人教版九年級數(shù)學下冊27.3相似三角形的判定【十大題型】(學生版+解析)

專題27.3相似三角形的判定【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1相似三角形的判定條件】 2【題型2格點中的相似三角形】 3【題型3相似三角形的證明】 4【題型4利用相似三角形的判定探究線段之間的關(guān)系】 5【題型5相似三角形在坐標系中的運用】 6【題型6確定相似三角形的對數(shù)】 7【題型7相似三角形中的多結(jié)論問題】 8【題型8相似三角形與動點的綜合】 10【題型9相似與最值】 11【題型10旋轉(zhuǎn)型相似】 12【知識點1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．【題型1相似三角形的判定條件】【例1】（2022秋?漢壽縣期末）如圖，若點P為△ABC的邊AB上一點（AB＞AC），下列條件不能判定△ABC∽△ACP的是（）A．∠B＝∠ACP B．∠ACB＝∠APC C．ACAB=AP【變式1-1】（2022春?泰安期末）如圖，△ABC，AB＝12，AC＝15，D為AB上一點，且AD＝8，在AC上取一點E，使以A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則AE等于（）A．325或152 B．10或C．325或10 【變式1-2】（2022秋?合肥期末）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點C作CE⊥CD交AB的延長線于點E，添加下列條件仍不能判斷△CEB與△CAD相似的是（）A．∠CBA＝2∠A B．點B是DE的中點 C．CE?CD＝CA?CB D．CE【變式1-3】（2022秋?通州區(qū)期末）王華在學習相似三角形時，在北京市義務(wù)教育教科書九年級上冊第31頁遇到這樣一道題，如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，連接CP，要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是，或．請回答：（1）王華補充的條件是，或【題型2格點中的相似三角形】【例2】（2022春?文登區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有5個格點三角形，分別是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中與⑤相似的三角形是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④【變式2-1】（2022秋?雄縣期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【變式2-2】（2022秋?青田縣期末）如圖，四個三角形的頂點都在方格子的格點上，下列兩個三角形中相似的是（）A．①④ B．①③ C．②③ D．②④【變式2-3】（2022秋?法庫縣期末）如圖，在5×6的方格紙中，畫有格點△EFG，下列選項中的格點，與E，G兩點構(gòu)成的三角形中和△EFG相似的是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【題型3相似三角形的證明】【例3】（2022?淳安縣一模）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的長；（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．【變式3-1】（2022秋?臨安區(qū)期末）如圖，點B、D、E在一條直線上，BE交AC于點F，ABAD=ACAE，且∠（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）求證：△AEF∽△BCF．【變式3-2】（2022秋?下城區(qū)期末）已知：如圖，O為△ABC內(nèi)一點，A'，B'，C'分別是OA，OB，OC上的點，且OA'：AA'＝OB'：BB'＝1：2，OC'：CC'＝2：1，且OB＝6．（1）求證：△OA'B'∽△OAB；（2）以O(shè)，B'，C'為頂點的三角形是否可能與△OBC相似？如果可能，求OC的長；如果不可能，請說明理由．【變式3-3】（2022春?儀征市校級期末）如圖，△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．（1）若將△DEP的頂點P放在BC上（如圖1），PD、PE分別與AC、AB相交于點F、G．求證：△PBG∽△FCP；（2）若使△DEP的頂點P與頂點A重合（如圖2），PD、PE與BC相交于點F、G．試問△PBG與△FCP還相似嗎？為什么？【題型4利用相似三角形的判定探究線段之間的關(guān)系】【例4】（2022秋?上城區(qū)期末）四邊形ABCD中，點E在邊AB上，連接DE，CE．（1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出圖中的相似三角形，并說明理由；（2）若四邊形ABCD為矩形，AB＝5，BC＝2，且圖中的三個三角形都相似，求AE的長．（3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，圖中的三個三角形都相似，請判斷AE和BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【變式4-1】（2022秋?德清縣期末）如圖，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若△AEM與△ECM相似，則AB和BC的數(shù)量關(guān)系為．【變式4-2】（2022秋?淮安期末）（1）填空：如圖1，在正△ABC中，M、N分別在BC、AC上，且BM＝CN，連AM、BN交于點O，則∠AON＝°（2）填空：如圖2，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM＝RN，連接PN、SM相交于點O，則∠POM＝°．（3）如圖3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC＝CD，∠ABC＝60°．以此為部分條件，構(gòu)造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明．（4）在（1）的條件下，把直線AM平移到圖4的直線EOF位置，①寫出所有與△BOF相似的三角形：②若點N是AC中點，（其它條件不變）試探索線段EO與FO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式4-3】（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長；（3）當△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型5相似三角形在坐標系中的運用】【例5】（2022秋?上城區(qū)期末）已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（4，2），P為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點C的坐標．【變式5-1】（2022秋?汝南縣期末）如圖，在直角坐標系中，已知點A（2，0），B（0，4），在x軸上找到點C（1，0）和y軸的正半軸上找到點D，使△AOB與△DOC相似，則D點的坐標是．【變式5-2】（2022?盤錦）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（2022?淮安）如（a）圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（12，0），點B坐標為（6，8），點C為OB的中點，點D從點O出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度/秒的速度運動一周．（1）點C坐標是，當點D運動8.5秒時所在位置的坐標是；（2）設(shè)點D運動的時間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時，S最大；（3）點E在線段AB上以同樣速度由點A向點B運動，如（b）圖，若點E與點D同時出發(fā)，問在運動5秒鐘內(nèi)，以點D，A，E為頂點的三角形何時與△OCD相似？（只考慮以點A、O為對應(yīng)頂點的情況）【題型6確定相似三角形的對數(shù)】【例6】（2022秋?余姚市期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，AE＝4，AB＝6，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分線AF交DE于點G，交BC于點F．（1）請你直接寫出圖中所有的相似三角形；（2）求AG與GF的比．【變式6-1】（2022秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點，AM的延長線交BC于點E，交DC的延長線于點F，圖中相似三角形有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對【變式6-2】（2007春?常州期末）如圖，已知△ABC、△DEF均為正三角形，D、E分別在AB、BC上．（1）圖中有幾組相似三角形并把它們表示出來；（2）請找一個與△DBE相似的三角形并說明理由．【變式6-3】（2022春?寧波校級期末）如圖，四邊形ABCD和ACED都是平行四邊形，B，C，E在一條直線上，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q．（1）則圖中相似三角形（相似比為1除外）共有對；（2）求線段BP：PQ：QR，并說明理由．【題型7相似三角形中的多結(jié)論問題】【例7】（2022秋?常寧市期末）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，BM，CN交于點O，連接MN．下列結(jié)論：①∠AMN＝∠ABC；②圖中共有8對相似三角形；③BC＝2MN．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【變式7-1】（2022?越秀區(qū)校級二模）如圖，F(xiàn)是△ABC的AB邊上一點，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①若∠AFC＝∠ACB，則△ACF∽△ABC②若∠AFC＝∠B，則△ACF∽△ABC③若AC2＝AF?AB，則△ACF∽△ABC④若AC：CF＝AB：BC，則△ACF∽△ABC．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式7-2】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，連接CF，DE，交點為G．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（）①∠CAD＝∠CBE，②AF?FD＝BF?FE，③△CDE∽△CAB，④△FGE∽△DGC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-3】（2022秋?商河縣校級期中）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、DC上，AE、AF分別交BD于點M、N，連接CN、EN，且CN＝EN．下列結(jié)論：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③MNEFA．4 B．3 C．2 D．1【題型8相似三角形與動點的綜合】【例8】（2022春?成華區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，AE＝EB，MN＝2，線段MN的兩端在CB、CD上滑動，當CM＝時，△ADE與△CMN相似．【變式8-1】（2022秋?金臺區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿邊BC以2cm/s的速度移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，以點P、B、Q三點為頂點的三角形與△ABC相似？【變式8-2】（2022秋?碭山縣期末）如圖所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P為BC上一點，試問BP為何值時，△ABP與△PCD相似？【變式8-3】（2022秋?正定縣期末）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．【題型9相似與最值】【例9】（2022秋?余姚市校級月考）如圖，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．動點F在BA上以每分鐘5個單位長度的速度從B點出發(fā)向A點移動，過F作FE∥BC交AC邊于E點，連接FO、EO．（1）求A、B兩點的坐標；（2）證明：當△EFO面積最大時，△EFO∽△CBA．【變式9-1】（2022?揚州）如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點P是AB上一個動點，當PC+PD的和最小時，PB的長為．【變式9-2】（2022?兗州區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的對角線上的兩個動點M、N，滿足AB=2MN，點P是BC的中點，連接AN、PM，若AB＝6，則當AN+PM的值最小時，線段AN的長度為【變式9-3】（2022?錦江區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積與最大面積之比等于．【題型10旋轉(zhuǎn)型相似】【例10】（2022秋?襄汾縣期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P為BC上的動點，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P，三角板可繞P點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）（3）在（2）的條件下，連接EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動點P運動到什么位置時，△BPE與△PFE相似？說明理由．【變式10-1】（2022?炎陵縣一模）如圖，在△ABC中，∠ACD＝∠B，將△ACD繞A點旋轉(zhuǎn)，點D落在點E處，點C落在點F處，CD，EF交于O點，連接DE，F(xiàn)C，找出其中相似三角形．【變式10-2】（2022春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，點P，Q分別在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3），把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點D落在線段PQ上．（1）求證：PQ∥AB；（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長；（3）在（2）的情況下，求△PDE與△ABC重疊部分圖形的面積．【變式10-3】（2022?大慶模擬）已知，如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且點B、A、D在一條直線上，連接BE、CD．（1）求證：BE＝CD；（2）若M、N分別是BE和CD的中點，將△ADE繞點A按順時針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，試證明在旋轉(zhuǎn)過程中，△AMN是等腰三角形；（3）試證明△AMN與△ABC和△ADE都相似．專題27.3相似三角形的判定【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1相似三角形的判定條件】 2【題型2格點中的相似三角形】 5【題型3相似三角形的證明】 7【題型4利用相似三角形的判定探究線段之間的關(guān)系】 12【題型5相似三角形在坐標系中的運用】 18【題型6確定相似三角形的對數(shù)】 23【題型7相似三角形中的多結(jié)論問題】 27【題型8相似三角形與動點的綜合】 31【題型9相似與最值】 34【題型10旋轉(zhuǎn)型相似】 39【知識點1相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．【題型1相似三角形的判定條件】【例1】（2022秋?漢壽縣期末）如圖，若點P為△ABC的邊AB上一點（AB＞AC），下列條件不能判定△ABC∽△ACP的是（）A．∠B＝∠ACP B．∠ACB＝∠APC C．ACAB=AP【分析】欲證△ACP∽△ABC，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一組角對應(yīng)相等，即∠A＝∠A，此時，再求夾此對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例或另一組對應(yīng)角相等即可．【解答】解：A、∠B＝∠ACP，因為∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合題意；B、∠ACB＝∠APC，因為∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合題意；C、ACAB=APAC，因為∠A＝∠A，所以△D、PCCB=ACAB，因為∠A＝∠A，而PC和BC的夾角為∠C，所以不能判定△故選：D．【變式1-1】（2022春?泰安期末）如圖，△ABC，AB＝12，AC＝15，D為AB上一點，且AD＝8，在AC上取一點E，使以A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則AE等于（）A．325或152 B．10或C．325或10 【分析】分情況討論.【解答】解：∵△ABC與△ADE相似，∴ADAB=AE∵AD＝8，AB＝12，AC＝15，∴812=AE解得：AE＝10或6.4．故選：C．【變式1-2】（2022秋?合肥期末）如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點C作CE⊥CD交AB的延長線于點E，添加下列條件仍不能判斷△CEB與△CAD相似的是（）A．∠CBA＝2∠A B．點B是DE的中點 C．CE?CD＝CA?CB D．CE【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．【解答】解：∵CE⊥CD，∴∠EDC＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠BCE＝∠DCA＝90°﹣∠BCD，∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴DC＝DB＝DA，∴∠DAC＝∠A，∴∠BCE＝∠DCA＝∠A，∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°，∴∠E＝∠CBA﹣∠BCE＝30°，∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A，∴△CEB∽△CAD，∴A不符合題意，∵點B是DE的中點，∴BE＝BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A，∴△CEB∽△CAD，∴B不符合題意，∵CE?CD＝CA?CB，∴CECA∵∠BCE＝∠DCA，∴△CEB∽△CAD，∴C不符合題意．由CECA=BEAD，由于∠E和∠A不能判斷相等，故不能判斷△∴D符合題意，故選：D．【變式1-3】（2022秋?通州區(qū)期末）王華在學習相似三角形時，在北京市義務(wù)教育教科書九年級上冊第31頁遇到這樣一道題，如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，連接CP，要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB），或AC2＝AP?AB．請回答：（1）王華補充的條件是∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB），或AC2＝AP?AB．（2）請你參考上面的圖形和結(jié)論，探究，解答下面的問題：如圖2，在△ABC中，∠A＝30°，AC2＝AB2+AB?BC．求∠C的度數(shù)．【分析】（1）由∠A＝∠A，當∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB；或ACAB=APAC時，△（2）延長AB到點D，使BD＝BC，連接CD，由已知條件得出證出ACAD=ABAC，由∠A＝∠A，證出△ACB∽△ADC，得出對應(yīng)角相等∠ACB＝∠D，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠D+∠【解答】解：∵∠A＝∠A，∴當∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB；或ACAB=APAC，即AC2＝AP?AB時，△故答案為：∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB），或AC2＝AP?AB；（1）王華補充的條件是：∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB）；或AC2＝AP?AB；理由如下：∵∠A＝∠A，∴當∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB；或ACAB=APAC，即AC2＝AP?AB時，△故答案為：∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB），或AC2＝AP?AB；（2）延長AB到點D，使BD＝BC，連接CD，如圖所示：∵AC2＝AB2+AB?BC＝AB（AB+BC）＝AB（AB+BD）＝AB?AD，∴ACAD又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB＝∠D，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠D，在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A＝180°，∴3∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝50°．【題型2格點中的相似三角形】【例2】（2022春?文登區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有5個格點三角形，分別是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中與⑤相似的三角形是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④【分析】根據(jù)相似三角形的旋轉(zhuǎn)可知，相似三角形的對應(yīng)角相等即可判斷．【解答】解：由圖形知，⑤中∠AHG＝135°，而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，再根據(jù)兩邊成比例可判斷，與⑤相似的三角形是①③，故選：A．【變式2-1】（2022秋?雄縣期末）如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】利用△ABC中，∠ACB＝135°，AC=2，BC【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC=2，BC在B、C、D選項中的三角形都沒有135°，而在A選項中，三角形的鈍角為135°，它的兩邊分別為1和2，因為22=21，所以故選：A．【變式2-2】（2022秋?青田縣期末）如圖，四個三角形的頂點都在方格子的格點上，下列兩個三角形中相似的是（）A．①④ B．①③ C．②③ D．②④【分析】可分別求出三角形的邊長，根據(jù)對應(yīng)邊成比例三角形相似，進行判斷即可．【解答】解：第一個三角形的邊長分別為：10，5，5；第二個三角形的邊長分別為：5，22，17；第三個三角形的邊長分別為：2，2，10；第四個三角形的邊長分別為：3，2，5；對應(yīng)邊成比例的是①和③．故選：B．【變式2-3】（2022秋?法庫縣期末）如圖，在5×6的方格紙中，畫有格點△EFG，下列選項中的格點，與E，G兩點構(gòu)成的三角形中和△EFG相似的是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【分析】根據(jù)網(wǎng)格圖形可得所給△EFG是兩直角邊分別為1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法選擇答案即可．【解答】解：觀察圖形可得△EFG中，直角邊的比為FGEF觀察各選項，EGDG=5故選：D．【題型3相似三角形的證明】【例3】（2022?淳安縣一模）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AC、BC的中點，F(xiàn)是BC延長線上一點，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的長；（2）若AC＝BC，求證：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位線定理得到DE∥AB以及DE的長，再證明∠DEC＝∠F即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B，進而求出∠CDE＝∠F并結(jié)合∠CED＝∠DEF即可證明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分別是AC、BC的中點，∴DE∥AB，DE=12∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．【變式3-1】（2022秋?臨安區(qū)期末）如圖，點B、D、E在一條直線上，BE交AC于點F，ABAD=ACAE，且∠（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）求證：△AEF∽△BCF．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理得到∠C＝∠E，結(jié)合圖形，證明即可．【解答】（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中ABAD=ACAE，∠∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF．【變式3-2】（2022秋?下城區(qū)期末）已知：如圖，O為△ABC內(nèi)一點，A'，B'，C'分別是OA，OB，OC上的點，且OA'：AA'＝OB'：BB'＝1：2，OC'：CC'＝2：1，且OB＝6．（1）求證：△OA'B'∽△OAB；（2）以O(shè)，B'，C'為頂點的三角形是否可能與△OBC相似？如果可能，求OC的長；如果不可能，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例夾角相等即可證明；（2）要使以O(shè)，B'，C'為頂點的三角形與△OBC相似，只要滿足OB'OC【解答】（1）證明：∵OA′：AA′＝OB′：BB′＝1：2，∴OA′：OA＝OB′：OB＝1：3，∵∠A′OB′＝∠AOB，∴△OA'B'∽△OAB；（2）解：可能相似．理由如下：∵OA'：AA'＝OB'：BB'＝1：2，OB＝6，∴OB′＝2，∵OC'：CC'＝2：1，∠COB＝∠C′OB′，設(shè)CC′＝x，OC′＝2x，OC＝3x，要使以O(shè)，B'，C'為頂點的三角形與△OBC相似，只要滿足OB'OC∴23x∴x＝±2∵x＞0，∴x=∴OC＝32．【變式3-3】（2022春?儀征市校級期末）如圖，△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．（1）若將△DEP的頂點P放在BC上（如圖1），PD、PE分別與AC、AB相交于點F、G．求證：△PBG∽△FCP；（2）若使△DEP的頂點P與頂點A重合（如圖2），PD、PE與BC相交于點F、G．試問△PBG與△FCP還相似嗎？為什么？【分析】（1）如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，再利用平角定義得到∠BPG+∠CPF＝135°，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BPG+∠BGP＝135°，根據(jù)等量代換得∠BGP＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可得到結(jié)論；（2）如圖2，由于∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，利用三角形外角性質(zhì)得∠BGP＝∠C+∠CPG＝45°+∠CAG，而∠CPF＝45°+∠CAG，所以∠AGB＝∠CPF，加上∠B＝∠C，于是可判斷△PBG∽△FCP．【解答】（1）證明：如圖1，∵△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∴∠BPG+∠CPF＝135°，在△BPG中，∵∠B＝45°，∴∠BPG+∠BGP＝135°，∴∠BGP＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP；（2）解：△PBG與△FCP相似．理由如下：如圖2，∵△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，∵∠BGP＝∠C+∠CPG＝45°+∠CAG，∠CPF＝∠FPG+∠CAG＝45°+∠CAG，∴∠AGB＝∠CPF，∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP．【題型4利用相似三角形的判定探究線段之間的關(guān)系】【例4】（2022秋?上城區(qū)期末）四邊形ABCD中，點E在邊AB上，連接DE，CE．（1）若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，找出圖中的相似三角形，并說明理由；（2）若四邊形ABCD為矩形，AB＝5，BC＝2，且圖中的三個三角形都相似，求AE的長．（3）若∠A＝∠B＝90°，AD＜BC，圖中的三個三角形都相似，請判斷AE和BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理推出即可；（2）根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可；（3）分為兩種情況，化成圖形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．【解答】解：（1）△DAE∽△EBC，理由是：∵∠A＝∠DEC＝50°，∴∠ADE+∠DEA＝180°﹣∠A＝130°，∠DEA+∠CEB＝180°﹣∠DEC＝130°，∴∠ADE＝∠CEB，∵∠A＝∠B，∴△DAE∽△EBC；設(shè)AE＝x，則BE＝5﹣x，∵∠ADE＜90°，∠ECB＜90°，∴∠DEC＝90°，∴△DAE∽△EBC，∴ADAE即2x解得：x＝1或4，即AE＝1或4；（3）AE＝BE或BE＝2AE，理由是：①當∠A＝∠B＝∠DEC＝90°時，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE＝∠BCE，所以△DEC∽△DAE∽△EBC，∴DEEC=AD∴ADEB=ADAE，即②當∠DEC≠90°時，∵△ADE∽△BCE，∠DEA＝∠CEB，∴DEEC∴DE＜CE，則∠CDE＞∠ECD，∠CDE＝90°，∵∠DCE≠∠CEB，∴∠DEA＝∠DEC＝∠CEB＝60°，∴AEDE∴BE＝2AE．【變式4-1】（2022秋?德清縣期末）如圖，將矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，若△AEM與△ECM相似，則AB和BC的數(shù)量關(guān)系為BC=32AB【分析】利用折疊的性質(zhì)∠MEC＝∠D＝90°，∠DMC＝∠EMC，ME＝MD，則∠A＝∠MEC，根據(jù)三角形相似的判定方法，當∠AEM＝∠EMC時，△AEM與△ECM相似，則AE∥MC，不合題意舍去；當∠AEM＝∠MCE時，△AEM與△ECM相似，∠AME＝∠EMC，此時∠DMC＝∠EMC＝∠AME＝60°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到MD=33CD＝EM，AM=36CD，則AD=32【解答】解：∵矩形ABCD沿CM折疊，使點D落在AB邊上的點E處，∴∠MEC＝∠D＝90°，∠DMC＝∠EMC，ME＝MD，∴∠A＝∠MEC，當∠AEM＝∠EMC時，△AEM與△ECM相似，則AE∥MC，不合題意舍去；當∠AEM＝∠MCE時，△AEM與△ECM相似，∠AME＝∠EMC，此時∠DMC＝∠EMC＝∠AME＝60°，在Rt△CDM中，MD=33∴EM=33在Rt△AEM中，AM=12EM=∴AD＝AM+DM=36CD+33∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD，BC＝AD，∴BC=32故答案為BC=32【變式4-2】（2022秋?淮安期末）（1）填空：如圖1，在正△ABC中，M、N分別在BC、AC上，且BM＝CN，連AM、BN交于點O，則∠AON＝60°（2）填空：如圖2，在正方形PQRS中，已知點M、N分別在邊QR、RS上，且QM＝RN，連接PN、SM相交于點O，則∠POM＝90°．（3）如圖3，在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC＝CD，∠ABC＝60°．以此為部分條件，構(gòu)造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明．（4）在（1）的條件下，把直線AM平移到圖4的直線EOF位置，①寫出所有與△BOF相似的三角形：△BCD、△EBF②若點N是AC中點，（其它條件不變）試探索線段EO與FO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）易證△ABM≌△BCN，可得∴∠AON＝∠BAM+∠ABN＝∠CBN+∠ABN＝60°；（2）易證△PSN≌△SRM，可得∠POM＝∠MSR+∠SNP＝∠MSR+∠SMR＝90°；（3）命題：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC＝CD，∠ABC＝60°M、N分別在CD、CB上，且DM＝CN，連AM、DN交于點O，則∠AON＝120°．（4）由勾股定理得BF=3OF，由△BOF∽△EBF得BF2＝OF?EF，即可求證EO＝2FO【解答】解：（1）在△ABM和△BCN中，AB=BC∠ABC=∠C∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠AON＝∠BAM+∠ABN＝∠CBN+∠ABN＝60°；（2）∵QM＝RN，∴RM＝SN，∵PS＝SR，∠PSR＝∠SRM＝90°∴△PSN≌△SRM，∴∠PNS＝∠SMR，∴∠POM＝∠MSR+∠SNP＝∠MSR+∠SMR＝90°；（3）命題：在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，BC＝CD，∠ABC＝60°M、N分別在CD、CB上，且DM＝CN，連AM、DN交于點O，則∠AON＝120°．通過證△MDA≌△NCD得∴∠MAD＝∠NDC，∴∠AON＝∠MAD+∠ADO＝∠NDC+∠ADO＝∠ADC＝120°；（4）①△BCD、△EBF，②EO＝2FO，∵BN平分∠ABC，∴∠NBF＝30°，∵∠BOF＝60°，∴∠BFO＝90°，由勾股定理得BF=3OF由△BOF∽△EBF得BF2＝OF?EF，∴（3OF）2＝OF?EF，∴3OF＝EF，∴EO＝2FO．【變式4-3】（2022秋?城關(guān)區(qū)期末）如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，使得AE⊥DE；（1）求證：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的長；（3）當△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）先根據(jù)同角的余角相等可得：∠DEC＝∠A，利用兩角相等證明三角形相似；（2）先根據(jù)勾股定理得：BE＝3，根據(jù)△ABE∽△ECD，列比例式可得結(jié)論；（3）先根據(jù)△AED∽△ECD，證明∠EAD＝∠DEC，可得∠ADE＝∠EDC，證明Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），則DF＝DC，同理可得：AF＝AB，相加可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD；（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3，∵BC＝5，∴EC＝5﹣3＝2，由（1）得：△ABE∽△ECD，∴ABBE∴43∴CD=3（3）解：線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系：AD＝AB+CD；理由是：過E作EF⊥AD于F，∵△AED∽△ECD，∴∠EAD＝∠DEC，∵∠AED＝∠C，∴∠ADE＝∠EDC，∵DC⊥BC，∴EF＝EC，∵DE＝DE，∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），∴DF＝DC，同理可得：△ABE≌△AFE，∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．【題型5相似三角形在坐標系中的運用】【例5】（2022秋?上城區(qū)期末）已知：Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（4，2），P為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，問：點C在什么位置時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似？要求在圖上畫出所有符合要求的線段PC，并求出相應(yīng)的點C的坐標．【分析】由于C點不確定，故分△OPC∽△OBA，△BPC∽△BOA，△OPC∽△OAB三種情況進行討論．【解答】解：∵點B的坐標為（4，2），∴OA＝4，AB＝2，OB=42+22=如圖，當△OPC∽△OBA時，∵OCOA=OP∴PC＝1，OC＝2，∴C1（2，0）；當△BPC∽△BOA時，∵PBOB=BCOA=∴AC2＝2﹣1＝1，∴C2（4，1）；當△OPC∽△OAB時，∴OPOA=OCOB，即∴C3（2.5，0）；綜上所述，C點坐標為：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．【變式5-1】（2022秋?汝南縣期末）如圖，在直角坐標系中，已知點A（2，0），B（0，4），在x軸上找到點C（1，0）和y軸的正半軸上找到點D，使△AOB與△DOC相似，則D點的坐標是（0，12）或（0，2）【分析】分△AOB∽△DOC和△AOB∽△COD兩種情況進行討論，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得相關(guān)線段的長度，繼而求得點D的坐標．【解答】解：若△AOB∽△DOC，點D在x軸上方：∠B＝∠OCD，∴OCOB=OD∴OD=1∴D（0，12若△AOB∽△COD，點D在x軸上方：可得D（0，2）．綜上所述，D點的坐標是（0，12故答案是：（0，12【變式5-2】（2022?盤錦）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（2，0），點C在第一象限，若以A、B、C為頂點的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點C的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖①，∠OAB＝∠BAC1，∠AOB＝∠ABC1時，△AOB∽△ABC1．如圖②，AO∥BC，BA⊥AC2，則∠ABC2＝∠OAB，故△AOB∽△BAC2；如圖③，AC3∥OB，∠ABC3＝90°，則∠ABO＝∠CAB，故△AOB∽△C3BA；如圖④，∠AOB＝∠BAC4＝90°，∠ABO＝∠ABC4，則△AOB∽△C4AB．故選：D．【變式5-3】（2022?淮安）如（a）圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（12，0），點B坐標為（6，8），點C為OB的中點，點D從點O出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度/秒的速度運動一周．（1）點C坐標是，當點D運動8.5秒時所在位置的坐標是；（2）設(shè)點D運動的時間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時，S最大；（3）點E在線段AB上以同樣速度由點A向點B運動，如（b）圖，若點E與點D同時出發(fā)，問在運動5秒鐘內(nèi)，以點D，A，E為頂點的三角形何時與△OCD相似？（只考慮以點A、O為對應(yīng)頂點的情況）【分析】（1）點C的坐標易求得；當點D運動8.5s時，D點運動的總路程為8.5×2＝17，那么此時點D運動到線段AB上，且AD＝5；根據(jù)AB的坐標易知AB＝10，那么此時點D是AB的中點，即可求得點D的坐標；（2）①當D在線段OA上，即0＜t≤6時，以O(shè)D為底，C點縱坐標的絕對值為高即可得到△OCD的面積，也就求得了此時y、x的函數(shù)關(guān)系式；②當D在線段AB上，即6≤t＜11時，由于△BCD和△OCD等底同高，所以△OCD的面積是△OBD的一半，只需求出△OBD的面積即可；△OBD和△OAB等底，那么面積比等于高的比，分別過D、A作OB的垂線，設(shè)垂足為M、N；易證得△BDM∽△BAN，那么兩條高的比即為BD、BA的比，易求得△ABO的面積由此得解；③當D在線段OB上時，O、A、D三點共線，構(gòu)不成三角形，故此種情況不成立；（3）由D、E的運動速度及OA、AB的長可知：D、E在運動過程中總在OA、AB上；可分兩種情況：①∠ODC＝∠ADE，此時△ODC∽△ADE；②∠ODC＝∠AED，此時△ODC∽△AED；根據(jù)上述兩種情況所得到的比例線段即可求得t的值．【解答】解：（1）C（3，4），D（9，4）；（2）易知：OB＝AB＝10；∵C點坐標為（3，4），∴點C到x軸的距離為4①當點D在線段OA上，即0＜t≤6時，OD＝2t；則：S=12OD×4=12×②當D在線段AB上，即6≤t＜11時，BD＝OA+AB﹣2t＝22﹣2t；過D作DM⊥OB于M，過點A作AN⊥OB于N；則△BMD∽△BNA，得：DMAN易知S△OAB＝48；∵S△ODB：S△OAB＝DM：AN＝（11﹣t）：5，∴S△OBD＝S△OAB?11?t5=48∵BC＝OC，∴S＝S△BCD，即S=12S△OBD=245（11﹣t）③當D在線段OB上時，O、C、D三點共線，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上可知：當t＝6時，S最大，且Smax＝24；（3）當0≤t≤5s時，D在線段OA上運動，E在線段AB上運動；△OCD中，OC＝5，OD＝2t；△DAE中，AD＝12﹣2t，AE＝2t；①當△OCD∽△ADE時，OCAD=ODAE=1，∴OC＝AD，即12﹣2②當△OCD∽△AED時，OCAE=ODAD，即5綜上所述，當t=72或【題型6確定相似三角形的對數(shù)】【例6】（2022秋?余姚市期末）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，AE＝4，AB＝6，AD：AC＝2：3，△ABC的角平分線AF交DE于點G，交BC于點F．（1）請你直接寫出圖中所有的相似三角形；（2）求AG與GF的比．【分析】（1）可得到三組三角形相似；（2）先利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明△ADE∽△ACB，則∠ADG＝∠C，再利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明△ADG∽△ACF，然后利用相似比和比例的性質(zhì)求AGGF【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵AEAB=4∴AEAB又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG＝∠C，∵AF為角平分線，∴∠DAG＝∠FAE∴△ADG∽△ACF，∴AGAF∴AGGF【變式6-1】（2022秋?金山區(qū)期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線BD上一點，AM的延長線交BC于點E，交DC的延長線于點F，圖中相似三角形有（）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得AD∥BC，AB∥CD，從而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，則△AME∽△FDA，可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，∴△ABD∽△CDB，∵AD∥BC，∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，∴△AME∽△FDA，∴相似三角形共有6對，故選：A．【變式6-2】（2007春?常州期末）如圖，已知△ABC、△DEF均為正三角形，D、E分別在AB、BC上．（1）圖中有幾組相似三角形并把它們表示出來；（2）請找一個與△DBE相似的三角形并說明理由．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法（有兩角分別相等的兩三角形相似）判斷即可；（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠A＝∠B＝60°，∠FDE＝60°，求出∠AGD＝∠BDE，根據(jù)三角形的判定證出即可．【解答】（1）解：相似三角形有：△ABC∽△DEF，△ADG∽△BDE∽△CEH∽△FGH，理由是：∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴∠A＝∠FDE＝60°，∠B＝∠DEF＝60°，∴△ABC∽△DEF；∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∠FDE＝60°，∴∠ADG+∠BDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADG+∠AGD＝180°﹣60°＝120°，∴∠AGD＝∠BDE，∵∠A＝∠B，∴△ADG∽△BED；同理△BDE∽△CEH，△BDE∽△FGH；（2）解：△ADG∽△BED，理由是：∵△ABC和△DEF是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∠FDE＝60°，∴∠ADG+∠BDE＝180°﹣60°＝120°，∠ADG+∠AGD＝180°﹣60°＝120°，∴∠AGD＝∠BDE，∵∠A＝∠B，∴△ADG∽△BED．【變式6-3】（2022春?寧波校級期末）如圖，四邊形ABCD和ACED都是平行四邊形，B，C，E在一條直線上，點R為DE的中點，BR分別交AC，CD于點P，Q．（1）則圖中相似三角形（相似比為1除外）共有4對；（2）求線段BP：PQ：QR，并說明理由．【分析】此題的圖形比較復雜，需要仔細分析圖形．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得到角相等．∠BPC＝∠BRE，∠BCP＝∠E，可得△BCP∽△BER；（2）根據(jù)AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例即可得出所求線段的比例關(guān)系．【解答】解：（1）∵四邊形ACED是平行四邊形，∴∠BPC＝∠BRE，∠BCP＝∠E，∴△BCP∽△BER；同理可得∠CDE＝∠ACD，∠PQC＝∠DQR，∴△PCQ∽△RDQ；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAP＝∠PCQ，∵∠APB＝∠CPQ，∴△PCQ∽△PAB；∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，∴△PAB∽△RDQ．綜上所述，圖中相似三角形（相似比為1除外）共有4對．故答案是：4．（2）∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，∴BC＝AD＝CE，∵AC∥DE，∴BC：CE＝BP：PR，∴BP＝PR，∴PC是△BER的中位線，∴BP＝PR，PCRE又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ．又∵點R是DE中點，∴DR＝RE．PQQR∴QR＝2PQ．又∵BP＝PR＝PQ+QR＝3PQ，∴BP：PQ：QR＝3：1：2．【題型7相似三角形中的多結(jié)論問題】【例7】（2022秋?常寧市期末）如圖，△ABC中，∠A＝60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，BM，CN交于點O，連接MN．下列結(jié)論：①∠AMN＝∠ABC；②圖中共有8對相似三角形；③BC＝2MN．其中正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個【分析】依據(jù)△ABM∽△ACN，即可得出△AMN∽△ABC，進而得到∠AMN＝∠ABC；依據(jù)△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，可得圖中共有8對相似三角形；依據(jù)AN=12AC，△AMN∽△ABC，即可得到MNBC=AN【解答】解：∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴∠ANC＝∠AMB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△ABM∽△ACN，∴ANAM=AC又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN＝∠ABC，故①正確；由題可得，△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，△AMN∽△ABC，△BCO∽△NMO，∴圖中共有8對相似三角形，故②正確；∵Rt△ACN中，∠A＝60°，∴∠ACN＝30°，∴AN=12又∵△AMN∽△ABC，∴MNBC即BC＝2MN，故③正確．故選：C．【變式7-1】（2022?越秀區(qū)校級二模）如圖，F(xiàn)是△ABC的AB邊上一點，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①若∠AFC＝∠ACB，則△ACF∽△ABC②若∠AFC＝∠B，則△ACF∽△ABC③若AC2＝AF?AB，則△ACF∽△ABC④若AC：CF＝AB：BC，則△ACF∽△ABC．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】由于兩個三角形有公共角，則根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對①進行判斷，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可對②進行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對③④進行判斷．【解答】解：∵∠FAC＝∠CAB，∴當∠AFC＝∠ACB，則△ACF∽△ABC，所以①正確；而∠AFC＞∠B，所以②錯誤；當AC：AB＝AF：AC，即AC2＝AF?AB，△ACF∽△ABC，所以③正確，④錯誤．故選：C．【變式7-2】（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點F，連接CF，DE，交點為G．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（）①∠CAD＝∠CBE，②AF?FD＝BF?FE，③△CDE∽△CAB，④△FGE∽△DGC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)同角的余角相等判斷①；根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似判斷②③④．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACB＝90°，同理：∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，①結(jié)論正確；∵∠CAD＝∠CBE，∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF∴AF?FD＝BF?FE，②結(jié)論正確；∵∠CAD＝∠CBE，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC∽△BEC，∴CDCE∵∠DCE＝∠ACB，∴△CDE∽△CAB，③結(jié)論正確；∵∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠FEG＝∠DCG，∵∠FGE＝∠DGC，∴△FGE∽△DGC，④結(jié)論正確；故選：D．【變式7-3】（2022秋?商河縣校級期中）如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、DC上，AE、AF分別交BD于點M、N，連接CN、EN，且CN＝EN．下列結(jié)論：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③MNEFA．4 B．3 C．2 D．1【分析】①正確，只要證明△NBA≌△NBC，∠ABE+∠ANE＝180°即可解決問題；②正確．只要證明△AFH≌△AFE即可；③正確．如圖2中，首先證明△AMN∽△AFE，可得NMEF④錯誤．相似三角形不止4對相似三角形．【解答】解：將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH．∵四邊形ABCD是中正方形，∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△BNA和△BNC中，BN=BN∠NBA=∠NBC∴△NBA≌△NBC（SAS），∴AN＝CN，∠BAN＝∠BCN，∵EN＝CN，∴AN＝EN，∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，∵∠NEC+∠BEN＝180°，∴∠BAN+∠BEN＝180°，∴∠ABC+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°，∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正確，∴∠3＝∠AEN＝45°，∵∠3＝45°，∠1＝∠4，∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，∴∠3＝∠FAH＝45°，∵AF＝AF，AE＝AH，∴△AFE≌△AFH（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正確，∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，∴∠AMN＝∠AFD，∴∠AMN＝∠AFE，∵∠MAN＝∠EAF，∴△AMN∽△AFE，∴NMEF故③正確，圖中相似三角形有△ANE∽△BAD∽△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故④錯誤，故選：B．【題型8相似三角形與動點的綜合】【例8】（2022春?成華區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，AE＝EB，MN＝2，線段MN的兩端在CB、CD上滑動，當CM＝455或255時，△【分析】根據(jù)AE＝EB，△AED中AD＝2AE，所以在△MNC中，分CM與AE和AD是對應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出CM與CN的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計算即可．【解答】解：∵AE＝EB，∴AD＝2AE，又∵△AED與以M、N、C為頂點的三角形相似，∴分兩種情況：①CM與AD是對應(yīng)邊時，CM＝2CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+14CM解得：CM=4②CM與AE是對應(yīng)邊時，CM=12∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+4CM2＝4，解得：CM=2綜上所述：當CM為455或255時，△故答案是：455或【變式8-1】（2022秋?金臺區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿邊BC以2cm/s的速度移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘后，以點P、B、Q三點為頂點的三角形與△ABC相似？【分析】首先設(shè)經(jīng)x秒鐘△PBQ與△ABC相似，由題意可得AP＝2xcm，BQ＝2xcm，BP＝AB﹣AP＝（10﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分別從當BPBA=BQ【解答】解：設(shè)經(jīng)x秒鐘△PBQ與△ABC相似，則AP＝2xcm，BQ＝2xcm，∵AB＝10cm，BC＝20cm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣2x）cm，∵∠B是公共角．∴①當BPBA=BQBC，即10?2x10=2x20②當BPBC=BQBA，即10?2x20=2x10∴經(jīng)103或53秒時，以點P、B、Q三點為頂點的三角形與△【變式8-2】（2022秋?碭山縣期末）如圖所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P為BC上一點，試問BP為何值時，△ABP與△PCD相似？【分析】此題分兩種情況進行討論：①△ABP∽△PCD時，ABBP=PCCD；②當△ABP∽△【解答】解：∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABP與△PCD相似只有兩種情況，即A與D對應(yīng)或A與P點對應(yīng)，（1）當△ABP∽△PCD時，ABBP=PC解得：BP＝2或BP＝12；（2）當△ABP∽△DCP時，ABBP=CD解得：BP＝5.6．綜合以上可知，當BP的值為2，12或5.6時，兩三角形相似．【變式8-3】（2022秋?正定縣期末）在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示運動時間（0≤t≤6），那么當t為何值時，△APQ與△ABD相似？說明理由．【分析】由題意可設(shè)AP＝2tcm，DQ＝tcm，又由AB＝12cm，AD＝6cm，即可求得AQ的值，然后分別從①當AQAD=APAB時，△APQ∽△ABD；與②當AQAB=AP【解答】解：設(shè)AP＝2tcm，DQ＝tcm，∵AB＝12cm，AD＝6cm，∴AQ＝（6﹣t）cm，∵∠A＝∠A，∴①當AQAD=APAB時，△∴6?t6解得：t＝3；②當AQAB=APAD時，△∴6?t12解得：t＝1.2．∴當t＝3或1.2時，△APQ與△ABD相似．【題型9相似與最值】【例9】（2022秋?余姚市校級月考）如圖，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．動點F在BA上以每分鐘5個單位長度的速度從B點出發(fā)向A點移動，過F作FE∥BC交AC邊于E點，連接FO、EO．（1）求A、B兩點的坐標；（2）證明：當△EFO面積最大時，△EFO∽△CBA．【分析】（1）先根據(jù)題意得出AC兩點的坐標，再設(shè)BO＝x，由勾股定理求出x的值，進而可得出B點坐標；（2）過F點作FK⊥BC于K，可設(shè)F點移動的時間為t，且0＜t＜2，由FE∥BC可得△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，故EFBC=ATAO，EF10=6?3t6，即EF＝10﹣5t，故S△EFO=12EF×TO=12，當t＝1時，△EFO的面積達到最大值；此時BF＝FA，EF恰好為△ABC的中位線，所以【解答】解：（1）∵AO＝3CO＝6，∴CO＝2，∴C（2，0），A（0，6）．設(shè)BO＝x，且x＞0；則BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；又∵BC＝AB，∴（2+x）2＝36+x2，解得x＝8，∴B（﹣8，0）；（2）如圖1，過F點作FK⊥BC于K，可設(shè)F點移動的時間為t，且0＜t＜2，則：BF＝5t，TO＝FK＝3t；∴AT＝6﹣3t，又∵FE∥BC，∴△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，則：EFBC=ATAO，∴EF10故S△EFO=12EF×TO=12（10﹣5即S△EFO=?152（t﹣2）∴當t＝1時，△EFO的面積達到最大值；此時BF＝FA，EF恰好為△ABC的中位線．則：FEBC又有AO⊥BC于O，則：OFAB∴FOAB∴△EFO∽△CBA．【變式9-1】（2022?揚州）如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點P是AB上一個動點，當PC+PD的和最小時，PB的長為3．【分析】要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PC，PD的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：延長CB到E，使EB＝CB，連接DE交AB于P．則DE就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BE，∴∠A＝∠PBE，∠ADP＝∠E，∴△ADP∽△BEP，∴AP：BP＝AD：BE＝4：6＝2：3，∴PB=32又∵PA+PB＝AB＝5，∴PB=35故答案為：3【變式9-2】（2022?兗州區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的對角線上的兩個動點M、N，滿足AB=2MN，點P是BC的中點，連接AN、PM，若AB＝6，則當AN+PM的值最小時，線段AN的長度為【分析】過P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N'，過P作PM'∥AE交BD于M'，當M、N分別與M'、N'重合時，此時AN+PM＝AE的值最小，根據(jù)勾股定理得到AE=AD2【解答】解：過P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N'，過P作PM'∥AE交BD于M'，當M、N分別與M'、N'重合時，此時AN+PM＝A'+EN'＝AEN'+PM'＝AE的值最小，∵P是BC的中點，∴E為CD的中點，∴PE=12∵AB=22BD，AB=∴PE∥BD，PM'∥AE，∴四邊形PEN'M'是平行四邊形，∴PE＝M'N'，∴AB=2M'N'=2∵AE=AD2∵AB∥CD，∴△ABN'∽△EDN'，∴AN'N'E∴AN'＝25，即AN＝25．【變式9-3】（2022?錦江區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點D是線段BC上一動點，連接AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積與最大面積之比等于925【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝4，當AD⊥BC時，△ADE的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式得到AD=AB?ACBC=3×45=125，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AE=165【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，當AD⊥BC時，△ADE的面積最小，∴AD=AB?AC∵△ADE∽△ABC，∴ADAB∴125∴AE=16∴△ADE的最小面積=1當D與C重合時，△ADE的面積最大，∵△ADE∽△ABC，∴ADAB∴43∴AE=16∴△ADE的最大面積=1∴△ADE的最小面積與最大面積之比=96故答案為：925【題型10旋轉(zhuǎn)型相似】【例10】（2022秋?襄汾縣期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P為BC上的動點，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的頂點落在點P，三角板可繞P點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；（2）將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）（3）在（2）的條件下，連接EF，△BPE與△PFE是否相似？若不相似，則動點P運動到什么位置時，△BPE與△PFE相似？說明理由．【分析】（1）找出△BPE與△CFP的對應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF＝135°，∠CPF+∠CFP＝135°，得出∠BPE＝∠CFP，從而解決問題；（2）利用（1）小題證明方法可證：△BPE∽△CFP；（3）動點P運動到BC中點位置時，△BPE與△PFE相似，同（1），可證△BPE∽△CFP，得CP：BE