北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)_第1頁
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文檔簡介

專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】 1【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】 2【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】 4【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 5【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算】 7【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 8【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】 10【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】 11【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】 13【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】 14【知識點平行線的性質(zhì)】1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】【例1】(2023下·福建廈門·八年級??计谥校┤鐖D,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,OG⊥CD,∠CDO=50°,則下列結(jié)論:①∠AOE=65°;②OF平分∠BOD;③∠GOE=∠DOF;④∠AOE=∠GOD.其中正確的有.

【變式1-1】(2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中??计谥校┤鐖D所示,已知AB∥CD,點E在線段AD上(不與點A、點D重合),連接CE,若∠C=15°,∠AEC=60°.則

A.45° B.75° C.46° D.76°【變式1-2】(2023下·陜西西安·八年級??计谀┤鐖D,已知AM∥BN,∠A=60°,點P是射線AM上一動點(與A不重合),BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN,交射線AM于C、D,(推理時不需要寫出每一步的理由)

(1)求∠CBD的度數(shù).(2)當(dāng)點P運動時,那么∠APB:∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化?若不變,請求出這個比值;若變化,請找出變化規(guī)律.【變式1-3】(2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中)在△ABC中,點D是AC延長線上的一點,過點D作DE∥BC,∠ABC和∠ADE的平分線交于點G.

(1)如圖1,若∠ACB=90°,∠A=40°,求出(2)如圖2,若∠ACB≠90°,試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】【例2】(2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中)按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條,EF是折痕,若∠EFB=34°,則以下結(jié)論正確的是(

)①∠C'EF=34°;②∠AEC=146°;③

A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④【變式2-1】(2023上·福建福州·八年級期中)如圖,在△ABC中,DE∥BC,∠B=50°,將△ADE沿DE折疊得到△A【變式2-2】(2023下·廣東佛山·八年級??计谥校┤鐖D,已知長方形紙片ABCD,點E,F(xiàn)在AD邊上,點G,H在BC邊上,分別沿EG,F(xiàn)H折疊,使點D和點A都落在點M處,若α+β=120°,則∠EMF的度數(shù)為(

A.57° B.58° C.59° D.60°【變式2-3】(2023下·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末)如圖,有一張長方形紙條ABCD,AD∥BC,在線段DE,CF上分別取點G,H,將四邊形CDGH沿直線GH折疊,點C,D的對應(yīng)點為C',D',將四邊形ABFE沿直線EF折疊,點A,B的對應(yīng)點為A'

(1)若C'、D'在直線AD的上方,當(dāng)α=50°且滿足C'(2)在(1)的條件下,猜想直線EF和GH的位置關(guān)系,并證明(3)在點G,H運動的過程中,若C'H∥B'【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】【例3】(2023下·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末)如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖,兩個平面鏡的鏡面AB與CD平行,入射光線m與出射光線n平行,若入射光線m與鏡面AB的夾角∠1=40°,且∠2=40°,則∠6的度數(shù)為(

A.100° B.90° C.80° D.70°【變式3-1】(2023下·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中)圖①是某種青花瓷花瓶,圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖,已知AG∥EF,AB∥DE,若∠DEF=120°,則∠A的度數(shù)為(

)A.60° B.65° C.70° D.75°【變式3-2】(2023·天津·天津?qū)嶒炛袑W(xué)校考模擬預(yù)測)光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同,因此當(dāng)光線從水中射向空氣時,要發(fā)生折射,如圖,由于折射率相同,所以在水中平行的光線,在空氣中也是平行的.若水面和杯底是互相平行的,且∠1=45°,∠2=122°,則∠3=°,∠4=°.【變式3-3】(2023下·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中)如圖1,為響應(yīng)國家新能源建設(shè),公交站亭裝上了太陽能電池板.當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光(平行光線),如圖2,電池板AB與最大夾角時刻的太陽光線相垂直,要使AB∥CD,需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度,α=.

【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例4】(2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)??计谥校┩瓿上旅娴淖C明:如圖,已知AB∥EF,EP⊥EQ,∠1+∠APE=90°,求證:

證明:∵AB∥∴∠APE=______(__________),∵EP⊥EQ,∴∠PEQ=______(__________).即∠2+∠3=90°,∴∠APE+∠3=90°,∵∠1+∠APE=90°,∴∠1=______,∴______∥CD又∵AB∥∴AB∥【變式4-1】(2023下·山東濰坊·八年級階段練習(xí))如圖所示,已知AB∥DC,AE平分∠BAD,CD與AE相交于點F,∠CFE=∠E,試證明:

【變式4-2】(2023下·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中)如圖,點A、D、E、F四點共線,已知BE∥CF,∠5=∠A,求證:∠1=∠2.完善下面的解答過程.

證明:因為∠3=∠4(已知),所以AE∥(所以∠EDC=∠5(),因為∠5=∠A(已知),所以∠EDC=,所以DC∥AB,所以∠5+∠ABC=180°,()即:∠5+∠3+∠2=180°,因為BE∥CF(已知),所以∠BCF+∠3=180°,即:∠5+∠1+∠3=180°,因此∠1=∠2().【變式4-3】(2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末)如圖,∠GDB+∠F=180°,∠DEF=∠B.用等式表示∠AED與【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算】【例5】(2023下·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中)綜合與實踐如圖,三角形ABC中,∠ABC=30°,∠BCA=90°,∠BAC=60°.將三角形ABC向右平移得到三角尺DEF.分別連接AD,CF,BE.(1)線段AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是:____________,其依據(jù)是____________;(2)求證:∠ADF+∠BEF=90°;(3)猜想∠BAD與∠BCF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【變式5-1】(2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考期中)如圖,已知DE∥BC,∠ABC=105°,點F在射線BA上,且∠EDF=125

【變式5-2】(2023上·安徽合肥·八年級??计谥校┤鐖D,在△ABC中,點D在BC上,點E在AC上,AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EG平分∠BEH,EH⊥BE交BC于H.

(1)求∠BFD的度數(shù).(2)若∠BAD=∠EBC,∠C=47°,求∠BAC的度數(shù).【變式5-3】(2023下·江蘇泰州·八年級??计谥校┤鐖D,在△ABC中,點D、F在BC邊上,點E在AB邊上,點G在AC邊上,EF與GD的延長線交于點H,∠BDH=∠B,∠AEH=∠ADH.

(1)EH與AD平行嗎?為什么?(2)若∠H=40°,求∠BAD的度數(shù).【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例6】(2023下·河北石家莊·八年級石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖,直線m∥n,直線PQ和直線m、n分別交于C、D兩點,點A、B分別在直線m、n上,點O在直線PQ上,連接OA,

(1)猜想:如圖1,若點O在線段PQ上,∠OAC=25°,∠OBD=30°,則∠AOB=_____________;(2)探究:如圖1,若點O在線段PQ上,寫出∠AOB,∠OAC,∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;(3)拓展:如圖2,若點O在射線CP上或在射線DQ上時,寫出∠AOB,∠OAC,∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【變式6-1】(2023下·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末)如圖,將線段AB平移至DC,使點A與點D對應(yīng),點B與點C對應(yīng),連接AD,BC.E為BC延長線上一點,連接DE,BD,且∠ECD=∠EDC,作DF平分∠BDE交BE于點F.

(1)若當(dāng)∠ADC=70°,∠BDE=110°時,求∠CDF的度數(shù);(2)若∠CDF=α,∠DBC=β,試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【變式6-2】(2023下·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)??计谥校┮阎核倪呅蜛BCD,AD∥BC(如圖1),點P在直線CD上運動,點P和點C,D不重合,點P,A,B不在同一條直線上,若記∠DAP,∠APB,∠PBC分別為∠α,∠β,

(1)如圖2,當(dāng)點P在線段CD上運動時,寫出∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系并說出理由.

(2)如果點P在線段CD的延長線上運動,探究∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系,并說明理由.【變式6-3】(2023下·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中)如圖1,已知∠A=50°,C為射線AD上一點(不與點A重合),連接BC

【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點C作CE(1)若∠BCD=73°,求∠B的度數(shù);(2)若∠B=30°,求∠BCD的度數(shù);【探究】直接寫出圖1中∠A,∠B和∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系:;【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題.如圖3,∠A=50°,C為射線AD上一點(不與點A重合),在射線BC上取一點O,過點O作直線MN,使MN∥AD,BE平分∠ABC交AD于點E,OF平分∠BON交AD于點F,OG∥BE交AD于點G,當(dāng)點【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】【例7】(2023下·湖北十堰·八年級??计谥校┤鐖D,已知AM∥BN,∠A=60°,點P是射線AM上一動點(與點A不重合),BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN,交射線AM于點C,D.

(1)∠CBD=__________°;(2)當(dāng)點P運動時,∠APB∠ADB(3)當(dāng)點P運動到使∠ACB=∠ABD時,求∠ABC的度數(shù).【變式7-1】(2023下·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末)已知直線AB∥CD,點E、F分別在直線AB、CD上,連接EF,F(xiàn)G平分(1)如圖1,連接EG,若EG平分∠BEF.求∠G的度數(shù);(2)如圖2,連接EG,若∠BEG=∠FEH,猜想∠EHF和∠G的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)如圖3,點H為線段EF(端點除外)上的一個動點,過點H作EF的垂線交AB于M,連接MG,若MG平分∠EMH,問∠G的度數(shù)是否為定值?若是,求出∠G的度數(shù);若不是,請說明理由.【變式7-2】(2023下·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中)如圖①,∠EFH=90°,點A,C分別在射線FE和FH上,AB∥(1)若∠FAB=150°,則∠HCD的度數(shù)為______;(2)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn),無論∠FAB如何變化,∠FAB?∠HCD的值始終為定值,并給出了一種證明該發(fā)現(xiàn)的輔助線作法:如圖②,過點A作AM∥FH,交CD于點(3)如圖③,把“∠EFH=90°”改為“∠EFH=120°”,其他條件保持不變,猜想∠FAB與∠HCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【變式7-3】(2023下·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末)如圖1,點A、D分別在射線BM、CN線上,BM∥CN,BM⊥BC于點B,AE平分∠BAD交BC于點E,連接DE,∠1+∠2=90°.(1)求證:AE⊥ED;(2)求證:DE平分∠ADC;(3)如圖2,∠EAM和∠EDN的平分線交于點F,試猜想∠F的值是否為定值,若是,請予以證明;若不是,請說明理由.【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】【例8】(2023下·四川成都·八年級樹德中學(xué)??茧A段練習(xí))(1)如圖①,已知AB∥CD,圖中∠1,∠2,(2)如圖②,已知AB∥CD,圖中∠1,∠2,∠3,(3)如圖③,已知AB∥CD,請直接寫出圖中∠1,∠2,∠3,∠4,(4)通過以上3個問題,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?【變式8-1】(2023上·廣東江門·八年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,已知直線AE,BF被直線AB所截,且AE∥BF,AC1,BC1分別平分∠EAB,∠FBA,AC2,BC2,分別平分∠BAC1和∠ABC【變式8-2】(2023下·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)校考期中)在小學(xué)我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180°;科學(xué)實驗又證明,平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等.例如:在圖①、圖②中,都有∠1=∠2,∠3=∠4.設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC=α.(1)如圖①,若α=90°,∠1=50°,則∠4=_________°;(2)如圖②,若α=115°,入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH=β.求β的度數(shù);(3)如圖③,若90°<α<180°,設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD=γ90°<γ<180°,入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1=m0°<m<90°,已知入射光線EF從鏡面AB反射到鏡面BC,再反射到鏡面CD,最后經(jīng)鏡面CD反射后,當(dāng)反射光線與入射光線EF平行時,探索m與【變式8-3】(2023上·廣東廣州·八年級廣州市黃埔軍校紀(jì)念中學(xué)??奸_學(xué)考試)如圖①所示,四邊形MNBD為一張長方形紙片.如圖②所示,將長方形紙片剪兩刀,剪出三個角(∠BAE、∠AEC、∠ECD),則

(1)如圖③所示,將長方形紙片剪三刀,剪出四個角(∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD(2)如圖④所示,將長方形紙片剪四刀,剪出五個角(∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠(3)根據(jù)前面的探索規(guī)律,將本題按照上述剪法剪n刀,剪出n+1個角,那么這n+1個角的和是(度).【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】【例9】(2023下·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末)將一副三角尺的直角頂點重合按如圖放置,其中∠CAB=∠DAE=90°,∠B=∠C=45°,∠D=30°,∠E=60°.有下列結(jié)論:(1)∠BAE與∠CAD互為補(bǔ)角;(2)若∠BAD=60°,則AC∥DE;(3)若BC∥AD,則BC⊥AE;(4)若AB⊥DE,則∠CAD=150°.

其中正確的結(jié)論個數(shù)有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式9-1】(2023上·河南鄭州·八年級??计谀┮桓比浅呷鐖D所示擺放,∠α的大小為(

)度A.90 B.100 C.105 D.120【變式9-2】(2023下·云南玉溪·八年級統(tǒng)考期末)含45°的三角板ABC和含30°的三角板DEF如圖擺放,若AB∥DE,∠C=45°,∠D=60°,則∠1的度數(shù)是(

A.75° B.90° C.100° D.105°【變式9-3】(2023下·貴州六盤水·八年級統(tǒng)考期末)如圖,MN∥PQ,將兩塊直角三角尺(一塊含30°,一塊含45°)按如下方式進(jìn)行擺放,恰好滿足∠NAC=20°,∠MAE=∠CBQ.

(1)求∠CBQ的度數(shù);(2)試判斷AB與DE的位置關(guān)系,并說明理由.【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】【例10】(2023上·山西太原·八年級??计谀﹩栴}情境:如圖1,將含30°角的三角板ABC和含45°角的三角板ADE疊放在一起,使直角頂點重合,點D落在直線AB上,點E落在直線AC上.△ADE繞點A旋轉(zhuǎn),邊DE與AB、BC分別相交與點F、點N,邊AE與BC相交于點M.(1)如圖2,當(dāng)AD∥BC時:①求∠DFB②判斷∠DAB與∠(2)如圖3,當(dāng)AE平分∠BAC①求∠DFB②判斷AC與DE的位置關(guān)系,并說明理由.【變式10-1】(2023下·重慶·八年級西南大學(xué)附中??计谥校┤鐖D,△OAB為等腰直角三角形(∠A=∠B=45°,∠AOB=90°),△OCD為等邊三角形(∠C=∠D=∠COD=60°),滿足OC>OA,△OCD繞點O從射線OC與射線OA重合的位置開始,逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)的角度為α(0°<α<360°),下列說法錯誤的是(

)A.當(dāng)α=15°時,DC∥ABB.當(dāng)OC⊥AB時,α=45°C.當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時,直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D.整個旋轉(zhuǎn)過程,共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【變式10-2】(2023下·四川成都·八年級校考期中)“一帶一路”讓中國和世界更緊密,“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了A,D兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.假定主道路是平行的,即PQ∥CN,A,B為PQ上兩點,AD平分∠CAB交CN于點D,E為AD上一點,連接BE,AF平分∠BAD交BE于點

(1)若∠C=20°,則∠EAP=;(2)作AG交CD于點G,且滿足∠1=13∠ADC,當(dāng)∠2+6(3)在(1)問的條件下,探照燈A、D照出的光線在鐵路所在平面旋轉(zhuǎn),探照燈射出的光線AC以每秒5度的速度逆時針轉(zhuǎn)動,探照燈D射出的光線DN以每秒15度的速度逆時針轉(zhuǎn)動,DN轉(zhuǎn)至射線DC后立即以相同速度回轉(zhuǎn),若它們同時開始轉(zhuǎn)動,設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t秒,當(dāng)DN回到出發(fā)時的位置時同時停止轉(zhuǎn)動,則在轉(zhuǎn)動過程中,當(dāng)AC與DN互相平行或垂直時,請直接寫出此時t的值.【變式10-3】(2023下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末)已知直線EF與直線AB、CD分別交于E、F兩點,∠AEF和∠CFE的角平分線交于點P,且∠AEP+∠CFP=90°.(1)求證:AB//(2)如圖,∠PEF和∠PFM的角平分線交于點Q,求∠Q的度數(shù);專題7.2平行線的性質(zhì)【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】 1【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】 5【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】 10【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】 13【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算】 17【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】 22【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】 29【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】 38【題型9由平行線的判定與性質(zhì)解決三角尺問題】 45【題型10由平行線的判定與性質(zhì)解決旋轉(zhuǎn)問題】 50【知識點平行線的性質(zhì)】1.兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).【題型1由平行線的性質(zhì)求角度】【例1】(2023下·福建廈門·八年級??计谥校┤鐖D,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,OG⊥CD,∠CDO=50°,則下列結(jié)論:①∠AOE=65°;②OF平分∠BOD;③∠GOE=∠DOF;④∠AOE=∠GOD.其中正確的有

【答案】①②③【分析】由CD∥AB,∠CDO=50°,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可求得∠BOD的度數(shù),∠AOE的度數(shù);又由OF⊥OE,即可求得∠BOF的度數(shù),得到OF平分∠BOD,由OG⊥CD,即可求得∠GOE與【詳解】解:∵CD∥AB,∴∠BOD=∠CDO=50°,∴∠AOD=180°?∠BOD=130°,∵OE平分∠AOD,∴∠AOE=1故①正確;∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°,∴∠BOF=180°?∠EOF?∠AOE=25°,∵∠BOD=50°,∴OF平分∠BOD;故②正確;∵OG⊥CD,CD∥∴OG⊥AB,∴∠AOG=90°,∴∠GOE=90°?∠AOE=25°,∵∠DOF=1∴∠GOE=∠DOF;故③正確;∵∠GOE=∠DOF=25°,∠EOF=90°,∴∠GOD=∠EOF?∠GOE?∠DOF=40°,∵∠AOE=65°,∴∠AOE≠∠GOD故④錯誤.故答案為:①②③【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義以及角平分線的定義.此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【變式1-1】(2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶八中??计谥校┤鐖D所示,已知AB∥CD,點E在線段AD上(不與點A、點D重合),連接CE,若∠C=15°,∠AEC=60°.則

A.45° B.75° C.46° D.76°【答案】D【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵∠C+∠ADC=∠AEC,∴∠ADC=∠AEC?∠C=∵AB∥∴∠A=∠ADC=30°,【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì),掌握相關(guān)性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.【變式1-2】(2023下·陜西西安·八年級??计谀┤鐖D,已知AM∥BN,∠A=60°,點P是射線AM上一動點(與A不重合),BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN,交射線AM于C、D,(推理時不需要寫出每一步的理由)

(1)求∠CBD的度數(shù).(2)當(dāng)點P運動時,那么∠APB:∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化?若不變,請求出這個比值;若變化,請找出變化規(guī)律.【答案】(1)∠CBD=60°;(2)不變,理由見解析【分析】(1)由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN,再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD;(2)由平行線的性質(zhì)可得∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,再由角平分線的定義可求得結(jié)論.【詳解】(1)∵AM∥BN,∴∠ABN+∠A=180°,∴∠ABN=180°?60°=120°,∴∠ABP+∠PBN=120°,∵BC平分∠ABP,BD平分∠PBN,∴∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,∴2∠CBP+2∠DBP=120°,∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°;(2)不變,∠APB:∠ADB=2:1.∵AM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,∵BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN,∴∠APB:∠ADB=2:1.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)并靈活運用,平行線的性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯角相等.【變式1-3】(2023上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中)在△ABC中,點D是AC延長線上的一點,過點D作DE∥BC,∠ABC和∠ADE的平分線交于點G.

(1)如圖1,若∠ACB=90°,∠A=40°,求出(2)如圖2,若∠ACB≠90°,試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【答案】(1)20°(2)∠A=2∠G,見解析【分析】(1)先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠ABC=50°,分別根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理得∠G的度數(shù);(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義,可得∠A和∠G的關(guān)系.【詳解】(1)如圖1,∵∠ACB=90°,∠A=40°,∴∠ABC=50°,∵BG平分∠ABC,∴∠CBG=25°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD=90°,∵DG平分∠ADE,∴∠CDF=45°,∴∠CFD=45°,∴∠G=∠CFD?∠CBG=45°?25°=20°;(2)如圖2,∠A=2∠G,理由是:由(1)知:∠ABC=2∠FBG,∠CDF=∠CFD,設(shè)∠ABG=x,∠CDF=y,∵∠ACB=∠DCF,∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD,即∠A+2x=2y,∴y=1同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF,∴∠A+x=∠G+y,即∠A+x=∠G+1∴∠A=2∠G;【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角性質(zhì),解決該題型題目時,利用平行線的性質(zhì)找出相等(或互補(bǔ))的角是關(guān)鍵.【題型2由平行線的性質(zhì)解決折疊問題】【例2】(2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期中)按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條,EF是折痕,若∠EFB=34°,則以下結(jié)論正確的是(

)①∠C'EF=34°;②∠AEC=146°;③

A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④【答案】A【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對各結(jié)論進(jìn)行逐一分析,即可解答.【詳解】解:∵AC'∥∴∠C由折疊可知,∠C∴∠AEC=180°?∠C∵AC'∴∠BGE=180°?∠AEC=68°,③結(jié)論正確;∵CE∥DF,且∴∠BFD=180°?∠CGF=112°,④結(jié)論正確;所以,以上結(jié)論正確的是①③④,【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),翻折的性質(zhì),解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì).【變式2-1】(2023上·福建福州·八年級期中)如圖,在△ABC中,DE∥BC,∠B=50°,將△ADE沿DE折疊得到△A【答案】80【分析】由兩直線平行,同位角相等推知∠ADE=∠B=50°;由折疊的性質(zhì)知∠ADE=∠A1DE【詳解】解:∵DE∥∴∠ADE=∠B=50°.又∵∠ADE=∠∴∠∴∠BD故答案為:80°.【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)、翻折變換(折疊問題),折疊的性質(zhì),掌握折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.【變式2-2】(2023下·廣東佛山·八年級校考期中)如圖,已知長方形紙片ABCD,點E,F(xiàn)在AD邊上,點G,H在BC邊上,分別沿EG,F(xiàn)H折疊,使點D和點A都落在點M處,若α+β=120°,則∠EMF的度數(shù)為(

A.57° B.58° C.59° D.60°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEG=α,∠AFH=β,由折疊得∠DEM=2∠DEG=2α,∠AFM=2∠AFH=2β,求出∠MEF和∠MFE,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求出答案.【詳解】解:∵在長方形ABCD中,AD∥∴∠DEG=α,∠AFH=β,由折疊得:∠DEM=2∠DEG=2α,∠AFM=2∠AFH=2β,∴∠MEF=180°?2α,∠MFE=180°?2β,∴∠EMF=180°?=2α+β∵α+β=120°,∴∠EMF=240°?180°=60°;故選:D.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理,解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和等于180°與軸對稱的性質(zhì).【變式2-3】(2023下·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末)如圖,有一張長方形紙條ABCD,AD∥BC,在線段DE,CF上分別取點G,H,將四邊形CDGH沿直線GH折疊,點C,D的對應(yīng)點為C',D',將四邊形ABFE沿直線EF折疊,點A,B的對應(yīng)點為A'

(1)若C'、D'在直線AD的上方,當(dāng)α=50°且滿足C'(2)在(1)的條件下,猜想直線EF和GH的位置關(guān)系,并證明(3)在點G,H運動的過程中,若C'H∥B'【答案】(1)40°(2)EF⊥GH,理由見解析過程(3)∠CHG=90°?a或180°?α【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可得:∠BFB'=2∠EFB=100°,∠CHG=(2)由平行線的性質(zhì)可求∠PFH=∠CHG=40°,可求∠EFP=90°,即可得結(jié)論;(3)分兩種情況討論,由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可求解.【詳解】(1)解:由折疊得:∠BFB'=2∠EFB=100°∴∠B∵C'∴∠CHC∴∠CHG=1(2)解:猜想:EF⊥GH,理由如下:如圖,過點F作FP∥HG交AD于點

∴∠PFH=∠CHG=40°,∵∠EFB=50°,∴∠EFP=180°?40°?50°=90°,即EF⊥FP.又∵FP∥∴EF⊥GH;(3)解:如圖,當(dāng)C'、D'在直線

由折疊得:∠BFB'=2∠EFB=2α∴∠B∵C'∴∠CHC∴∠CHG=1如圖,當(dāng)C'、D'在直線

由折疊得:∠BFB'∵AD∥∴∠BFB'=∠FPG=2α∵C'H∥∴D'∴∠DGD∴∠DGH=1∴∠CHG=180°?a,綜上所述:∠CHG=90°?a或180°?α.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),折疊的性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì),利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.【題型3平行線性質(zhì)的實際應(yīng)用】【例3】(2023下·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末)如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖,兩個平面鏡的鏡面AB與CD平行,入射光線m與出射光線n平行,若入射光線m與鏡面AB的夾角∠1=40°,且∠2=40°,則∠6的度數(shù)為(

A.100° B.90° C.80° D.70°【答案】D【分析】先根據(jù)∠1和∠2的度數(shù),求出∠5的度數(shù),最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可.【詳解】解:∵∠1=40°,∠2=40°,∠1+∠2+∠5=180°,∴∠5=180°?40°?40°=100°,∵入射光線m與出射光線n平行,∴∠6=∠5=100°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),能靈活運用平行線的性質(zhì)定理推理是解此題的關(guān)鍵.【變式3-1】(2023下·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期中)圖①是某種青花瓷花瓶,圖②是其抽象出來的簡易輪廓圖,已知AG∥EF,AB∥DE,若∠DEF=120°,則∠A的度數(shù)為(

)A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】D【分析】連接CF,根據(jù)AB∥CF,AG∥EF可得出∠CFE=∠BAG,再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】解:連接CF,延長AG交CF于點H,作MN∥AG,如圖∵AB∥CF∥DE,∠DEF=120°∴∠CEF=180°?120°=60°,∠AHF=∠BAG∵AG∥EF,AG∥MN∴∴∠AHF=∠MNF,EF∥MN∴∠CFE=∠FNM=∠BAG=60°.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出平行線是解題的關(guān)鍵.【變式3-2】(2023·天津·天津?qū)嶒炛袑W(xué)??寄M預(yù)測)光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同,因此當(dāng)光線從水中射向空氣時,要發(fā)生折射,如圖,由于折射率相同,所以在水中平行的光線,在空氣中也是平行的.若水面和杯底是互相平行的,且∠1=45°,∠2=122°,則∠3=°,∠4=°.【答案】4558【分析】先根據(jù)EG∥FH得出∠3的度數(shù),再由AB∥CD得出∠ECD的度數(shù),根據(jù)CE∥DF即可得出結(jié)論.【詳解】解:如圖:∵EG∥FH,∠1=45°,∴∠3=∠1=45°.∵AB∥CD,∠2=122°,∴∠ECD=180°-122°=58°.∵CE∥DF,∴∠4=∠ECD=58°.故答案是:45;58.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),用到的知識點為:兩直線平行,同位角相等.解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)進(jìn)行解題.【變式3-3】(2023下·吉林松原·八年級統(tǒng)考期中)如圖1,為響應(yīng)國家新能源建設(shè),公交站亭裝上了太陽能電池板.當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光(平行光線),如圖2,電池板AB與最大夾角時刻的太陽光線相垂直,要使AB∥CD,需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度,α=.

【答案】20【分析】先根據(jù)AB與太陽光線互相垂直,得出∠FEB=28°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得當(dāng)AB∥CD時,【詳解】解:∵AB與太陽光線互相垂直,∴∠FEB=90°?62°=28°,當(dāng)AB∥CD時,∴需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)48°?28°=20°,故答案為:20.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行,同位角相等.【題型4由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】【例4】(2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)??计谥校┩瓿上旅娴淖C明:如圖,已知AB∥EF,EP⊥EQ,∠1+∠APE=90°,求證:

證明:∵AB∥∴∠APE=______(__________),∵EP⊥EQ,∴∠PEQ=______(__________).即∠2+∠3=90°,∴∠APE+∠3=90°,∵∠1+∠APE=90°,∴∠1=______,∴______∥CD又∵AB∥∴AB∥【答案】∠2,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;90°,垂直定義;∠3;EF,內(nèi)錯角相等,兩直線平行;平行于同一直線的兩條直線互相平行【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APE=∠2,再根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠2+∠3=90°,再根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】證明:∵AB∥∴∠APE=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∵EP⊥EQ,∴∠PEQ=90°(垂直定義),即∠2+∠3=90°.∴∠APE+∠3=90°,∵∠1+∠APE=90°,∴∠1=∠3,∴EF∥CD(內(nèi)錯角相等,兩直線平行又∵AB∥∴AB∥CD(【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì),垂直的定義,熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式4-1】(2023下·山東濰坊·八年級階段練習(xí))如圖所示,已知AB∥DC,AE平分∠BAD,CD與AE相交于點F,∠CFE=∠E,試證明:

【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAE=∠CFE,根據(jù)角平分線定義得出∠BAE=∠DAF,求出∠DAF=∠E,根據(jù)平行線的判定得出即可.【詳解】證明:∵AB∥∴∠BAE=∠CFE,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF,∴∠CFE=∠DAF,∵∠CFE=∠E,∴∠DAF=∠E,∴AD∥【點睛】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定,能熟練地運用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.【變式4-2】(2023下·貴州遵義·八年級校聯(lián)考期中)如圖,點A、D、E、F四點共線,已知BE∥CF,∠5=∠A,求證:∠1=∠2.完善下面的解答過程.

證明:因為∠3=∠4(已知),所以AE∥(所以∠EDC=∠5(),因為∠5=∠A(已知),所以∠EDC=,所以DC∥AB,所以∠5+∠ABC=180°,()即:∠5+∠3+∠2=180°,因為BE∥CF(已知),所以∠BCF+∠3=180°,即:∠5+∠1+∠3=180°,因此∠1=∠2().【答案】BC;內(nèi)錯角相等,兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;∠A,同旁內(nèi)角互補(bǔ);等量代換【分析】由內(nèi)錯角相等,兩直線平行可得AE∥BC,則有∠EDC=∠5,從而可求得∠EDC=∠A,即可得DC∥AB,∠5+∠ABC=180°,即可求證.【詳解】解:∵∠3=∴AE∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).∴∠EDC=∠5(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∵∠5=∠A(已知),∴∠EDC=∠A.∴DC∥AB,∴∠5+∠ABC=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).即:∠5+∠3+∠2=180°,∵BE∥∴∠BCF+∠3=180°,即:∠5+∠1+∠3=180°,∴∠1=∠2(等量代換).故答案為:BC;內(nèi)錯角相等,兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;∠A,同旁內(nèi)角互補(bǔ);等量代換【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì),解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理與性質(zhì)并靈活運用.【變式4-3】(2023下·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末)如圖,∠GDB+∠F=180°,∠DEF=∠B.用等式表示∠AED與【答案】∠AED=∠HCK,證明見解析【分析】根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到∠F=∠BDF,進(jìn)而證明AB∥EF得到∠BDE+∠DEF=180°,由此可得∠B+∠BDE=180°得到DE∥BC,再由平行線的性質(zhì)和對頂角相等即可證明∠AED=∠HCK.【詳解】解:∠AED=∠HCK,證明如下:∵∠GDB+∠F=180°,∠GDB+∠BDF=180°,∴∠F=∠BDF,∴AB∥EF,∴∠BDE+∠DEF=180°,∵∠B=∠DEF,∴∠B+∠BDE=180°,∴DE∥BC,∴∠AED=∠ACB,又∵∠HCK=∠ACB,∴∠AED=∠HCK.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定,對頂角相等,同角的補(bǔ)角相等等知識,熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.【題型5由平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算】【例5】(2023下·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中)綜合與實踐如圖,三角形ABC中,∠ABC=30°,∠BCA=90°,∠BAC=60°.將三角形ABC向右平移得到三角尺DEF.分別連接AD,CF,BE.(1)線段AD與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是:____________,其依據(jù)是____________;(2)求證:∠ADF+∠BEF=90°;(3)猜想∠BAD與∠BCF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)AD=CF,AD∥(2)見解析(3)∠BAD?∠BCF=30°.理由見解析【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)即可解答;(2)延長CF至點G.由題意可知AD∥FG∥BE,根據(jù)平行線的性質(zhì)即得出∠ADF=∠DFG,∠BEF=∠GFE,從而得出∠ADF(3)延長EB至H,由AD∥BE,可推出∠BAD=∠ABH.由CF∥BE,可推出∠BCF=∠CBH,從而即可得出∠BAD【詳解】(1)AD=CF,AD∥(2)證明:如圖,延長CF至點G.由平移可得:AD∥∴AD∥∴∠ADF=∠DFG,∠BEF=∠GFE,∴∠ADF(3)∠BAD?∠BCF=30°.理由如下:如圖,延長EB至H,∵AD∥∴∠BAD=∠ABH,∵CF∥∴∠BCF=∠CBH,∴∠BAD【點睛】本題考查平移的性質(zhì),平行線的判定和性質(zhì),三角板中的角度計算.正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵.【變式5-1】(2023上·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考期中)如圖,已知DE∥BC,∠ABC=105°,點F在射線BA上,且∠EDF=125

【答案】20°或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì),分兩種情況討論,畫出圖形,分別依據(jù)平行線的性質(zhì),即可得到∠DFB的度數(shù),解題的關(guān)鍵是知道分兩種情況對點F討論.【詳解】解:分兩種情況:①如圖,延長ED交AB于G,

∵DE∥∴∠FGD=∠B=105°,又∵∠EDF=125°,∴∠DFB=125°?105°=20°;②如圖,過F作FG∥

∵DE∥∴FG∥∴∠EDF+∠DFG=180°,∠B+∠BFG=180°,又∵∠ABC=105°,∠EDF=125°,∴∠BFG=75°,∠DFG=55°,∴∠DFB=75°+55°=130°,故答案為:20°或130°.【變式5-2】(2023上·安徽合肥·八年級??计谥校┤鐖D,在△ABC中,點D在BC上,點E在AC上,AD交BE于F.已知EG∥AD交BC于G,EG平分∠BEH,EH⊥BE交BC于H.

(1)求∠BFD的度數(shù).(2)若∠BAD=∠EBC,∠C=47°,求∠BAC的度數(shù).【答案】(1)45°(2)88°【分析】(1)由EH⊥BE得到∠BEH=90°,由EG平分∠BEH得到∠BEG=45°,進(jìn)而由AD∥EG得到∠BFD=45°;(2)由三角形的外角性質(zhì)得到∠BFD=∠BAD+∠ABE,然后結(jié)合∠BAD=∠EBC得到∠ABC=∠BFD=45°,再結(jié)合∠C=47°和三角形的內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù).【詳解】(1)解:∵EH⊥BE,∴∠BEH=90°,∵EG平分∠BEH,∴∠BEG=∠HEG=1又∵EG∥AD,∴∠BFD=∠BEG=45°;(2)解:∵∠BFD=∠BAD+∠ABE,∠BAD=∠EBC,∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=45°,∵∠C=47°,∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C=180°?45°?47°=88°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),垂直的定義,角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)求得∠BFD的度數(shù).【變式5-3】(2023下·江蘇泰州·八年級??计谥校┤鐖D,在△ABC中,點D、F在BC邊上,點E在AB邊上,點G在AC邊上,EF與GD的延長線交于點H,∠BDH=∠B,∠AEH=∠ADH.

(1)EH與AD平行嗎?為什么?(2)若∠H=40°,求∠BAD的度數(shù).【答案】(1)平行,見解析(2)40°【分析】(1)EH∥AD,理由如下:由已知條件,∠BDH=∠B,根據(jù)平行線的判定可得AB∥GH,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠BAD+∠ADH=180°,等量代換得到∠BAD+∠AEH=180°,即可得出答案;(2)結(jié)合(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1)EH∥AD,理由如下:∵∠BDH=∠B,∴AB∥GH,∴∠BAD+∠ADH=180°,∵∠AEH=∠ADH,∴∠BAD+∠AEH=180°,∴EH∥AD;(2)∵∠BAD+∠ADH=180°,又∵EH∥AD,∴∠H+∠ADH=180°,∴∠H=∠BAD,∵∠H=40°,∴∠BAD=40°.【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì),熟記平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.【題型6由平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】【例6】(2023下·河北石家莊·八年級石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中)如圖,直線m∥n,直線PQ和直線m、n分別交于C、D兩點,點A、B分別在直線m、n上,點O在直線PQ上,連接OA,

(1)猜想:如圖1,若點O在線段PQ上,∠OAC=25°,∠OBD=30°,則∠AOB=_____________;(2)探究:如圖1,若點O在線段PQ上,寫出∠AOB,∠OAC,∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;(3)拓展:如圖2,若點O在射線CP上或在射線DQ上時,寫出∠AOB,∠OAC,∠OBD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【答案】(1)55°(2)∠AOB=∠OAC+∠OBD,理由見解析(3)∠AOB=∠OBD?∠OAC或∠AOB=∠OAC?∠OBD,理由見解析【分析】(1)如圖所示,過點O作OE∥m,可得m∥n∥OE,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠AOE=∠OAC=25°,∠BOE=∠OBD=30°,由此即可求解;(2)證明方法同(1);(3)根據(jù)點的不同位置,分類討論,①如圖2,當(dāng)點O在射線CP上時,過點O作OE∥m;②如圖3,當(dāng)點O在射線DQ上時,過點O作OE∥m;根據(jù)平行性的性質(zhì),圖形結(jié)合分析,即可求解.【詳解】(1)解:如圖所示,過點O作OE∥m,

∵m∥n,∴m∥n∥OE,

∴∠AOE=∠OAC=25°,∠BOE=∠OBD=30°,∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD=25°+30°=55°,故答案為:55°.(2)解:∠AOB=∠OAC+∠OBD,理由如下:如圖1,過點O作OE∥m,

∵m∥n,∴m∥n∥OE,

∴∠AOE=∠OAC,∠BOE=∠OBD,∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=∠OAC+∠OBD,即∠AOB=∠OAC+∠OBD.(3)解:∠AOB=∠OBD?∠OAC或∠AOB=∠OAC?∠OBD,理由如下:①如圖2,當(dāng)點O在射線CP上時,過點O作OE∥m,

∵m∥n,∴m∥n∥OE,

∴∠AOE=∠OAC,∠BOE=∠OBD,∴∠AOB=∠BOE?∠AOE=∠OBD?∠OAC,即∠AOB=∠OBD?∠OAC;②如圖3,當(dāng)點O在射線DQ上時,過點O作OE∥m,

∵m∥n,∴m∥n∥OE,

∴∠AOE=∠OAC,∠BOE=∠OBD,∴∠AOB=∠AOE?∠BOE=∠OAC?∠OBD,即∠AOB=∠OAC?∠OBD;綜上所述,∠AOB=∠OBD?∠OAC或∠AOB=∠OAC?∠OBD.【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì),掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵.【變式6-1】(2023下·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末)如圖,將線段AB平移至DC,使點A與點D對應(yīng),點B與點C對應(yīng),連接AD,BC.E為BC延長線上一點,連接DE,BD,且∠ECD=∠EDC,作DF平分∠BDE交BE于點F.

(1)若當(dāng)∠ADC=70°,∠BDE=110°時,求∠CDF的度數(shù);(2)若∠CDF=α,∠DBC=β,試探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)15°(2)α=1【分析】(1)平移,得到AD∥BC,推出∠ECD=∠EDC=70°,角平分線的定義,得到∠EDF=∠BDF=12∠BDE=55°(2)設(shè)∠FDE=x,∠CDF=α,得到∠DCE=∠CDE=x+α,角平分線推出∠BDC=∠BDF?∠CDF=x?α,進(jìn)而得到∠DBC=∠DCF?∠BDC=x+α【詳解】(1)解:∵將線段AB平移至DC,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∠ADC=∠ECD=70°,∴∠ECD=∠EDC=70°,∴∠ADC=∠EDC,∵DF平分∠BDE,∴∠EDF=∠BDF=1∴∠CDF=∠CDE?∠FDE=15°;(2)α=1理由:設(shè)∠FDE=x,∠CDF=α,則∠DCE=∠CDE=x+α,∵DF平分∠BDE,∴∠BDF=∠EDF=x,∴∠BDC=∠BDF?∠CDF=x?α,∴∠DBC=∠DCF?∠BDC=x+α∴∠CDF=12∠DBC【點睛】本題考查平移的性質(zhì),平行線的性質(zhì),與角平分線有關(guān)的計算.解題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì),理清角之間的和差,倍數(shù)關(guān)系.【變式6-2】(2023下·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)??计谥校┮阎核倪呅蜛BCD,AD∥BC(如圖1),點P在直線CD上運動,點P和點C,D不重合,點P,A,B不在同一條直線上,若記∠DAP,∠APB,∠PBC分別為∠α,∠β,

(1)如圖2,當(dāng)點P在線段CD上運動時,寫出∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系并說出理由.

(2)如果點P在線段CD的延長線上運動,探究∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)∠β=∠α+∠γ(2)∠β=∠γ?∠α【分析】(1)過點P作PE∥AD,如圖1,由PE∥AD得∠α=∠APE,由AD∥BC得PE∥BC,則∠γ=∠BPE,所以(2)如圖2,根據(jù)平行線的性質(zhì)由AD∥BC得∠PBC=∠1,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1=∠PAD+∠APB,所以∠APB=∠PBC?∠PAD,即∠β=∠γ?∠α.【詳解】(1)∠β=∠α+∠γ.理由如下:過點P作PE∥AD,如圖1,∵PE∥AD,∴∠α=∠APE,∵AD∥BC,∴PE∥BC,∴∠γ=∠BPE,∴∠β=∠APE+∠BPE=∠α+∠γ;(2)如圖2,∵AD∥BC,∴∠PBC=∠1,而∠1=∠PAD+∠APB,∴∠APB=∠PBC?∠PAD,即∠β=∠γ?∠α.

【點睛】本題考查了平行線性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯角相等.【變式6-3】(2023下·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中)如圖1,已知∠A=50°,C為射線AD上一點(不與點A重合),連接BC

【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點C作CE(1)若∠BCD=73°,求∠B的度數(shù);(2)若∠B=30°,求∠BCD的度數(shù);【探究】直接寫出圖1中∠A,∠B和∠BCD之間的數(shù)量關(guān)系:;【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題.如圖3,∠A=50°,C為射線AD上一點(不與點A重合),在射線BC上取一點O,過點O作直線MN,使MN∥AD,BE平分∠ABC交AD于點E,OF平分∠BON交AD于點F,OG∥BE交AD于點G,當(dāng)點【答案】(1)23°(2)80°【探究】∠BCD=∠BAD+∠B【拓展】不變,25°【分析】【發(fā)現(xiàn)】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)∠BAD=∠ECD=50°,再求出∠BCE的度數(shù),利用內(nèi)錯角相等可求出角的度數(shù);(2)由(1)可得出∠BCD=∠A+∠B=50°+30°=80°;【探究】過點C作CE∥【拓展】運用(2)的結(jié)論和平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì),可求出∠FOG度數(shù),可得結(jié)論.【詳解】【發(fā)現(xiàn)】(1)∵CE∥∴∠A=∠DCE=50°,∠B=∠BCE,∵∠BCD=73°∴∠B=∠BCE=∠BCD?∠DCE=23°(2)由(1)可知∠BCD=∠A+∠B=50°+30°=80°【探究】∠BCD=∠BAD+∠B,理由:過點C作CE∥則∠BAD=∠ECD,∠B=∠BCE,∵∠BCD=∠ECD+∠BCE,∴∠BCD=∠BAD+∠B;故答案為:∠BCD=∠BAD+∠B【拓展】不變,設(shè)∠ABE=x,∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE=x,由【探究】結(jié)論可知∠BCD=∠BAD+∠ABC,且∠BAD=50°,則:∠BCD=50°+2x,∵AD∥MN,∴∠BCD=∠BON,∵OF平分∠BON,∴∠COF=∠NOF=1∵OG∥BE,∠COG=∠CBE=x,∴∠FOG=∠COF?∠COG=25°+x?x=25°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義,解題關(guān)鍵是熟練掌握用平行線的性質(zhì)證明角相等,通過等量代換等方法得出角之間的關(guān)系.【題型7由平行線的判定與性質(zhì)確定角度定值問題】【例7】(2023下·湖北十堰·八年級??计谥校┤鐖D,已知AM∥BN,∠A=60°,點P是射線AM上一動點(與點A不重合),BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN,交射線AM于點C,D.

(1)∠CBD=__________°;(2)當(dāng)點P運動時,∠APB∠ADB(3)當(dāng)點P運動到使∠ACB=∠ABD時,求∠ABC的度數(shù).【答案】(1)60(2)是定值,2(3)30°【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義,和平行線的性質(zhì),兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),進(jìn)行求解即可;(2)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,以及角平分線的定義,進(jìn)行求解即可;(3)根據(jù)平行線的性質(zhì),以及∠ACB=∠ABD,推出∠DBN=∠ABC,進(jìn)而推出2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°,即可得解.【詳解】(1)解:∵AM∥BN,∠A=60°,∴∠ABN=180°?∠A=120°,∵BC,BD分別平分∠ABP和∠PBN,∴∠PBC=1∵∠ABN=∠ABP+∠PBN,∴∠CBD=∠PBC+∠PBD=1故答案為:60.(2)∠APB∠ADB∵BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN,設(shè)∠DBN=x,則∠PBN=2∠DBN=2x,∵AM∥∴∠ADB=∠DBN=x,∠APB=∠PBN=2x,∴∠APB(3)∵AM∥∴∠ACB=∠CBN,∵∠ACB=∠ABD,∴∠CBN=∠ABD,∴∠CBN?∠CBD=∠ABD?∠CBD,∴∠DBN=∠ABC,∵AM∥∴∠ABN+∠A=180°,∵∠A=60°,∴∠ABN=180°?∠A=120°,又∵BC平分∠ABP,∴∠ABP=2∠ABC,由(2)知,∠PBN=2∠DBN,∵∠ABN=∠ABP+∠PBN,∴2∠ABC+2∠DBN=4∠ABC=120°,∴∠ABC=30°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),角平分線的定義.熟練掌握兩直線平行,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),是解題的關(guān)鍵.【變式7-1】(2023下·四川達(dá)州·八年級統(tǒng)考期末)已知直線AB∥CD,點E、F分別在直線AB、CD上,連接EF,F(xiàn)G平分(1)如圖1,連接EG,若EG平分∠BEF.求∠G的度數(shù);(2)如圖2,連接EG,若∠BEG=∠FEH,猜想∠EHF和∠G的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)如圖3,點H為線段EF(端點除外)上的一個動點,過點H作EF的垂線交AB于M,連接MG,若MG平分∠EMH,問∠G的度數(shù)是否為定值?若是,求出∠G的度數(shù);若不是,請說明理由.【答案】(1)∠EGF=90°(2)∠EGF+∠EHF=180°;理由見解析(3)∠MGF?的度數(shù)是為定值,且∠MGF=45°?【分析】(1)根據(jù)EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD,得到∠BEF=2∠FEG,∠EFD=2∠GFE,由干BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°,于是得到2∠FEG+2∠GFD=180°,即可得到結(jié)論:(2)過點G作GN∥AB,因為AB∥CD,所以GN∥CD.設(shè)∠EGN=∠BEG=α,∠NGF=∠GFD=β.由已知可得∠EGF=∠BEG+∠GFD=α+β,∠EHF=180°?∠EFG?∠FEH=180°?α?β,即可解答;(3)過點G作GN∥AB,因為AB∥CD,所以GN∥CD.所以設(shè)∠MGN=∠BMG=α,∠NGF=∠GFD=β.即∠MGF=∠BMG+∠GFD=α+β.根據(jù)∠EMH、∠EFD的平分線相交于G,得到∠MEF=∠EFD=2β.所以∠HME=90°?∠MEF=90°?2β.再因為MH⊥EF,所以∠HME=90°?∠MEF=90°?2β.再根據(jù)MG平分∠BMH,利用等量代換即可得到結(jié)論MH⊥EF,所以∠HME=90°?∠MEF=90°?2β.再根據(jù)條件MG平分∠BMH,得到∠EMG=45°?β,即可得解.【詳解】(1)解:∵EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD,∴∠BEF=2∠FEG,∠EFD=2∠EFG,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,∴2∠FEG+2∠GFE=180°,∴∠FEG+∠GFE=90°,∵∠EGF+∠FEG+∠GFE=180°,∴∠EGF=90°.(2)解:猜想:∠EGF+∠EHF=180°,過點G作GN∥AB,∵AB∥CD,∴GN∥CD,∴設(shè)∠EGN=∠BEG=α,∠NGF=∠GFD=β,∴∠EGF=∠BEG+∠GFD=α+β,∵FG平分∠EFD,∴∠EFG=∠GFD=β,∵∠EHF=180°?∠EFG?∠FEH=180°?α?β,∴∠EHF=180°?α?β=180°?∠EGF,∴∠EGF+∠EHF=180°.(3)解:結(jié)論:∠MGF=45°,理由如下:過點G作GN∥AB,∵AB∥CD,∴GN∥CD,∴設(shè)∠MGN=∠BMG=α,∠NGF=∠GFD=β,∴∠MGF=∠BMG+∠GFD=α+β,∵FG平分∠EFD,∴∠EFG=∠GFD=β,∵AB∥CD,∴∠MEF=∠EFD=2β,∵M(jìn)H⊥EF,∴∠HME=90°?∠MEF=90°?2β,∵M(jìn)G平分∠BMH,∴∠EMG=∠GMH=α=12∠HME∴∠EMG=α=12∠HME=12(90°?2β)=45°?∴∠MGF=α+β=45°?β+β=45°,∴∠MGF=45°,∴∠MGF的度數(shù)是為定值.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.【變式7-2】(2023下·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中)如圖①,∠EFH=90°,點A,C分別在射線FE和FH上,AB∥(1)若∠FAB=150°,則∠HCD的度數(shù)為______;(2)小明同學(xué)發(fā)現(xiàn),無論∠FAB如何變化,∠FAB?∠HCD的值始終為定值,并給出了一種證明該發(fā)現(xiàn)的輔助線作法:如圖②,過點A作AM∥FH,交CD于點(3)如圖③,把“∠EFH=90°”改為“∠EFH=120°”,其他條件保持不變,猜想∠FAB與∠HCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)60°(2)90°,理由見解析(3)∠FAB?∠HCD=60°,理由見解析【分析】(1)過點F作FG∥AB,如圖,由已知FG∥AB,∠FAB=150°,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFG+∠FAB=180°,可計算出∠AFG的度數(shù),由∠EFH=90°,可計算出∠CFG的度數(shù),由平行線的性質(zhì)即可得出答案;(2)由已知條件AM∥FH,∠EFH=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFH+∠FAM=180°,計算出∠FAM的度數(shù),由平行線的性質(zhì)可得∠BAM=∠AMC,由∠FAB?∠HCD=∠FAB?∠BAM即可得出答案;(3)過點A作AN∥FH與CD相交與點N,如圖,由已知條件AN∥FH,∠EFH=120°,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFH+∠FAM=180°,∠HCD=∠ANC,即可計算出∠FAN的度數(shù),由∠FAB?∠HCD=∠FAB?∠BAN,代入計算即可得出答案.【詳解】(1)解:過點F作FG∥AB,如圖所示,∵FG∥AB,∠FAB=150°,∴∠AFG+∠FAB=180°,∴∠AFG=180°?∠FAB=180°?150°=30°,∵∠EFH=90°,∴∠CFG=∠EFH?∠AFG=90°?30°=60°,∵AB∥CD,∴FG∥CD,∴∠HCD=∠CFG=60°.故答案為:60°;(2)解:該定值為90°.理由如下:∵AM∥FH,∴∠FAM=180°?∠EFH=180°?90°=90°,∠HCD=∠AMC.∵AB∥∴∠BAM=∠AMC.∴∠HCD=∠BAM.∴∠FAB?∠HCD=FAB?BAM=FAM=90°.∴無論∠FAB如何變化,∠FAB?∠HCD的值始終為定值,且該定值為90°.(3)解:∠FAB?∠HCD=60°.理由如下:過點A作AN∥FH,交CD于點∵AN∥FH,∴∠FAN=180°?∠EFH=180°?120°=60°,∠HCD=∠ANC.∵AB∥∴∠BAN=∠ANC.∴∠HCD=∠BAN.∴∠FAB?∠HCD=∠FAB?∠BAN=∠FAN=60°.【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.【變式7-3】(2023下·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末)如圖1,點A、D分別在射線BM、CN線上,BM∥CN,BM⊥BC于點B,AE平分∠BAD交BC于點E,連接DE,∠1+∠2=90°.(1)求證:AE⊥ED;(2)求證:DE平分∠ADC;(3)如圖2,∠EAM和∠EDN的平分線交于點F,試猜想∠F的值是否為定值,若是,請予以證明;若不是,請說明理由.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)∠F為定值,∠F=135°,理由見解析【分析】(1)過點E作EG∥BM,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等,得出∠AED=∠1+∠2,即可求解.(2)根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ),得出∠BAD+∠CDA=180°,再將各個角代入計算,得出(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°,∠5=∠2,即可求解.(3)過點F作FH∥BM,∠AFH=α,∠DFH=β,根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠α+∠β=∠6+∠7,由于∠EAM和∠EDN的平分線交于點F,所以∠α+∠β=12【詳解】(1)證明:如圖1,過點E作EG∥BM,則∠1=∠3,∵BM∥CN,∴EG∥CN,∴∠4=∠2,∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°,∴∠AED=90°,∴AE⊥ED.(2)證明:∵AE平分∠BAD,∴∠BAD=2∠1,∵BM∥CN,∴∠BAD+∠CDA=180°,∴2∠1+∠CDA,=2∠1+∠2+∠5=180°,=(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°,∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠5=90°,∴∠5=∠2,∴DE平分∠ADC.(3)∠F為定值.證明:如圖2,過點F作FH∥BM,設(shè)∠AFH=α,∠DFH=β,∵BM∥CN,∴FH∥CN,∴∠α+∠β=∠6+∠7,∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F,∴∠α+∠β=1=180°?45°=135°,∴∠F=∠α+∠β=135°,∴∠F為定值,∠F=135°,故答案為:∠F=135°.【點睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線的性質(zhì)及角的和差計算等知識點.【題型8由平行線的判定與性質(zhì)探究規(guī)律問題】【例8】(2023下·四川成都·八年級樹德中學(xué)??茧A段練習(xí))(1)如圖①,已知AB∥CD,圖中∠1,∠2,(2)如圖②,已知AB∥CD,圖中∠1,∠2,∠3,(3)如圖③,已知AB∥CD,請直接寫出圖中∠1,∠2,∠3,∠4,(4)通過以上3個問題,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?【答案】(1)∠2=∠1+∠3;(2)∠1+∠3=∠2+∠4;(3)∠1+【分析】(1)過E作EM//AB,推出AB//EM//CD,根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1=∠NEM,∠3=∠MEO,即可求出答案;(2)通過作輔助線:過E作EM//AB,過F作NF//AB,得到EM//AB//NF//CD,得到(3)做輔助線,GM//CD通過(2)可知:∠1+∠3=∠2+(4)通過以上3個問題,發(fā)現(xiàn):當(dāng)AB∥【詳解】解:(1)∠2=∠1+∠3,理由是:過E作EM//AB,推出AB//EM//CD,過E作EM//∵AB//CD,∴AB//EM//CD,∴∠1=∠NEM,∠3=∠MEO,∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3;∴∠2=∠1+∠3,(2)∠1+理由如下:過E作EM//AB,過F∵EM//AB,NF∴EM∴∠PEM=∠1同理:∠MEF=∠EFN∠4∴∠PEM即:∠2即:已知AB∥CD,圖中∠1,∠2,∠3,∠4之間關(guān)系:(3)∠1+理由如下:過點G,作GM由(2)可知:∠1∵GM∴∠5∴∠1+即:∠1(4)通過以上3個問題,發(fā)現(xiàn):當(dāng)AB∥CD時,∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確作輔助線,題目比較典型,是一道比較好的題目.【變式8-1】(2023上·廣東江門·八年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,已知直線AE,BF被直線AB所截,且AE∥BF,AC1,BC1分別平分∠EAB,∠FBA,AC2,BC2,分別平分∠BAC1和∠ABC【答案】∠【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì),角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理分別求得∠C1,∠C【詳解】解:∵AE∥BF,∴∠BAE+∠ABF=180°,∵AC1,BC∴∠BAC1=∴∠BAC∴∠C∵AC2,BC2,分別平分∴∠BAC2=∴∠BAC∴∠C∵AC3,BC3分別平分∴∠BAC3=∴∠BAC∴∠C……由上面規(guī)律得:∠C故答案為:∠C【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理,關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識解題.【變式8-2】(2023下·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)??计谥校┰谛W(xué)我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180°;科學(xué)實驗又證明,平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等.例如:在圖①、圖②中,都有∠1=∠2,∠3=∠4.設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC=α.(1)如圖①,若α=90°,∠1=50°,則∠4=_________°;(2)如圖②,若α=115°,入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH=β.求β的度數(shù);(3)如圖③,若90°<α<180°,設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD=γ90°<γ<180°,入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1=m0°<m<90°,已知入射光線EF從鏡面AB反射到鏡面BC,再反射到鏡面CD,最后經(jīng)鏡面CD反射后,當(dāng)反射光線與入射光線EF平行時,探索m與【答案】(1)40(2)50°(3)γ?m=90°,理由見解析【分析】(1)利用光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等結(jié)合等量代換即可求解.(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和∠1+∠4=65°,利用對頂角相等得∠1=∠MEB,∠4=∠MGB,再利用三角形內(nèi)角和結(jié)合等量代換即可求解.(3)延長NM和FE,交點為G,由(2)得∠MNH=180°?2∠5,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.【詳解】(1)解:∵∠1=50°,∴∠2=∠1=50°,∵∠α=90°,∴∠3=180°?90°?50°=40°,∴∠4=∠3=40°,故答案為:40.(2)∵∠α=115°,∴∠2+∠3=180°?115°=65°,∴∠1+∠4=65°,∵∠1=∠MEB,∠4=∠MGB,∴∠MEG∴∠EMG=∠β=180°?130°=50°.(3)γ?m=90°,理由如下:延長NM和FE,交點為G,如圖所示:由(2)的思路可得,∠G=180°?2m?2∠3=180°?2m+∠4∠MNH=180°?2∠5,∵EF∥NH,∴∠G+∠MNH=180°,即180°?2m+∠4整理得,m+∠4+∠5=90°,m+180°?γ即γ?m=90°.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、平行線的性質(zhì),列代數(shù)式,解決問題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì).【變式8-3】(2023上·廣東廣州·八年級廣州市黃埔軍校紀(jì)念中學(xué)??奸_學(xué)考試)如圖①所示,四邊形MNBD為一張長方形紙片.如圖②所示,將長方形紙片剪兩刀,剪出三個角(∠BAE、∠AEC、∠ECD),則

(1)如圖③所示,將長方形紙片剪三刀,剪出四個角(∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD(2)如圖④所示,將長方形紙片剪四刀,剪出五個角(∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠(3)根據(jù)前面的探索規(guī)律,將本題按照上述剪法剪n刀,剪出n+1個角,那么這n+1個角的和是(度).【答案】360540720180n【分析】過點E作EH∥AB,再根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個角的和等于180°的(1)分別過E、F分別作AB的平行線,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的和等于180°的三倍;(2)分別過E、F、G分別作AB的平行線,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個角的和等于180°的四倍;(3)根據(jù)前三問個的剪法,剪n刀,剪出n+1個角,那么這n+1個角的和是180n度.【詳解】過E作EH∥∵原四邊形是長方形,∴AB∥又∵EH∥∴CD∥∵EH∥∴∠BAE+∵CD∥∴∠2+∴∠BAE+又∵∠1+∴∠BAE+

(1)分別過E、F分別作AB的平行線,如圖③所示,

用上面的方法可得∠BAE+(2)分別過E、F、G分別作AB的平行線,如圖④所示,

用上面的方法可得∠BAE+(3)由此可得一般規(guī)律:剪n刀,剪出n+1個角,那么這n+1個角的和是180n度.故答案為:360;540;

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