北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】 1【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】 2【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】 4【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進行證明】 5【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進行計算】 7【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 8【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】 10【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】 11【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】 13【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】 14【知識點平行線的性質(zhì)】1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補.簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補.【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】【例1】（2023下·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，則下列結(jié)論：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正確的有．

【變式1-1】（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谥校┤鐖D所示，已知AB∥CD，點E在線段AD上（不與點A、點D重合），連接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．則

A．45° B．75° C．46° D．76°【變式1-2】（2023下·陜西西安·八年級校考期末）如圖，已知AM∥BN,∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時不需要寫出每一步的理由）

(1)求∠CBD的度數(shù)．(2)當點P運動時，那么∠APB:∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律．【變式1-3】（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，點D是AC延長線上的一點，過點D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分線交于點G．

(1)如圖1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出(2)如圖2，若∠ACB≠90°，試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】【例2】（2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，EF是折痕，若∠EFB=34°，則以下結(jié)論正確的是（

）①∠C'EF=34°；②∠AEC=146°；③

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，將△ADE沿DE折疊得到△A【變式2-2】（2023下·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，已知長方形紙片ABCD，點E，F(xiàn)在AD邊上，點G，H在BC邊上，分別沿EG，F(xiàn)H折疊，使點D和點A都落在點M處，若α+β=120°，則∠EMF的度數(shù)為（

）

A．57° B．58° C．59° D．60°【變式2-3】（2023下·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應(yīng)點為C'，D'，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應(yīng)點為A'

(1)若C'、D'在直線AD的上方，當α=50°且滿足C'(2)在（1）的條件下，猜想直線EF和GH的位置關(guān)系，并證明(3)在點G，H運動的過程中，若C'H∥B'【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】【例3】（2023下·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線m與出射光線n平行，若入射光線m與鏡面AB的夾角∠1=40°，且∠2=40°，則∠6的度數(shù)為（

）

A．100° B．90° C．80° D．70°【變式3-1】（2023下·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，則∠A的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【變式3-2】（2023·天津·天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？寄M預(yù)測）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，如圖，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，則∠3=°，∠4=°．【變式3-3】（2023下·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，為響應(yīng)國家新能源建設(shè)，公交站亭裝上了太陽能電池板．當?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行光線），如圖2，電池板AB與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，要使AB∥CD，需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度，α=．

【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進行證明】【例4】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┩瓿上旅娴淖C明：如圖，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE=90°，求證：

證明：∵AB∥∴∠APE=______（__________），∵EP⊥EQ，∴∠PEQ=______（__________）．即∠2+∠3=90°，∴∠APE+∠3=90°，∵∠1+∠APE=90°，∴∠1=______，∴______∥CD又∵AB∥∴AB∥【變式4-1】（2023下·山東濰坊·八年級階段練習(xí)）如圖所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD與AE相交于點F，∠CFE=∠E，試證明：

【變式4-2】（2023下·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點A、D、E、F四點共線，已知BE∥CF，∠5=∠A，求證：∠1=∠2．完善下面的解答過程．

證明：因為∠3=∠4（已知），所以AE∥（所以∠EDC=∠5（），因為∠5=∠A（已知），所以∠EDC=，所以DC∥AB，所以∠5+∠ABC=180°，（）即：∠5+∠3+∠2=180°，因為BE∥CF（已知），所以∠BCF+∠3=180°，即：∠5+∠1+∠3=180°，因此∠1=∠2（）．【變式4-3】（2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠GDB+∠F=180°，∠DEF=∠B．用等式表示∠AED與【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進行計算】【例5】（2023下·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐如圖，三角形ABC中，∠ABC=30°，∠BCA=90°，∠BAC=60°．將三角形ABC向右平移得到三角尺DEF．分別連接AD，CF，BE．(1)線段AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是：____________，其依據(jù)是____________；(2)求證：∠ADF+∠BEF=90°；(3)猜想∠BAD與∠BCF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式5-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知DE∥BC，∠ABC=105°，點F在射線BA上，且∠EDF=125

【變式5-2】（2023上·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D在BC上，點E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．

(1)求∠BFD的度數(shù)．(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度數(shù)．【變式5-3】（2023下·江蘇泰州·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D、F在BC邊上，點E在AB邊上，點G在AC邊上，EF與GD的延長線交于點H，∠BDH=∠B，∠AEH=∠ADH．

(1)EH與AD平行嗎？為什么？(2)若∠H=40°，求∠BAD的度數(shù)．【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例6】（2023下·河北石家莊·八年級石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，直線m∥n，直線PQ和直線m、n分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線m、n上，點O在直線PQ上，連接OA，

(1)猜想：如圖1，若點O在線段PQ上，∠OAC=25°，∠OBD=30°，則∠AOB=_____________；(2)探究：如圖1，若點O在線段PQ上，寫出∠AOB，∠OAC，∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)拓展：如圖2，若點O在射線CP上或在射線DQ上時，寫出∠AOB，∠OAC，∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式6-1】（2023下·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段AB平移至DC，使點A與點D對應(yīng)，點B與點C對應(yīng)，連接AD，BC．E為BC延長線上一點，連接DE，BD，且∠ECD=∠EDC，作DF平分∠BDE交BE于點F．

(1)若當∠ADC=70°,∠BDE=110°時，求∠CDF的度數(shù)；(2)若∠CDF=α,∠DBC=β，試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式6-2】（2023下·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┮阎核倪呅蜛BCD，AD∥BC（如圖1），點P在直線CD上運動，點P和點C，D不重合，點P，A，B不在同一條直線上，若記∠DAP，∠APB，∠PBC分別為∠α，∠β，

(1)如圖2，當點P在線段CD上運動時，寫出∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系并說出理由．

(2)如果點P在線段CD的延長線上運動，探究∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系，并說明理由．【變式6-3】（2023下·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知∠A=50°，C為射線AD上一點(不與點A重合)，連接BC

【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點C作CE（1）若∠BCD=73°，求∠B的度數(shù)；（2）若∠B=30°，求∠BCD的度數(shù)；【探究】直接寫出圖1中∠A,∠B和∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系：；【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題．如圖3，∠A=50°，C為射線AD上一點(不與點A重合)，在射線BC上取一點O，過點O作直線MN，使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于點E，OF平分∠BON交AD于點F，OG∥BE交AD于點G，當點【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】【例7】（2023下·湖北十堰·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AM∥BN，∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點C，D．

(1)∠CBD=__________°；(2)當點P運動時，∠APB∠ADB(3)當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)．【變式7-1】（2023下·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）已知直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，連接EF，F(xiàn)G平分(1)如圖1，連接EG，若EG平分∠BEF．求∠G的度數(shù)；(2)如圖2，連接EG，若∠BEG=∠FEH，猜想∠EHF和∠G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，點H為線段EF（端點除外）上的一個動點，過點H作EF的垂線交AB于M，連接MG，若MG平分∠EMH，問∠G的度數(shù)是否為定值？若是，求出∠G的度數(shù)；若不是，請說明理由．【變式7-2】（2023下·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，∠EFH=90°，點A，C分別在射線FE和FH上，AB∥(1)若∠FAB=150°，則∠HCD的度數(shù)為______；(2)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，無論∠FAB如何變化，∠FAB?∠HCD的值始終為定值，并給出了一種證明該發(fā)現(xiàn)的輔助線作法：如圖②，過點A作AM∥FH，交CD于點(3)如圖③，把“∠EFH=90°”改為“∠EFH=120°”，其他條件保持不變，猜想∠FAB與∠HCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式7-3】（2023下·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，點A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點B，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，∠1+∠2=90°．(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請予以證明；若不是，請說明理由．【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】【例8】（2023下·四川成都·八年級樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖①，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，（2）如圖②，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，（3）如圖③，已知AB∥CD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式8-1】（2023上·廣東江門·八年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線AE，BF被直線AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2，分別平分∠BAC1和∠ABC【變式8-2】（2023下·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)?？计谥校┰谛W(xué)我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180°；科學(xué)實驗又證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．例如：在圖①、圖②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC=α．(1)如圖①，若α=90°，∠1=50°，則∠4=_________°；(2)如圖②，若α=115°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH=β．求β的度數(shù)；(3)如圖③，若90°<α<180°，設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD=γ90°<γ<180°，入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1=m0°<m<90°，已知入射光線EF從鏡面AB反射到鏡面BC，再反射到鏡面CD，最后經(jīng)鏡面CD反射后，當反射光線與入射光線EF平行時，探索m與【變式8-3】（2023上·廣東廣州·八年級廣州市黃埔軍校紀念中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖①所示，四邊形MNBD為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是（度）．【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】【例9】（2023下·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）將一副三角尺的直角頂點重合按如圖放置，其中∠CAB=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°．有下列結(jié)論：（1）∠BAE與∠CAD互為補角；（2）若∠BAD=60°，則AC∥DE；（3）若BC∥AD，則BC⊥AE；（4）若AB⊥DE，則∠CAD=150°．

其中正確的結(jié)論個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-1】（2023上·河南鄭州·八年級校考期末）一副三角尺如圖所示擺放，∠α的大小為（

）度A．90 B．100 C．105 D．120【變式9-2】（2023下·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末）含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如圖擺放，若AB∥DE，∠C=45°，∠D=60°，則∠1的度數(shù)是（

）

A．75° B．90° C．100° D．105°【變式9-3】（2023下·貴州六盤水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，MN∥PQ，將兩塊直角三角尺（一塊含30°，一塊含45°）按如下方式進行擺放，恰好滿足∠NAC=20°，∠MAE=∠CBQ．

(1)求∠CBQ的度數(shù)；(2)試判斷AB與DE的位置關(guān)系，并說明理由．【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】【例10】（2023上·山西太原·八年級?？计谀﹩栴}情境：如圖1，將含30°角的三角板ABC和含45°角的三角板ADE疊放在一起，使直角頂點重合，點D落在直線AB上，點E落在直線AC上．△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，邊DE與AB、BC分別相交與點F、點N，邊AE與BC相交于點M．(1)如圖2，當AD∥BC時：①求∠DFB②判斷∠DAB與∠(2)如圖3，當AE平分∠BAC①求∠DFB②判斷AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由．【變式10-1】（2023下·重慶·八年級西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法錯誤的是（

）A．當α＝15°時，DC∥ABB．當OC⊥AB時，α＝45°C．當邊OB與邊OD在同一直線上時，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個旋轉(zhuǎn)過程，共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【變式10-2】（2023下·四川成都·八年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜绺o密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了A，D兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．假定主道路是平行的，即PQ∥CN，A，B為PQ上兩點，AD平分∠CAB交CN于點D，E為AD上一點，連接BE，AF平分∠BAD交BE于點

(1)若∠C=20°，則∠EAP=；(2)作AG交CD于點G，且滿足∠1=13∠ADC，當∠2+6(3)在（1）問的條件下，探照燈A、D照出的光線在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn)，探照燈射出的光線AC以每秒5度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，探照燈D射出的光線DN以每秒15度的速度逆時針轉(zhuǎn)動，DN轉(zhuǎn)至射線DC后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，若它們同時開始轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t秒，當DN回到出發(fā)時的位置時同時停止轉(zhuǎn)動，則在轉(zhuǎn)動過程中，當AC與DN互相平行或垂直時，請直接寫出此時t的值．【變式10-3】（2023下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知直線EF與直線AB、CD分別交于E、F兩點，∠AEF和∠CFE的角平分線交于點P，且∠AEP+∠CFP=90°．（1）求證：AB//（2）如圖，∠PEF和∠PFM的角平分線交于點Q，求∠Q的度數(shù)；專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】 1【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】 5【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】 10【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進行證明】 13【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進行計算】 17【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 22【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】 29【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】 38【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】 45【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】 50【知識點平行線的性質(zhì)】1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補.簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補.【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】【例1】（2023下·福建廈門·八年級校考期中）如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，OG⊥CD，∠CDO=50°，則下列結(jié)論：①∠AOE=65°；②OF平分∠BOD；③∠GOE=∠DOF；④∠AOE=∠GOD．其中正確的有

【答案】①②③【分析】由CD∥AB，∠CDO=50°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得∠BOD的度數(shù)，∠AOE的度數(shù)；又由OF⊥OE，即可求得∠BOF的度數(shù)，得到OF平分∠BOD，由OG⊥CD，即可求得∠GOE與【詳解】解：∵CD∥AB，∴∠BOD=∠CDO=50°，∴∠AOD=180°?∠BOD=130°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=1故①正確；∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠BOF=180°?∠EOF?∠AOE=25°，∵∠BOD=50°，∴OF平分∠BOD；故②正確；∵OG⊥CD，CD∥∴OG⊥AB，∴∠AOG=90°，∴∠GOE=90°?∠AOE=25°，∵∠DOF=1∴∠GOE=∠DOF；故③正確；∵∠GOE=∠DOF=25°，∠EOF=90°，∴∠GOD=∠EOF?∠GOE?∠DOF=40°，∵∠AOE=65°，∴∠AOE≠∠GOD故④錯誤．故答案為：①②③【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式1-1】（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中?？计谥校┤鐖D所示，已知AB∥CD，點E在線段AD上（不與點A、點D重合），連接CE，若∠C=15°，∠AEC=60°．則

A．45° B．75° C．46° D．76°【答案】D【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】∵∠C+∠ADC=∠AEC，∴∠ADC=∠AEC?∠C＝∵AB∥∴∠A=∠ADC=30°，【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023下·陜西西安·八年級?？计谀┤鐖D，已知AM∥BN,∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時不需要寫出每一步的理由）

(1)求∠CBD的度數(shù)．(2)當點P運動時，那么∠APB:∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律．【答案】(1)∠CBD=60°；(2)不變，理由見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論．【詳解】（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°?60°=120°，∴∠ABP+∠PBN=120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=120°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；（2）不變，∠APB:∠ADB=2:1．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB:∠ADB=2:1．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)并靈活運用，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式1-3】（2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，點D是AC延長線上的一點，過點D作DE∥BC，∠ABC和∠ADE的平分線交于點G．

(1)如圖1，若∠ACB=90°，∠A=40°，求出(2)如圖2，若∠ACB≠90°，試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)20°(2)∠A=2∠G，見解析【分析】（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠ABC=50°，分別根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理得∠G的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，可得∠A和∠G的關(guān)系．【詳解】（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG=25°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠BCD=90°，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF=45°，∴∠CFD=45°，∴∠G=∠CFD?∠CBG=45°?25°=20°；（2）如圖2，∠A=2∠G，理由是：由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD，設(shè)∠ABG=x，∠CDF=y，∵∠ACB=∠DCF，∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD，即∠A+2x=2y，∴y=1同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF，∴∠A+x=∠G+y，即∠A+x=∠G+1∴∠A=2∠G；【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì)，解決該題型題目時，利用平行線的性質(zhì)找出相等（或互補）的角是關(guān)鍵．【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】【例2】（2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，EF是折痕，若∠EFB=34°，則以下結(jié)論正確的是（

）①∠C'EF=34°；②∠AEC=146°；③

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對各結(jié)論進行逐一分析，即可解答．【詳解】解：∵AC'∥∴∠C由折疊可知，∠C∴∠AEC=180°?∠C∵AC'∴∠BGE=180°?∠AEC=68°，③結(jié)論正確；∵CE∥DF，且∴∠BFD=180°?∠CGF=112°，④結(jié)論正確；所以，以上結(jié)論正確的是①③④，【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級期中）如圖，在△ABC中，DE∥BC，∠B=50°，將△ADE沿DE折疊得到△A【答案】80【分析】由兩直線平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；由折疊的性質(zhì)知∠ADE=∠A1DE【詳解】解：∵DE∥∴∠ADE=∠B=50°.又∵∠ADE=∠∴∠∴∠BD故答案為：80°．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)、翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023下·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，已知長方形紙片ABCD，點E，F(xiàn)在AD邊上，點G，H在BC邊上，分別沿EG，F(xiàn)H折疊，使點D和點A都落在點M處，若α+β=120°，則∠EMF的度數(shù)為（

）

A．57° B．58° C．59° D．60°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEG=α，∠AFH=β，由折疊得∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，求出∠MEF和∠MFE，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求出答案．【詳解】解：∵在長方形ABCD中，AD∥∴∠DEG=α，∠AFH=β，由折疊得：∠DEM=2∠DEG=2α，∠AFM=2∠AFH=2β，∴∠MEF=180°?2α，∠MFE=180°?2β，∴∠EMF=180°?=2α+β∵α+β=120°，∴∠EMF=240°?180°=60°；故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和等于180°與軸對稱的性質(zhì)．【變式2-3】（2023下·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應(yīng)點為C'，D'，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應(yīng)點為A'

(1)若C'、D'在直線AD的上方，當α=50°且滿足C'(2)在（1）的條件下，猜想直線EF和GH的位置關(guān)系，并證明(3)在點G，H運動的過程中，若C'H∥B'【答案】(1)40°(2)EF⊥GH，理由見解析過程(3)∠CHG=90°?a或180°?α【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠BFB'=2∠EFB=100°，∠CHG=（2）由平行線的性質(zhì)可求∠PFH=∠CHG=40°，可求∠EFP=90°，即可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）解：由折疊得：∠BFB'=2∠EFB=100°∴∠B∵C'∴∠CHC∴∠CHG=1（2）解：猜想：EF⊥GH，理由如下：如圖，過點F作FP∥HG交AD于點

∴∠PFH=∠CHG=40°，∵∠EFB=50°，∴∠EFP=180°?40°?50°=90°，即EF⊥FP．又∵FP∥∴EF⊥GH；（3）解：如圖，當C'、D'在直線

由折疊得：∠BFB'=2∠EFB=2α∴∠B∵C'∴∠CHC∴∠CHG=1如圖，當C'、D'在直線

由折疊得：∠BFB'∵AD∥∴∠BFB'=∠FPG=2α∵C'H∥∴D'∴∠DGD∴∠DGH=1∴∠CHG=180°?a，綜上所述：∠CHG=90°?a或180°?α．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】【例3】（2023下·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線m與出射光線n平行，若入射光線m與鏡面AB的夾角∠1=40°，且∠2=40°，則∠6的度數(shù)為（

）

A．100° B．90° C．80° D．70°【答案】D【分析】先根據(jù)∠1和∠2的度數(shù)，求出∠5的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵∠1=40°，∠2=40°，∠1+∠2+∠5=180°，∴∠5=180°?40°?40°=100°，∵入射光線m與出射光線n平行，∴∠6=∠5=100°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運用平行線的性質(zhì)定理推理是解此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中）圖①是某種青花瓷花瓶，圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖，已知AG∥EF，AB∥DE，若∠DEF=120°，則∠A的度數(shù)為（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】D【分析】連接CF，根據(jù)AB∥CF，AG∥EF可得出∠CFE=∠BAG，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接CF，延長AG交CF于點H，作MN∥AG，如圖∵AB∥CF∥DE，∠DEF=120°∴∠CEF=180°?120°=60°，∠AHF=∠BAG∵AG∥EF，AG∥MN∴∴∠AHF=∠MNF，EF∥MN∴∠CFE=∠FNM=∠BAG=60°．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·天津·天津?qū)嶒炛袑W(xué)?？寄M預(yù)測）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，如圖，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，則∠3=°，∠4=°．【答案】4558【分析】先根據(jù)EG∥FH得出∠3的度數(shù)，再由AB∥CD得出∠ECD的度數(shù)，根據(jù)CE∥DF即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖：∵EG∥FH，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°．∵AB∥CD，∠2=122°，∴∠ECD=180°-122°=58°．∵CE∥DF，∴∠4=∠ECD=58°．故答案是：45；58．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)進行解題.【變式3-3】（2023下·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，為響應(yīng)國家新能源建設(shè)，公交站亭裝上了太陽能電池板．當?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行光線），如圖2，電池板AB與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，要使AB∥CD，需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度，α=．

【答案】20【分析】先根據(jù)AB與太陽光線互相垂直，得出∠FEB=28°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得當AB∥CD時，【詳解】解：∵AB與太陽光線互相垂直，∴∠FEB=90°?62°=28°，當AB∥CD時，∴需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)48°?28°=20°，故答案為：20．

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進行證明】【例4】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┩瓿上旅娴淖C明：如圖，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE=90°，求證：

證明：∵AB∥∴∠APE=______（__________），∵EP⊥EQ，∴∠PEQ=______（__________）．即∠2+∠3=90°，∴∠APE+∠3=90°，∵∠1+∠APE=90°，∴∠1=______，∴______∥CD又∵AB∥∴AB∥【答案】∠2，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；90°，垂直定義；∠3；EF，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線互相平行【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APE=∠2，再根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠2+∠3=90°，再根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵AB∥∴∠APE=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵EP⊥EQ，∴∠PEQ=90°（垂直定義），即∠2+∠3=90°．∴∠APE+∠3=90°，∵∠1+∠APE=90°，∴∠1=∠3，∴EF∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行又∵AB∥∴AB∥CD（【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023下·山東濰坊·八年級階段練習(xí)）如圖所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD與AE相交于點F，∠CFE=∠E，試證明：

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAE=∠CFE，根據(jù)角平分線定義得出∠BAE=∠DAF，求出∠DAF=∠E，根據(jù)平行線的判定得出即可．【詳解】證明：∵AB∥∴∠BAE=∠CFE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∴∠CFE=∠DAF，∵∠CFE=∠E，∴∠DAF=∠E，∴AD∥【點睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運用平行線的性質(zhì)和判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023下·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點A、D、E、F四點共線，已知BE∥CF，∠5=∠A，求證：∠1=∠2．完善下面的解答過程．

證明：因為∠3=∠4（已知），所以AE∥（所以∠EDC=∠5（），因為∠5=∠A（已知），所以∠EDC=，所以DC∥AB，所以∠5+∠ABC=180°，（）即：∠5+∠3+∠2=180°，因為BE∥CF（已知），所以∠BCF+∠3=180°，即：∠5+∠1+∠3=180°，因此∠1=∠2（）．【答案】BC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠A，同旁內(nèi)角互補；等量代換【分析】由內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AE∥BC，則有∠EDC=∠5，從而可求得∠EDC=∠A，即可得DC∥AB，∠5+∠ABC=180°，即可求證．【詳解】解：∵∠3=∴AE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴∠EDC=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵∠5=∠A（已知），∴∠EDC=∠A．∴DC∥AB，∴∠5+∠ABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．即：∠5+∠3+∠2=180°，∵BE∥∴∠BCF+∠3=180°，即：∠5+∠1+∠3=180°，∴∠1=∠2（等量代換）．故答案為：BC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠A，同旁內(nèi)角互補；等量代換【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理與性質(zhì)并靈活運用．【變式4-3】（2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠GDB+∠F=180°，∠DEF=∠B．用等式表示∠AED與【答案】∠AED=∠HCK，證明見解析【分析】根據(jù)同角的補角相等得到∠F=∠BDF，進而證明AB∥EF得到∠BDE+∠DEF=180°，由此可得∠B+∠BDE=180°得到DE∥BC，再由平行線的性質(zhì)和對頂角相等即可證明∠AED=∠HCK．【詳解】解：∠AED=∠HCK，證明如下：∵∠GDB+∠F=180°，∠GDB+∠BDF=180°，∴∠F=∠BDF，∴AB∥EF，∴∠BDE+∠DEF=180°，∵∠B=∠DEF，∴∠B+∠BDE=180°，∴DE∥BC，∴∠AED=∠ACB，又∵∠HCK=∠ACB，∴∠AED=∠HCK．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，對頂角相等，同角的補角相等等知識，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進行計算】【例5】（2023下·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐如圖，三角形ABC中，∠ABC=30°，∠BCA=90°，∠BAC=60°．將三角形ABC向右平移得到三角尺DEF．分別連接AD，CF，BE．(1)線段AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是：____________，其依據(jù)是____________；(2)求證：∠ADF+∠BEF=90°；(3)猜想∠BAD與∠BCF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)AD=CF，AD∥(2)見解析(3)∠BAD?∠BCF=30°．理由見解析【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可解答；（2）延長CF至點G．由題意可知AD∥FG∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)即得出∠ADF=∠DFG，∠BEF=∠GFE，從而得出∠ADF（3）延長EB至H，由AD∥BE，可推出∠BAD=∠ABH．由CF∥BE，可推出∠BCF=∠CBH，從而即可得出∠BAD【詳解】（1）AD=CF，AD∥（2）證明：如圖，延長CF至點G．由平移可得：AD∥∴AD∥∴∠ADF=∠DFG，∠BEF=∠GFE，∴∠ADF（3）∠BAD?∠BCF=30°．理由如下：如圖，延長EB至H，∵AD∥∴∠BAD=∠ABH，∵CF∥∴∠BCF=∠CBH，∴∠BAD【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角板中的角度計算．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知DE∥BC，∠ABC=105°，點F在射線BA上，且∠EDF=125

【答案】20°或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，分兩種情況討論，畫出圖形，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠DFB的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是知道分兩種情況對點F討論．【詳解】解：分兩種情況：①如圖，延長ED交AB于G，

∵DE∥∴∠FGD=∠B=105°，又∵∠EDF=125°，∴∠DFB=125°?105°=20°；②如圖，過F作FG∥

∵DE∥∴FG∥∴∠EDF+∠DFG=180°，∠B+∠BFG=180°，又∵∠ABC=105°，∠EDF=125°，∴∠BFG=75°，∠DFG=55°，∴∠DFB=75°+55°=130°，故答案為：20°或130°．【變式5-2】（2023上·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D在BC上，點E在AC上，AD交BE于F．已知EG∥AD交BC于G，EG平分∠BEH，EH⊥BE交BC于H．

(1)求∠BFD的度數(shù)．(2)若∠BAD=∠EBC，∠C=47°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)45°(2)88°【分析】（1）由EH⊥BE得到∠BEH=90°，由EG平分∠BEH得到∠BEG=45°，進而由AD∥EG得到∠BFD=45°；（2）由三角形的外角性質(zhì)得到∠BFD=∠BAD+∠ABE，然后結(jié)合∠BAD=∠EBC得到∠ABC=∠BFD=45°，再結(jié)合∠C=47°和三角形的內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵EH⊥BE，∴∠BEH=90°，∵EG平分∠BEH，∴∠BEG=∠HEG=1又∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=45°；（2）解：∵∠BFD=∠BAD+∠ABE，∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=45°，∵∠C=47°，∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C=180°?45°?47°=88°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)求得∠BFD的度數(shù)．【變式5-3】（2023下·江蘇泰州·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，點D、F在BC邊上，點E在AB邊上，點G在AC邊上，EF與GD的延長線交于點H，∠BDH=∠B，∠AEH=∠ADH．

(1)EH與AD平行嗎？為什么？(2)若∠H=40°，求∠BAD的度數(shù)．【答案】(1)平行，見解析(2)40°【分析】（1）EH∥AD，理由如下：由已知條件，∠BDH=∠B，根據(jù)平行線的判定可得AB∥GH，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAD+∠ADH=180°，等量代換得到∠BAD+∠AEH=180°，即可得出答案；（2）結(jié)合（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）EH∥AD，理由如下：∵∠BDH=∠B，∴AB∥GH，∴∠BAD+∠ADH=180°，∵∠AEH=∠ADH，∴∠BAD+∠AEH=180°，∴EH∥AD；（2）∵∠BAD+∠ADH=180°，又∵EH∥AD，∴∠H+∠ADH=180°，∴∠H=∠BAD，∵∠H=40°，∴∠BAD=40°．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例6】（2023下·河北石家莊·八年級石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，直線m∥n，直線PQ和直線m、n分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線m、n上，點O在直線PQ上，連接OA，

(1)猜想：如圖1，若點O在線段PQ上，∠OAC=25°，∠OBD=30°，則∠AOB=_____________；(2)探究：如圖1，若點O在線段PQ上，寫出∠AOB，∠OAC，∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)拓展：如圖2，若點O在射線CP上或在射線DQ上時，寫出∠AOB，∠OAC，∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)55°(2)∠AOB=∠OAC+∠OBD，理由見解析(3)∠AOB=∠OBD?∠OAC或∠AOB=∠OAC?∠OBD，理由見解析【分析】（1）如圖所示，過點O作OE∥m，可得m∥n∥OE，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AOE=∠OAC=25°，∠BOE=∠OBD=30°，由此即可求解；（2）證明方法同（1）；（3）根據(jù)點的不同位置，分類討論，①如圖2，當點O在射線CP上時，過點O作OE∥m；②如圖3，當點O在射線DQ上時，過點O作OE∥m；根據(jù)平行性的性質(zhì)，圖形結(jié)合分析，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點O作OE∥m，

∵m∥n，∴m∥n∥OE，

∴∠AOE=∠OAC=25°，∠BOE=∠OBD=30°，∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD=25°+30°=55°，故答案為：55°．（2）解：∠AOB=∠OAC+∠OBD，理由如下：如圖1，過點O作OE∥m，

∵m∥n，∴m∥n∥OE，

∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD，即∠AOB=∠OAC+∠OBD．（3）解：∠AOB=∠OBD?∠OAC或∠AOB=∠OAC?∠OBD，理由如下：①如圖2，當點O在射線CP上時，過點O作OE∥m，

∵m∥n，∴m∥n∥OE，

∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，∴∠AOB=∠BOE?∠AOE=∠OBD?∠OAC，即∠AOB=∠OBD?∠OAC；②如圖3，當點O在射線DQ上時，過點O作OE∥m，

∵m∥n，∴m∥n∥OE，

∴∠AOE=∠OAC，∠BOE=∠OBD，∴∠AOB=∠AOE?∠BOE=∠OAC?∠OBD，即∠AOB=∠OAC?∠OBD；綜上所述，∠AOB=∠OBD?∠OAC或∠AOB=∠OAC?∠OBD．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023下·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段AB平移至DC，使點A與點D對應(yīng)，點B與點C對應(yīng)，連接AD，BC．E為BC延長線上一點，連接DE，BD，且∠ECD=∠EDC，作DF平分∠BDE交BE于點F．

(1)若當∠ADC=70°,∠BDE=110°時，求∠CDF的度數(shù)；(2)若∠CDF=α,∠DBC=β，試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)15°(2)α=1【分析】（1）平移，得到AD∥BC，推出∠ECD=∠EDC=70°，角平分線的定義，得到∠EDF=∠BDF=12∠BDE=55°（2）設(shè)∠FDE=x,∠CDF=α，得到∠DCE=∠CDE=x+α，角平分線推出∠BDC=∠BDF?∠CDF=x?α，進而得到∠DBC=∠DCF?∠BDC=x+α【詳解】（1）解：∵將線段AB平移至DC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC,∠ADC=∠ECD=70°，∴∠ECD=∠EDC=70°，∴∠ADC=∠EDC，∵DF平分∠BDE，∴∠EDF=∠BDF=1∴∠CDF=∠CDE?∠FDE=15°；（2）α=1理由：設(shè)∠FDE=x,∠CDF=α，則∠DCE=∠CDE=x+α，∵DF平分∠BDE，∴∠BDF=∠EDF=x，∴∠BDC=∠BDF?∠CDF=x?α，∴∠DBC=∠DCF?∠BDC=x+α∴∠CDF=12∠DBC【點睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，與角平分線有關(guān)的計算．解題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)，理清角之間的和差，倍數(shù)關(guān)系．【變式6-2】（2023下·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┮阎核倪呅蜛BCD，AD∥BC（如圖1），點P在直線CD上運動，點P和點C，D不重合，點P，A，B不在同一條直線上，若記∠DAP，∠APB，∠PBC分別為∠α，∠β，

(1)如圖2，當點P在線段CD上運動時，寫出∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系并說出理由．

(2)如果點P在線段CD的延長線上運動，探究∠α，∠β，∠γ之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)∠β=∠α+∠γ(2)∠β=∠γ?∠α【分析】（1）過點P作PE∥AD，如圖1，由PE∥AD得∠α=∠APE，由AD∥BC得PE∥BC，則∠γ=∠BPE，所以（2）如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AD∥BC得∠PBC=∠1，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠PAD+∠APB，所以∠APB=∠PBC?∠PAD，即∠β=∠γ?∠α．【詳解】（1）∠β=∠α+∠γ．理由如下：過點P作PE∥AD，如圖1，∵PE∥AD，∴∠α=∠APE，∵AD∥BC，∴PE∥BC，∴∠γ=∠BPE，∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ；（2）如圖2，∵AD∥BC，∴∠PBC=∠1，而∠1=∠PAD+∠APB，∴∠APB=∠PBC?∠PAD，即∠β=∠γ?∠α．

【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式6-3】（2023下·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知∠A=50°，C為射線AD上一點(不與點A重合)，連接BC

【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點C作CE（1）若∠BCD=73°，求∠B的度數(shù)；（2）若∠B=30°，求∠BCD的度數(shù)；【探究】直接寫出圖1中∠A,∠B和∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系：；【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題．如圖3，∠A=50°，C為射線AD上一點(不與點A重合)，在射線BC上取一點O，過點O作直線MN，使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于點E，OF平分∠BON交AD于點F，OG∥BE交AD于點G，當點【答案】（1）23°（2）80°【探究】∠BCD=∠BAD+∠B【拓展】不變，25°【分析】【發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)∠BAD=∠ECD=50°，再求出∠BCE的度數(shù)，利用內(nèi)錯角相等可求出角的度數(shù)；（2）由（1）可得出∠BCD=∠A+∠B=50°+30°=80°；【探究】過點C作CE∥【拓展】運用（2）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，可求出∠FOG度數(shù)，可得結(jié)論．【詳解】【發(fā)現(xiàn)】(1)∵CE∥∴∠A=∠DCE=50°,∠B=∠BCE，∵∠BCD=73°∴∠B=∠BCE=∠BCD?∠DCE=23°（2）由（1）可知∠BCD=∠A+∠B=50°+30°=80°【探究】∠BCD=∠BAD+∠B，理由：過點C作CE∥則∠BAD=∠ECD,∠B=∠BCE，∵∠BCD=∠ECD+∠BCE，∴∠BCD=∠BAD+∠B；故答案為：∠BCD=∠BAD+∠B【拓展】不變，設(shè)∠ABE=x，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE=x，由【探究】結(jié)論可知∠BCD=∠BAD+∠ABC，且∠BAD=50°，則：∠BCD=50°+2x，∵AD∥MN，∴∠BCD=∠BON，∵OF平分∠BON，∴∠COF=∠NOF=1∵OG∥BE,∠COG=∠CBE=x，∴∠FOG=∠COF?∠COG=25°+x?x=25°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握用平行線的性質(zhì)證明角相等，通過等量代換等方法得出角之間的關(guān)系．【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】【例7】（2023下·湖北十堰·八年級?？计谥校┤鐖D，已知AM∥BN，∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點C，D．

(1)∠CBD=__________°；(2)當點P運動時，∠APB∠ADB(3)當點P運動到使∠ACB=∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)60(2)是定值，2(3)30°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，和平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，進行求解即可；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及角平分線的定義，進行求解即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及∠ACB=∠ABD，推出∠DBN=∠ABC，進而推出2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，即可得解．【詳解】（1）解：∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠ABN=180°?∠A=120°，∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠PBC=1∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，∴∠CBD=∠PBC+∠PBD=1故答案為：60．（2）∠APB∠ADB∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，設(shè)∠DBN=x，則∠PBN=2∠DBN=2x，∵AM∥∴∠ADB=∠DBN=x，∠APB=∠PBN=2x，∴∠APB（3）∵AM∥∴∠ACB=∠CBN，∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠CBN?∠CBD=∠ABD?∠CBD，∴∠DBN=∠ABC，∵AM∥∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=180°?∠A=120°，又∵BC平分∠ABP，∴∠ABP=2∠ABC，由（2）知，∠PBN=2∠DBN，∵∠ABN=∠ABP+∠PBN，∴2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°，∴∠ABC=30°．

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義．熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補，是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023下·四川達州·八年級統(tǒng)考期末）已知直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，連接EF，F(xiàn)G平分(1)如圖1，連接EG，若EG平分∠BEF．求∠G的度數(shù)；(2)如圖2，連接EG，若∠BEG=∠FEH，猜想∠EHF和∠G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，點H為線段EF（端點除外）上的一個動點，過點H作EF的垂線交AB于M，連接MG，若MG平分∠EMH，問∠G的度數(shù)是否為定值？若是，求出∠G的度數(shù)；若不是，請說明理由．【答案】(1)∠EGF＝90°(2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由見解析(3)∠MGF?的度數(shù)是為定值，且∠MGF＝45°?【分析】（1）根據(jù)EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干BE∥CF到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到結(jié)論：（2）過點G作GN∥AB，因為AB∥CD，所以GN∥CD．設(shè)∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°?∠EFG?∠FEH＝180°?α?β，即可解答；（3）過點G作GN∥AB，因為AB∥CD，所以GN∥CD．所以設(shè)∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根據(jù)∠EMH、∠EFD的平分線相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°?∠MEF＝90°?2β．再因為MH⊥EF，所以∠HME＝90°?∠MEF＝90°?2β．再根據(jù)MG平分∠BMH，利用等量代換即可得到結(jié)論MH⊥EF，所以∠HME＝90°?∠MEF＝90°?2β．再根據(jù)條件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°?β，即可得解．【詳解】（1）解：∵EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°，∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°，∴∠FEG＋∠GFE＝90°，∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°，∴∠EGF＝90°．（2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°，過點G作GN∥AB，∵AB∥CD，∴GN∥CD，∴設(shè)∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∵FG平分∠EFD，∴∠EFG＝∠GFD＝β，∵∠EHF＝180°?∠EFG?∠FEH＝180°?α?β，∴∠EHF＝180°?α?β＝180°?∠EGF，∴∠EGF＋∠EHF＝180°．（3）解：結(jié)論：∠MGF＝45°，理由如下：過點G作GN∥AB，∵AB∥CD，∴GN∥CD，∴設(shè)∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β，∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β，∵FG平分∠EFD，∴∠EFG＝∠GFD＝β，∵AB∥CD，∴∠MEF＝∠EFD＝2β，∵MH⊥EF，∴∠HME＝90°?∠MEF＝90°?2β，∵MG平分∠BMH，∴∠EMG＝∠GMH＝α＝12∠HME∴∠EMG＝α＝12∠HME＝12(90°?2β)＝45°?∴∠MGF＝α＋β＝45°?β＋β＝45°，∴∠MGF＝45°，∴∠MGF的度數(shù)是為定值．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023下·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，∠EFH=90°，點A，C分別在射線FE和FH上，AB∥(1)若∠FAB=150°，則∠HCD的度數(shù)為______；(2)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)，無論∠FAB如何變化，∠FAB?∠HCD的值始終為定值，并給出了一種證明該發(fā)現(xiàn)的輔助線作法：如圖②，過點A作AM∥FH，交CD于點(3)如圖③，把“∠EFH=90°”改為“∠EFH=120°”，其他條件保持不變，猜想∠FAB與∠HCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)60°(2)90°，理由見解析(3)∠FAB?∠HCD=60°，理由見解析【分析】（1）過點F作FG∥AB，如圖，由已知FG∥AB，∠FAB＝150°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFG＋∠FAB＝180°，可計算出∠AFG的度數(shù)，由∠EFH＝90°，可計算出∠CFG的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)即可得出答案；（2）由已知條件AM∥FH，∠EFH＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFH＋∠FAM＝180°，計算出∠FAM的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可得∠BAM＝∠AMC，由∠FAB?∠HCD＝∠FAB?∠BAM即可得出答案；（3）過點A作AN∥FH與CD相交與點N，如圖，由已知條件AN∥FH，∠EFH＝120°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFH＋∠FAM＝180°，∠HCD＝∠ANC，即可計算出∠FAN的度數(shù)，由∠FAB?∠HCD＝∠FAB?∠BAN，代入計算即可得出答案．【詳解】（1）解：過點F作FG∥AB，如圖所示，∵FG∥AB，∠FAB＝150°，∴∠AFG＋∠FAB＝180°，∴∠AFG＝180°?∠FAB＝180°?150°＝30°，∵∠EFH＝90°，∴∠CFG＝∠EFH?∠AFG＝90°?30°＝60°，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠HCD＝∠CFG＝60°．故答案為：60°；（2）解：該定值為90°．理由如下：∵AM∥FH，∴∠FAM=180°?∠EFH=180°?90°=90°，∠HCD=∠AMC．∵AB∥∴∠BAM=∠AMC．∴∠HCD=∠BAM．∴∠FAB?∠HCD=FAB?BAM=FAM=90°．∴無論∠FAB如何變化，∠FAB?∠HCD的值始終為定值，且該定值為90°．（3）解：∠FAB?∠HCD=60°．理由如下：過點A作AN∥FH，交CD于點∵AN∥FH，∴∠FAN=180°?∠EFH=180°?120°=60°，∠HCD=∠ANC．∵AB∥∴∠BAN=∠ANC．∴∠HCD=∠BAN．∴∠FAB?∠HCD=∠FAB?∠BAN=∠FAN=60°．【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，點A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點B，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，∠1+∠2=90°．(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請予以證明；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)∠F為定值，∠F=135°，理由見解析【分析】（1）過點E作EG∥BM，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出∠AED=∠1+∠2，即可求解．（2）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得出∠BAD+∠CDA=180°，再將各個角代入計算，得出(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∠5=∠2，即可求解．（3）過點F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，所以∠α+∠β=12【詳解】（1）證明：如圖1，過點E作EG∥BM，則∠1=∠3，∵BM∥CN，∴EG∥CN，∴∠4=∠2，∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠1，∵BM∥CN，∴∠BAD+∠CDA=180°，∴2∠1+∠CDA，=2∠1+∠2+∠5=180°，=(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠5=∠2，∴DE平分∠ADC．（3）∠F為定值．證明：如圖2，過點F作FH∥BM，設(shè)∠AFH=α，∠DFH=β，∵BM∥CN，∴FH∥CN，∴∠α+∠β=∠6+∠7，∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠α+∠β=1=180°?45°=135°，∴∠F=∠α+∠β=135°，∴∠F為定值，∠F=135°，故答案為：∠F=135°．【點睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線的性質(zhì)及角的和差計算等知識點．【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】【例8】（2023下·四川成都·八年級樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）如圖①，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，（2）如圖②，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，（3）如圖③，已知AB∥CD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】（1）∠2=∠1+∠3；（2）∠1+∠3=∠2+∠4；（3）∠1+【分析】（1）過E作EM//AB，推出AB//EM//CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；（2）通過作輔助線：過E作EM//AB，過F作NF//AB，得到EM//AB//NF//CD，得到（3）做輔助線，GM//CD通過（2）可知：∠1+∠3=∠2+（4）通過以上3個問題，發(fā)現(xiàn)：當AB∥【詳解】解：（1）∠2=∠1+∠3，理由是：過E作EM//AB，推出AB//EM//CD，過E作EM//∵AB//CD，∴AB//EM//CD，∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；∴∠2=∠1+∠3，（2）∠1+理由如下：過E作EM//AB，過F∵EM//AB，NF∴EM∴∠PEM=∠1同理：∠MEF=∠EFN∠4∴∠PEM即：∠2即：已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間關(guān)系：（3）∠1+理由如下：過點G，作GM由（2）可知：∠1∵GM∴∠5∴∠1+即：∠1（4）通過以上3個問題，發(fā)現(xiàn)：當AB∥CD時，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線，題目比較典型，是一道比較好的題目．【變式8-1】（2023上·廣東江門·八年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線AE，BF被直線AB所截，且AE∥BF，AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA，AC2，BC2，分別平分∠BAC1和∠ABC【答案】∠【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠C1，∠C【詳解】解：∵AE∥BF，∴∠BAE+∠ABF=180°，∵AC1，BC∴∠BAC1=∴∠BAC∴∠C∵AC2，BC2，分別平分∴∠BAC2=∴∠BAC∴∠C∵AC3，BC3分別平分∴∠BAC3=∴∠BAC∴∠C……由上面規(guī)律得：∠C故答案為：∠C【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識解題．【變式8-2】（2023下·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)?？计谥校┰谛W(xué)我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180°；科學(xué)實驗又證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．例如：在圖①、圖②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC=α．(1)如圖①，若α=90°，∠1=50°，則∠4=_________°；(2)如圖②，若α=115°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH=β．求β的度數(shù)；(3)如圖③，若90°<α<180°，設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD=γ90°<γ<180°，入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1=m0°<m<90°，已知入射光線EF從鏡面AB反射到鏡面BC，再反射到鏡面CD，最后經(jīng)鏡面CD反射后，當反射光線與入射光線EF平行時，探索m與【答案】(1)40(2)50°(3)γ?m=90°，理由見解析【分析】（1）利用光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等結(jié)合等量代換即可求解．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和∠1+∠4=65°，利用對頂角相等得∠1=∠MEB，∠4=∠MGB，再利用三角形內(nèi)角和結(jié)合等量代換即可求解．（3）延長NM和FE，交點為G，由（2）得∠MNH=180°?2∠5，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵∠1=50°，∴∠2=∠1=50°，∵∠α=90°，∴∠3=180°?90°?50°=40°，∴∠4=∠3=40°，故答案為：40．（2）∵∠α=115°，∴∠2+∠3=180°?115°=65°，∴∠1+∠4=65°，∵∠1=∠MEB，∠4=∠MGB，∴∠MEG∴∠EMG=∠β=180°?130°=50°．（3）γ?m=90°，理由如下：延長NM和FE，交點為G，如圖所示：由（2）的思路可得，∠G=180°?2m?2∠3=180°?2m+∠4∠MNH=180°?2∠5，∵EF∥NH，∴∠G+∠MNH=180°，即180°?2m+∠4整理得，m+∠4+∠5=90°，m+180°?γ即γ?m=90°．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)，列代數(shù)式，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．【變式8-3】（2023上·廣東廣州·八年級廣州市黃埔軍校紀念中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖①所示，四邊形MNBD為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則

（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是（度）．【答案】360540720180n【分析】過點E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和等于180°的（1）分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（2）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于180°的四倍；（3）根據(jù)前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．【詳解】過E作EH∥∵原四邊形是長方形，∴AB∥又∵EH∥∴CD∥∵EH∥∴∠BAE+∵CD∥∴∠2+∴∠BAE+又∵∠1+∴∠BAE+

（1）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得∠BAE+（2）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得∠BAE+（3）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．故答案為：360；540；