它是一個重要的知識交匯點,通常會把幾何概型與線性規(guī)劃、解析幾何以及其它數(shù)學知識綜合起來,重點考查“長度型”和“面積型”,主要以填空題、選擇題的形式出現(xiàn),試題難度為中、低檔,所占分值為5分左右17.(年湖北卷,文10,5分)如圖,在圓心角為直角的扇形OAB中,分別以OA、OB為直徑作兩個半圓,在扇形OAB內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率是()(A)12-1π(C)1-2π (D)解析:如圖,不妨設扇形的半徑為2a,如圖,記兩塊白色區(qū)域的面積分別為S1,S2,兩塊陰影部分的面積分別為S3,S4,則S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=14π(2a)2=π而S1+S3與S2+S3的和恰好為一個半徑為a的圓,即S1+S3+S2+S3=πa2.②①-②得S3=S4,由圖可知S3=(S扇形EOD+S扇形COD)-S正方形OEDC=12πa2-a2所以S陰影=πa2-2a2.由幾何概型概率公式可得,此點取自陰影部分的概率為P=S陰影S扇形OAB=答案:C.18.(年北京卷,文3,5分)設不等式組0≤(A)π4 (B)π-22解析:不等式組0≤x≤20≤y≤2對應直角坐標系內(nèi)的區(qū)域D為如圖所示的正方形ABCD,面積為4,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一點,此點到原點的距離大于2對應的區(qū)域為如圖所示的陰影部分,即落在圓x2+y2=4(0≤∴所求概率為4-答案:D.19.(年遼寧卷,文11,5分)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積大于20cm2的概率為()(A)16 (B)13 (C)2解析:設AC=xcm且0<x<12,則BC=(12-x)cm,∴以AC、CB為鄰邊的矩形面積為x·(12-x),令x(12-x)>20,得2<x<10,由幾何概型知矩形面積大于20的概率為812=2答案:C.20.(年福建卷,文7)如圖,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點.若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()(A)14 (B)13 (C)1解析:本題屬于幾何概型求概率問題,設矩形長為a,寬為b,則點取自△ABE內(nèi)部的概率P=S△ABES矩形ABCD答案:C.21.(年湖南卷,文15)已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.(1)圓C的圓心到直線l的距離為;

(2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為.

解析:(1)圓心(0,0),∴圓心到4x+3y-25=0的距離d=|-25(2)如圖l1∥l,l1與圓x2+y2=12相交于M,N兩點,且l1與l的距離為2,則當點A位于劣弧MN上時,A到l的距離小于2.|OD|=|OH|-2=5-2=3,|ON|=23,∴cos∠DON=|OD||ON|∴∠DON=π6,∴∠MON=π∴MEN的長度為2π×23×16=2∴由幾何概型概率計算公式得點A到直線l的距離小于2的概率P=MEN的長度圓的周長=23答案:(1)5(2)122.(年湖南卷,文11)在區(qū)間[-1,2]上隨機取一個數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為.

解析:∵區(qū)間[-1,2]的區(qū)間長度為3,區(qū)間[0,1]的區(qū)間長度為1.∴由幾何概型概率計算公式知x∈[0,1]的概率為13答案:123.(年全國新課標卷,文14)設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且恒有0≤f(x)≤1,可以用隨機模擬方法近似計算由曲線y=f(x)及直線x=0,x=1,y=0所圍成部分的面積S.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間[0,1]上的均勻隨機數(shù)x1,x2,…,xN和y1,y2,…,yN,由此得到N個點(xi,yi)(i=1,2,…,N).再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的點數(shù)N1,那么由隨機模擬方法可得S的近似值為.

解析:由0≤f(x)≤1可知曲線y=f(x)與直線x=0,x=1,y=0圍成了一個曲邊梯形.又產(chǎn)生的隨機數(shù)對在如圖所示的正方形內(nèi),正方形的面積為1,共有N對數(shù),即有N個點,且滿足yi≤f(xi)(i=1,2,…,N)的有N1個點,即在函數(shù)f(x)圖象上及下方有N1個點,所以由幾何概型的概率公式得:曲線y=f(x)與x=0,x=1,y=0圍成的面積為N1N×1=答案:N(年北京卷,文16,13分)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認,在圖中以X表示.(1)如果X=8,求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差;(2)如果X