蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題7.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)同步特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題7.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩條直線相交問題】 1【題型2與一次函數(shù)有關(guān)的面積的計(jì)算】 3【題型3與一次函數(shù)圖像有關(guān)的應(yīng)用】 5【題型4與一次函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用】 6【題型5探究函數(shù)的圖像及其性質(zhì)】 8【題型6由三角形全等分類討論求參數(shù)的值】 10【題型7利用全等三角形解決閱讀理解類問題】 12【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】 14【題型9以弦圖為背景的計(jì)算】 16【題型10利用勾股定理解決實(shí)際問題】 18【題型11等腰三角形中的證明與計(jì)算】 20【題型12數(shù)式或圖形的規(guī)律探究】 22【題型13數(shù)式或圖形中新定義問題】 24【題型1兩條直線相交問題】【例1】（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?43x+8的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過點(diǎn)B的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB=OC．點(diǎn)D是線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D

(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)m=?3時(shí)，求△BEF的面積；(3)如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)G．請(qǐng)從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．A．①當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；②點(diǎn)D在線段CA上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)EF=13DG時(shí)，mB．①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)為；②點(diǎn)D在線段CA上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)EF=12AG時(shí)，m【變式1-1】（2023上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+8交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，且OB=2OA．

(1)求直線AB的解析式；(2)①若另一條直線y=ax+a+6與直線AB有唯一交點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直接寫出a的取值范圍．(3)若直線y=ax+a+6只與y軸的交點(diǎn)D在線段OB上（D不與O，B重合），試寫出a取值范圍．【變式1-2】（2023下·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線l1與y軸相較于點(diǎn)A0,3，直線l2:y=?x?2交y軸于點(diǎn)B，交直線

(1)求直線l1(2)過動(dòng)點(diǎn)Da,0作x軸的垂線，與直線l1相交于點(diǎn)M，與直線l2相交于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3(3)點(diǎn)Q為l2上一點(diǎn)，若S△APQ=【變式1-3】（2023上·山西太原·八年級(jí)校考期末）如圖，直線l1:y=14x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)(1)直接寫出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)；(2)求出直線l2(3)如圖1，求ΔADP(4)如圖2，點(diǎn)M是線段AP上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交直線l2于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m①用m表示點(diǎn)M、N的坐標(biāo)：M:，N:；②線段MN的長(zhǎng)度用l表示，寫出l與m的函數(shù)關(guān)系式；③ΔANP的面積用s表示，寫出s與m【題型2與一次函數(shù)有關(guān)的面積的計(jì)算】【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A10，0，點(diǎn)B0，8，過點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)

(1)如圖1，求出△AOP的面積；(2)如圖2，已知點(diǎn)C是直線y=85x上一點(diǎn)，若△APC是以AP【變式2-1】（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?5，2，B?1，2，直線y=kx?1與

(1)求△ABC的面積；(2)若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y=kx?1的兩側(cè)，求k的取值范圍；(3)若P點(diǎn)將線段AB分成1：3兩部分，直接寫出【變式2-2】（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┮阎淮魏瘮?shù)y=kx+b的圖像直線l經(jīng)過點(diǎn)0,1，?1,4，將此函數(shù)中的k與b交換位置后得另一個(gè)一次函數(shù)，設(shè)其圖像為直線l'(1)求直線l的函數(shù)表達(dá)式；(2)求直線l、直線l'及y(3)過y軸上一點(diǎn)P畫x軸的平行線分別與直線l，l'交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若點(diǎn)P、M、N中有一點(diǎn)是另兩點(diǎn)所成線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P【變式2-3】（2023下·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過點(diǎn)C的直線y?x=6與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)Cx,y是第二象限的點(diǎn)，設(shè)△AOC的面積為S

(1)寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)△AOC的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得M與A、O、C中任意兩點(diǎn)形成的三角形面積也為6，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【題型3與一次函數(shù)圖像有關(guān)的應(yīng)用】【例3】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)?？计谀┘住⒁覂傻馗咚勹F路建設(shè)成功，一列動(dòng)車從甲地開往乙地，一列普通列車從乙地開往甲地，兩車均勻速行駛并同時(shí)出發(fā)．設(shè)普通列車行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），兩車之間的距離為y（千米）．圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像．求：

(1)甲、乙兩地相距______千米；(2)求動(dòng)車和普通列車的速度；(3)求C點(diǎn)坐標(biāo)和直線CD解析式；(4)求普通列車行駛多少小時(shí)后，兩車相距1000千米．【變式3-1】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？计谀┰谝粭l直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終到達(dá)C港停止．設(shè)甲、乙兩船行駛xh后，與B港的距離分別為y1、y2km，y1

(1)B、C兩港口間的距離為______km，a=______；(2)甲船出發(fā)幾小時(shí)追上乙船？(3)在整個(gè)過程中，什么時(shí)候甲乙兩船相距10km【變式3-2】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)校科技小組進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中EF?FM?MN為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機(jī)器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為___________．②請(qǐng)求出在6≤t≤9時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間t的值．【變式3-3】（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，水平放置的甲容器內(nèi)原有120mm高的水，乙容器中有一圓柱形實(shí)心鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙容器底面上）．現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙兩個(gè)容器中水的深度y（mm）與注水時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如圖．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，鐵塊的高度是_________mm；(2)注水多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面積為900mm【題型4與一次函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用】【例4】（2023下·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為使活動(dòng)更具有意義，某活動(dòng)舉辦方?jīng)Q定購買甲、乙兩種品牌的文化衫，已知購買3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；購買5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．(1)求甲、乙兩種品牌文化衫的單價(jià)；(2)根據(jù)需要，舉辦方?jīng)Q定購買兩種品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件數(shù)不少于乙品牌文化衫件數(shù)的3倍．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．【變式4-1】（2023下·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校計(jì)劃組織八年級(jí)的同學(xué)參觀大學(xué)城，已知八年級(jí)共有480名同學(xué)，計(jì)劃租用9輛客車，現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的客車，它們的載客量和租金如下表：租金/（元/輛）載客量/（座/輛）甲種客車170045乙種客車200060(1)若恰好一次性將480名學(xué)生送往大學(xué)城且客車全部坐滿，則應(yīng)租用甲、乙兩種客車各多少輛？(2)設(shè)租用甲種客車x輛，租用甲、乙兩種型號(hào)的客車總費(fèi)用y元．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式．②在保證所有同學(xué)均能被送達(dá)大學(xué)城的情況下，怎樣租車費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？【變式4-2】（2023下·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了落實(shí)“鄉(xiāng)村振興”政策，A,B兩城決定向C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，已知A,B兩城分別有水泥200噸和300噸，從A城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥的費(fèi)用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要水泥240噸，D鄉(xiāng)需要水泥260噸．(1)設(shè)從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的水泥x噸．設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并求出最少總運(yùn)費(fèi)．(2)為了更好地支援鄉(xiāng)村建設(shè)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)每噸減少a(0<a<7)元，這時(shí)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的水泥多少噸時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少？【變式4-3】（2023下·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“雙減”政策頒布后，各校重視了延時(shí)服務(wù)，并在延時(shí)服務(wù)中加大了體育活動(dòng)的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計(jì)劃購進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷售，其中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過160套，他們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：商品進(jìn)價(jià)售價(jià)乒乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元．(1)求出a，b的值；(2)該店面根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半．設(shè)購進(jìn)乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②該商品實(shí)際采購時(shí)，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的進(jìn)價(jià)不變．已知商店的售價(jià)不變，這批體育用品能夠全部售完．則如何購貨才能獲利最大？【題型5探究函數(shù)的圖像及其性質(zhì)】【例5】（2023下·江西撫州·八年級(jí)南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）有這樣一個(gè)問題：探究函數(shù)y=?2|x|+1的圖像與性質(zhì)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y=?2|x|+1的圖像與性質(zhì)進(jìn)行了探究．(1)①函數(shù)y=?2|x|+1的自變量x的取值范圍是_____________；②若點(diǎn)A（－7，a），B（9，b）是該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；(2)請(qǐng)補(bǔ)全下表，并在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出該函數(shù)的圖像：x…－5－3－10135…y……(3)函數(shù)y1=?2|x|和函數(shù)①y1=?2|x|的圖像向___________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=?2|x|+1，y2②當(dāng)?2|x|+1=?2|x+1|+1時(shí)，x＝_____________；③觀察函數(shù)y2【變式5-1】（2023上·重慶潼南·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=4，AC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著B?C?A方向運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，設(shè)y=S△ABP，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出對(duì)應(yīng)x的取值范圍．(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出y的圖像，并寫出y的一條性質(zhì)(3)結(jié)合作出的圖像直接寫出它與函數(shù)y=x+1相交時(shí)x的值．（保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2）【變式5-2】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）【了解概念】對(duì)于給定的一次函數(shù)y=kx+b（其中k，b為常數(shù)，且k≠0），則稱函數(shù)y=?kx+bx≥0kx+bx<0為一次函數(shù)y=kx+b（其中k，【理解運(yùn)用】例如：一次函數(shù)y=?2x+1，它的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+1(1)點(diǎn)P?2,m在一次函數(shù)y=?2x+1的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖像上，則m(2)已知一次函數(shù)y=?2x+1．我們可以根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)一次函數(shù)y=?2x+1，它的關(guān)聯(lián)函數(shù)為y=2x+1①填表，x…?2?1012…y…53135…②根據(jù)（1）中的結(jié)果，請(qǐng)?jiān)谒o坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)y=?2x+1的關(guān)聯(lián)函數(shù)的圖像；③若?1≤x≤2，則y的取值范圍為______；【拓展提升】(3)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為?1，4、2，2，連接MN．直接寫出線段MN與一次函數(shù)【變式5-3】（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校考期末）在我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，經(jīng)歷了“確定函數(shù)的解析式一利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)”的學(xué)習(xí)過程，在畫函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過描點(diǎn)或平移的方法畫出一個(gè)函數(shù)的大致圖象．同時(shí)，我們也學(xué)習(xí)了絕對(duì)值的意義a陽陽結(jié)合上面的學(xué)習(xí)過程，對(duì)函數(shù)y=|2x?1|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．(1)①化簡(jiǎn)函數(shù)y=|2x?1|的表達(dá)式：當(dāng)x≥12時(shí)，y=，當(dāng)x＜12時(shí)，②在平面直角坐標(biāo)系中，畫出此函數(shù)的圖象；(2)函數(shù)y1=|2x?1|+1的圖象可由①當(dāng)0≤x<3時(shí)，y1的取值范圍是②當(dāng)2≤y1≤5時(shí)，x的取值范圍是③當(dāng)m<y1<n時(shí)（其中m，n為實(shí)數(shù)，m<n），自變量x的取值范圍是?1<x<2，求n【題型6由三角形全等分類討論求參數(shù)的值】【例6】（2023下·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC的兩條高AD與BE交于點(diǎn)O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的長(zhǎng)；(2)F是射線BC上一點(diǎn)，且CF=AO，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△AOP與△FCQ全等時(shí)，求t的值．【變式6-1】（2023上·湖北恩施·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在四邊形BCDE中，∠D=∠E=90°，點(diǎn)A在邊上DE上，且AC⊥AB．(1)求證：∠DAC=∠EBA．(2)如圖2，若AC=8，AB=6．點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CAB以速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BAC以速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；F，G向DE作垂線，垂足分別為M，N．設(shè)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．當(dāng)△AMF與A，N，G三點(diǎn)構(gòu)成的三角形全等時(shí)，求AG【變式6-2】（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠MAN是一個(gè)鈍角，AB平分∠MAN，點(diǎn)C在射線AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足為D．(1)求證：∠BAM=∠BCA；(2)動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AN方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)．已知AC＝5，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)Q在線段AC上，且S△ABP=5②如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在射線AN上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得△APB與△BQC全等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說出理由．【變式6-3】（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪成兩個(gè)全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．現(xiàn)將△ABC和△EDF按如圖②的方式擺放（點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E分別重合）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線ED以acm/s（0＜a＜3）的速度勻速移動(dòng)，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤5）．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，S△AQF＝3S△BQC，則a＝；（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等時(shí)，求a的值；（3）如圖③，在動(dòng)點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，△ABC也以3cm/s的速度沿射線ED勻速移動(dòng)，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△EFQ全等時(shí)，求a與t的值．【題型7利用全等三角形解決閱讀理解類問題】【例7】（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)四川省大竹中學(xué)校考期末）（1）閱讀理解：

如圖①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在ΔABE中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段AE的取值范圍是；則中線AD的取值范圍是（2）問題解決：如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，此時(shí)：BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=160°，以C為頂點(diǎn)作∠ECF=80°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，此時(shí)：BE、DF與EF的數(shù)量關(guān)系【變式7-1】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)校聯(lián)考期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),AE是∠BAD的平分線,AB∥DC，求證:AD=AB+DC．小明發(fā)現(xiàn)以下兩種方法:方法1:如圖2,延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)F；方法2:如圖3,在AD上取一點(diǎn)G使AG=AB,連接EG、CG.(1)根據(jù)閱讀材料,任選一種方法,證明：AD=AB+DC；用學(xué)過的知識(shí)或參考小明的方法,解決下面的問題:(2)如圖4,在四邊形ABCD中,AE是∠BAD的平分線,E是BC的中點(diǎn),∠BAD=60°,∠ABC=180°-12【變式7-2】（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖①，紙片Rt△ABC，∠ACB=90°

(1)將△ABC沿著MN折疊，使得△AMN與△CMN重合，MN為折痕，展開后如圖②所示．試判斷MN與BC的位置關(guān)系，并說明理由；(2)在（1）的條件下，連接MC，過點(diǎn)M作ME⊥BC，點(diǎn)E為垂足，如圖③所示．①將△BME沿ME折疊，點(diǎn)B能與點(diǎn)C重合嗎？請(qǐng)說明理由；②圖中與△AMN全等的三角形有______個(gè)；(3)將圖②中紙片沿MC剪開得△MBC，如圖④所示，將另一張紙片△OPQ與△MBC拼接，邊OP與邊MC恰好重合(點(diǎn)O與點(diǎn)C重合)，若OP=OQ，且△MBC的面積與△OPQ的面積相等，試探索∠BMC與∠【變式7-3】（2023上·河北張家口·八年級(jí)校考期末）某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED=AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形：__________；【理解與運(yùn)用】(2)如圖2，EP是△DEF的中線，若EF=5，DE=3，設(shè)EP=x，求x的取值范圍；(3)如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC=∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，QC=AB，求證：AQ=2AD．

【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【例8】（2023上·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖中A、B、C都在格點(diǎn)上，畫圖過程用虛線表示．

(1)在圖1中，畫出格點(diǎn)C，使∠ABC=45°．(2)在圖2中，在AC上畫點(diǎn)E，使∠AEB=∠ABC．(3)在圖3中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，在AB的下方畫∠ADF=45°．【變式8-1】（2023下·遼寧沈陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為5、10、13，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即（1）請(qǐng)你直接寫出△ABC的面積為（2）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為m2+16n2【變式8-2】（2023上·江蘇徐州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，方格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上，求：（1）△ABC的周長(zhǎng)；（2）請(qǐng)判斷三角形ABC是否是直角三角形，并說明理由；（3）△ABC的面積；（4）點(diǎn)C到AB邊的距離．【變式8-3】（2023下·吉林·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圖①，圖②，圖③均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)都為1．線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按要求在圖①，圖②，圖③中畫圖．（1）在圖①中，以線段AB為斜邊畫一個(gè)等腰直角三角形，且直角的頂點(diǎn)為格點(diǎn)；（2）在圖②中，以線段AB為斜邊畫一個(gè)直角三角形，使其面積為2，且直角的頂點(diǎn)為格點(diǎn)；（3）在圖③中，畫一個(gè)四邊形，使所畫四邊形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，且其余兩個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn).

【題型9以弦圖為背景的計(jì)算】【例9】（2023上·江蘇常州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)四年一度的國際數(shù)學(xué)大會(huì)于2002年8月20日在北京召開．大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖甲．它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積為15，每個(gè)三角形兩條直角邊的和是5，求中間小正方形的面積．(2)現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖，請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形．(要求：先在圖乙中畫出分割線,再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))【變式9-1】（2023上·河南鄭州·八年級(jí)鄭州市第三中學(xué)校考期末）（1）閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．【變式9-2】（2023上·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）“趙爽弦圖”是四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，在驗(yàn)明勾股定理，為中國古代以形證數(shù)形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范．

(1)如圖1所示，是小華制作的一個(gè)“趙爽弦圖”紙板，其直角三角形的短直角邊BC的長(zhǎng)為1．若中間小正方形黑色的面積占總面積的15，求直角三角形的長(zhǎng)直角邊AC(2)小華將剛剛制作的“趙爽弦圖”紙板中的四個(gè)直角三角形中長(zhǎng)直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個(gè)風(fēng)車的周長(zhǎng)．【變式9-3】（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了200多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、【題型10利用勾股定理解決實(shí)際問題】【例10】（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【變式10-1】（2023上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）美宜佳超市為了讓顧客感覺服務(wù)很溫馨，在超市門口離地面一定高度的墻上D處，裝有一個(gè)由傳感器控制的迎賓門鈴，人只要移動(dòng)到該門口2.4米及2.4米以內(nèi)時(shí)，門鈴就會(huì)自動(dòng)發(fā)出“歡迎光臨美宜佳”的語音．如圖，一個(gè)身高1.6米的學(xué)生剛走到A處（學(xué)生頭頂在B處），門鈴恰好自動(dòng)響起，此時(shí)測(cè)得迎賓門鈴與地面的距離和到該生頭頂?shù)木嚯x相等，請(qǐng)你計(jì)算迎賓門鈴距離地面多少米？

【變式10-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)鎮(zhèn)江市第三中學(xué)校聯(lián)考期末）國慶節(jié)前，學(xué)校開展藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，小明站在距離教學(xué)樓（CD）35米的A處，操控一架無人機(jī)進(jìn)行攝像，已知無人機(jī)在D點(diǎn)處顯示的高度為距離地面30米，隨后無人機(jī)沿直線勻速飛行到點(diǎn)E處懸停拍攝，此時(shí)顯示距離地面10米，隨后又沿著直線飛行到點(diǎn)B處懸停拍攝，此時(shí)正好位于小明的頭頂正上方（AB∥CD），且顯示距離地面25米，已知無人機(jī)從點(diǎn)D勻速飛行到點(diǎn)E所用時(shí)間與它從點(diǎn)E勻速飛行到點(diǎn)B所用時(shí)間相同，你能求出無人機(jī)從點(diǎn)D到點(diǎn)E再到點(diǎn)【變式10-3】（2023上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，長(zhǎng)方體長(zhǎng)AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長(zhǎng)體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G，且經(jīng)過棱EF上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長(zhǎng)．(2)設(shè)該長(zhǎng)方體上底面對(duì)角線EG、FH相交于點(diǎn)O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為cm；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，設(shè)BP長(zhǎng)為acm，求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．【題型11等腰三角形中的證明與計(jì)算】【例11】（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DB、DE，DB=DE．(1)求證：∠ABD=∠CDE；(2)如圖2，若∠BAC=60°，求證：AD=CE；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F是△ABC外一點(diǎn)，連接FC，AF，BF，且FC平分∠AFB，若CF=6，AF=12BF【變式11-1】（2023上·北京西城·八年級(jí)北京四中?？计谀┤鐖D，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在射線AB上且∠ACE=2α，在射線CE上取點(diǎn)D使得CD=CA，連接AD并延長(zhǎng)交射線CB于點(diǎn)F．(1)當(dāng)0°<2α<60°時(shí)，①∠DAB=______；(請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示)②求證：CE+BE=CF；(2)當(dāng)60°<2α<120°時(shí)，請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并寫出線段CE，BE，CF間的數(shù)量關(guān)系______.【變式11-2】（2023上·廣西南寧·八年級(jí)校考期末）數(shù)學(xué)課上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)課本一道習(xí)題層層深入研究．教材再現(xiàn)：如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形．求證：BE=DC．(1)請(qǐng)寫出證明過程；繼續(xù)研究：(2)如圖，在圖1的基礎(chǔ)上若CD與BE交于點(diǎn)O，AB與CD交于點(diǎn)M，AC與BE交于點(diǎn)N，連接AO，求證：AO平分∠DOE；(3)在（2）的條件下再探索OA，OC，OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式11-3】（2023上·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線BC?CA運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，PC，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．(1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BQ的長(zhǎng)為_____（cm），BP的長(zhǎng)為______（cm）（用含t的式子表示）．(2)當(dāng)PQ與△ABC的一條邊垂直時(shí)，求t的值．(3)當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過程中，連接PQ，直接寫出PQ中點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【題型12數(shù)式或圖形的規(guī)律探究】【例12】（2023下·北京西城·八年級(jí)北京八中?？计谀┯^察下列計(jì)算過程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53(1)小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計(jì)19683的立方根的個(gè)位數(shù)，猜想它的個(gè)位數(shù)為______，又由203<19000<303；猜想(2)請(qǐng)你根據(jù)（1）中小明的方法，完成如下填空：①3?117649=______，②【變式12-1】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1，已知點(diǎn)A1(1,0)，A2(1,1)，A3(?1,1)，A4(?1,?1)，(1)將圖中的平面直角坐標(biāo)系補(bǔ)畫完整；(2)按此規(guī)律，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：A9，A10(3)按此規(guī)律，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為【變式12-2】（2023下·上?！ぐ四昙?jí)上海市市西初級(jí)中學(xué)校考期末）細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：122232+1=（1）請(qǐng)用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上述交化規(guī)律：______；（2）觀察總結(jié)得出結(jié)論：直角三角形兩條直角邊與斜邊的關(guān)系，用一句話概括為：______；（3）利用上面的結(jié)論及規(guī)律，請(qǐng)?jiān)趫D中作出等于7的長(zhǎng)度；（4）若S表示三角形面積，S1=S△OP1P2，【變式12-3】（2023下·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式，2002年8月在北京召開了國際數(shù)學(xué)大會(huì)，大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，四個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)均分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．（1）圖中陰影部分小正方形的邊長(zhǎng)可表示為；（2）圖中陰影部分小正方形的面積用兩種方法可分別表示為、（3）你能得出的a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系是（等號(hào)兩邊需化為最簡(jiǎn)形式）；（4）一直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為5和12，則其斜邊長(zhǎng)為【知識(shí)遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2是邊長(zhǎng)為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．（5）用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為__________________（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的規(guī)律求a3+b3的值．【題型13數(shù)式或圖形中新定義問題】【例13】（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b(1)對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB=3(3)如圖，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD，AD，若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝【變式13-1】（2023上·北京海淀·八年級(jí)人大附中校考期末）（2023上·福建莆田·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）定義：對(duì)于一次函數(shù)y1=ax+b、y2=cx+d(1)若m=3,n=1．試判斷函數(shù)y=5x+2是否為函數(shù)y1(2)設(shè)函數(shù)y1=x?p?2與y2=?x+3p的圖象相交于點(diǎn)P．求點(diǎn)(3)在（2）的條件下，若m+n>1，點(diǎn)P在函數(shù)y1、y【變式13-2】（2023下·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期末）新定義：若無理數(shù)T的被開方數(shù)(T為正整數(shù))滿足n2<T<n+12(其中n為正整數(shù))，則稱無理數(shù)T的“青一區(qū)間”為n,n+1；同理規(guī)定無理數(shù)?T的“青一區(qū)間”為(?n?1,?n)．例如：因?yàn)?2<2<22(1)17的“青一區(qū)間”為；?23的“青一區(qū)間”為(2)若無理數(shù)a(a為正整數(shù))的“青一區(qū)間”為2,3，a+3的“青一區(qū)間”為3,4，求3a+1(3)實(shí)數(shù)x，y，滿足關(guān)系式：x?3+2023+y?4【變式13-3】（2023上·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”．如圖（1），BE是△ABD的“雙等腰線”，AD、BE是△ABC的“三等腰線”．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D（2）中，作出△ABC的“雙等腰線”，并標(biāo)注相等角的度數(shù)

①∠B=70°，∠A=35°

②∠B=81°，∠A=27°．(2)直角三角形的______就是它的“雙等腰線”(3)如果一個(gè)頂角是銳角的等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是______．(4)已知△ABC中，∠C=33°，AD和DE分別是△ABC的“三等腰線”，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，且AD=DC，BE=DE，請(qǐng)根據(jù)題意寫出∠B度數(shù)的所有可能的值______．

專題7.4期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題十三大題型總結(jié)【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩條直線相交問題】 1【題型2與一次函數(shù)有關(guān)的面積的計(jì)算】 9【題型3與一次函數(shù)圖像有關(guān)的應(yīng)用】 19【題型4與一次函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用】 25【題型5探究函數(shù)的圖像及其性質(zhì)】 30【題型6由三角形全等分類討論求參數(shù)的值】 39【題型7利用全等三角形解決閱讀理解類問題】 48【題型8勾股定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】 58【題型9以弦圖為背景的計(jì)算】 64【題型10利用勾股定理解決實(shí)際問題】 72【題型11等腰三角形中的證明與計(jì)算】 78【題型12數(shù)式或圖形的規(guī)律探究】 90【題型13數(shù)式或圖形中新定義問題】 95【題型1兩條直線相交問題】【例1】（2023上·山西太原·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=?43x+8的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，經(jīng)過點(diǎn)B的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，且OB=OC．點(diǎn)D是線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D

(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)m=?3時(shí)，求△BEF的面積；(3)如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于直線DF的對(duì)稱點(diǎn)G．請(qǐng)從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．A．①當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；②點(diǎn)D在線段CA上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)EF=13DG時(shí)，mB．①用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)為；②點(diǎn)D在線段CA上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)EF=12AG時(shí)，m【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)，C(?8,0)(2)21(3)A：①(12,0)；②43或?1；B：①(2m+8,0)，②34【分析】（1）在y=?43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，即得A(6,0)，B(0,8)，而OB=OC，C在x（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，將點(diǎn)B(0,8)，C(?8,0)代入可得直線BC的解析式為y=x+8，當(dāng)m=?3時(shí)，F(xiàn)(?3,5)，E(?3,12)，可得EF=7，即可得ΔBEF（3）選A、①由m=2，C(?8,0)，直接可得G(12,0)；②由C(?8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，E(m,?43m+8)，F(xiàn)(m,m+8)，故EF=|73m|，即有選B、①由C(?8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，即可得G(2m+8,0)，②由A(6,0)，得AG=|2m+2|，根據(jù)已知得|73m|=12【詳解】（1）解：在y=?43x+8中，令x=0得y=8，令y=0∴A(6,0)，B(0,8)，∵OB=OC，C在x軸負(fù)半軸，∴C(?8,0)；（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，將點(diǎn)B(0,8)，C(?8,0)代入可得，b=8?8k+b=0解得k=1b=8∴直線BC的解析式為y=x+8，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)m=?3，∴在y=x+8中令x=?3得y=5，即F(?3,5)，,m+8)，∴EF=|m+8?(?4∵EF=1【點(diǎn)晴】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)及相關(guān)線段．【變式1-1】（2023上·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+8交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，且OB=2OA．

(1)求直線AB的解析式；(2)①若另一條直線y=ax+a+6與直線AB有唯一交點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直接寫出a的取值范圍．(3)若直線y=ax+a+6只與y軸的交點(diǎn)D在線段OB上（D不與O，B重合），試寫出a取值范圍．【答案】(1)y=2x+8；把A?4,0代入y=kx+8，得解得，k=2,∴直線AB的解析式為y=2x+8；（2）①聯(lián)立方程組y=2x+8y=ax+a+6∴2x+8=ax+a+6,整理得，a?2x=2?a∵直線y=ax+a+6與直線AB有唯一交點(diǎn)，∴a?2≠0,解得x=?1，∴y=2×?1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：?1,6②由①知a?2≠0,∴a≠2；（3）對(duì)于y=ax+a+6，當(dāng)x=0時(shí)，y=a+6,∵直線y=ax+a+6只與y軸的交點(diǎn)D在線段OB上（D不與O，B重合），∴0<a+6<8，解得，?6<a<2．【變式1-2】（2023下·河北承德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線l1與y軸相較于點(diǎn)A0,3，直線l2:y=?x?2交y軸于點(diǎn)B，交直線

(1)求直線l1(2)過動(dòng)點(diǎn)Da,0作x軸的垂線，與直線l1相交于點(diǎn)M，與直線l2相交于點(diǎn)N，當(dāng)MN=3(3)點(diǎn)Q為l2上一點(diǎn)，若S△APQ=【答案】(1)y=(2)a=?65(3)?2,0或?4,2【分析】（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)題意推得Ma,23a+3，（3）設(shè)Q?,???2，分當(dāng)點(diǎn)Q在線段PB上和當(dāng)點(diǎn)Q在射線BP上討論，根據(jù)S【詳解】（1）解：∵y=?x?2過點(diǎn)P∴m=1即點(diǎn)P設(shè)l1的解析式為∵過點(diǎn)A0,3，∴?3k+b=1b=3解得，k=2所以l1的解析式為y=（2）解：由題意可知，Ma,23因?yàn)镸N=3，有兩種情況：23解得：a=?6?a?2?2解得：a=?24（3）解：設(shè)Q?,???2當(dāng)點(diǎn)Q在線段PB上，∵S△APQ∴S△ABQ∴?=2即Q?2,0當(dāng)點(diǎn)Q在射線BP上，∵S∴S△ABQ∴?=?4，即Q?4,2綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?2,0或?4,2．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的函數(shù)值，求一次函數(shù)的解析式等，在（1）中求得P點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足每個(gè)函數(shù)的解析式，在（2）中用含a的代數(shù)式表示出MN的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，在（3）中三角形面積的表示是關(guān)鍵．【變式1-3】（2023上·山西太原·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線l1:y=14x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)(1)直接寫出點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)；(2)求出直線l2(3)如圖1，求ΔADP(4)如圖2，點(diǎn)M是線段AP上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交直線l2于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m①用m表示點(diǎn)M、N的坐標(biāo)：M:，N:；②線段MN的長(zhǎng)度用l表示，寫出l與m的函數(shù)關(guān)系式；③ΔANP的面積用s表示，寫出s與m【答案】(1)A(?4,0)，B(0,1)，P(2,(2)y=?x+(3)15(4)①(m,14m+1)，(m,?m+7【分析】（1）在直線l1:y=14x+1中，分別令y=0和x=0，x=2，可求得A（2）利用待定系數(shù)法得到直線l2（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)SΔ（4）①根據(jù)直線l1:y=1②根據(jù)①得出的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)即可寫出l與m的函數(shù)關(guān)系式；③根據(jù)SΔ【詳解】（1）解：在直線l1令y=0可得x=?4，令x=0可得y=1，令x=2可得y=3∴A(?4,0)，B(0,1)，P(2,3（2）解：設(shè)直線l2的解析式為y=kx+b∴3.5k+b=02k+b=3∴直線l2的解析式為y=?x+（3）解：∵直線l2的解析式為y=?x+∴點(diǎn)D(0,7∴S（4）解：①∵點(diǎn)M是線段AP上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線交直線l2于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m則：M:(m,14m+1)故答案為：(m,14m+1)②線段MN的長(zhǎng)度l=?m+7∴l(xiāng)與m的函數(shù)關(guān)系式為l=?5③SΔ∴s與m的函數(shù)關(guān)系式為s=?15【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【題型2與一次函數(shù)有關(guān)的面積的計(jì)算】【例2】（2023下·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A10，0，點(diǎn)B0，8，過點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)

(1)如圖1，求出△AOP的面積；(2)如圖2，已知點(diǎn)C是直線y=85x上一點(diǎn)，若△APC是以AP【答案】(1)△AOP的面積為40(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為10，16【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線l的上方時(shí)，證明△PEA≌△CFP(AAS)，得到AE=PF且PE=FC，即可求解；當(dāng)點(diǎn)C在直線【詳解】（1）∵點(diǎn)A10，0∴OA=10，過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，

∵直線l∥x軸，點(diǎn)B在z軸上，∴PH=OB=8，∴S△AOP故答案為：40；（2）設(shè)點(diǎn)Pn,8n≠0，點(diǎn)C當(dāng)點(diǎn)C在直線l的上方時(shí)，如圖，

過點(diǎn)P作直線FE，交x軸于點(diǎn)E，交過點(diǎn)C與x軸的平行線于點(diǎn)F，、∵△APC為等腰直角三角形，則PA=PC，∠APC=90°，∴∠APE+∠FPC=90°，∠FPC+∠FCP=90°，∴∠APE=∠FCP，∵∠PEA=∠CFP=90°，PA=PC，∴△PEA≌△CFP(AAS∴AE=PF且PE=FC，則85m?8=10?n且解得：m=10n=2即點(diǎn)C的坐標(biāo)為10,16（不合題意的值已舍去）；當(dāng)點(diǎn)C在直線l的下方時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作AM⊥l于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N，

同理可得：△AMP≌△ANC(AAS∴AM=AM且MP=NC，∴8=|10?m|或n?10=8解得：m=2n=565即點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,165或綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：10,16或2,16【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想．本題第三問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．【變式2-1】（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?5，2，B?1，2，直線y=kx?1與

(1)求△ABC的面積；(2)若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y=kx?1的兩側(cè)，求k的取值范圍；(3)若P點(diǎn)將線段AB分成1：3兩部分，直接寫出【答案】(1)6(2)?3<k<?(3)k=?32【分析】（1）延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)D，則AB⊥y軸，求出AB,CD，利用三角形的面積公式求解即可；（2）先求出直線AC,BC的斜率，即可求出k的取值范圍；（3）分兩種情況：AP:PB=1:3或AP:PB=3:1求解.【詳解】（1）解：∵A?5∴AB∥x軸，延長(zhǎng)線段AB交y軸于點(diǎn)D，AB⊥y軸，∵CD=2??1=3，∴S

（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)，∴?5k+b=2b=?1∴直線AC的解析式為y=?設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0)，∴?m+n=2n=?1∴直線BC的解析式為y=?3x?1∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線y=kx?1的兩側(cè)，∴?3<k<?3（3）解：當(dāng)AP:PB=1:3，∵A?5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?4,2，將點(diǎn)P?4,2代入y=kx?1，得2=?4k?1解得，k=?3當(dāng)AP:PB=3:1，∵A?5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為?2,2，將點(diǎn)P?2,2代入y=kx?1，得2=?2k?1解得，k=?3綜上所述，k=?32【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)交點(diǎn)問題，正確理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┮阎淮魏瘮?shù)y=kx+b的圖像直線l經(jīng)過點(diǎn)0,1，?1,4，將此函數(shù)中的k與b交換位置后得另一個(gè)一次函數(shù)，設(shè)其圖像為直線l'(1)求直線l的函數(shù)表達(dá)式；(2)求直線l、直線l'及y(3)過y軸上一點(diǎn)P畫x軸的平行線分別與直線l，l'交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若點(diǎn)P、M、N中有一點(diǎn)是另兩點(diǎn)所成線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)P【答案】(1)y=?3x+1(2)2(3)0,?5或0,?177【分析】（1）將點(diǎn)0,1，?1,4代入一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b中，得到關(guān)于k，b的二元一次方程組，求解即可；（2）確定直線l與y軸的交點(diǎn)A0,1，確定直線l'與y軸的交點(diǎn)B0,?3，得到AB=4，再通過解聯(lián)立方程組y=?3x+1y=x?3，得到兩直線的交點(diǎn)C1,?2，得到點(diǎn)C（3）求得兩條直線與直線y=a的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，分四種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=kx+b的圖像直線l經(jīng)過點(diǎn)0,1，?1,4，∴b=1?k+b=4解得：k=?3b=1∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=?3x+1；（2）∵直線l的解析式為y=?3x+1，∴直線l'的解析式為y=x?3設(shè)直線l：y=?3x+1與y軸的交點(diǎn)為A，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則A0,1設(shè)直線l'：y=x?3與y軸的交點(diǎn)為B當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，則B0,?3∴AB=1??3設(shè)直線l與直線l'交于點(diǎn)C∴y=?3x+1y=x?3解得：x=1y=?2∴C1,?2∴點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為1，∴S△ABC∴直線l、直線l'及y軸圍成三角形的面積為2（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為P0,a∴過點(diǎn)P與x軸平行的直線的解析式為y=a，把y=a代入y=?3x+1得，a=?3x+1，解得：x=1?a∴M1?a把y=a代入y=x?3得，a=x?3，解得：x=a+3，∴Na+3,a分四種情況：①如圖所示，點(diǎn)P為NM的中點(diǎn)，則0?a+3解得：a=?5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?5，②如圖所示，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則a+3?0=解得：a=?17∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?17③如圖所示，點(diǎn)M為PN的中點(diǎn)，則1?a3解得：a=?7∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?7④如圖所示，點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，則0?1?a解得：a=?5（不符合題意，舍去），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?5或0,?177或【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像與幾何變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸相交的點(diǎn)的坐標(biāo)，兩直線相交問題，三角形的面積．分類討論的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023下·湖南邵陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過點(diǎn)C的直線y?x=6與坐標(biāo)軸相交于A、B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)Cx,y是第二象限的點(diǎn)，設(shè)△AOC的面積為S

(1)寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)△AOC的面積為6時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得M與A、O、C中任意兩點(diǎn)形成的三角形面積也為6，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)S=3x+18(2)C(?4,2)(3)存在，M10,2，M2(0,?2)，M30,3，M4【分析】（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由S△AOC（2）將S=6代入函數(shù)解析式可求得點(diǎn)C(?4,2)；（3）根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)不同分類討論求出點(diǎn)M．【詳解】（1）解：點(diǎn)Cx，y在第二象限，則當(dāng)y=0時(shí)，x=?6，則AO＝S△AOC==18+3x（?6<x<0)（2）由（1）可知S當(dāng)18+3x=6則x=?4此時(shí)：y=6+x=2所以C(?4,2)（3）存在點(diǎn)M滿足條件，I．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若S△MAO=6，即∴12∴OM=2，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M1∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M2II．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若S△MOC=6，即∴12∴OM=3，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M3∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)下方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M4III．當(dāng)M點(diǎn)在y軸時(shí)，若S△MAC=6，即

12∴BM=6，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B上方時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M5∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B下方時(shí)，點(diǎn)M點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；；IV．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若S△MOC=6，即∴12∴OM=6，∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M6∴當(dāng)點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為?6,0，與點(diǎn)A重合，不合題意舍去；V．當(dāng)M點(diǎn)在x軸時(shí)，若S△MAC=6，即∴12∴AM=6，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(?6,0)，∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M7∴當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，不合題意舍去；綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為M10,2，M2(0,?2)，M30,3，M4【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是分類討論的數(shù)學(xué)思想．【題型3與一次函數(shù)圖像有關(guān)的應(yīng)用】【例3】（2023下·安徽蕪湖·八年級(jí)?？计谀┘住⒁覂傻馗咚勹F路建設(shè)成功，一列動(dòng)車從甲地開往乙地，一列普通列車從乙地開往甲地，兩車均勻速行駛并同時(shí)出發(fā)．設(shè)普通列車行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），兩車之間的距離為y（千米）．圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像．求：

(1)甲、乙兩地相距______千米；(2)求動(dòng)車和普通列車的速度；(3)求C點(diǎn)坐標(biāo)和直線CD解析式；(4)求普通列車行駛多少小時(shí)后，兩車相距1000千米．【答案】(1)1800(2)動(dòng)車的速度為300km/h；普通列車的速度(3)C6,900，(4)169h【分析】(1)根據(jù)圖像，直接得到．(2)根據(jù)圖像，慢車走完全程用時(shí)12小時(shí)，計(jì)算速度；根據(jù)4小時(shí)相遇，可確定動(dòng)車的速度．(3)根據(jù)題意，動(dòng)車達(dá)到目的地的時(shí)間為1800300=6h，根據(jù)圖像，得到m=6，此時(shí)相遇后各自行駛2小時(shí)，此時(shí)y=2300+160=900km(4)分相遇前和相遇后兩種情形計(jì)算．【詳解】（1）根據(jù)圖像，得到當(dāng)x=0h時(shí)，y=1800兩地距離為1800km故答案為：1800．（2）根據(jù)圖像，慢車走完全程用時(shí)12小時(shí)，∴普通列車的速度為180012根據(jù)4小時(shí)相遇，得4160解得v動(dòng)（3）根據(jù)題意，動(dòng)車達(dá)到目的地的時(shí)間為1800300根據(jù)圖像，得到m=6，此時(shí)相遇后各自行駛2小時(shí)，此時(shí)y=2300+160故C6,900設(shè)CD的解析式為y=kx+b，∵D12,1800∴6k+b=90012k+b=1800解得k=160b=0故CD的解析式為y=160x6≤x≤12（4）設(shè)經(jīng)過x小時(shí)，輛車相距1000千米，當(dāng)相遇前，輛車相距1000千米時(shí)，根據(jù)題意，得160x+300x=1800?1000，解得x=16當(dāng)相遇后，輛車相距1000千米時(shí)，動(dòng)車到達(dá)目的地，普通車自己行駛x小時(shí)，根據(jù)題意，得2160+300解得x=2故行駛總時(shí)間為6+2故經(jīng)過169h或【點(diǎn)睛】本題考查了圖像信息的讀取，待定系數(shù)法求解析式，交點(diǎn)的意義，熟練掌握交點(diǎn)的意義，待定系數(shù)法，讀取圖像信息是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023下·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶一中?？计谀┰谝粭l直線上依次有A、B、C三個(gè)港口，甲、乙兩船同時(shí)分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終到達(dá)C港停止．設(shè)甲、乙兩船行駛xh后，與B港的距離分別為y1、y2km，y1

(1)B、C兩港口間的距離為______km，a=______；(2)甲船出發(fā)幾小時(shí)追上乙船？(3)在整個(gè)過程中，什么時(shí)候甲乙兩船相距10km【答案】(1)90，2(2)甲船出發(fā)1小時(shí)追上乙船(3)當(dāng)經(jīng)過23h或43h【分析】（1）根據(jù)圖象可得，甲船用0.5h從A港口到達(dá)B港口，A港口和B港口距離30km，即可求出甲船的速度，根據(jù)圖象得出B港口和C港口距離為90km（2）先求出乙船的速度，根據(jù)甲船追上乙船時(shí)，兩船與B港口距離相等，列出方程求解即可；（3）根據(jù)投影進(jìn)行分類討論：①當(dāng)甲船還未追上乙船時(shí)；②當(dāng)甲船追上乙船后，當(dāng)未到達(dá)C港口時(shí)；③當(dāng)甲船到達(dá)C港口，乙船還未到達(dá)C港口時(shí)，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：由圖可知：B、C兩港口間的距離為90km，甲船用0.5h從A港口到達(dá)B港口，A港口和B港口距離∴甲船的速度為：300.5∴甲船從B港口到C港口時(shí)間為：9060∴a=1.5+0.5=2，故答案為：90，2；（2）解：由圖可知，乙船用3h從B港口到達(dá)C∴乙船的速度為：90360x?30=30x，解得：x=1．答：甲船出發(fā)1小時(shí)追上乙船；（3）解：①當(dāng)甲船還未追上乙船時(shí)，30x?60x?30解得：x=2②當(dāng)甲船追上乙船后，當(dāng)未到達(dá)C港口時(shí)：60x?30?30x=10解得：x=4③當(dāng)甲船到達(dá)C港口，乙船還未到達(dá)C港口時(shí)：90?30x=10，解得：x=8綜上：當(dāng)經(jīng)過23h或43h或【點(diǎn)睛】此題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，以及一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)?？萍夹〗M進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中EF?FM?MN為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機(jī)器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為___________．②請(qǐng)求出在6≤t≤9時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間t的值．【答案】(1)60(2)①120，②7或39【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了460米，據(jù)此可求得乙機(jī)器人行走的速度；（2）①先求得甲機(jī)器人行走的總路程540米，再分段求得甲機(jī)器人行走的路程，根據(jù)速度、時(shí)間、路程的關(guān)系式求解即可；②分情況討論，一種是甲乙都在運(yùn)動(dòng)，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來，乙在跑，以甲停止運(yùn)動(dòng)那一刻為分界點(diǎn)．【詳解】（1）解：根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了460米，∴乙機(jī)器人行走的速度為460÷9=60(米/分)；故答案為：60．（2）①設(shè)甲機(jī)器人前3分鐘的速度為x米/分，依題意得：3x=60×3+90，解得x=80，甲機(jī)器人行走的總路程為：460+90=540(米)，甲機(jī)器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程：80×4=320(米)，4≤t≤6時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：60×2=100(米)，∴m=540?320?100=120故答案為：120．②∵6分鐘后甲機(jī)器人的速度又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度，∴6分鐘后甲機(jī)器人的速度是80米/分，當(dāng)t=6時(shí)，甲乙兩機(jī)器人的距離為：80×4+60×6?4當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，t=7.5（分），乙到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，t=9（分）當(dāng)6≤t≤9時(shí)，y當(dāng)6≤t≤7.5時(shí)，y當(dāng)7.5<t≤9時(shí)，y?60t+460??80t+600?60t+460?0=60，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間的值為7或39【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程中追擊問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-3】（2023下·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，水平放置的甲容器內(nèi)原有120mm高的水，乙容器中有一圓柱形實(shí)心鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙容器底面上）．現(xiàn)將甲容器中的水勻速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙兩個(gè)容器中水的深度y（mm）與注水時(shí)間x（min）之間的關(guān)系如圖．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，鐵塊的高度是_________mm；(2)注水多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面積為900mm【答案】(1)20，140(2)注水2min時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同(3)21000【分析】（1）借助圖像可知折線A?B?C是乙容器睡得高度隨時(shí)間的變化圖象，分析圖象可以得到答案；（2）分別求出線段AB、DE的解析式，然后聯(lián)立解方程組即可解題；（3）先求出鐵塊的底面積，然后計(jì)算出鐵塊的體積即可解題．【詳解】（1）解：由圖像可知，折線A?B?C是乙容器睡得高度隨時(shí)間的變化圖象，即可以得到原有水的高度是20mm，鐵塊的高度是140故答案為：20，140．（2）設(shè)線段AB的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)0,20和4,140代入得，b=204k+b=140解得，∴y=30x+20設(shè)線段DE的解析式為：y=mx+n，將點(diǎn)0,120和6,0代入得，n=1206m+n=0，解得，∴y=?20x+120，令30x+20=?20x+120，解得x=2，∴注水2min時(shí)，甲、乙兩個(gè)容器中水的深度相同．（3）解：由圖象知：當(dāng)水槽中沒過鐵塊時(shí)4分鐘水面上升了120mm，即1分鐘上升30mm，當(dāng)水面沒有沒過鐵塊時(shí)，2分鐘上升了60mm，即1分鐘上升25mm．設(shè)鐵塊的底面積為a?m∵勻速注水，∴1分鐘非水量是相等的．乙水槽中放入鐵塊時(shí)，1分鐘注水的體積為：30×不放鐵塊時(shí)，1分鐘注水的體積為：25×900m∴30×900?a=25×900，解得∴鐵塊的體積為：160×140=21000m【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際問題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【題型4與一次函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的應(yīng)用】【例4】（2023下·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為使活動(dòng)更具有意義，某活動(dòng)舉辦方?jīng)Q定購買甲、乙兩種品牌的文化衫，已知購買3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；購買5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．(1)求甲、乙兩種品牌文化衫的單價(jià)；(2)根據(jù)需要，舉辦方?jīng)Q定購買兩種品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件數(shù)不少于乙品牌文化衫件數(shù)的3倍．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出最省錢的購買方案，并說明理由．【答案】(1)甲品牌文化衫的單價(jià)為40元，乙品牌文化衫的單價(jià)為35元(2)購買760件甲品牌文化衫，260件乙品牌文化衫；理由見解析【分析】（1）設(shè)甲品牌文化衫的單價(jià)為x元，乙品牌文化衫的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；購買5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”列方程組求解即可；（2）設(shè)購買m件甲品牌文化衫，根據(jù)“甲品牌文化衫的件數(shù)不少于乙品牌文化衫件數(shù)的3倍”列不等式求出m的取值范圍，設(shè)購買這1000件文化衫所需總費(fèi)用為w元，列出w與m的關(guān)系式，根據(jù)w隨m的變化關(guān)系求出最佳方案即可．【詳解】（1）設(shè)甲品牌文化衫的單價(jià)為x元，乙品牌文化衫的單價(jià)為y元，依題意得：3x+2y=1905x+y=235解得：x=40y=35答：甲品牌文化衫的單價(jià)為40元，乙品牌文化衫的單價(jià)為35元．（2）最省錢的購買方案為：購買760件甲品牌文化衫，260件乙品牌文化衫，理由如下：設(shè)購買m件甲品牌文化衫，則購買1000?m件乙品牌文化衫，依題意得：m≥31000?m解得：m≥760．設(shè)購買這1000件文化衫所需總費(fèi)用為w元，則w=40m+351000?m∵5>0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m=760時(shí)，w取得最小值，此時(shí)1000?m=260，∴最省錢的購買方案為：購買760件甲品牌文化衫，260件乙品牌文化衫．【點(diǎn)睛】本題考查了購買問題，方案設(shè)計(jì)問題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握總價(jià)與單價(jià)和數(shù)量的關(guān)系，運(yùn)用題設(shè)等量關(guān)系和不等關(guān)系列出二元一次方程組、一元一次不等式、一次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)值增減性設(shè)計(jì)最佳方案．【變式4-1】（2023下·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)校計(jì)劃組織八年級(jí)的同學(xué)參觀大學(xué)城，已知八年級(jí)共有480名同學(xué)，計(jì)劃租用9輛客車，現(xiàn)有甲、乙兩種型號(hào)的客車，它們的載客量和租金如下表：租金/（元/輛）載客量/（座/輛）甲種客車170045乙種客車200060(1)若恰好一次性將480名學(xué)生送往大學(xué)城且客車全部坐滿，則應(yīng)租用甲、乙兩種客車各多少輛？(2)設(shè)租用甲種客車x輛，租用甲、乙兩種型號(hào)的客車總費(fèi)用y元．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式．②在保證所有同學(xué)均能被送達(dá)大學(xué)城的情況下，怎樣租車費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？【答案】(1)租用甲種客車4輛，乙種客車5輛(2)應(yīng)租用4輛甲種客車，5輛乙種客車，最低租車費(fèi)用16800元【分析】（1）設(shè)租用甲種客車a輛，乙種客車b輛．然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）①設(shè)租用甲種客車x輛，應(yīng)租乙種客車9?x輛．然后根據(jù)題意列出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；②由①所得解析式的增減性再結(jié)合x的取值范圍求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)租用甲種客車a輛，乙種客車b輛．由題可得a+b=945a+60b=480，解得a=4答：租用甲種客車4輛，乙種客車5輛．（2）解：①設(shè)租用甲種客車x輛，由題可知，應(yīng)租乙種客車9?x輛．可得y=1700x+20009?x②由①知y=?300x+18000，∵?300<0，∴y隨x的增大而減?。李}意可得x≥045x+60解得0≤x≤4，∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最小值，最小值為16800．答：應(yīng)租用4輛甲種客車，5輛乙種客車，最低租車費(fèi)用16800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意確定x的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023下·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了落實(shí)“鄉(xiāng)村振興”政策，A,B兩城決定向C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，已知A,B兩城分別有水泥200噸和300噸，從A城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥的費(fèi)用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C,D兩鄉(xiāng)運(yùn)送水泥的費(fèi)用分別為15元/噸和24元/噸，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要水泥240噸，D鄉(xiāng)需要水泥260噸．(1)設(shè)從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的水泥x噸．設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并求出最少總運(yùn)費(fèi)．(2)為了更好地支援鄉(xiāng)村建設(shè)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)每噸減少a(0<a<7)元，這時(shí)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的水泥多少噸時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少？【答案】(1)y=4x+100400≤x≤200(2)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)200噸，總運(yùn)費(fèi)最少．【分析】（1）先求出x的取值范圍，在求出y與x的函數(shù)解析式，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出最小值；（2）先列出A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的運(yùn)費(fèi)每噸減少a(0<a<7)元時(shí)，總費(fèi)w用關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再分類討論，分別求出最小值．【詳解】（1）設(shè)從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料x噸，則運(yùn)往D鄉(xiāng)200?x，從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料240?x噸，則運(yùn)往D鄉(xiāng)60+x噸，設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，根據(jù)題意，則：y=20x+25200?x=4x+100400≤x≤200∵k=4>0,y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=0時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少，且最少的總運(yùn)費(fèi)為10040元．答：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4x+100400≤x≤200最少總運(yùn)費(fèi)為10040元；（2）設(shè)減少運(yùn)費(fèi)后，總運(yùn)費(fèi)為w元，則：w==∵0<a<7，∴分以下三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0<a<4時(shí)，4?a>0，此時(shí)w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=0時(shí)，w最?、诋?dāng)a=4時(shí)，w=10040，∴不管怎樣調(diào)運(yùn)，費(fèi)用一樣多，均為10040元；③當(dāng)4<a<7時(shí)，4?a<0，此時(shí)w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=200時(shí)，w最小∴綜上可得：當(dāng)0<a<4時(shí)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，總運(yùn)費(fèi)最少；當(dāng)a=4時(shí)，無論從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)多少噸肥料（不超過200噸），總運(yùn)費(fèi)都是10040元；當(dāng)4<a<7時(shí)，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)200噸，總運(yùn)費(fèi)最少．【點(diǎn)睛】本題考差了一次函數(shù)解析式的求法，一次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023下·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“雙減”政策頒布后，各校重視了延時(shí)服務(wù)，并在延時(shí)服務(wù)中加大了體育活動(dòng)的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計(jì)劃購進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷售，其中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過160套，他們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：商品進(jìn)價(jià)售價(jià)乒乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元．(1)求出a，b的值；(2)該店面根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半．設(shè)購進(jìn)乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②該商品實(shí)際采購時(shí)，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的進(jìn)價(jià)不變．已知商店的售價(jià)不變，這批體育用品能夠全部售完．則如何購貨才能獲利最大？【答案】(1)a的值為35，b的值為40(2)①y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=?2x+3600，x的取值范圍為：100≤x≤160；②當(dāng)0<n<2時(shí)，乒乓球拍購進(jìn)100套，羽毛球拍購進(jìn)200套能獲利最大；當(dāng)2<n<10時(shí)，乒乓球拍購進(jìn)160套，羽毛球拍購進(jìn)160套能獲利最大；當(dāng)n=2時(shí)，無論購多少套，只要滿足100≤x≤160，利潤(rùn)都是3600．【分析】（1）根據(jù)購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元，列出方程組，解方程組即可；（2）①根據(jù)總利潤(rùn)=乒乓球拍的利潤(rùn)+羽毛球拍的利潤(rùn)列出函數(shù)解析式，再根據(jù)購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過160套，購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半求出自變量的取值范圍；②根據(jù)總利潤(rùn)=乒乓球拍的利潤(rùn)+羽毛球拍的利潤(rùn)列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．【詳解】（1）根據(jù)題意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值為35，b的值為40；（2）①由題意得：y=(45?35)x+(52?40)(300?x)=?2x+3600，∵購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過160套，∴x≤160，∵購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，∴x≥1解得：x≥100，則x的取值范圍為：100≤x≤16